Если предел стремится к нулю: Что такое предел функции как его найти

Содержание

Что такое предел функции как его найти

При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.

А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.

Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется “доопределить функцию”, с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы “Предел”). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину – последовательность сумм их диаметров:

Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен

h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

Предел функции при

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

   (1)

сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

   (2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Пример 1. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к

A.

Символически это записывается так: ().

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Пример 2. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

.

Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.

А проверить решение задачи на пределы можно на

калькуляторе пределов онлайн.

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю,

т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Пример 3. Найти предел:

Решение.

 

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 4. Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 5. Найти предел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где

 

корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида – самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений

квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Освоим эти приёмы на примерах.

Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Неопределённость вида

Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо

n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или “супермалому числу”.

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем “икс” под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо “икса”.

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Неопределённость вида

Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе – разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

.

В знаменателе – квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Продолжение темы “Предел”

Поделиться с друзьями

объяснение, теория, примеры решений. Понятие предела в математике

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a – ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a – предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε – δ “

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 , будет выполнено неравенство | f (x) A | .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x – 3 :

D = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность – ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f”(x)/l”(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности.(n-1)

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!


Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.


Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.n, на него и упрощаем
Далее оцениваем вклад каждого слагаемого
Слагаемые 3/8 стремятся к нулю при переменной направляюейся к бесконечности, поскольку 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

 

Пример 37.Предел последовательности с факториалами раскрывается розписанням факториала к наибольшему общему множителю для числителя и знаменателя.
Далее на него сокращаем и оцениваем лимит по значению показателей номера в числителе и знаменателе.
В нашем примере знаменатель быстрее растет, поэтому предел равен нулю.

Здесь использована следующее
 
свойство факториала.

 

Пример 38.Не применяя правила Лопиталя сравниваем максимальные показатели переменной в числителе и знаменателе дроби.
Так как знаменатель содержит старший показатель переменной 4>2 то и растет он быстрее.
Отсюда делаем вывод, что предел функции стремится к нулю.

 

Пример 39.Раскрываем особенность вида бесконечность разделить на бесконечность методом вынесения x^4 с числителя и знаменателя дроби.3 и выполним предельный переход

 

Пример 41.Имеем особенность типа единица в степени бесконечность.
А это значит, что выражение в скобках и сам показатель надо свести под вторую важную границу.
Распишем числитель, чтобы выделить в нем выражение идентичное знаменателе.
Далее переходим к выражению, содержащем единицу плюс слагаемое.
В степени нужно выделить множителем 1/(слагаемое).
Таким образом получим экспоненту в степени предела дробной функции.
Для раскрития особенности использовали второй предел:

 

Пример 42.Имеем особенность типа единица в степени бесконечность.
Для ее раскрытия следует свести функцию под второй замечатеьный предел.
Как это сделать подробно показано в приведенной далее формуле

Подобных задач Вы можете найти очень много. Их суть в том, чтобы в показателе получить нужный степень, а он равен обратному значению слагаемого в скобках при единицы.
Таким методом получаем экспоненту. Дальнейшее вычисление сводится к вичислению предела степени экспоненты.
Здесь экспоненциальная функция стремится к бесконечности , поскольку значение больше единицы e=2.72>1.

 

Пример 43 В знаменателе дроби имеем неопределенность типа бесконечность минус бесконечность, фактически равное делению на ноль.
Чтобы избавиться корня домножим на сопряженное выражение, а дальше по формуле разности квадратов перепишем знаменатель.
Получим неопределенность бесконечность разделить на бесконечность, поэтому выносим переменную в наибольшей степени и сокращаем на нее.
Далее оцениваем вклад каждого слагаемого и находим предел функции на бесконечности

 

Пример 44.Найти повторные границы

Решение: Вычисляем предел функции двух переменных сначала по y, а дальше – x)
a)
б)

 

Пример 45. Вычислить повторные границы

Решение: Методика вычисления повторных границ не сложна:
сначала находим границу по одной переменной, считая вторую переменную постоянной.
Далее остается функция от одной переменной, а таких пределов мы разобрали очень много.
а)
б)
В этом задании предел по первой переменной равен нулю, поэтому повторные записываем только для формальности.
Предел в данном случае от порядка нахождения не зависит.
Однако, если взглянуть ответ из предыдущего примера то такое утверждение не всегда выполняется.

Ищите эффективные схемы вычисления пределов на страницах сайта, если возникают проблемы с пределами на экзаменах и модулях – обращайтесь за помощью!

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Предел функции

           В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции, встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции   x ,   и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.

НазваниеОбозначениеОпределение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   равен числу   A  

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   δ ,   что при всех , удовлетворяющих неравенству

| x – a | < δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при   x → a

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A  

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A  

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A  

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при   x →

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен  

Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →

при   x →

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен

Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →

при

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен

Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →

при

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   слева, равен

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые меньше   a .

Функция   f (x)   стремится к , при   x, стремящемся к числу   a   слева, если для любого положительного числа   С   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a – δ < x < a ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

f (x) → 

при   x → a – 0

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   справа, равен

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые больше   a .

Функция   f (x)   стремится к , при   x , стремящемся к числу   a   справа, если для любого положительного числа   С,   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a < x < a + δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

f (x) → 

при   x → a + 0

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   равен числу   A  

Обозначения:

или

f (x) → A   при   x → a

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   δ ,   что при всех , удовлетворяющих неравенству

| x – a | < δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A  

Обозначения:

или

f (x) → A   при

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к , если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A

Обозначения:

или

f (x) → A   при

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к , если для любого положительного числа   ε   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A

Обозначения:

или

f (x) → A   при   x →

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен

Обозначения:

или

f (x) →   при   x →

Определение:

Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен

Обозначения:

или

f (x) →   при

Определение:

Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен

Обозначения:

или

f (x) →   при

Определение:

Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   слева, равен

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые меньше   a .

Обозначения:

или

f (x) →   при   x → a – 0 .

Определение:

Функция   f (x)   стремится к , при   x, стремящемся к числу   a   слева, если для любого положительного числа   С   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a – δ < x < a ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   справа, равен

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые больше   a .

Обозначения:

или

f (x) →   при   x → a + 0 .

Определение:

Функция   f (x)   стремится к , при   x , стремящемся к числу   a   справа, если для любого положительного числа   С,   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a < x < a + δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

Свойства пределов функций

      Если у функций   f (x)   и   g (x)   при   x ,   стремящемся к   a ,   существуют пределы

  и   ,

где   A   и   B   – некоторые числа, то при   x ,   стремящемся к   a ,   существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем

      Если, кроме того, выполнено условие

то при   x ,   стремящемся к   a ,   существует предел дроби

причем

      Для любой непрерывной функции   F (x)   справедливо равенство

Раскрытие неопределенностей типа

      Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

      Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример 1. Найти предел функции предел функции

      Решение. Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим

      Ответ.

      Пример 2. Найти предел функции предел функции

      Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:

      Далее, используя свойства пределов функций, находим

      Ответ.   3 .

Раскрытие неопределенностей типа

      Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны   0 ,   то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .

      В алгебраических дробях неопределенность  при   x → a   раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя   (x – a) .

      Пример 3. Найти предел функции

      Решение. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к   0   при   x → – 2 ,   то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа ,   разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на   (x + 2) :

      Теперь предел знаменателя дроби равен   – 11 ,   и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

      Пример 4. Найти предел функции

      Решение. В этом примере также возникает неопределенность типа .

      К сожалению, из-за большого размера формул для расчета подробные вычисления на Вашем мобильном устройстве не видны. Их можно посмотреть только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах).

      Указания к решению примера. Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу   5   при   x → 5 ,   то сначала необходимо домножить и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применить формулу сокращенного уножения «разность квадратов». Затем, разложив квадратный трехчлен   4x2 – 9x – 55   на множители, сократить числитель и знаменатель на   (x – 5) .

      После этого, воспользовавшись свойствами пределов функций, получить ответ.

      На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

      Ответ.

Первый замечательный предел

      В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность  раскрывается с помощью первого замечательного предела

      Пример 5. Найти предел функции

      Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к   0   при   x → 0 ,   поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа ,   разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки   x2,   а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов»:

      Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

      Пример 6. Найти предел функции

      Решение. Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной   x   к новой переменной   z   по формуле

.

      Поскольку

,

то предел можно преобразовать к виду

      Применяя формулы приведения и формулу для косинуса двойного угла, получаем

      Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

Раскрытие неопределенности типа . Второй замечательный предел

      Определение 3. Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен   1,   а предел показателя степени равен , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности   .

      Неопределенность    раскрывается с помощью второго замечательного предела:

(1)

      Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:

(2)

      Пример 7. Найти предел функции предел функции

      Решение. Рассмотрим функцию

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции   y = ln f (x)   при   x →. Применяя свойства логарифмов, получаем

      Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,

и заметим, что

      В пределе

и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, поэтому для раскрытия неопределенности вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим

      Следовательно,

      Таким образом,

      Ответ.

      Пример 8. Найти предел функции

      Решение. Рассмотрим функцию

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции   y = ln f (x)   при   x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем

           Чтобы вычислить предел функции   y = ln f (x)   при   x → – 6 ,   перейдем от переменной   x   к новой переменной   z   по формуле

x = – 6 + z .

      Поскольку

то предел (3) можно преобразовать к виду, с помощью формулы (3), получаем

           Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, получаем

      Следовательно,

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Предел функции – rajak.rs

Предел функции в бесконечности

Число $A$ называется пределом функции $y = f\left( x \right)$ при $x$ стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного $\varepsilon $, найдется такое число $M$ (зависящее от $\varepsilon $), что для всех $x$ таких, что $\left| x \right| > M$,выполнено неравенство: \[\left| {f\left( x \right) – A} \right| < \varepsilon .\]

На языке кванторов определение предела функции в бесконечности запишется следующим образом:

$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right),$ если $\forall \varepsilon  > 0\exists M:\forall \left| x \right| > M\left| {f\left( x \right) – A} \right| < \varepsilon $

Предел функции в точке

Число $A$ называется пределом функции $y = f\left( x \right)$ при $x$ стремящемся к определенному значению $a$ если для любого, даже сколь угодно малого положительного $\varepsilon $, найдется такое число $\delta  > 0$ (зависящее от $\varepsilon $), что для всех $x$ из $\delta$-окрестности точки $a$, выполнено неравенство: \[\left| {f\left( x \right) – A} \right| < \varepsilon .\]

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to \ a } f\left( x \right)$, если $\forall \delta \left( \varepsilon  \right) > 0:\left| {x – a} \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) – A} \right| < \varepsilon $

Критерий Коши существования предела функции

Будем говорить, что функция $f$ удовлетворяет в точке ${x_0}$ условию Коши, если для любого положительного числа $\varepsilon  > 0$, найдётся отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для любых двух значений аргумента ${x_1}$ и ${x_2}$, удовлетворяющих условиям

$\left| {{x_1} – {x_0}} \right| < \delta $ и $\left| {{x_2} – {x_0}} \right| < \delta $,

справедливо неравенство

$\left| {f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$.

Для того чтобы функция $f$ имела в точке ${x_0}$ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция $f$ удовлетворяла в точке ${x_0}$ условию Коши.

 

Односторонние пределы

Кроме определения обычного предела функции в точке возможно также дать определение понятия одностороннего предела.

Пределом функции $f$ в точке ${x_0}$ слева называется предел, вычисляемый в предположении, что $x \to {x_0}$, оставаясь всё время меньше значения ${x_0}$.

Аналогично, пределом справа называется предел функции $f$ при $x \to {x_0}$, при том, что $x > {x_0}$. Односторонние пределы обозначаются так:

 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f\left( x \right) = L$, $\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} – 0} f\left( x \right) = L} \right)$

Функция $f$ имеет предел в точке ${x_0}$ тогда т только тогда, когда она имеет в этой точке правый и левый предел и они равны.

Пределы на бесконечности

Пусть числовая функция $f$ задана на множестве $Х$, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного $\delta $ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка $\left[ { – \delta , + \delta } \right]$. В этом случае число $L$ называется пределом функции $f$ на бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon  > 0$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta $ такое, что для всех точек, превышающих $\delta $ по абсолютному значению, справедливо неравенство $|f\left( x \right) – L| < \varepsilon $.

Обозначается: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = L$

Пусть числовая функция $f$ задана на множестве $Х$, в котором  для любого числа $\delta $ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $L$ называется пределом функции $f$ на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon  > 0$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta $ такое, что для всех точек, лежащих правее $\delta $, справедливо неравенство $|f\left( x \right) – L| < \varepsilon $.

Обозначается: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L$

Пусть числовая функция $f$ задана на множестве $Х$, в котором  для любого числа $\delta $ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $L$ называется пределом функции $f$ на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon  > 0$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta $ такое, что для всех точек, лежащих левее $\-delta $, справедливо неравенство $|f\left( x \right) – L| < \varepsilon $.

Обозначается: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f\left( x \right) = L$

Основные теоремы о пределе

Если для случаев
$x \to {x_0}$, $x \to {x_0} \pm 0$, $x \to {x_0} \pm 0$, 

существуют пределы

$\lim f\left( x \right) = a$ и $\lim g\left( x \right) = b$,

тогда

  1. $\lim \left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = a \pm b$,
  2. $\lim \left( {C \cdot f\left( x \right)} \right) = Ca,{\text{   }}S \in \mathbb{R}$,
  3. $\lim \left( {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right) = ab$ ,
  4. $\lim \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{a}{b}$, ако је $b \ne 0$,
  5. Если $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = a$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) = b$, тогда

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( {f\left( x \right)} \right) = b$.{ – x}} = 0,a = 0$.

 

Решение предела функции · Калькулятор Онлайн

Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел

Сайт предоставляет ПОДРОБНОЕ решение по нахождению предела функции.

Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке.
Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0.
Для примера, находит предел функции в нуле и предел на бесконечности.

Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция – арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция – арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция – экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция – Синус от x
cos(x)
Функция – Косинус от x
sinh(x)
Функция – Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция – Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция – квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция – Квадрат x
ctg(x)
Функция – Котангенс от x
arcctg(x)
Функция – Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция – Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция – Тангенс от x
tgh(x)
Функция – Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция – кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x – 6
– вычитание
15/7
– дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция – арксеканс от x
acsc(x)
Функция – арккосеканс от x
sec(x)
Функция – секанс от x
csc(x)
Функция – косеканс от x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число “Пи”, которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности – знак для бесконечности

Исчисление – Пределы

Пределы, когда x стремится к бесконечности

Интуитивно мы можем понять, что по мере того, как \ (x \) становится все больше и больше, 1 \ (/ x \) становится все меньше и меньше. Предел 1 \ (/ x \) при \ (x \) стремится к бесконечности, равна нулю. Мы пишем это как:

\ [\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} = 0 \]

Обратите внимание, что используется знак равенства, предел равен нулю.

Другой способ записи:

\ [\ frac {1} {x} \ rightarrow 0 \ text {as} x \ rightarrow \ infty \]

Здесь вместо этого используются стрелки, 1 \ (/ x \) никогда не равно нулю, но имеет тенденцию к нуль.

Не , а не смешивать “lim” и стрелки, или выражения и знак равенства; выберите одну из форм выше!

В общем случае мы называем предел \ (A \) и записываем его как

\ [\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = A \]

Точного определения лимита нет в программе. Неформально это означает что значение \ (f (x) \) можно сделать как можно ближе к \ (A \) мы хотим, если мы просто выберем \ (x \) достаточно большим.

Горизонтальные асимптоты

Если функция \ (f (x) \) имеет предел \ (A \) при стремлении \ (x \) до бесконечности, то график \ (f (x) \) будет приближаться к линия \ (y = A \).2 + 1}} \)

  • \ (\ Displaystyle {е (х) = 2 + \ гидроразрыва {\ грех х} {х}} \)
  • \ (\ Displaystyle {е (х) = 2 + \ гидроразрыва {х} {\ грех х}} \)
  • \ (\ Displaystyle {е (х) = 2 + \ гидроразрыва {х} {2+ \ грех х}} \)
  • \ (\ Displaystyle {е (х) = 2 + \ гидроразрыва {1} {\ sqrt {x} -100 \ соз х}} \)

    • Есть ли способ найти горизонтальную асимптоту рациональной функции (что такое рациональная функция?) без использования электронного устройства?

    Можете ли вы определить пределы 7-10 без построения графиков?

    Пределы, поскольку x стремится к

    Функция

    \ [f (x) = \ frac {x ^ 2 + 4x-12} {x ^ 2-2x} \]

    не определяется, когда \ (x = 2 \), однако имеет предел как \ (x \ rightarrow 2 \), предел равен \ (4 \).2 + 2x-8} \]

    Знаменатель равен нулю, когда \ (x = 2 \) и когда \ (x = -4 \). Функция имеет две вертикальные асимптоты.

    Мы можем приблизиться к значению \ (x = 2 \) с двух сторон, либо \ (x \ lt 2 \) или \ (2 \ lt x \). Чтобы предел существовал, пределы, которые мы получаем от два направления должны быть одинаковыми. В этом случае не существует предела, даже бесконечности. Функция однако имеет вертикальную асимптоту. Иногда мы хотим указать, что выражение имеет разные пределы в зависимости от того, приближаемся ли мы к пределу слева или справа.2 + 2x-8} = – \ infty \]

    Сложные пределы

    В некоторых случаях вы пользуетесь здравым смыслом, чтобы найти пределы:

    \ [\ frac {1} \ infty = 0 \ hspace {1 см} \ frac {1} {0} = \ infty \ hspace {1 см} 1+ \ infty = \ infty \ hspace {1 см} 2 \ cdot \ infty = \ infty \]

    (Не пишите так на ↑ экзамене)

    В некоторых случаях сложно:

    \ [\ frac {\ infty} \ infty =? \ hspace {1 см} \ frac {0} {0} =? \ hspace {1 см} \ infty- \ infty =? \ hspace {1 см} 0 \ cdot \ infty =? \]

    Упражнение 2

    Изобразите следующие функции, чтобы найти пределы, если они существуют.

    1. \ (\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right)} \)
    2. \ (\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 0} x \ cdot \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right)} \)
    3. \ (\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x}} \)
    4. \ (\ Displaystyle {\ lim_ {х \ rightarrow 0} \ гидроразрыва {\ соз х -1} {х}} \)

    Последовательности

    Последовательность – это функция, доменом которой являются натуральные числа \ (\ mathbb {N} \).п} \)

    Предел sin (x) / x, доказательство

    Лимит найти легко

    \ [\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x} \]

    численно. Если вы хотите доказать, каков предел, вы должны использовать геометрию.

    Чтобы предел стал простым числом, вы должны использовать радианы для измерения углов, это это причина, по которой градусы никогда не используются при расчетах. Этот предел используется для нахождения производная тригонометрических функций.

    Двигайся P!
    Упражнение 4

    Используя обозначения в таблице выше:

    Найдите площади треугольников \ (\ Delta OAP \), \ (\ Delta OAB \) и площадь сектора \ (OAP \). Опишите области в терминах \ (\ alpha \), \ (\ sin (\ alpha) \) и \ (\ cos (\ alpha) \).

    Используйте неравенства \ (\ Delta OAP \ lt OAP \ lt \ Delta OAB \), чтобы найти предел

    \ [\ lim _ {\ alpha \ rightarrow 0} \ frac {\ alpha} {\ sin {\ alpha}} \]

    Переставьте неравенства, чтобы найти предел

    \ [\ lim _ {\ alpha \ rightarrow 0} \ frac {\ sin \ alpha} {\ alpha} \]

    , автор – Малин Кристерсон, лицензия Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Подобно 2.5 Лицензия Швеции

    www.malinc.se

    MathScene – Пределы – Урок 1

    MathScene – Пределы – Урок 1

    2008 Rasmus ehf og Jhann sak

    Урок 1.

    Пределы и функции, определяемые интервалом

    Что происходит со значением функции как x становится бесконечно большим? Неужели функция тоже становится бесконечно большой? Делает он достигает максимума или минимума? Что на самом деле происходит? Это то, что мы собираемся для размышления в следующем тексте.

    Мы знаем, что не можем делим на ноль, но что произойдет, если мы разделим на число, очень близкое к нулю? Мы увидим, что иногда график функция идет вверх или вниз почти перпендикулярно около этой точки, а иногда график не может пройти через точку, оставив бесконечно малую дыру.

    Математика использует концепция пределов для рассмотрения проблем такого рода.

    Посмотрите на функцию

    Калькулятор Casio, кажется, рисует прямую линии, когда вас попросят построить график этой функции (см. диаграмму).Если вы выберете большой масштаб, например INIT в V-Window, вы можете заметить крошечный разрыв на графике, когда x = 1. Это потому, что, когда x = 1, мы делим на ноль, и функция не определено в этом пункте. Область определения функции – D f = R \ {1}.

    Сейчас попробуем отработать что происходит как x приближается к 1. Математически это записывается следующим образом:

    Лим – это аббревиатура от латинского слова “лаймы”. что означает предел.Приведенное выше обозначение означает значение, до которого функция стремится по мере приближения x к 1.

    Мы можем использовать алгебру, чтобы упростить функцию но не следует упускать из виду исходную функцию и проблему деления на нуль.

    Теперь у нас больше нет проблема деления на ноль, поэтому мы можем поместить значение x = 1 в выражение ( вычислитьf (1)).

    = 1 + 1 = 2

    Это показывает нам, что функция стремится к значению 2, когда x стремится к 1.


    На графике f (x) действительно есть дыра, где x = 1 (см. График)

    Мы можем заполнить эту дыру, если определим непрерывная функция с тем же алгебраическим выражением, но с добавлением значения что функция может принимать при x = 1. Эта новая функция g (x) определена следующим образом:

    Таким образом получаем показан непрерывный график .

    Функции, которые определены таким образом, с дополнительными чем одно выражение, в зависимости от значений, которые принимает x, называются интервальные определенные функции.

    Пример 1

    Найдите значение

    В этом случае нет проблема деления на ноль, поэтому мы можем поместить число 2 в выражение вместо x.

    2 3 2 2 = 8 4 = 4

    Функция f (x) = x 3 x 2 становится все ближе и ближе к 4 по мере того, как x становится все ближе и ближе к 2.

    Пример 2

    Находить Лимит

    В этом случае мы не можем дать x значение 3, так как это будет означать деление на ноль. Однако мы можем факторизовать выражение в числителе и исключить множитель x 3

    Положите значение 3 дюйма для x.

    Пример 3

    Найдите предел

    Теперь мы не можем упростить выражение, поэтому мы пытаемся найти решение, подставляя значения x, близкие к 1.Мы выбираем значения как немного больше, так и немного меньше 1.

    См. Следующую таблицу значений.

    График состоит из двух частей. с вертикальной асимптотой по x = 1.

    Давайте посмотрим, что происходит когда x приближается к значению 1. Из графика видно, что мы должны рассматривать отдельно значения выше и ниже x = 1.2 / (D11). Обе формулы скопировал.

    Мы видим, что когда x равно меньше 1, то есть когда x приближается к значению 1 слева (слева от число 1 на оси x) значения f (x) (столбец B) все ближе и ближе к ∞. Когда x больше чем 1, который приближается к 1 справа, функция f (x) стремится к + ∞. Конечно, бесконечности не существует, как бы большое число вы ни вообразили. всегда существует еще больший.

    Рисуем следующие вывод:

    Предел не существует.

    Снидми 4

    Учтите предел.

    Мы не можем ввести значения x которые меньше нуля, потому что квадратный корень отрицательного числа не существовать.
    В этих условиях мы можем говорить только о пределе справа, то есть когда x больше 0.

    Следующие обозначения используемый:


    The + Знак показывает, что x приближается к 0 справа (x> 0).

    Калькулятор CASIO показывает следующий график:

    График спускается с ось y, а затем идет вправо по оси x. Ни x, ни f (x) не принимают отрицательные значения. Для малых значений x значения y большие
    и для больших значений x значения y малы.Очевидно, что f (x) стремится к бесконечность, когда x стремится к нулю, поэтому не существует.

    Пример 5

    Находить если он существует.

    Не очевидно, как мы можем отменить это выражение, но тот факт, что значение x = 1 делает как числитель и нулевой знаменатель говорят нам, что факторизация возможна. Использование правила (a b) (a + b) = a 2 b 2 дает следующий.

    Чтобы найти предел функции f (x), когда x стремится к a, существует три различные ситуации, которые могут возникнуть:

    1. Вычисляем f (a) (a подставляется в выражение вместо x).

    2. Если числитель и знаменатель f (x) равен нулю, когда x = a, тогда f (x) может быть факторизован и упрощается за счет отмены.Затем, если возможно, вычисляется f (a).

    3. Если, когда x = a, знаменатель равен нулю, а числитель не равен ноль, то предел не существует.

    Пример 6

    Рассмотрим следующий интервал определенная функция:

    График показан здесь. Прямая
    y = x + 3 заканчивается точкой (1, 4) (не доходя до точки).Линия
    y = x + 1 начинается в точке (1, 2)
    (включая эту точку, которая показана на графике сплошной точкой)

    В этом примере предел f (x) поскольку x стремится к 1, не существует, поскольку это зависит от того, больше ли x или менее 1.

    и

    Говорят, что функция f (x) быть непрерывным в точке (a, f (a)), если оно существует в интервале около x = a и

    Если это верно для всех значений x в области определения f (x), то мы говорим, что функция непрерывный.

    Наоборот, если функция непрерывна, то она непрерывна во всех точка своего домена.

    Теперь посмотрим на пределы когда x стремится к + или бесконечность.

    Это не проблема при рассмотрении полиномиальных функций. Поскольку x стремится к бесконечности (+ или), функция также стремится к бесконечности. Будет ли это + или бесконечность, зависит на срок с наибольшей мощностью. Ни логарифма функции, экспоненциальные функции или функции квадратного корня представляют любые проблема.

    Это другое дело однако с рациональными функциями (функции в виде f (x) / g (x)).

    При рассмотрении нам нужно посмотреть, числитель или знаменатель увеличивает быстрее.

    Если числитель, f (x), увеличивается быстрее, чем x стремится к бесконечности, тогда предел не существует, но стремится к + или бесконечности.

    Однако, если знаменатель g (x) увеличится больше быстро, то ограничение, вероятно, будет стремиться к определенному значению.

    Пример 7

    А теперь давайте посмотрим на некоторые примеры, где x стремится к бесконечности.

    а)
    Здесь знаменатель стремится к бесконечности, а числитель не меняется. Когда мы делим на число, которое становится все больше и больше, результат становится меньше и
    меньшее стремится к нулю. Так что предел равен нулю.

    б)


    Здесь знаменатель увеличивается быстрее, чем числитель, поэтому дробь становится меньше и меньшее стремится к нулю.

    в)


    Это противоположно пункту b). Числитель увеличивается быстрее, а результат становится все больше и больше. стремится к бесконечности. Мы говорим, что предела не существует.
    (NB. В некоторых текстах предел называется бесконечностью).

    г)


    В этом примере знаменатель имеет более высокую степень, чем числитель, и поэтому увеличивает больше быстро.Дробь стремится к нулю, поэтому


    0, если g (x) увеличивается быстрее, чем f (x)

    . Это произойдет, если для Например, степень знаменателя g (x) больше, чем степень числителя f (x).


    Пример 8

    Находить .

    Что происходит, когда числитель и знаменатель – многочлены одной степени? Оба увеличивают одинаково быстро. Если мы разделим все на наивысшую степень x (в этот чехол x 2 ) мы можем найти решение.

    Поскольку x стремится к бесконечности, два члены в числителе x / x 2 и 2 / x 2 стремятся к нулю, оставляя us с 1 в числителе и 2 в знаменателе.Таким образом, результат:

    Проблемы с пределами рациональных функций, где числитель и знаменатель – многочлены одной степени, могут быть решается делением всего на наивысшую степень x.

    Попрактикуйтесь в этих методах, затем возьмите тест 1 по пределам.

    шт. не забудьте заполнить свой контрольный список.

    Предел «бесконечности» – подход к исчислению

    4

    Определение «становится бесконечным»

    Пределы рациональных функций

    Изменение переменной

    БЕСКОНЕЧНОСТЬ вместе со своим символом ∞ не является числом и не местом.Когда мы говорим в математике, что что-то «бесконечно», мы просто имеем в виду, что у его значений нет предела.

    Пусть, например, f ( x ) будет. Затем, когда значения x становятся все меньше и меньше, значения f ( x ) становятся все больше и больше. Независимо от того, какое большое число мы назовем, можно будет назвать значение x таким образом, чтобы значение f ( x ) было больше, чем это число, которое мы назвали.

    Затем мы говорим, что значения f ( x ) становятся бесконечными или стремятся к бесконечности. Мы говорим, что когда x приближается к 0, предел f ( x ) равен бесконечности.

    Теперь предел – это число – граница. Поэтому, когда мы говорим, что предел равен бесконечности, мы имеем в виду, что не существует числа , которое мы можем назвать.

    Учащийся должен знать, что слово бесконечный в том виде, в каком оно используется и исторически использовалось в исчислении, не имеет того же значения, что в теории бесконечных множеств.См. Это из Википедии, особенно взгляды Карла Фридриха Гаусса в разделе «Прием аргументов».

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. становится бесконечным. Мы говорим, что переменная «становится бесконечной» или «стремится к бесконечности», если, начиная с определенного члена в последовательности его значений, абсолютное значение этого термина и любого последующего термина, который мы называем, больше любого положительного числа, которое мы называем. , каким бы большим он ни был.

    Когда переменная имеет размер x и принимает только положительные значения, тогда x становится положительно бесконечным.Мы пишем

    Если x принимает только отрицательные значения, оно становится отрицательно бесконечным, и в этом случае мы пишем

    В обоих случаях мы имеем в виду: независимо от того, какое большое число M мы назовем, мы добираемся до точки в последовательности значений x , в которой их абсолютные значения становятся больше, чем M.

    Когда переменная является функцией f ( x ), и она становится положительно или отрицательно бесконечной, когда x приближается к значению c , тогда мы пишем

    Хотя мы пишем символ «lim» для обозначения лимита, эти алгебраические утверждения означают: Предел f ( x ), поскольку x приближается к c , не существует.Опять же, предел – это число. (Определение 2.1.)

    Определение 4 – это определение «становится бесконечным»; это не определение предела.

    Что касается символа ∞, мы используем его в алгебраических утверждениях, чтобы показать, что определение становится бесконечным. Сам по себе этот символ не имеет значения.

    Вот для примера график функции y = 1
    x     		:

    Давайте посмотрим, что происходит со значениями y , когда x приближается к 0 справа:

    Поскольку последовательность значений x становится очень маленькими числами, тогда последовательность значений y , обратных величин, становится очень большими числами.Значения y станут и останутся больше, например, чем 10 100000000 . y становится бесконечным.

    Пишем:

    Если x приближается к 0 слева, то значения становятся большими отрицательными числами. В этом случае мы пишем

    Когда функция становится бесконечной, когда x приближается к значению c , тогда функция является прерывистой при x = c , и прямая линия x = c представляет собой вертикальную асимптоту графика.(Тема 18 Precalculus.) Таким образом, график y = прерывистый при x = 0, а прямая линия x = c представляет собой вертикальную асимптоту.

    Далее, давайте рассмотрим случай, когда x становится бесконечным, то есть когда его значения становятся большими положительными числами в крайнем правом углу от 0.

    В этом случае число становится очень маленьким, а именно 0. Мы пишем

    .

    Мы должны читать, что как «предел x становится бесконечным», а не как « x приближается к бесконечности», потому что снова бесконечность не является ни числом, ни местом.С другой стороны, мы могли бы прочитать это, как бы нам ни хотелось («предел x становится головокружительным»), если любое используемое нами выражение относится к условию из определения 4.

    См. Первые принципы элементов Евклида, комментарий к определениям. Обратите особое внимание на то, что определение – это номинал ; он утверждает только то, как слово или имя будут использоваться; и мы должны согласиться с этим.

    Наконец, когда x становится бесконечно отрицательным, то есть когда принимает значения, лежащие в крайнем левом углу от 0 (-∞), тогда снова p достигает 0.Пишем

    Другими словами, всякий раз, когда x становится бесконечным положительно или отрицательно, значения y = приближаются к горизонтальной линии y = 0. Эта линия называется горизонтальной асимптотой графика.

    Задача 1. Оценить

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    At, tan x не существует. (Тема 15 и тема 18 тригонометрии.)

    По мере приближения x слева, загар x становится больше любого числа, которое мы могли бы назвать. (Определение 4.)

    Пределы рациональных функций

    Рациональная функция – это частное от многочленов (Тема 6 Precalculus). Он будет иметь такую ​​форму:

    , где f и g – полиномы ( g 0).

    Помимо постоянного члена, каждый член полинома будет иметь множитель x n ( n ≥ 1). Поэтому давайте исследуем следующие ограничения.

    c может быть любой положительной константой. Студент должен заполнить каждую правую часть.

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала сделай сам!

    1) = 0
    2a) = ∞
    n чет.
    2b) = ∞
    n нечет.
    2c) = −∞
    n нечет.
    Сравнить y = 1
    x     		выше, где n = 1.
    3) = ∞
    4) = ∞
    Пример. Доказательство:

    Решение . Разделите числитель и знаменатель на наибольшую степень x .В этом случае разделите их на x 2 :

    Согласно пункту 1), предел каждого члена, который содержит x , равен 0. Следовательно, по теоремам темы 2 мы имеем требуемый ответ.

    В аналогичных случаях первый шаг: Разделите числитель и знаменатель на степень x , которая появляется в главном члене любого из них.

    Проблема 2. = 4

    Результат следует после деления числителя и знаменателя на x .

    Задача 3. =

    Другими словами: Когда числитель и знаменатель равны,
    тогда предел, когда x становится бесконечным, равен частному ведущих коэффициентов.

    Проблема 4.

    Далее рациональная функция является обратной функцией приведенной выше:

    = = ∞

    Эта проблема иллюстрирует:

    Когда степень знаменателя больше степени числителя, то есть когда знаменатель преобладает, тогда предел, когда x становится бесконечным, равен 0.Но когда числитель доминирует – когда степень числителя больше – тогда предел, когда x становится бесконечным, равен .

    Изменение переменной

    Учитывайте этот предел:

    Вместо того, чтобы использовать переменную, приближающуюся к 0, мы иногда предпочитаем, чтобы она стала бесконечной. В этом случае мы меняем переменную. Ставим х = или, неважно. Для x , приближающегося к 0, эквивалентно z , становящемуся бесконечным.Тогда

    При замене x на, мы позволяем z стать бесконечным. Лимит остается 1.

    Где это появится? В пределе, из которого мы вычисляем число e:

    (Урок 15.)

    Проблема 5. В приведенном выше пределе измените переменную на n , и пусть она станет бесконечной.

    Следующий урок: производная

    Содержание | Дом

    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
    Даже 1 доллар поможет.

    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]


    исчисление – Предел функции -1/0 в порядке?

    исчисление – Предел функции -1/0 в порядке? – Обмен математическими стеками
    Сеть обмена стеком

    Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange
    2. 0
    3. +0
    6. Авторизоваться Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено 7к раз

    $ \ begingroup $

    Быстрый вопрос, определяю лимит этой функции:

    $$ \ lim_ {x → 1} \ frac {x ^ 2 – 2x} {x ^ 2 -2x +1} $$

    Когда я делю числитель и знаменатель на $ x ^ 2 $ и подставляю $ 1 $, я получаю $ -1 / 0 $. + \; $ (что означает: приближается к нулю с положительной стороны), поэтому ваш предел – отрицательная бесконечность.

    Кто-то может определить это как «предел не существует», но я думаю, что более правильным будет сказать «предел не существует бесконечно» и / или «предел существует в широком смысле слова», » функция расходится к $ \; – \ infty \; $ “или чему-то подобному.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *