0 в степени бесконечность неопределенность – Раскрытие неопределённостей — Википедия
- Комментариев к записи 0 в степени бесконечность неопределенность – Раскрытие неопределённостей — Википедия нет
- Разное
Неопределенности пределов
Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.
Виды неопредлённостей
$\frac{0}{0}$ — деление нуля на нуль;
$\frac{\infty}{\infty}$ — деление бесконечности на бесконечность;
$0 \cdot \infty$ — умножение нуля на бесконечность;
$1^{\infty}$ — единица, возведённая в степень бесконечности;
$(\infty-\infty$) — разность бесконечностей;
$0^0$ — нуль в нулевой степени;
$\infty^0$ — бесконечность в степени 0.
Неопределённости вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.
Раскрытие неопределенностей
Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.
Например, выражение вида $\frac{x^2}{x}$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:
$lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=lim_{x\to 0} x=0$.
Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.
В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.
Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.
Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений
Если две переменные $α$ и $β$ сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:
$x~sin x$;
$x~arcsin x$;
$x ~ tg x$;
$x ~ arctg x$;
$x ~ ln(1+x)$;
$ a^x-1 ~ x ln a$;
$e^x-1 ~ x$;
$(1+x)^a-1 ~ ax$.
Пример 1
Вычислите предел: $lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \cdot (\frac{2+cosx}{3})^x-1)$.
Решение:
$lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \cdot (\frac{2+cosx}{3})^x-1)=lim_{x \to 0}\frac{e^{xln \frac{2+cosx}{3}}-1}{x^3}= lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} ln \frac{2+cosx}{3}= lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} ln (\frac{cosx-1}{3}+1=lim_{x \to 0}\frac{cosx-1}{3x^2}=-\frac{1}{6}$
Раскрытие неопределённости, содержащей бесконечность в числителе и знаменателе
Для того чтобы раскрыть такую неопределённость, сначала находят в выражении старшую степень при переменной, а затем делят на эту переменную числитель и знаменатель.
Раскрытие неопределённости, содержащей нуль в числителе и знаменателе
При возникновении такого случая сначала производят разложение на множители числителя и знаменателя, а затем осуществляют сокращение дроби.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей
Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$. Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:
$lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to c} \frac{f’(x)}{g’(x)}$
Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.
С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.
Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя
Пример 2
Вычислите предел, используя правило Лопиталя:
$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}$
Решение:
$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}= lim_{x \to 0} \frac{(x^2+5x)’}{(3x)’}=lim_{x \to 0}\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$
Разложение неопределённостей в ряд Тейлора
Для оценки выражений, в результате вычисления которых образовались неопределённости вида $0^0$, $1^{\infty}$, и $\infty^0$ вычисляют предел натурального логарифма исследуемого выражения, а затем после получения результата от него берут экспоненту:
$0^0=e^{0 \cdot (- \infty)}$
$1^{\infty}= e^{\infty \cdot ln1}= e^{\infty \cdot 0}$
$\infty^0=e^{0 ln \infty}= e^ { 0 \cdot \infty}$
Выражения, не являющиеся неопределённостями
Выражения вида $\frac{1}{0}$ не считаются неопределённостями, также как неопределённости не рассматриваются все случаи, где знаменатель равен нулю, а числитель — любое число, отличное от нуля.
Другое выражение, не являющееся неопределённостью — это $0^{\infty}$. Выражение вида $0^{+\infty}$ стремится к нулю, тогда как выражение $0^{-\infty}$ эквивалентно выражению $\frac{1}{0}$.
spravochnick.ru
Вид неопределенности | Правило раскрытия |
1. | 1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. |
1.2. Для раскрытия неопределенности вида заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней. | |
| |
2. | 2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x – a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при x → a, то надо произвести повторное деление на x – a. |
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула a2 – b2 = (a – b)(a + b) . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2). | |
| |
3. | 3.1. Неопределенность вида получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a2 – b2 = (a – b)(a + b) . В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2). |
3.2. Неопределенность вида Пусть: , . Тогда: | |
4. Замечательные пределы | 4.1. Первый замечательный предел (неопределенность В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность . Его различные формы: , , , , , , . |
4.2. Второй замечательный предел (неопределенность ): . Его различные формы: , , , , | |
| |
5. | 5.1. Неопределенность вида сводится либо к неопределенности типа 1 , либо к неопределенности типа 2 путем перемещения в знаменатель одного из сомножителей. Пусть , . Тогда: |
| |
| 6. , | 6.1. Неопределенности вида сводятся к неопределенности типа 5 |
infotables.ru
1 в степени бесконечность | Научные парадоксы Wiki
| ||
|
$ 1^\infty $ — это один из примеров математической неопределённости.
Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: $ 1^a=1 $. Следовательно, и $ 1^\infty=1 $. Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора филосовской фразой можно так, “ква! хрю!кря!”, это и есть та самая определенность …
и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс – нифига не парадокс, а фигня какая-то
Так почему же это является неопределённостью? Править
По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) $ \lim_{x\to \infty}{1^x}=\lim_{x\to \infty}{x \cdot 1^{x-1}} $. Но поскольку $ x=\infty $ (по условию), то одним из множителей второго предела является $ \infty $, что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, $ 1^\infty $ является неопределённостью, и это доказано.
scienceparadoxes.fandom.com
Ответы@Mail.Ru: А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность
Мистер Бонд, прочтите первый том “Курса дифференциального и интегрального исчисления” Г. М. Фихтенгольца. Ноль * Бесконечность – это неопределенность. Она сводится к неопределенности типа 0 / 0 или Бесконечность / Бесконечность, которые дальше можно раскрыть, например, применяя правила Лопиталя. Не хотите открывать Фихтенгольца – суньтесь в Яндекс. Вот ссылочка первая же по запросу “Неопределенность, Правило Лопиталя” <a rel=”nofollow” href=”http://www.mathelp.spb.ru/book1/lopital.htm” target=”_blank”>http://www.mathelp.spb.ru/book1/lopital.htm</a> Успехов в решении! И не забывайте о том, что Джеймс Бонд всегда находил решения самых трудных задач.
ноль… т.к. если любое число из этого бесконечного ряда чисел умножать на ноль, все равно будет 0…
к сожалению только ноль…
А что у нас “ноль”? Ноль величина абстрактная и в природе не имеющая места быть вообще.
А это смотря как умножать…
нуль. Нуль деленная на беск-ть=неопред-ть.
не слушай троечников – неопределенность, разумеется! И может получиться любое число в результате.
Иногда так хочется,чтоб ноль стал бесконечностью…
Это вы предел не доразложили. Непонятно какой ноль и какая бесконечность. Например: 1. Lnx/x при x стремящемся к бесконечности – 0 2. e^x/x при x стремящемся к бесконечности – бесконечность 3. sin2x/x при x стремящемся к 0 равно 2 Поэтому, прежде чем считать предел типа f(x)/g(x) при x стремящемся к x0 надо провести разложение в окрестности x0 обоих функций и после сокращения в числителе или знаменателе у вас останется константа – а далее все просто.
Это неопределенность.
Это неопределенность. Одна сорокомиллионная – это практически ноль, а сорок миллионов – почти бесконечность,их перемножить, что получится?Если мы не знаем точно о сорока миллионах или о восьмидесяти идет речь? Неопределенность.
Это неопределенность типа ноль умножить на бесконечность.
Сколько раз ни складывай ноль с нулем, ноль никогда не сдвинется с места, даже если бесконечное число раз. Это очевидно, поэтому результат всегда равен нулю. Другие числа могут получиться, если считать предел произведения функций, одна из которых стремится к нулю, а другая к бесконечности, в этом случае все зависит от их скоростей стремления к нулю или к бесконечности.
0 на бесконечность умножать нельзя т. к возьмем 0 0/0=бесконечность А 1/0= тоже бесконечность любое число даже 0 деленное на 0 будет бесконечность и число умножая на бесконечность будет неопределимость бесконечностью не имеет значения поэтому 0 * бесконечность нельзя а 0 на себя можно
touch.otvet.mail.ru
Ответы@Mail.Ru: Бесконечность в степени бесконечность
Два примера показывают, что здесь нет неопределенности: n^n –> oo, если n –> +oo, n^(-n) –> 0, если n –> +oo. В общем случае тоже либо 0, либо бесконечность.
Смотри, бывает “минус бесконечность”. Любое конечное число в степени “минус бесконечность” – это будет ноль. Поэтому если у тебя не определён знак бесконечности – то это неопределённость.
Любое число в степени бесконечность даст бесконечность. А бесконечность в степени бесконечность и подавно. Уточняю. Число более 1)).
Ясно, что бесконечность! Что-то вроде континуума по сравнению со счётным множеством. А вот “единица в степени бесконечность” – это условное обозначение неопределённости!
Это бесконечность. Потому что бесконечность в любой степени, кроме нулевой – всегда бесконечность. Есть классификация бесконечностей, введенная Георгом Кантором, но для вычисления пределов это неважно.
Бесконечности в числовом понимании – предельные понятия. Таким макаром, вопрос сводится к следующему: “чему равен lim xn^yn, если lim xn = бесконечность, lim yn = бесконечность”. Можно доказать этот факт и увидеть, что получится снова бесконечность. Впрочем, доказательство может быть нетривиальным.
touch.otvet.mail.ru
