Ду с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

14.01.197015.07.2021

Содержание

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x – только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения – .

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения – .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Таким образом, получили функцию – решение данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

Оба интеграла – табличные. Идём к решению:

Функция – решение уравнения – получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид

В таком уравнении и – функции только переменной

x, а и – функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения – дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть – дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение и получим

Почленно интегрируем:

откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем

или ,

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

Так как , то перепишем данное уравнение в виде

Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем

Почленно интегрируем:

Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй – табличный. Следовательно,

Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию .

или
.

Записываем производную y в виде и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную “игрека” в виде и получим

Разделяем “игреки” и “иксы”:

Почленно интегрируем и, так как в левой части “игрек” присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

Теперь по свойству логарифма имеем

Находим общее решение уравнения:

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию .

или
.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Поделиться с друзьями

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование: определение, задача Коши

п.1. Понятие дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое входят производные некоторой функции, а также может входить сама функция, независимая переменная и параметры.

2=19\) – ДУ первого порядка третьей степени
$\sqrt{y+1}=y’x$ – ДУ первого порядка первой степени

Самыми простыми для решения будут такие уравнения, у которых можно разделить переменные, т.е. собрать всё, что связано с функцией $y$, по одну сторону знака равенства, и всё, что связано с независимой переменной $x$, – по другую сторону.

Дифференциальное уравнение первого порядка $y’=f(x,y)$ называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию $f(x,y)$ можно представить в виде произведения двух функций $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$, по отдельности зависящих только от независимой переменной $x$ и только от функции $y$.

Например:
Уравнение $\sqrt{y+1}=y’x$ является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. $$ y’=\frac{\sqrt{y+1}}{x}=g(x)\cdot h(y),\ \ \text{где}\ g(x)=\frac1x,\ h(y)=\sqrt{y+1} $$

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными
На входе: уравнение первого порядка $y’=f(x,y)$, для которого $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$
Шаг 1. {\frac23}-1,\ x\geq 1\)

п.3. Закон радиоактивного распада

В многочисленных экспериментах по определению радиоактивности вещества был установлен следующий факт:

Число распадов ΔN, которые произошли за интервал времени Δt, пропорционально числу атомов N в образце.

Перейдем к бесконечно малым $dN$ и $dt$ и запишем соответствующее этому факту дифференциальное уравнение: $$ \frac{dN}{td}=-\lambda N $$ где знак «-» учитывает уменьшение числа атомов N со временем.
Полученное ДУ является уравнением с разделяющимися переменными.
Найдем его общее решение: $$ \frac{dN}{N}=-\lambda dt\Rightarrow\int\frac{dN}{N}=-\lambda\int dt\Rightarrow \ln N=-\lambda t+C $$ Пусть в начальный момент времени $t=0$ в образце было $N_0$ атомов.
Решаем задачу Коши, находим $C:\ \ln N_0=-\lambda\cdot 0+C\Rightarrow C=\ln N_0$
Подставляем найденное C в общее решение. Получаем: $$ \ln N=-\lambda N+\ln N_0\Rightarrow \ln N-\ln N_0=-\lambda t\Rightarrow\ln\frac{N}{N_0}=-\lambda t\Rightarrow\frac{N}{N_0}=e^{-\lambda t} $$

Закон радиоактивного распада
Количество атомов радиоактивного вещества убывает по экспоненциальному закону: $$ N(t)=N_0e^{-\lambda t} $$ где $N_0$ – начальное количество атомов вещества, $\lambda$ – постоянная распада, характеризующая вероятность распада в единицу времени.

За время $\tau=\frac 1\lambda$ число атомов радиоактивного вещества уменьшается в e раз.
За время $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$ (время полураспада) число атомов радиоактивного вещества уменьшается в 2 раза.

п.4. Зарядка конденсатора

Соберем цепь, состоящую из конденсатора C, резистора R, источника ЭДС E и ключа K.
Пусть в начальный момент времени конденсатор разряжен, напряжение на обкладках: $U(0)=0$
Замкнем ключ и начнем зарядку конденсатора.

По закону Ома для замкнутой цепи можем записать: $$ I(R+r_0)+U=\varepsilon $$ где $I$ – ток в цепи, $I(R+r_0)$ – падение напряжения на резисторе и источнике, $U$ – напряжение на конденсаторе, $\varepsilon$ – ЭДС источника.
Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=\frac{dq}{dt}=\frac{d(CU)}{dt}=C\frac{dU}{dt} $$ Подставляем: $$ C\frac{dU}{dt}\cdot (R+r_0)=\varepsilon-U $$ Получили ДУ с разделяющимися переменными: $$ \frac{dU}{\varepsilon-U}=\frac{dt}{C(R+r_0)} $$ Интегрируем (не забываем про минус перед U в знаменателе): $$ \int\frac{dU}{\varepsilon-U}=-\ln(\varepsilon-U),\ \ \int\frac{td}{C(R+r_0)} = \frac{t}{C(R+r_0)} $$ Общее решение: $$ \ln(\varepsilon-U)=-\frac{t}{C(R+r_0)}+B $$ где $B$ константа, которую мы обозначили так, чтобы не путать с емкостью. 4=\frac{1}{16} $$ в 16 раз.
Получаем: $$ m\left(4T_{\frac12}\right)=\frac{m_0}{16},\ \ m\left(4T_{\frac12}\right)=\frac{64}{16}=4\ \text{(г)} $$ Ответ: 4 г

Пример 4. Выведите зависимость $U(t)$ на обкладках конденсатора при его разрядке в RC-цепи.

Разрядка конденсатора происходит в цепи без источника ЭДС.
Пусть в начальный момент заряд на обкладках $U(0)=U_0.$
Замкнем ключ и начнем разрядку конденсатора.

По закону Ома для замкнутой цепи: $$ IR+U=0 $$ Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=\frac{dq}{dt}=\frac{d(CU)}{dt}=C\frac{dU}{dt} $$ Подставляем: $$ RC\frac{dU}{dt}=-U $$ Получили ДУ с разделяющимися переменными: $$ \frac{dU}{U}=-\frac{dt}{RC} $$ Интегрируем: $$ \int\frac{dU}{U}=\ln U,\ \ \int{dt}{RC}=\frac{t}{RC} $$ Общее решение: $$ \ln U=-\frac{t}{RC}+B $$ где $B$ константа, которую мы обозначили так, чтобы не путать с емкостью.
Начальное условие $U(0)=0$. {-\frac{t}{RC}} $$

Например, $при U_0=5В,\ RC=0,01 с$ график разрядки конденсатора имеет вид:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [wiki.eduVdom.com]

subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными

Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:

$$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy $$

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

$$ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy = C $$

Примеры

Пример 1. {3} $$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 7. $$ {y}’={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$

Решение:

Пример 8.

Решение дифференциального уравнения:

subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 — ¶

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Многие студенты спрашивают “Как найти решение дифференциального уравнения?” Ответ возможно неординарен, но что Вы знаете о дифференциальных уравнениях (ДУ), их типах, какие распространенные схемы вычислений ДУ? С этого нужно начинать.
Сферы применения дифференциальных уравнений были в общем очерчены на предыдущем уроке. Здесь речь пойдет об одном из самых простых (в плане вычислений) типов ДУ первого порядка среди всех возможных уравнений что Вас ждут. Начнем с базовых понятий теории которые Вы должны знать и мы будем использовать в терминологии. Для одних это не нужно, потому что они ищут готовые ответы по дифференциальным уравнениям и думают, что таким образом решат все проблемы. Но это ошибка, потому что не знание элементарных понятий по теории ДУ сравнимо с тем, что Вы пытаетесь говорить, предварительно не изучив звуки и алфавит.
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать формулой
N(х)dx+М(у)dy=0 (1)
называют уравнением с разделенными переменными.
Их не трудно обнаружить среди других уравнений, основной признак – множители при dx и dy являются функциями (константами), которые зависят только от х при множителе dx и у при dy.
Чтобы найти общее решение (общий интеграл) уравнения с разделенными переменными необходимо проинтегрировать уравнение (1)
Int(N(x), x) + Int(M(y),y) = С,

Для понимания дифференциальное уравнение (1) можно принимать, как условие равенства нулю полного дифференциала некоторой функции двух переменных U(x,y)

Отсюда следует что функция U(x,y)=С=const равна постоянной.
Дифференциальное уравнение вида
f₁(x)*g₁(y)dx+f₂(x)*g₂(y)dy=0 (2)
называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной форме.
В уравнении (2) коэффициенты при дифференциалах dx и dy является произведениями двух функций: одна зависит только от x, а вторая – от y. В области, где g1(y), f2(x) принимают отличные от нуля значения в уравнение с разделяющимися переменными (2) сводится к уравнению с разделенными переменными

Звучит как игра слов: разделенными, разделяющимися, однако между ними как видите есть маленькая разница, и теперь Вы ее знаете.
Рассмотрим типичные для практики задания на диф. уравнения первого порядка, которые в достаточно простой способ можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Имеем дифференциальное уравнение первого порядка, по теории его можно назвать уравнением с разделяющимися переменными или уравнением в дифференциалах. Для его упрощения сгруппируем слагаемые, содержащие dx, dy по разные стороны знака равенства

Далее выделим общие множители для каждой суммы и перепишем уравнение в дифференциалах в форме

После этого все, что содержит y переносим к dy, то же самое проделываем с множителями которые содержат переменную x.
В результате придем к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

Теперь посмотрите почему данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными? – Возле dx имеем функцию зависимую только от “икс”, у dy – только от y.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение

Выносим множители, чтобы при переменной в знаменателе стояли единицы. Также, чтобы в числителе получить дифференциалы знаменателя умножаем обе части на 2

Это позволяет упростить вычисления интеграла ДУ (после интегрирования получить логарифмы)

Константу рекомендуем внести в логарифм, для этого записывайте всегда ее в виде C₁=ln(C)

Чтобы раскрыть логарифмическое уравнение экспонируем (находим экспоненту) правую и левую сторону зависимости
(3)
Также выделяем значение функции

Конечная запись имеет двойной корень и является общим решением уравнения с разделяющимися переменными. Это не совсем хороший тон подавать ответ, лучше решение оставить в виде формулы (3), только тройку перенести в правую сторону.

Пример 2 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение:Имеем уравнение в дифференциалах первого порядка. Разделим в уравнении переменные, содержащиеся при dx, dy и перенесем их по разные стороны знака равенства

С первых скобок выносим общий для двух слагаемых множитель y за скобки

Далее разделим множители так, чтобы при dy получить функцию только от y, а при dx – функцию аргумента x. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

После интегрирования

получим корневую зависимость для y и арктангенс в результате вычисления интеграла по аргументу (правая сторона).

Общий интеграл можем оставить в такой форме или перенести артангенс в левую часть зависимости.
Так же можем записать решение дифференциального уравнения в виде зависимости y(x) (явном виде). Для этого возведем обе части к квадрату

и перенеся сталую в правую сторону, вычислим корень квадратный

Это и есть искомое решение дифференциального уравнения.

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Данное ДУ первого порядка необходимо свести под правило решения уравнений с разделенными переменными. Для этого второе слагаемое, что со знаком минус, переносим в правую сторону от знака равенства

и разделяем переменные

Проинтегрируем левую и правую сторону зависимости

В результате придем к логарифмическому уравнению вида

И снова обращаем Ваше внимание на то что в таком виде как правило не записывают.
Целесообразно, для компактности конечного решения, постоянную вносить под логарифм, то есть в форме

Взяв экспоненту от правой и левой части формулы придем к конечному виду решения дифференциального уравнения

Как Вы могли убедиться примеры достаточно просты, методика вычислений ДУ з разделенными переменными легкая для изучения.

Пример 4 Решить дифференциальное уравнениеРешение: Одно из слагаемых (не содержит производной) переносим за знак равенства

и записываем уравнение в дифференциалах..

Следующим шагом сводим зависимость к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Для заданного уравнения всего лишь перекрестным делением записываем корни в знаменатели

В таком виде можем интегрировать уравнения

Левая сторона содержит функцию которая при иртегрировании даст корневую зависимость, для правой стороны по формулам получим арксинус.

Выполняем манипуляции с корнем, чтобы получить зависимость вида y=y(x)

Решение дифференциального уравнения будет иметь вид

На этом вводный урок закончен и основные выводы Вы должны сделать самостоятельно.
Для закрепления темы рекомендуем самостоятельно решить несколько из следующих примеров.

Хотите верьте, а хотите – нет, но это самый простой тип дифференциальных уравнений, с которым Вам придетсяиметь дело на контрольной, экзаменах, практических занятиях, модулях. Это можно сказать важнейшая часть, поскольку сложные дифференциальные уравнения придется упрощать и сводить к уравнениям с разделенными переменными.
Схему вычислений должны заучить и знать на зубок – это один из основных методов решения сложных примеров на диф. уравнения.

2. 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , разрешенное относительно первой производной. Предположим, что функция непрерывна на некотором интервале . Задача нахождения решений дифференциального уравнения в данном случае решается с помощью понятия неопределенного интеграла . Поскольку все первообразные отличаются одна от другой на постоянную , то любое решение уравнения можно записать в виде . Здесь в качестве первообразной выбран интеграл с переменным верхним пределом , который всегда существует для непрерывных функций.
Построенное множество функций является общим решением данного дифференциального уравнения. Действительно, если взять производную от любой функции , то
,
Т. е. функция при любом значении произвольной постоянной является решением.
Задачу Коши для данного уравнения можно формулировать для тех точек Открытого множества , которые лежат внутри естественной области определения правой части дифференциального уравнения , т. е. .
Множество есть область на плоскости , а функция двух переменных непрерывна на этой области . Частная производная по переменной на этой области равна нулю, так как .
Таким образом, множество можно выбрать как область , в которой данное уравнение имеет единственное решение задачи Коши.
Отсюда, для начальных значений решение задачи Коши единственно и получается из построенного общего решения при значении .
Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид неопределенного интеграла , где – любая первообразная функции , – произвольная постоянная, или вид , где – интеграл с переменным верхним пределом.
Решение задачи Коши данного дифференциального уравнения имеет вид . Оно существует и единственно на интервале .
Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в Дифференциальной форме и имеет вид . В этом уравнении левая часть зависит только от переменной , а правая – только от переменной . Такие дифференциальные уравнения называют Уравнениями с разделенными переменными.
Предположим далее, что функции , непрерывны на некоторых интервалах , И имеют там первообразные, . Тогда можно проинтегрировать левую часть уравнения по переменной , а правую часть – по переменной и получить общий интеграл дифференциального уравнения в виде . Произвольную постоянную можно включать как в левую часть общего интеграла, так и в правую часть, стараясь представить общее решение в достаточно компактном виде.
В предположении, что функция Не равна нулю на интервале , представим данное уравнение в виде, разрешенном относительно производной , а именно . Множество существования и единственности решения задачи Коши будем строить по определению, т. е. как открытое связное множество, где правая часть и производная правой части непрерывны.
Пример. Решить уравнение с разделенными переменными .
Интегрируем левую и правую части данного уравнения и получаем общий интеграл уравнения в виде .
Представим данное уравнение в виде, разрешенном относительно производной . Правая часть непрерывна на всей плоскости , производная правой части также непрерывна на всей плоскости . Из теоремы Коши следует, что начальную точку Можно выбирать любой. Возьмем, в частности . Тогда, подставляя выбранные начальные значения в общий интеграл, получим . Отсюда решение данной задачи Коши будет иметь вид .
Уравнения с разделенными переменными в чистом виде встречаются довольно редко. Однако существуют так называемые уравнения с разделяющимися переменными, которые можно привести к уравнениям с разделенными переменными.
Пусть в дифференциальном уравнении Правая часть представлена в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. дифференциальное уравнение имеет вид .
В предположении, что , это уравнение можно представить в виде уравнения с разделенными переменными И решить его по предложенной ранее схеме.
Может оказаться, что обычное уравнение имеет хотя бы один действительный корень . В этом случае постоянная функция является решением исходного дифференциального уравнения, что проверяется непосредственной подстановкой. Это решение могло быть потеряно при делении на функцию И должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение с разделяющимися переменными .
Разделяя переменные, мы придем к уравнению . После интегрирования левой и правой части уравнения с разделенными переменными получаем общий интеграл уравнения в виде . Для удобства потенцирования преобразуем решение к виду , а произвольную постоянную представим в логарифмической форме, положив . Тогда и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде . Так как параметр может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то множество решений вида совпадает с множеством решений более простого вида .
Поделив левую и правую части общего интеграла на функцию косинуса, получим окончательно общее решение исходного дифференциального уравнения в виде .
В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию , в результате чего могло быть потеряно решение . После подстановки функции в исходное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение Можно включить в общее решение , введя вместо параметра параметр , принимающий любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим общее решение данного уравнения в виде .
Пример. Решить уравнение с разделяющимися переменными .
Разделяя переменные при, мы придем к уравнению . После интегрирования получаем общий интеграл уравнения в виде и, соответственно, равносильное ему общее решение в виде. При делении обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию было потеряно решение . Это решение не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной, поэтому оно должно быть отдельно добавлено к общему решению и войти в полное множество решений дифференциального уравнения.
Покажем, что решение является особым. В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество .
Учитывая требование связности множества , обычно выбирают область состоящей только из тех точек плоскости, которые лежат строго выше или строго ниже оси . Таким образом, все точки плоскости, задаваемые уравнением , являются особыми, а решение есть особое решение.
В тех случаях, когда требуется решить задачу Коши вида ,
, при условии, что функции , являются непрерывными, удобно частный и общий интегралы дифференциального уравнения при Представлять в виде:
, ,
Где в каждой формуле слева и справа от знака равенства в качестве первообразных выбраны интегралы с переменным верхним пределом.
Пример. Решить задачу Коши вида .
Разделяя переменные при , мы придем к уравнению . После интегрирования получим частный интеграл уравнения в виде . После преобразования частного интеграла можно получить частное решение в виде .
При стремлении переменной к значению знаменатель частного решения стремится к нулю, а само решение стремится к бесконечности. Этот пример показывает, что при выполнении условий теоремы Коши гарантируется существование ограниченного решения только в малой окрестности начальной точки.
Область существования и единственности решения задачи Коши в нашем примере совпадает с множеством всех точек плоскости. Непосредственная проверка показывает, что функция Является решением. Так как у рассматриваемого уравнения нет особых точек, то оно не может иметь и особых решений, поэтому решение не особое.
Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в Дифференциальной форме и имеет вид . В этом уравнении в левой и правой частях стоят функции, представленные как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной или.
В предположении, что , это уравнение можно поделить на произведение и представить в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными , которое решается по предложенной ранее схеме.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, представленное в дифференциальной форме .
В предположении, что , это уравнение можно поделить на произведение и представить в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными . Проинтегрировав это дифференциальное уравнение с разделенными переменными, находим его общий интеграл в виде
В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию , в результате чего могли быть потеряны решения , . После подстановки функций , в исходное уравнение, мы убеждаемся, что , действительно являются решениями. Эти решения должны быть включены в множество всех решений дифференциального уравнения.
Проверим, являются ли эти решения особыми. Для этого запишем наше дифференциальное уравнение в канонической форме . Множество точек плоскости, таких что входит в множество особых точек нашего уравнения. Найдем далее те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество точек плоскости вида .
Окончательно, область равна множеству , а, соответственно, множество особых точек равно .
Решение целиком состоит из особых точек, и по определению является особым. Решение не состоит из особых точек и, соответственно, не является особым. Подчеркнем, что оба решения должны быть включены в множество всех решений дифференциального уравнения.
Пусть дифференциальное уравнение имеет следующий вид:
,
Где параметры есть некоторые числа. Это уравнение путем замены Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, . Отсюда можно получить уравнение с разделенными переменнымиОтносительно переменных . Решая это уравнение и выполняя обратную подстановку, получаем общий интеграл исходного уравнения.

< Предыдущая Следующая >
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство морского и речного транспорта
ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА ИМЕНИ Г. Я. СЕДОВА
– филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АДМИРАЛА Ф.Ф. УШАКОВА»
Колледж
Учебное пособие по дисциплине «Математика»
Тема: Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными
Выполнила: Голенкова Ирина Александровна
2019 год
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Определение:
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции или её дифференциалы.
Например: 1). ; 2). ; 3). ; 4). y^‘=1;
5).
Порядок дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение может содержать первую производную и производные высших порядков или дифференциалы.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение. Так, дифференциальные уравнения 1),3),4)- первого порядка; 2) и 5)- второго порядка.
Решение дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.
Пример1.Проверить является ли функция решением дифферен-
циального уравнения
Решение. Подставляем значение функции y в уравнение и находим производную, убеждаясь в том, что уравнение обратилось в тождество:
, Следовательно, данная функция является решением дифференциального уравнения.
Пример 2.Проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Решение.Сократив на произведение , получим следовательно, функция является решением дифференциального уравнения.
Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к простым дифференциальным уравнениям.
Пример 1.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; -5), зная, что наклон касательной к кривой в каждой её точке равен .
Решение.Зная,что наклон касательной определяется тангенсом угла наклона и что это определяет геометрически производную функции, условие можно
записать так: Это и есть дифференциальное уравнение.
Нам следует найти первообразную функцию, вычисляя неопределенный интеграл:
Находим С по начальным условиям. Подставляем вместо его значение -5, вместо подставляем 1: -5=1- +С; С= -5-1+ = -5.
Получаем уравнение:5. Найденную функцию подставить в дифференциальное уравнение Она обязательно обратит его в тождество.
Пример 2.Найти закон движения тела s(t), если его скорость задаётся функцией v=3t².
Решение.Так как скорость – это первая производная от пути , то мы получаем дифференциальное уравнение или = 3t².
Чтобы найти путь s, интегрируем обе части уравнения:
= 3t², ds=3t²dt, s=t³+C.
Общее и частное решение дифференциальных уравнений.
Определение: Решение, в котором подставлено частное значение произвольной постоянной С, называется частным решением дифференциального уравнения.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.Так, в примере 1 найдено частное решение 5 а в примере 2 – общее решение s=t³+C.
Если взять дифференциальное уравнение n-ого порядка, то общее решение дифференциального уравнения содержит nпроизвольных постоянных.
После изучения этого материала предлагается устно ответить на контрольные вопросы и выполнить тесты в картах контроля (Приложение 1).
Контрольные вопросы.
Какое уравнение называется дифференциальным?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?
Что называется общим решением дифференциального уравнения?
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
Как определяется порядок дифференциального уравнения?
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Определение: Дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными называется уравнение вида g(y)dy=f(x)dx, где g(y) – функция одного переменного y, f(x) – функция одного переменногоx.
Пример 1.2ydy=3x²dx.
Решение.В этом уравненииg(y)=2y, f(x)=3x².Интегрируем обе части уравнения: y²=x³+C. Получим общее решение дифференциального уравнения. Это решение можно записать в явной форме , но обычно решения, полученные в неявной функции, или оставляют в той форме, как оно получилось либо переписывают в виде y²-x³=C. Если решение получилось в неявной форме, то проверка такого решения необязательна, так как она может привести к сложным вычислениям.
Пример 2.=
Решение., lny=ln(x-1)+C , так как С- произвольная постоянная величина, то можно для удобства записи вместо С написать lnС, а затем потенцировать lny=ln(x-1)+lnC, y=C(x-1).
Пример 3.Найти частное решение дифференциального уравнения dy=(x²-1)dx, если при x=1 y=4.
Решение.=y=–x+C, 4= -1+C, C=4 .
Ответ: y=–x+4 .
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, так как вся предварительная работа для усвоения учащимися нового материала проведена.
Определение: Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть приведено к виду g(y)dy=f(x)dx, где g(y) – функция одного переменного y, f(x) – функция одного переменногоx.
Преобразования, с помощью которых дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными приводят к виду g(y)dy=f(x)dx, называется разделением переменных. Операции, которые надо проводить для разделения переменных, зависят от того, в каком виде задано уравнение.
Пример 1.Найти общее решение дифференциального уравнения
3dy-y²dy+xdx=0.
Решение.Чтобы произвести разделение переменных, надо сгруппировать члены с dx и записать полученные функции в разных частях равенства: y²dy=(3+x)dx. Получили уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем: , =3x++C, 3xC .
Пример 2.Найти общее решение дифференциального уравнения
1+
Решение.Заменим на: .
Умножим все члены на:
Сгруппируем члены с :
.
Запишем полученные функции в разных частях равенств:
Чтобы получить уравнение в виде g(y)dy=f(x)dx, надо обе части равенства разделить на произведение Получим уравнение
= , где переменные разделены. Решим полученное уравнение: , ln(1+y)=lnx+lnC, 1+y=Сx, y=Сx-1.
Сделаем проверку: 1+Сx-1-xСx- Сx=0.Получили тождество, следовательно, функция y=Сx-1 является решением дифференциального уравнения.
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , если при
Решение.Заменим на :=2+y. Умножим все члены на:
. Сгруппируем члены с :
Чтобы разделить переменные, разделим обе части равенства на (2+y): . Проинтегрируем: ; ln(2+y)=x+lnC.
Если в ответе все члены, кроме одного, являются логарифмами, то, чтобы можно было потенцировать, надо и его выразить через логарифм, используя тождество a=lne^a. Так как lne^a=alne, но lne=1, следовательно,lne^a=a.
В нашем примере выразим x через логарифм:x=lne^x. Тогда получим:ln(2+y)=lne^x+lnC. Потенцируем: 2+y=Ce^x, y= Ce^x-2.
Получили общее решение дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, подставляем в общее и определяем С:
3=Ce⁰-2, e⁰=1, 3=С-2, С=5.Ответ: y= 5e^x-2.
Из рассмотренных примеров видно, что для решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными надо привести их к уравнению с разделенными переменными.
Для разделения переменных надо в зависимости от вида уравнения проделать следующие операции (может быть не все):
Производные функции заменить её дифференциалами;
Сгруппировать члены с одинаковыми дифференциалами и записать их в разных частях равенства;
Поделить или умножить обе части равенства на такие выражения, чтобы все функции стояли при «своих» дифференциалах, т. е. привести уравнение к виду g(y)dy=f(x)dx;
Проинтегрировать обе части равенства.
Изучив этот раздел, предлагаем ответить на контрольные вопросы и приступить к выполнению заданий тестов карт контроля (Приложение 2).
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными?
2. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными?
3. Что надо делать, чтобы разделить переменные?
Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
. В нем в левой части стоит функция , зависящая только от переменной , а в правой — функция , зависящая только от переменной . Такое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделенными переменными.
Для нахождения решения такого уравнения достаточно взять интеграл от обеих частей:
.
Пример №38. 4.
Найдите решение дифференциального уравнения:
.
Решение:
Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:
. Тогда
— общее решение дифференциального уравнения .
Ответ:
.
Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду
, то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для решения такого уравнения необходимо:
Если в уравнении встречается , то представить его как .
Произвести разделение переменных (в одной части при собрать выражения, содержащие только переменную ; в другой части при собрать выражения, содержащие только переменную ).
Почленно проинтегрировать уравнение с разделенными переменными.
Пример №38.5.
Найдите решение дифференциального уравнения:
.
Решение:
Данное уравнение — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим
, тогда или .
Будем собирать множители с
в левой части, с — в правой: .
Интегрируя обе части, получим:
или — общее решение.
Ответ:
.
Замечание. Иногда при нахождении решения дифференциального уравнения, каждое слагаемое которого представляет собой натуральный логарифм, в качестве константы можно выбирать
. Такую операцию можно было бы произвести в примере 38.5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имело бы вид: . Применим свойства логарифма: или . Откуда можно заключить, что . Этот прием особенно эффективен при решении задачи Коши.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Предмет высшая математика
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
2 + C} \ end {уравнение *}
является решением исходного дифференциального уравнения для любого значения \ (C \ text {. 2 + C} \) для некоторой константы \ (C \ text {.2 + 8} \ текст {.} \ end {уравнение *}
Почему метод разделения переменных для PDE оправдан
Техника разделения переменных для решения уравнений в частных производных выглядит волшебным трюком, когда вы впервые видите ее. Лектор или автор, если вы в большей степени самоучка, делает смелое предположение, например вытаскивает кролика из шляпы, и это срабатывает.
Например, вы можете сначала увидеть уравнение теплопроводности
u _t = c ² u _xx.
Профессор просит вас предположить, что решение имеет вид
.
u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ).
, то есть решение может быть разделено на произведение одной функции x и одной функции t .
После этого вы можете увидеть уравнение Лапласа на прямоугольнике
u _xx + u _yy = 0
при аналогичном предположении, что
u ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ),
и.е. произведение одной функции x и одной функции y .
Есть несколько возможных ответов на это предположение.
Как скажешь, док.
Как вы можете это предположить?
Откуда вы знаете, что не упускаете ни одной возможности?
Что заставило кого-то подумать попробовать это?
Как и многие другие вещи, разделение переменных вызывает наибольшее беспокойство у умеренно продвинутых студентов.Наименее искушенные ученики не обеспокоены, а самый искушенный ученик может предоставить свое собственное оправдание (по крайней мере, постфактум).
Один из ответов на вопрос (2): «Потерпи меня. Я покажу, что это работает ».
Другой ответ: «Хорошо, как насчет того, чтобы предположить, что решение представляет собой сумму таких функций. Это гораздо более обширное пространство для изучения. И, кроме того, мы, – , собираемся принять множество таких решений за несколько минут ». Можно утверждать, исходя из функционального анализа или теории приближений, что суммы отделимых функций плотны в разумном пространстве функций [1].
Это убедительное объяснение, но в некотором роде анахронизм: большинство студентов видят разделение переменных задолго до того, как они увидят функциональный анализ или теорию приближений. Но это был бы удовлетворительный ответ для того, кто видит все это во второй раз. Возможно, они столкнулись с разделением переменных еще на бакалавриате, а теперь проходят курс повышения квалификации по PDE. В классе бакалавриата профессор мог сделать небольшое предсказание, давая студентам представление о теории приближения.
В этом случае легче доказать наличие решений, чем уникальность, потому что вы можете конкретно построить решение. Это восходит к оправданию «это работает». Этот аргумент заслуживает большего уважения, чем мог бы выразить его второкурсник. Математические исследования не так похожи на дедуктивное и математическое образование. Часто приходится делать вдохновляющие предположения, а затем показывать, что они работают.
Для ответа на вопрос (3) необходимо сказать кое-что об уникальности. Профессор может просто утверждать, что существуют теоремы уникальности, которые позволяют перейти от «я нашел что-то, что работает» к «, и поэтому это должно быть единственное, что работает».Или можно набросать теорему единственности. Например, вы можете применить принцип максимума, чтобы показать, что разница между любыми двумя решениями равна нулю.
Вопрос (4) в некотором смысле является наиболее интересным. Это не математический вопрос как таковой , а вопрос о том, как люди занимаются математикой. Я не знаю, что происходило в голове у того, кто первым попытался разделить переменные, и даже не знаю, кем был этот человек. Но можно предположить, что обыкновенные дифференциальные уравнения проще, чем уравнения в частных производных.Как можно свести PDE к ODE? Что ж, если бы решение можно было разложить на функции одной переменной,…
В следующем посте будет показано использование разделения переменных при решении волнового уравнения на диске.
Похожие сообщения
[1] Еще есть потрясающая теорема Колмогорова-Арнольда. Эта теорема утверждает, что любую непрерывную функцию нескольких переменных можно записать как сумму непрерывных разделимых функций. Он не говорит, что вы можете сделать функции в сумме гладкими, но предполагает, что суммы разделяемых функций более выразительны, чем вы могли представить.
Решите разделимые дифференциальные уравнения – метод разделимых переменных
Это просто «Разделение переменных». Разделение позволяет вам переписать дифференциальные уравнения так, чтобы добиться подобия мер между двумя интегралами, которые мы можем оценить. Сепарабельное уравнение – это фактически дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно сразу решить с помощью этой техники.
Напишите разделимые дифференциальные уравнения
Функция двух независимых переменных называется разделимой, если ее можно продемонстрировать как произведение двух функций, каждая из которых основана только на одной переменной.Итак, разделимое дифференциальное уравнение можно записать в виде \ [\ frac {dy} {dx} = f (x) g (y) dx dy = f (x) g (y) \].
Разделить и интегрировать: сила C
Этот процесс выполняется всего за 3 простых шага:
Шаг 1: Приведите все произведения «y» (включая dy) к одной стороне выражения и все «x» члены (включая dx) с другой стороны уравнения.
Шаг 2: Интегрируйте одну сторону относительно «y», а другую сторону относительно «x». Не забывайте “+ C” [постоянная интегрирования]
Шаг 3: Упростите
Решите дифференциальные уравнения методом разделения переменных
Как решить разделимые дифференциальные уравнения не так сложно, как кажется, особенно, если вы разбирались в теории дифференциальных уравнений.
Теперь вы найдете подробные решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных. На основе f (x) и g (y) эти математические выражения могут быть решены систематически.
Example1
Найдите общее решение дифференциального уравнения.
y ‘= 3 eyx 2
Решение
Вам необходимо сначала переписать уравнение обеспечения в форме дифференциального уравнения и с изолированными (разделенными) переменными, причем x на одной стороне, а y на другой стороне, как показано ниже. .
e -y dy = 3 x 2 dx
Объедините обе стороны
ò e -y dy = ò 3 x 2 dx
, который представляет вам
-e -y + C1 = x 3 + C2, C1 и C2, которые являются постоянными интегрирования.
Теперь решите указанное выше уравнение относительно y
y = – ln (- x 3 – C), где C = C2 – C1.
Затем убедитесь, что полученное решение удовлетворяет приведенному выше дифференциальному уравнению.
Example2
Найдите и решите дифференциальное уравнение, используя метод разделяемых переменных e (x² + 4) y ′ = 2xy.
Решение
Произведение xy с обеих сторон не позволяет изолировать (разделить) переменные. Следовательно, делаем замену:
xy = tory = tx.
Подключение дифференциалов осуществляется по схеме
dy = xdt − td x x².
Подставляя это в выражение, мы можем записать в форме:
tx (1 + t) dx = x (1 − t) x dt – td x x².
Затем, умножая каждую из сторон на x и затем отбрасывая коррелирующие дроби справа и слева, получаем
t (1 + t) dx = (1 − t) (xdt − tdx).
Обратите внимание, что x = 0 является решением уравнения, которое можно проверить прямой заменой.
Теперь, упрощая последнее упомянутое уравнение:
tdx + t²dx = xdt – tdx – xtdt + t²dx, ⇒2tdt = x (1 − t) dt.
Теперь переменные x и t разделены:
2dxx = (1 − t) dtt или 2dxx = (1t − 1) dt.
После интегрирования получаем
2 ∫dxx = ∫ (1t − 1) dt + C, ⇒2ln | x | = ln | t | −t + C, ⇒lnx² = ln | t | −t + C.
Вызывая обратную замену t = xy, вы обнаруживаете общее решение уравнения:
lnx² = ln | xy | −xy + C, ⇒ln∣∣∣xyx²∣∣∣ − xy + C = 0, ⇒ ln∣∣yx∣∣ − xy + C = 0.
Наконец, полное решение записывается в виде:
ln∣∣yx∣∣ − xy + C = 0, x = 0.
Узнать, разделимы ли следующие дифференциальные уравнения?
По правилу разделимости дифференциальное уравнение первого порядка называется разделимым уравнением, при условии, что после его решения относительно производной
dy
dx
= F (x, y),
Далее, правая -ручная сторона может быть разложена (разделена) как «формула, состоящая только из x», умноженная на «формулу, состоящую только из y»,
F (x, y) = f [x] g [y]
Если вы заметите, что это факторинг невозможен, уравнение не разделимо.
Короче говоря, дифференциальное уравнение первого порядка называется разделимым тогда и только тогда, когда оно может быть записано в форме: –
dy
dx
= f [x] g [y)], в котором f и g – определенные функции.
Fun Facts
ü разделение переменных также известно как метод Фурье в математике
ü Важнейшие логистические дифференциальные уравнения также разделяются
ü Закон охлаждения Ньютона способствовал продолжению разделимых дифференциальных уравнений
ü частных производных Метод разделения переменных уравнений используется, когда дифференциальное уравнение в частных производных и граничные ситуации являются линейными и однородными.
ü «Постоянная интегрирования» предоставляет только семейство функций, которое дает общее решение при решении дифференциального уравнения.
ü Всегда нужно добавлять константу при нахождении неопределенного интеграла. Просто можете проигнорировать это
ü Вы сможете найти решения конкретных разделимых дифференциальных уравнений, разделив переменные, интегрировав по t и, наконец, решив полученное алгебраическое уравнение относительно y.
ü Разделимое дифференциальное уравнение позволяет нам эффективно решать многие важные физические явления, которые происходят в окружающем нас мире. Например, проблемы роста и распада.
Необходимы антидифференцировка и домен
Люди часто думают, что для нахождения решений дифференциальных уравнений нужно просто найти первообразную, а затем использовать начальное условие для оценки константы. Хотя это дает начало поиску решений проблем с начальным значением, необходимо также учитывать область вашего конечного результата. Иногда эти соображения очевидны, как в AB6 из экзамена AP 2000 г., решение которого приведено ниже.
Пример 1
Решение получается путем разделения переменных и нахождения первообразной как, или, если для этого требуется, чтобы x ³ + C всегда было положительным,.
Выбор C = e / 2 позволяет удовлетворить начальное условие, и у нас есть решение этой проблемы начального значения. (1/3), является естественным условием для определения функции логарифма, поэтому он включает начальное значение и избегает сингулярности.
Однако поиск решений задач начального значения для разделимых дифференциальных уравнений не всегда должен быть таким простым, как мы видим в следующих четырех примерах.
Пример 2
В качестве первого такого примера рассмотрим задачу начального значения:
Все первообразные могут быть записаны как,
(1)
и если C = 2, начальное условие выполнено. Однако, даже если эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и задаче начального значения, она НЕ является решением этого дифференциального уравнения.Решение:
(2)
Причина этого в том, что обычное определение решения дифференциального уравнения – это определение дифференцируемой функции на открытом интервале, который содержит начальное значение x . Обратите внимание, что функция в (1) также определена для x > 0, в то время как наше решение должно быть непрерывным на открытом интервале, содержащем начальное значение x = -1. Таким образом, область нашего решения не может содержать x = 0 или положительные значения, но должна включать x = -1.Это требует, чтобы домен был открытым интервалом.
Пример 3
В качестве второго примера, где нам нужно быть осторожными, рассмотрим проблему начального значения:
Разделение переменных дает, а поиск первообразных дает y ³ = x + C .
(3)
Выбор C = 0 удовлетворяет начальному условию. Обычно нам нравится находить явные решения, поэтому решение для y ( x ) дает.
(4)
Мы замечаем, что эта функция не имеет производной при x = 0, поэтому мы должны добавить условие x > 0 к нашему уравнению в (4), чтобы оно включало x = 1 и было решением нашей исходной задачи начального значения. Таким образом, область для нашего решения в (4) равна. Если бы наше начальное условие было y (-1) = -1, нашим решением было бы (4) с доменом.
Пример 4
В качестве другого примера, где нам нужно ограничить область нашего решения, рассмотрим:
Если мы разделим переменные и найдем первообразные, мы получим arcsin ( y ) = x + C .
(5)
Выбор C = -1 позволяет удовлетворить начальное условие. Если мы найдем явное решение, решив для y , мы найдем y ( x ) = sin ( x – 1),
(6)
, и это представляет проблему. Из нашего исходного дифференциального уравнения и поля наклона на рисунке 1 ниже мы видим, что наше решение никогда не должно иметь отрицательного значения для своей производной, тогда как наше решение в (6) является колебательным.Проблема возникла, когда мы решили уравнение (5) для y ( x ). В (6) нам нужно ограничить область нашего решения интервалом длиной π , который включает наше начальное значение и на котором начальный синусоидальный граф увеличивается.
Таким образом, правильное решение нашей проблемы:
.
Обратите внимание, что этот домен также может быть записан как.
Пример 5
В качестве последнего примера, иллюстрирующего необходимость ограничения области определения первообразной, чтобы она была решением дифференциального уравнения, рассмотрим:
Разделение переменных и поиск первообразных дает,
(7)
, поэтому начальное условие выполняется, если C = -2.Решение (7) для y ( x ) дает.
(8)
Мы замечаем, что (8) верно для всех x , не равных 2, и что это решение будет иметь отрицательные наклоны для x > 2, в то время как наше исходное дифференциальное уравнение требует неотрицательных наклонов везде. (Посмотрите на поле наклона на Рисунке 2 ниже, также это демонстрирует.)
Мы столкнулись с этой проблемой, когда возводили обе части (7) в квадрат, чтобы получить наше явное решение.Поскольку левая часть (7) всегда отрицательна, мы должны ограничить правую часть до x + C <0. Таким образом, нам нужно добавить условие x <2 к нашему решению в (8).
Обратите внимание, что мы не можем рассматривать x > 2 в любом случае, поскольку домен должен быть открытым интервалом, содержащим наше начальное значение x = 0, и не включать x = 2, где решение не определено. Этот пример показывает, что мы не можем продолжить решение через разрыв, даже если полученная функция формально удовлетворяет дифференциальному уравнению на другой стороне разрыва.
Заключение
Итак, что мы можем сделать из этих примеров?
Процесс получения явного решения из неявного решения может привести к неправильному решению нашей задачи начального значения.
Могут быть значения x , когда производная явного решения не существует, даже если она формально удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Чтобы избежать этих ошибок, мы всегда можем проверить, является ли явное решение таким, что:
Для всех частей области производная явного решения не противоречит исходному дифференциальному уравнению.(Сравнение поля наклона дифференциального уравнения с графиком явного решения покажет любые различия.)
Его производная существует для всех значений в своей области.
Для получения дополнительной информации см. Разделы 1.1 и 2.4 Ломена и Лавлока, Дифференциальные уравнения: данные, модели и графика , Джон Вили и сыновья, 1999.
Вклад Ларри Риддла, Бена Кляйна и Дэвида Брессуда в эту статью был очень признателен.
Дэвид Ломен преподает математику в течение 45 лет и в настоящее время является заслуженным профессором Университета Аризоны. Он много лет работал читателем AP и консультантом по семинарам, а в настоящее время является членом комитета по развитию расчетов AP. Он является автором или соавтором 39 научных статей по прикладной математике, 17 учебных статей и 6 учебников (по алгебре, исчислению, дифференциальным уравнениям и линейной алгебре). Он также провел более трех десятков семинаров по обучению математическим вычислениям и обучению с использованием технологий и был председателем Национального консультативного комитета по системным проектам повышения квалификации в штате Монтана и Содружество Пуэрто-Рико.
Почему допустимо разделение переменных?
Один из наиболее сбивающих с толку аспектов последовательности исчисления касается записи Лейбница для производной:. Это действительно похоже на дробь. Но мы говорим нашим студентам, что на самом деле это не мелочь. Но иногда мы рассматриваем их как переменные, так почему бы не быть дробью? Неудивительно, что это сбивает с толку.
На мой взгляд, метод разделения переменных, который используется для решения дифференциальных уравнений, является наиболее запутанной темой по этому вопросу в последовательности исчисления.В этом посте я объясню, почему разделение переменных действительно.
Предположим, у вас есть дифференциальное уравнение
Записываем его как
.
Мы неявно предполагаем, что это функция здесь, когда мы пишем, поэтому давайте сделаем это явно:
Теперь объедините обе стороны относительно:
Если мы выполняем замену переменной for в левой части (т. Е. Используем метод интегрирования с помощью замены), мы заменяем на.Это дает
, которая представляет собой формулу разделения переменных. Таким образом, разделение переменных действительно следует прямым путем от интегрирования путем подстановки.
Аргумент предполагает, что интегрирование путем подстановки допустимо. По общему признанию, интеграция путем подстановки – еще один из тех случаев, когда кажется, что мы рассматриваем как переменную, но, похоже, не вызывает столько подозрений, как разделение переменных. (Обоснование интегрирования подстановкой исходит из цепного правила и фундаментальной теоремы исчисления.)
(Этот аргумент в основном взят из моего ответа на вопрос math.SE
«Что я делаю, когда разделяю переменные дифференциального уравнения?» Я впервые увидел аргумент в тексте Бланшара, Девани и Холла [1] по дифференциальным уравнениям.)
Для хорошего обсуждения проблем и истории, связанных с нотацией, трудно найти лучший ответ, чем авторитетный ответ Артуро Маджидина на вопрос «Разве не соотношение?» по математике.