Если векторы скорости и ускорения направлены в одну сторону то скорость: Что такое ускорение? (статья) | Ускорение

Содержание

Глава 2. Ускорение. Равноускоренное движение

Характеристикой изменения скорости является ускорение. Эта величина определяется как отношение изменения скорости тела к тому интервалу времени, за который это изменение произошло

(2.1)

где и — скорости тела в конце и начале интервала времени . Из определения (2.1) следует, что вектор ускорения тела отличен от нуля только в том в случае, когда изменяется вектор скорости. При этом направление вектора определяется направлением разности , и может не совпадать с направлениями векторов и . Поэтому в задаче 2.1.1 ситуации, перечисленные в ответах 1, 3 и 4, возможны в следующих случаях. В 1 — когда тело, поворачивая на восток, в некоторый момент времени имеет вектор скорости, направленный на север. В 3 — при равноускоренном движении. В 4 — например, в такой ситуации: тело бросили вертикально вверх и в верхней точке траектории оно имеет нулевую скорость и ускорение, равное ускорению свободного падения. Ситуация, сформулированная в ответе 2, невозможна: если у тела постоянная скорость, то у него равное нулю и, следовательно, постоянное ускорение.

В задаче 2.1.2 вектор скорости в конце любого интервала времени меньше вектора скорости в начале этого интервала. Поэтому при направлении вектора скорости на юг вектор изменения скорости, а, следовательно, и вектор ускорения направлены на север (ответ 3).

Если тело движется с постоянной скоростью, координата линейно зависит от времени, причем наклон графика определяется скоростью. Поэтому скорость тела уменьшается, если уменьшается угол наклона графика зависимости координаты от времени к оси времени (задача 2.1.3 — ответ 4).

Движение тела, при котором его ускорение (как величина, так и направление) не изменяется, называется равноускоренным (задача 2.1.4 — ответ 4). Из определения ускорения (2.1) следует, что при равноускоренном движении зависимость скорости от времени является линейной. Поэтому равноускоренному движению в задаче 2.1.5 отвечает график 1 (несмотря на то, что скорость тела убывает). В этой связи отметим, что равноускоренность означает не то, что тело постоянно разгоняется, а то, что оно имеет «равное ускорение».

При равноускоренном движении зависимости радиус-вектора тела по отношению к произвольной системе координат и скорости тела от времени даются соотношениями

(2.2)

(2.3)

где и — радиус-вектор и скорость тела в момент времени , — ускорение тела. После проецирования на оси координат зависимости (2.2) и (2.3) позволяют находить координаты тела и проекции его скорости на оси в любые моменты времени.

В задаче 2.1.6 зависимость (2.2) в проекциях на ось , которая направлена параллельно ускорению и начало которой находится в точке начала движения, дает

Поскольку тело движется из начала координат и только в одну сторону, то, очевидно, координата тела совпадает с пройденным путем. Поэтому при ускорении через 20 с после начала движения пройденный путь будет равен 100 м (ответ 2). Из этого результата следует, что задача 2.1.7

является обратной по отношению к задаче 2.1.6, поэтому правильный ответ для времени, за которое тело пройдет путь 100 м — 20 с (ответ 1).

В задаче 2.1.8 необходимо использовать зависимость (2.3) для скорости. Так как по условию автомобиль движется из состояния покоя, проекция зависимости (2.3) на ось , направленную вдоль вектора ускорения, имеет вид

где – проекция вектора скорости тела на ось . Так как в момент времени , находим (правильный ответ – 2).

Сравнивая данную в задаче 2.1.9 зависимость координаты от времени с законом (2.2), заключаем, что начальная скорость тела , проекция ускорения тела на ось – . Поэтому из (2.3) получаем зависимость скорости тела от времени .

Из этой зависимости следует, что скорость тела равна нулю при (правильный ответ 2). Можно было также найти скорость как производную координаты по времени. Дифференцируя данную в условии функцию, получим тот же ответ

Зависимость проекции скорости от времени на ось, направленную вертикально вверх, для тела из задачи 2.1.10

имеет вид

где — начальная скорость тела. Подставляя в эту формулу время , находим скорость тела через 0,5 с после броска (ответ 3). Знак «плюс» для проекции скорости на рассматриваемую ось показывает, что через 0,5 c после броска вектор скорости тела все еще направлен вверх.

Чтобы найти время подъема тела, брошенного вертикально вверх, на максимальную высоту (задача 2.2.1) используем то обстоятельство, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю. Поэтому подстановка времени подъема в зависимость скорости от времени дает

где — начальная скорость тела. Отсюда получаем для времени подъема (ответ 4). А самую максимальную высоту подъема (задача 2.2.2) можно найти, подставляя найденное время подъема в зависимость координаты тела по вертикальной оси от времени

Подстановка в эту формулу числовых значений дает (ответ 1).

Пусть время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от начальной точки, равно , а время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от этой же точки, равно (

задача 2.2.3). Тогда из уравнения движения (2.2) в проекции на ось, направленную вдоль вектора ускорения тела, имеем

Деля первое уравнение на второе и извлекая из этого отноше-ния квадратный корень, находим

что означает, что время прохождения пути меньше времени прохождения пути в раз (ответ 2).

В некоторых ситуациях приходится применять одновременно обе зависимости — и координаты и скорости. Например, в задаче 2.2.4 зависимости координаты тела по вертикальной оси и проекции скорости на эту ось имеют вид

Из первой зависимости находим время, за которое тело поднимается на высоту

(Два корня для времени получилось, поскольку на рассматриваемой высоте тело побывало дважды — в процессе подъема и в процессе спуска.) Подставляя эти значения времени в уравнение для скорости, получим для проекции скорости на вертикальную ось на высоте :

(«плюс» — на подъеме, «минус» — на спуске). Отсюда находим величину скорости тела на этой высоте — 15 м/с (ответ 3).

Иногда в задачах на равноускоренное движение требуется найти интервалы времени или расстояния, отсчитанные не от момента начала движения или от начального положения тела. Трудность таких задач заключается в том, что такие времена или расстояния сами не входят в уравнения равноускоренного движения. В этом случае искомые интервалы времени или расстояния удобно находить как разность интервалов времени или расстояний, отсчитанных от начала движения. Например, зависимость координаты автомобиля от времени в задаче 2.2.5 дается соотношением

где — ускорение автомобиля, в качестве начала координат выбрана точка начала движения. Из этой зависимости находим, что через 2 с после начала движения автомобиль окажется на расстоянии 4 м от начальной точки, через 3 с после начала движения — на расстоянии 9 м от начальной точки. Поэтому за третью секунду движения автомобиль пройдет путь 5 м — ответ 3.

Аналогично в задаче 2.2.6

из зависимости координаты тела от времени находим, что автомобиль окажется на расстоянии 2 м от начальной точки через время с, на расстоянии 3 м — через время с. Поэтому на прохождение третьего метра пути автомобиль затратит время с (ответ 2).

В задаче 2.2.7 следует из зависимости скорости от времени найти время падения, а затем подставить его в зависимость координаты от времени. Правильный ответ — 1.

При движении тела под углом к горизонту вектор ускорения тела направлен вертикально вниз (ускорение свободного падения — ). Поэтому проекция зависимости скорости от времени (2.3) на горизонтальную ось имеет вид

где – начальная скорость тела, – угол, под которым бросили тело (проекция вектора ускорения тела на горизонтальную ось равна нулю). Из этой формулы следует, что проекция скорости на горизонтальную ось не зависит от времени (задача 2.2.8 – правильный ответ 4).

Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется из проекции уравнения (2.2) на горизонтальную ось

где — проекция вектора начальной скорости на горизонтальную ось, — полное время движения. По условию задачи 2.2.9 проекции векторов начальной скорости тел на горизонтальную ось одинаковы (это подчеркнуто на рисунке в условии с помощью вертикальной пунктирной прямой). Поэтому дальше улетит то из них, у которого больше время движения. А оно, в свою очередь, определяется проекцией уравнения (2.2) на вертикальную ось

поскольку в момент падения вертикальная координата тела равна нулю. Отсюда следует, что время движения равно , т.е. определяется проекцией вектора начальной скорости на вертикальную ось. А она по условию больше у тела 1, которое, таким образом, и улетит дальше (ответ 1).

Задача 2.2.10 содержит небольшой «подвох». При движении тела по прямой и в одном направлении пройденный путь равен разности координат конца и начала траектории. В этом случае можно, выбрав начало координат в начальной точке, найти пройденный путь, просто подставляя время в уравнение для координаты. В нашем же случае тело движется сначала вверх, потом вниз. Действительно, время подъема для тела, брошенного вертикально вверх со скоростью 20 м/с, равно 2 с. А пройденный путь нужно найти за 3 с после броска. Поэтому пройденный путь складывается из максимальной высоты подъема (для тела, брошенного со скоростью 20 м/с, она равна 20 м) и длины участка пути от верхней точки траектории до точки, в которой тело окажется через 3 с после броска. Координату этой точки в системе координат, начало которой расположено на земле, а ось направлена вертикально вверх, можно найти, подставляя это значение времени в уравнение

(все величины заданы в международной системе единиц СИ). В результате находим, что пройденный телом путь равен 25 м (ответ 3).

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет - Сибстрин

В НГАСУ (Сибстрин) обсудили внедрение технологий информационного моделирования в строительстве

22 июня 2021 года на базе Института дополнительного образования НГАСУ (Сибстрин) прошел круглый стол «Технологии информационного моделирования: состояние, проблемы, перспективы». В обсуждении одной из самых актуальных тем строительной отрасли приняли участие руководители и ведущие специалисты таких организаций, как Центр научно-технической поддержки SCAD Office на базе НГАСУ (Сибстрин), Renga Software (г. Санкт-Петербург), ГБУ НСО «Государственная вневедомственная экспертиза Новосибирской области», ООО «Академия BIM» (г. Москва), ООО «Инженерный центр ГИПАР». ООО «Геоскан», ООО «ЭлинАльфа», Группа компаний «Спектрум», ООО «Аскон-Сибирь Консалтинг».

Профессия дорожник всегда будет востребована! Строительная специальность НГАСУ (Сибстрин) «Автомобильные дороги»

Старейший вуз города – Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) – вот уже более 90 лет занимает лидирующие позиции в обучении студентов по направлению «Строительство». С 2014 года в нашем вузе началась подготовка специалистов по профилю «Автомобильные дороги». На сегодняшний день это одно из самых актуальных направлений строительства. Национальный проект «Безопасные и качественные автомобильные дороги» предполагает приоритетное развитие транспортной инфраструктуры страны за счет средств федерального бюджета. Поэтому специалисты – строители автомобильных дорог – будут востребованы во всех регионах страны.

30 июня состоится конференция работников и обучающихся университета

30 июня 2021 года (среда) в 14.00 в актовом зале НГАСУ (Сибстрин) состоится конференция работников и обучающихся университета. В повестке дня рассмотрение и утверждение изменений в коллективный договор НГАСУ (Сибстрин) на 2020 – 2022гг. и рассмотрение и утверждение «Положения об оплате труда». Регистрация делегатов с 13.30 Профком работников НГАСУ (Сибстрин)

Студенты НГАСУ (Сибстрин) будут изучать BIM-технологии на практике в крупнейшей российской жилищно-строительной организации ПИК

В конце июня у группы студентов и магистрантов, в которую входят представители института строительства, института архитектуры и градостроительства и инженерно-экологического факультета начнется производственная практика в группе компаний ПИК. ГК ПИК – крупнейшая российская жилищно-строительная организация, реализующая комплексные проекты в десяти регионах России с фокусом на Москву и Московскую область. Она работает на рынке с 1994 года и специализируется на строительстве жилья комфорт-класса со всей необходимой инфраструктурой. На сегодняшний день ПИК является одним из лидеров в сфере недвижимости по объему ежегодного ввода жилья в эксплуатацию в России и Европе.

Ускорение

всем привет меня зовут владимир романов тема урока ускорения ускорение это физическая величина показывающая как быстро меняется скорость ускорение будем обозначать буквой а и ускорение равняется изменение скорости в 2 минус в 1 разделить на время за которое произошло это изменение скорости ускорение также как и скорость имеет направление следовательно эта величина векторная если векторы скорости и ускорение направлены в одну сторону то тогда скорость тела будет возрастать с течением времени если же векторы скорости и ускорения направлены в разные стороны то скорость тела будет уменьшаться с течением времени и в первом случае мы скажем что тело ускоряется во втором случае у нас тело замедляется если в начальный момент времени у тела была какая-то скорость b1 то тогда зависимость скорости тела от времени будет изображаться прямой линии направленный вверх и это значение и будет начальной скоростью v1 если же начальная скорость была равна нулю то график зависимости скорости от времени будет выглядеть так и если у нас в 1 равняется нулю то ускорение мы можем вычислить по формуле а равняется в разделить на t скорость тела увеличивается с течением времени только тогда когда у нас вектор ускорения и вектор скорости направлены в одну сторону если же у нас вектор скорости и вектор ускорения направлены в разные стороны то тогда зависимость скорости от времени будет изображаться прямой направленный вниз это значение скорости также будет начальной скоростью v1 теперь давайте вернемся к этой формуле скорость тела мы измеряем в метрах делённые на секунды делим это еще на секунды так как здесь мы скорость делим на время разделить на секунды это то же самое что умножить на единицу деленное на секунду итак мы получим метр и деленное на секунды в квадрате это и будет единицы измерения ускорения в системе sim теперь рассмотрим задачу лифт когда начинает движение увеличивает свою скорость на 3,3 метров в секунду за время равное трем секундам найдите ускорение лифта ускорение это скорость разделить на время а точнее изменение скорости разделить на изменение времени за которое произошло это изменение скорости этот треугольник буква дельта и означает изменение физической величины дельта v это изменение скорости дельта т это изменение времени изменение скорости у нас 3,3 метров в секунду разделить на изменение времени и мы получим одну целую одну десятую метра на секунду в квадрате это и будет ускорение лифта и еще раз дельта v это изменение скорости и будет равняться конечное значение скорости в 2 минус начальное значение скорости в один точно также и изменение времени это конечное значение времени t 2 минус начальное значение времени t1 задача номер два поезд подходя к станции сбросил скорость 70 километров в час до 50 двух километров в час потратив на это 10 секунд определите ускорение поезда ускорение у нас равняется изменения скорости ведь на время или дельта v разделить на время время у нас здесь 10 секунд давайте найдем чему будет равняться изменения скорости конечная скорость 52 километра в час начальная скорость 70 и так мы получим минус 18 километров в час давайте переведем эту скорость в метры в секунду для этого умножим минус 18 на дробь 1036 их сократим эту дробь на два и числитель и знаменатель получим 5 18 итак у нас останется минус 5 метров в секунду и это будет дельта v подставляем значения минус 5 делим на 10 это будет минус 0,5 метра в секунду в квадрате как вы видите мы получили здесь отрицательное ускорение это значит что векторы скорости поезда и ускорения были направлены в разные стороны и поезд у нас замедлялся поэтому мы получили отрицательное ускорение на сегодня это все вопросы и пожелания по урокам пишите в комментариях получайте только хорошие оценки всем пока

Куда направлено ускорение

Ускорение — это быстрота изменения скорости. В системе СИ ускорение измеряется в метрах за секунду в квадрате (м/с2), то есть показывает, на сколько изменяется скорость тела за одну секунду.

Если, например, ускорение тела равно 10 м/с2, то это значит, что за каждую секунду скорость тела увеличивается на 10 м/с. Так, если до начала ускорения тело двигалось с постоянной скоростью 100 м/с, то после первой секунды движения с ускорением его скорость составит 110 м/с, после второй — 120 м/с и т. д. В данном случае скорость тела постепенно увеличивалась.

Но скорость тела может постепенно и уменьшаться. Обычно так происходит при торможении. Если то же тело, двигавшееся с постоянной скоростью 100 м/с, начинает уменьшать свою скорость на 10 м/с в каждую секунду, то через две секунды его скорость будет равна 80 м/с. А через 10 с тело вообще остановится.

Во втором случае (при торможении) мы можем сказать, что ускорение является отрицательной величиной. Действительно, чтобы найти текущую скорость после начала торможения, надо из начальной скорости вычесть ускорение умноженное на время. Например, какова скорость тела через 6 секунд после торможения? 100 м/с - 10 м/с2 · 6 с = 40 м/с.

Поскольку ускорение может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то это значит, что ускорение является векторной величиной.

Из рассмотренных примеров мы могли бы сказать, что при разгоне (увеличении скорости) ускорение положительная величина, а при торможении — отрицательная. Однако не так все просто, когда мы имеем дело с системой координат. Здесь скорость тоже оказывается величиной векторной, способной быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому то, куда направлено ускорение, зависит от направления скорости, а не от того, уменьшается скорость или увеличивается под действием ускорения.

Если скорость тела направлена в положительном направлении оси координат (скажем, X), то тело за каждую секунду времени увеличивает свою координату. Так, если в момент начала измерения тело находилось в точке с координатой 25 м и начало двигаться с постоянной скоростью 5 м/с в положительном направлении оси X, то через одну секунду тело будет находиться в координате 30 м, через 2 с — 35 м. Вообще, чтобы найти координату тела в определенный момент времени, надо к начальной координате прибавить скорость умноженную на количество прошедшего времени. Например, 25 м + 5 м/с · 7 с = 60 м. В данном случае тело через 7 секунд окажется в точке с координатой 60. Здесь скорость — положительная величина, так как координата увеличивается.

Скорость отрицательна, когда ее вектор направлен в отрицательном направлении оси координат. Пусть тело из предыдущего примера начало двигаться не в положительном, а в отрицательном направлении оси X с постоянной скоростью. Через 1 с тело будет в точке с координатой 20 м, через 2 с — 15 м и т. д. Теперь чтобы найти координату, надо из начальной вычесть скорость умноженную на время. Например, где будет тело через 8 с? 25 м - 5 м/с · 8 с = -15 м. То есть тело окажется в точке с координатой x, равной -15. В формуле перед скоростью мы ставим знак минус (-5 м/с), значит скорость – отрицательная величина.

Назовем первый случай (когда тело двигается в положительном направлении оси X) A, а второй случай B. Рассмотрим, куда будет направлено ускорение при торможении и разгоне в обоих случаях.

В случае A при разгоне ускорение будет направлено в ту же сторону, что и скорость. Поскольку скорость положительна, то и ускорение будет положительно.

В случае A при торможении ускорение направлено в противоположном скорости направлении. Так как скорость положительная величина, то ускорение — будет отрицательной, то есть вектор ускорения будет направлен в отрицательном направлении оси X.

В случае B при разгоне направление ускорения будет совпадать с направлением скорости, а значит ускорение будет направлено в отрицательном направлении оси X (ведь туда же направлена и скорость). Обратите внимание, несмотря на то, что ускорение отрицательно, оно все же увеличивает модуль скорости.

В случае B при торможении ускорение направлено противоположно скорости. Так как скорость имеет отрицательное направление, то ускорение окажется положительной величиной. Но при этом будет уменьшать модуль скорости. Например, начальная скорость была -20 м/с, ускорение равно 2 м/с2. Скорость тела через 3 с, окажется равной -20 м/с + 2 м/с2 · 3 с = -14 м/с.

Таким образом, ответ на вопрос «куда направлено ускорение» зависит от того, по отношению к чему оно рассматривается. По отношению к скорости ускорение может быть направлено в ту же сторону, что и скорость (при разгоне), или в противоположную сторону (при торможении).

В системе координат положительное и отрицательное ускорение само по себе ничего не говорит от том, тормозило ли тело (уменьшало свою скорость) или разгонялось (увеличивало скорость). Надо смотреть на то, куда направлена скорость.

Занятие 2. Ускорение. Равноускоренное движение

/ /15

1. Задание 1 7777 Вариант 3580273 Небольшое тело движется в пространстве. На рисунке показаны графики зависимости от времени t проекций V x, V y и V z скорости этого тела на оси OX, OY и OZ от времени

Подробнее

Зависимость скорости от времени

И В Яковлев Материалы по физике MathUsru Равноускоренное движение Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное

Подробнее

КИНЕМАТИКА задания типа В Стр. 1 из 5

КИНЕМТИК задания типа В Стр. 1 из 5 1. Тело начало движение вдоль оси OX из точки x = 0 с начальной скоростью v0х = 10 м/с и с постоянным ускорением a х = 1 м/c 2. Как будут меняться физические величины,

Подробнее

ЦДО «Уникум» РУДН ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ

ЦДО «Уникум» РУДН ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ Задание 1. Дальность полета снаряда, летящего по навесной траектории, равна максимальной высоте подъема. Какова максимальная высота настильной траектории при той же

Подробнее

Кинематика 1 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Кинематика 1 1 Точка движется по окружности радиусом 2 м, и ее перемещение равно по модулю диаметру. Путь, пройденный телом, равен 1) 2 м 2) 4 м ) 6,28 м 4) 12,56 м 2 Камень брошен из окна второго этажа

Подробнее

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПРЕДИСЛОВИЕ Физика является одной из тех наук, знание которой необходимо для успешного изучения общенаучных и специальных дисциплин При изучении курса физики студенты

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН по теме 1. КИНЕМАТИКА

ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН по теме. КИНЕМАТИКА Внимание: сначала попытайтесь ответить на вопросы и решить задачи самостоятельно, а потом проверьте свои ответы. Указание: ускорение свободного падения принимать равным

Подробнее

уч. год. 3, 9 кл. Физика. Динамика.

006-007 уч. год. 3, 9 кл. Физика. Динамика. 6. Примеры решения задач Приступая к решению задач, сделаем несколько общих замечаний. Во-первых, при решении задач нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют

Подробнее

ИТТ Вариант 1 ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

ИТТ- 10.1.1 Вариант 1 ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ 1.Предложены две задачи: 1) Рассчитать период обращения вокруг Земли искусственного спутника шара радиусом 20 м. 2) Рассчитать силу Архимеда, действующую в воде

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

ИТТ Вариант 2 ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

ИТТ- 10.1.2 Вариант 2 ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ 1.Предложены две задачи: 1) Определить среднюю скорость самолёта по известному расстоянию между двумя городами и времени полёта. 2) Определить путь, пройденный самолётом

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

Занятие 1. Вариант t

Занятие. Вариант... Тело движется равномерно по окружности. Найти отношение пройденного пути к величине перемещения тела за четверть периода движения... 3. 4. 3... Движение тела является равномерным, если:.

Подробнее

ВАРИАНТ Дано: Решение

ВАРИАНТ 0 Дано: Решение V 0 =0м/ c h = 30 м t п -? s -? Тело движется свободно под действием силы тяжести Сначала мяч летит вверх и поднимается на максимальную высоту а затем падает вниз двигаясь при этом

Подробнее

ПРЕДИСЛОВИЕ генератором тестов

ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для учащихся средних школ, колледжей и техникумов и может быть использовано как при изучении физики, так и при подготовке к ЕГЭ. В пособии представлено 816 разноуровневых

Подробнее

Примерные практические задания:

Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Лабораторная работа 113

Лабораторная работа 113 Изучение законов равномерного и равноускоренного движения. Цель работы : изучение законов равномерного и равноускоренного движения на машине Атвуда. Краткая теория работы. Машина

Подробнее

ЛОМОНОСОВ МЕХАНИКА.

ЛОМОНОСОВ МЕХАНИКА классы Краткие решения и критерии оценки задач Задача (вариант ) Перворазрядник Чуков пробегает один круг по пересеченной местности на три минуты быстрее, чем его одноклассник Геков

Подробнее

Задачи 29 и 30 (бывшие С2 и С3)

Задачи 29 и 30 (бывшие С2 и С3) Задача 29 (по новой нумерации, которую вводят в ЕГЭ с 2015 года) это расчетная задача на механику. До 2014 года включительно она фигурировала под номером «С2». Это может

Подробнее

если υ 0 а - движение ускоренное

Кинематика Механическое движение изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел. Поступательное движение движение, при котором все точки тела проходят одинаковые траектории.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики Т.М. Чмерева М.Р. Ишмеев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе 104

Подробнее

(c) О производной.

О производной. Начиная разговор о производной, я допускаю, что читателю известно, что такое функция, что он не путает таких два понятия, как функция и график функции, что он также знает, что такое область

Подробнее

Подготовка к ОГЭ ЧАСТЬ 1

Подготовка к ОГЭ ЧАСТЬ 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ-1 1.Кинематика 1. Буксирный катер за ч проплыл 5 км. Определите скорость катера..тело, двигаясь из состояния покоя, равноускоренно за первую секунду проходит

Подробнее

Районный тур 2018/ класс. I вариант

Районный тур 018/19. 11 класс. I вариант Задача 1. Поскольку на систему не действует никаких внешних сил в горизонтальном направлении, выполняется закон сохранения полного импульса системы в проекции на

Подробнее

Курсы подготовки к ЕГЭ по физике

Курсы подготовки к ЕГЭ по физике Механика. Задание 9 Учитель физики: Бабчик И.И. Учебное заведение: МБОУ лицей 1 г. Сургут, 019 г. Задание 9. Основные вопросы 1 1. Кинематика Задача 1 Задача 7. Движение

Подробнее

Кинематика материальной точки.

Кинематика материальной точки. : Скорость материальной точки.... Ускорение материальной точки.... 3 Тангенциальное и нормальное ускорение.... 4 Проекции скорости и ускорения... 5 График скорости... 6 Вращательное

Подробнее

о вредности термина «замедление» / Хабр


Довольно часто, особенно в обиходе инженерных дисциплин, употребляется понятие «замедление» то есть ускорение, действие которого приводит к уменьшению модуля скорости. При этом такому ускорению приписывается некий отрицательный знак, подчеркивающий этот самый замедляющий эффект.

По моему скромному мнению данное понятие является не только избыточным, но и вредным с методической точки зрения. Оно бросает своего рода мутную вуаль на суть величин, описывающих механическое движение.

На самом деле, чтобы описать то же торможение автомобиля или парашютиста совершенно необязательно приписывать ускорению знак, достаточно понимания, что ускорение есть величина векторная и умения грамотно переходить от операций с векторами к операциям с их проекциями на оси выбранной системы координат.

Статья имеет своей целью развенчать необходимость использования термина «замедление» при решении практических задач механики, и, если читателя не смущает очередная лекция по теормеху, добро пожаловать под кат.


Рассмотрим вектор , такой, что
то есть модуль и направление этого вектора зависят от времени. Вычислим изменение изменение этого вектора, произошедшее за промежуток времени


Теперь, используя тот факт, что для векторов определена операция умножения на число, умножим (1) на величину, обратную приращению времени . В силу того, что мы получим вектор , направленный в ту же сторону что и вектор (1) (см. рисунок 1)

Рис. 1. Геометрический смысл производной вектора по времени

Теперь перейдем к пределу при


Соотношение (2) есть предел отношения приращения вектор-функции к приращению её аргумента и называется производной вектора по времени. Как видно из наших выкладок производная от вектора по времени также является вектором. Как направлен этот вектор?

Будем рассуждать, глядя на геометрическую интерпретацию на рисунке 1. Вектор занимает положение секущей по отношению к траектории, которую описывает конец вектора за промежуток времени . Эта траектория называется годографом вектор-функции . Секущая пересекает годограф в точках A и B. При стремлении к нулю точка A остается неподвижной, а точка B смещается в сторону точки A. В пределе секущая займет положение касательной к годографу в точке A.

То есть, можно ввести следующее определение

Производная от вектора по времени есть вектор , направленный по касательной к годографу вектора

Таким образом, производная от вектора показывает, каким образом меняется как модуль, так и направление вектора. Ни о каком «знаке» производной тут речи не идет в принципе. И не может идти — производная от вектора по времени это так же вектор, а для вектора нет понятия знака.
Допусти теперь что наш вектор обладает неизменной длиной, то есть
а меняется лишь его направление в пространстве. Будет ли у этого вектора отличная от нуля производная? Конечно будет! Умножим вектор скалярно сам на себя


Продифференцируем (3) по времени


Производная от модуля вектора равна нулю, ведь модуль не меняется во времени. Тогда, используя правило дифференцирования произведения раскрываем левую часть (4)
используя свойство коммутативности скалярного произведения, получаем
или
То есть, скалярное произведение вектора на собственную производную равно нулю а значит
Таким образом, производная вектора с постоянной длиной не только не равна нулю, а она есть вектор, перпендикулярный исходному. Годографом такого вектора будет окружность с радиусом, равным длине вектора (рисунок 2).

Мы сталкиваемся с такой ситуацией, когда вычисляем ускорение точки, движущейся равномерно по окружности. У неё есть центростремительное ускорение, перпендикулярное вектору скорости.

Производная от вектора будет равна нулю лишь в том случае, если вектор не меняет ни модуль, ни направление.

Рис 2. Вектор с постоянной длиной, его годограф и производная


Теперь, исходя из вышеизложенного, дадим определение скорости материальной точки. Пусть положение точки в пространстве характеризуется вектором , называемым радиус-вектором точки (см. рисунок 3). Тогда
Вектором скорости точки называется первая производная от радиус-вектора точки по времени
Вектор скорости точки направлен по касательной к её траектории.

Все верно — траектория и есть годограф радиус-вектора, причем выбор начала отсчета O из которого мы выпускаем радиус-вектор роли не играет.

Рис. 3. Векторы скорости и ускорения материальной точки

Аналогичным образом вводится и понятие ускорения

Вектор ускорения точки есть первая производная от вектора скорости точки по времени
Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.

Геометрическая иллюстрация этих определений показана на рисунке 3. При движении точки по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение направлено точно к центру этой окружности (рисунок 4)

в полном соответствии с определением производной от вектора постоянного по модулю. В этом случае вектор ускорения как раз показывает каким образом меняется направление вектора скорости.


Решая задачу по механике мы неизбежно переходим от векторных уравнений к уравнениям в проекциях на оси выбранной системы координат. И, если вектор ускорения направлен против вектора скорости, то знак его проекции отличается от знака проекции вектора скорости. Причем последняя может быть отрицательной, а проекция ускорения — положительной, все зависит от выбранной системы координат!. Именно в этой ситуации в инженерной практике употребляют термин «замедление».

Однако знак проекции и её именование к механике отношения не имеют, они относятся уже к формальной процедуре вычислений при решении задачи и механического смысла не несут. Так что понятие «замедление» есть результат вольной интерпретации промежуточных результатов вычислений.

Благодарю за проявленное внимание!

Скорость, ускорение и сила | Безграничная физика

Угол вращения и угловая скорость

Угол поворота - это мера того, как далеко вращается объект, а угловая скорость - это скорость его вращения.

Цели обучения

Выразите взаимосвязь между углом поворота и расстоянием

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Когда объект вращается вокруг оси, точки на краю объекта перемещаются по дугам.
  • Угол, выходящий за пределы этих дуг, называется углом поворота и обычно обозначается символом theta .
  • Мера того, насколько быстро объект вращается относительно времени, называется угловой скоростью. Обычно он представлен греческим символом омега . Как и его аналог линейной скорости, это вектор.
Ключевые термины
  • радиан : угол, образуемый в центре окружности дугой той же длины, что и радиус окружности.

Угол вращения и угловая скорость

Когда объект вращается вокруг оси, как в случае с шиной автомобиля или записью на поворотной платформе, движение можно описать двумя способами. Точка на краю вращающегося объекта будет иметь некоторую скорость и будет перенесена по дуге на вращающемся объекте. Точка будет перемещаться на расстояние [latex] \ Delta \ text {S} [/ latex], но часто удобнее говорить о степени поворота объекта. Величина поворота объекта называется углом поворота и может измеряться в градусах или радианах.Поскольку угол поворота связан с расстоянием [latex] \ Delta \ text {S} [/ latex] и с радиусом [latex] \ text {r} [/ latex] уравнением [latex] \ Delta \ theta = \ frac {\ Delta \ text {S}} {\ text {R}} [/ latex], обычно удобнее использовать радианы.

Угол θ и длина дуги s : Радиус круга поворачивается на угол [латекс] \ дельта \ тета [/ латекс]. Длина дуги [латекс] \ Delta \ text {s} [/ latex] указывается на окружности.

Скорость вращения объекта определяется угловой скоростью, которая представляет собой скорость изменения угла поворота во времени.Хотя сам угол не является векторной величиной, угловая скорость - это вектор. Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки. Угловое ускорение дает скорость изменения угловой скорости. Угол, угловая скорость и угловое ускорение очень полезны при описании вращательного движения объекта.

Направление угловой скорости : Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию мгновенной оси, вокруг которой происходит вращение.Направление угловой скорости будет вдоль оси вращения. В этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

Когда ось вращения перпендикулярна вектору положения, угловую скорость можно вычислить, взяв линейную скорость [latex] \ text {v} [/ latex] точки на краю вращающегося объекта и разделив на радиус. Это даст угловую скорость, обычно обозначаемую [latex] \ omega [/ latex], в радианах в секунду.

Угловая скорость : Муха на краю вращающегося объекта фиксирует постоянную скорость [latex] \ text {v} [/ latex]. Объект вращается с угловой скоростью, равной [latex] \ frac {\ text {v}} {\ text {r}} [/ latex].

Центробежное ускорение

Центростремительное ускорение - это постоянное изменение скорости, необходимое объекту для поддержания круговой траектории.

Цели обучения

Выразите центростремительное ускорение через скорость вращения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Чтобы объект сохранял круговое движение, он должен постоянно менять направление.
  • Поскольку скорость является вектором, изменения направления представляют собой изменения скорости.
  • Изменение скорости называется ускорением. Изменение скорости из-за кругового движения известно как центростремительное ускорение.
  • Центростремительное ускорение можно рассчитать, разделив квадрат линейной скорости на радиус круга, по которому движется объект.
Ключевые термины
  • ускорение : величина, на которую увеличивается скорость или скорость (и, следовательно, скалярная величина или векторная величина).
  • круговое движение : движение таким образом, что выбранная траектория представляет собой круговую траекторию.
  • скорость : векторная величина, которая обозначает скорость изменения положения относительно времени или скорость с направленным компонентом.

Обзор

Как упоминалось в предыдущих разделах по кинематике, любое изменение скорости определяется ускорением. Часто изменения скорости являются изменениями по величине. Когда объект ускоряется или замедляется, это изменение скорости объекта.Изменения в величине скорости соответствуют нашему интуитивному и повседневному использованию термина «ускорение». Однако, поскольку скорость является вектором, у нее также есть направление. Следовательно, любое изменение направления движения объекта также должно сопровождаться ускорением.

Равномерное круговое движение означает, что объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, обычно не думается, что объект ускоряется. Однако направление постоянно меняется, когда объект пересекает круг.Таким образом, говорят, что он ускоряется. Это ускорение можно почувствовать, катаясь на американских горках. Даже если скорость постоянная, быстрый поворот вызовет у гонщика чувство силы. Это ощущение ускорения.

Центростремительное ускорение : Краткий обзор центростремительного ускорения для школьников-физиков.

Расчет центростремительного ускорения

Для расчета центростремительного ускорения объекта, совершающего равномерное круговое движение, необходимо иметь скорость, с которой движется объект, и радиус круга, вокруг которого происходит движение.2 \ text {r} [/ latex]

, где омега - это скорость вращения, заданная [latex] \ frac {\ text {v}} {\ text {r}} [/ latex].

Центростремительное ускорение : Когда объект движется по окружности, направление вектора скорости постоянно меняется.

Центростремительная сила

Сила, которая вызывает движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой (равномерное круговое движение является примером центростремительной силы).

Цели обучения

Выразите уравнения для центростремительной силы и ускорения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Когда объект находится в равномерном круговом движении, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется.Это угловое ускорение.
  • Сила, действующая на объект при равномерном круговом движении (называемая центростремительной силой), действует на объект из центра круга.
Ключевые термины
  • центростремительный : Направлен или движется к центру.
  • угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Сила, вызывающая движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой. Равномерное круговое движение является примером действия центростремительной силы. Это можно увидеть на орбите спутников вокруг Земли, натяжении веревки в игре с тросом, в петле-петле на американских горках или в ведре, вращающемся вокруг тела.

Обзор центростремительной силы : Краткий обзор центростремительной силы.

Ранее мы узнали, что любое изменение скорости - это ускорение.По мере того, как объект движется по круговой траектории, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется, вызывая постоянное воздействие на объект силы. Эта центростремительная сила действует по направлению к центру кривизны, по направлению к оси вращения. Поскольку объект движется перпендикулярно силе, путь, по которому он движется, является круговым. Именно эта сила удерживает мяч от выпадения из ведра, если вы непрерывно раскачиваете его по кругу.

Центростремительная сила : Когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью, он испытывает центростремительную силу, ускоряющую его к центру.2 [/ латекс]

разгон | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определение и различие между мгновенным ускорением, средним ускорением и замедлением.
  • Рассчитайте ускорение с учетом начального времени, начальной скорости, конечного времени и конечной скорости.

Рис. 1. Самолет замедляется или замедляется при заходе на посадку в г.Maarten. Его ускорение противоположно его скорости. (Источник: Стив Конри, Flickr)

В повседневном разговоре ускорять означает ускоряться. Фактически, ускоритель в автомобиле может заставить его разогнаться. Чем больше ускорение , тем больше изменение скорости за заданный промежуток времени. Формальное определение ускорения согласуется с этими понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение - это скорость, с которой изменяется скорость ,

[латекс] \ bar {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {{v} _ {f} - {v} _ {0}} {{t} _ {f} - {t} _ {0}} [/ latex]

, где [latex] \ bar {a} [/ latex] - среднее ускорение, v - скорость, а t - время.(Полоса над и означает среднее ускорение ).

Поскольку ускорение - это скорость в м / с, деленная на время в секундах, в системе СИ единицами измерения ускорения являются м / с 2 , квадратные метры в секунду или метры в секунду в секунду, что буквально означает, сколько метров в секунду соответствует скорости. меняется каждую секунду.

Напомним, что скорость - это вектор, у нее есть величина и направление. Это означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но это также может быть изменение в направлении , .Например, если автомобиль поворачивает с постоянной скоростью, он ускоряется, потому что его направление меняется. Чем быстрее вы поворачиваете, тем больше ускорение. Таким образом, ускорение возникает, когда скорость изменяется либо по величине (увеличение или уменьшение скорости), либо по направлению, либо по обоим направлениям.

Ускорение как вектор

Ускорение - это вектор в том же направлении, что и , изменение скорости , Δ v . Поскольку скорость - это вектор, она может меняться по величине или по направлению.Таким образом, ускорение - это изменение скорости или направления, либо и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости , оно не всегда происходит в направлении движения . Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Это известно как замедление .

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение a , или ускорение в определенный момент времени , получается с помощью того же процесса, который обсуждался для мгновенной скорости во времени, скорости и скорости, то есть путем рассмотрения бесконечно малого интервала время.Как найти мгновенное ускорение, используя только алгебру? Ответ заключается в том, что мы выбираем среднее ускорение, которое представляет движение. На рисунке 6 показаны графики мгновенного ускорения в зависимости от времени для двух очень разных движений. На Рисунке 6 (а) ускорение незначительно меняется, и среднее значение за весь интервал почти такое же, как мгновенное ускорение в любой момент времени. В этом случае мы должны рассматривать это движение, как если бы оно имело постоянное ускорение, равное среднему (в данном случае около 1.8 м / с 2 ). На рисунке 6 (b) ускорение сильно меняется со временем. В таких ситуациях лучше всего рассматривать меньшие временные интервалы и выбирать для каждого среднее ускорение. Например, мы можем рассматривать движение во временных интервалах от 0 до 1,0 с и от 1,0 до 3,0 с как отдельные движения с ускорениями +3,0 м / с 2 и –2,0 м / с 2 соответственно.

В следующих нескольких примерах рассматривается движение поезда метро, ​​показанного на рисунке 7.В (а) волан движется вправо, а в (б) - влево. Примеры призваны дополнительно проиллюстрировать аспекты движения и проиллюстрировать некоторые рассуждения, которые используются при решении проблем.

Пример 2. Расчет смещения: поезд метро

Каковы величина и знак смещений при движении поезда метро, ​​показанных в частях (а) и (b) рисунка 7?

Стратегия

Чертеж с системой координат уже предоставлен, поэтому нам не нужно делать набросок, но мы должны проанализировать его, чтобы убедиться, что мы понимаем, что он показывает.Обратите особое внимание на систему координат. Чтобы найти смещение, мы используем уравнение Δ x = x f - x 0 . Это просто, поскольку даны начальная и конечная позиции.

Решение

1. Определите известные. На рисунке мы видим, что x f = 6,70 км и x 0 = 4,70 км для части (a), а x f = 3,75 км и x 0 = 5.25 км по части (б).

2. Найдите смещение в части (а).

[латекс] \ Delta x = {x} _ {f} - {x} _ {0} = 6,70 \ text {km} -4,70 \ text {km} = \ text {+} 2,00 \ text {km} [ / латекс]

3. Найдите смещение в части (b).

[латекс] \ Delta x ′ = {x ′} _ {f} - {x ′} _ {0} = \ text {3,75 км} - \ text {5,25 км} = - \ text {1,50 км} [/ латекс]

Обсуждение

Направление движения в (a) - вправо, и поэтому его смещение имеет положительный знак, тогда как движение в (b) - влево и, следовательно, имеет отрицательный знак.

Пример 3. Сравнение пройденного расстояния и перемещения: поезд метро

Какие расстояния преодолеваются за движения, показанные в частях (a) и (b) поезда метро на Рисунке 7?

Стратегия

Чтобы ответить на этот вопрос, подумайте об определениях расстояния и пройденного расстояния и о том, как они связаны с перемещением. Расстояние между двумя положениями определяется как величина смещения, которая была найдена в Примере 1.Пройденное расстояние - это общая длина пути, пройденного между двумя позициями. (См. Смещение.) В случае поезда метро, ​​показанного на рисунке 7, пройденное расстояние равно расстоянию между начальным и конечным положениями поезда.

Решение

1. Смещение для части (а) составило +2,00 км. Таким образом, расстояние между начальной и конечной позициями составило 2,00 км, а пройденное расстояние - 2,00 км.

2. Смещение для части (b) было -1.5 км. Таким образом, расстояние между начальной и конечной позициями составляло 1,50 км, а пройденное расстояние - 1,50 км.

Обсуждение

Расстояние - скаляр. У него есть величина, но нет знака, указывающего направление.

Пример 4. Расчет ускорения: поезд метро набирает скорость

Предположим, поезд на Рисунке 7 (a) ускоряется из состояния покоя до 30,0 км / ч за первые 20,0 с своего движения. Каково его среднее ускорение за этот промежуток времени?

Стратегия

Здесь стоит сделать простой набросок:

Решение

1.Определите известные. v 0 = 0 (поезда запускаются в состоянии покоя), v f = 30,0 км / ч, а Δ t = 20,0 с.

2. Вычислить Δ v . Поскольку поезд трогается с места, его скорость изменяется на [latex] \ Delta v \ text {=} \ text {+} \ text {30,0 км / ч} [/ latex], где знак плюса означает скорость вправо. .

3. Подставьте известные значения и решите неизвестное, [latex] \ bar {a} [/ latex].

[латекс] \ bar {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {+ \ text {30.{2} [/ латекс]

Обсуждение

Знак плюс означает, что ускорение направо. Это разумно, потому что поезд стартует из состояния покоя и заканчивает со скоростью вправо (тоже положительной). Таким образом, ускорение происходит в том же направлении, что и , изменяя скорость на , как всегда.

Пример 5. Расчет ускорения: замедление поезда метро

Теперь предположим, что в конце поездки поезд на Рисунке 7 (а) замедляется до остановки со скорости 30.0 км / ч за 8.00 с. Какое у него среднее ускорение при остановке?

Стратегия
Решение

1. Определите известные. v 0 = 30,0 км / ч, v f = 0 км / ч (поезд остановлен, поэтому его скорость равна 0), и Δ t = 8,00 с.

2. Найдите изменение скорости Δ v .

Δ v = v f - v 0 = 0 - 30.{2} \ text {.} [/ Latex]

Обсуждение

Знак минус указывает на то, что ускорение происходит влево. Этот знак разумен, потому что поезд изначально имеет положительную скорость в этой задаче, а отрицательное ускорение будет препятствовать движению. Опять же, ускорение происходит в том же направлении, что и , изменяет скорость на , которая здесь отрицательна. Это ускорение можно назвать замедлением, потому что оно имеет направление, противоположное скорости.

Графики положения, скорости и ускорения отВремя для поездов в Примере 4 и Примере 5 показано на Рисунке 10. (Мы приняли скорость постоянной от 20 до 40 с, после чего поезд замедляется.)

Пример 6. Расчет средней скорости: поезд метро

Какова средняя скорость поезда в части b примера 2, снова показанной ниже, если поездка занимает 5,00 минут?

Стратегия

Средняя скорость - это смещение, разделенное на время. Здесь он будет отрицательным, так как поезд движется влево и имеет отрицательное смещение.

Решение

1. Определите известные. x f = 3,75 км, x 0 = 5,25 км, Δ t = 5,00 мин.

2. Определите смещение Δ x ′. В примере 2 мы обнаружили, что Δ x ′ составляет −1,5 км.

3. Найдите среднюю скорость.

[латекс] \ bar {v} = \ frac {\ Delta x ′} {\ Delta t} = \ frac {- \ text {1,50 км}} {\ text {5,00 мин}} [/ latex]

4. Перевести единицы.

[латекс] \ bar {v} = \ frac {\ Delta x ′} {\ Delta t} = \ left (\ frac {-1 \ text {.} \ text {50 км}} {5 \ text {.} \ text {00 min}} \ right) \ left (\ frac {\ text {60 min}} {1 h} \ right) = - \ text { 18} \ text {.0 км / ч} [/ latex]

Обсуждение

Отрицательная скорость указывает на движение влево.

Пример 7. Расчет замедления: поезд метро

Наконец, предположим, что поезд на Рисунке 2 замедляется до остановки со скорости 20,0 км / ч за 10,0 с. Какое у него среднее ускорение?

Стратегия

Еще раз нарисуем набросок:

Как и раньше, мы должны найти изменение скорости и изменение во времени, чтобы вычислить среднее ускорение.

Решение

1. Определите известные. v 0 = −20 км / ч, v f = 0 км / ч, Δ t = 10,0 с.

2. Вычислить Δ v . Изменение скорости здесь действительно положительное, так как

[латекс] \ Delta v = {v} _ {f} - {v} _ {0} = 0- \ left (- \ text {20 км / ч} \ right) \ text {=} \ phantom {\ правило {0.25} {0ex}} \ text {+} \ text {20 км / ч} [/ latex]

3. Решите для [латекс] \ bar {a} [/ latex].

[латекс] \ bar {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {+ \ text {20} \ text {.{2} [/ латекс]

Обсуждение

Знак плюс означает, что ускорение направо. Это разумно, потому что поезд изначально имеет отрицательную скорость (слева) в этой задаче, а положительное ускорение противодействует движению (то есть справа). Опять же, ускорение происходит в том же направлении, что и изменение скорости на , что здесь положительно. Как и в примере 5, это ускорение можно назвать замедлением, поскольку оно происходит в направлении, противоположном скорости.

Пожалуй, самое важное, что нужно отметить в этих примерах, - это знаки ответов. В выбранной нами системе координат плюс означает, что величина находится справа, а минус - слева. Это легко представить для смещения и скорости. Но для разгона это немного менее очевидно. Большинство людей интерпретируют отрицательное ускорение как замедление объекта. Этого не было в Примере 2, где положительное ускорение замедляло отрицательную скорость. Решающее различие заключалось в том, что ускорение происходило в направлении, противоположном скорости.Фактически, отрицательное ускорение увеличит отрицательную скорость. Например, поезд, движущийся влево на рисунке 11, ускоряется за счет ускорения влево. В этом случае и v , и a отрицательны. Знаки плюс и минус указывают направления ускорений. Если ускорение имеет тот же знак, что и изменение скорости, объект ускоряется. Если ускорение имеет знак, противоположный изменению скорости, объект замедляется.

Проверьте свое понимание

Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, летящей на восток.Опишите его ускорение.

Решение

Если принять восток за положительное значение, то самолет имеет отрицательное ускорение, поскольку он ускоряется в сторону запада. Он также замедляется: его ускорение противоположно направлению его скорости.

Исследования PhET: моделирование движущегося человека

Узнайте о графиках положения, скорости и ускорения. Перемещайте человечка взад и вперед с помощью мыши и наметьте его движение. Задайте положение, скорость или ускорение и позвольте симуляции перемещать человека за вас.

Щелкните, чтобы загрузить симуляцию. Запускать на Java.

Сводка раздела

Концептуальные вопросы

1. Возможно ли, чтобы скорость оставалась постоянной при ненулевом ускорении? Приведите пример такой ситуации.

2. Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю? Объяснять.

3. Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение - нет.

4. Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, в каком направлении он ускоряется? Ускорение положительное или отрицательное?

5.Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для обозначения направления. Каков знак ускорения, уменьшающего величину отрицательной скорости? Положительной скорости?

Задачи и упражнения

1. Гепард может разогнаться от состояния покоя до скорости 30,0 м / с за 7,00 с. Какое у него ускорение?

2. Профессиональное приложение. Доктор Джон Пол Стэпп, офицер ВВС США, изучал влияние экстремального замедления на человеческое тело.10 декабря 1954 года Стапп ездил на ракетных санях, разгоняясь из состояния покоя до максимальной скорости 282 м / с (1015 км / ч) за 5,00 с, и был резко остановлен всего за 1,40 с! Вычислите его (а) ускорение и (б) замедление. Выразите каждое значение кратным г (9,80 м / с 2 ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

3. Пассажир выезжает на машине задним ходом из гаража с ускорением 1,40 м / с 2 . (a) Сколько времени ему нужно, чтобы набрать скорость 2.00 м / с? (b) Если она затем тормозит до остановки через 0,800 с, каково ее замедление?

4. Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета переходит из состояния покоя в суборбитальную скорость 6,50 км / с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены). Каково его среднее ускорение в м / с 2 и кратное g (9,80 м / с 2 ).

Глоссарий

ускорение:
скорость изменения скорости; изменение скорости с течением времени
среднее ускорение:
изменение скорости, деленное на время, в течение которого оно изменяется
мгновенное ускорение:
ускорение в определенный момент времени
замедление:
ускорение в направлении, противоположном скорости; ускорение, которое приводит к уменьшению скорости

Избранные решения проблем и упражнения

1.4,29 м / с 2

3. (а) 1,43 с (б) -2,50 м / с 2

6.2 Равномерное круговое движение - Физика

Разделы Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описывать центростремительное ускорение и связывать его с линейным ускорением
  • Опишите центростремительную силу и свяжите ее с линейной силой
  • Решение проблем, связанных с центростремительным ускорением и центростремительной силой

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.
    • (D) вычислить влияние сил на объекты, включая закон инерции, соотношение между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

Кроме того, Руководство лаборатории по физике для старших классов рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Круговое и вращательное движение», а также следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.

Раздел Основные термины

центробежная сила центростремительное ускорение центростремительная сила равномерное круговое движение

Центростремительное ускорение

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] Проверьте равномерное круговое движение.Попросите учащихся привести примеры кругового движения. Просмотрите линейное ускорение.

В предыдущем разделе мы определили круговое движение. Простейшим случаем кругового движения является равномерное круговое движение, когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью . Обратите внимание, что, в отличие от скорости, линейная скорость объекта при круговом движении постоянно меняется, потому что он всегда меняет направление. Из кинематики мы знаем, что ускорение - это изменение скорости либо по величине, либо по направлению, либо по обоим направлениям.Следовательно, объект, совершающий равномерное круговое движение, всегда ускоряется, даже если величина его скорости постоянна.

Вы сами испытываете это ускорение каждый раз, когда едете в машине на повороте. Если во время поворота удерживать рулевое колесо неподвижно и двигаться с постоянной скоростью, вы совершаете равномерное круговое движение. Вы замечаете ощущение скольжения (или отбрасывания, в зависимости от скорости) от центра поворота. На вас действует не настоящая сила - это происходит только потому, что ваше тело хочет продолжать движение по прямой линии (согласно первому закону Ньютона), в то время как машина сворачивает с этого прямолинейного пути.Внутри машины создается впечатление, что вас оттесняют от центра поворота. Эта фиктивная сила известна как центробежная сила. Чем резче кривая и чем выше ваша скорость, тем заметнее становится этот эффект.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Продемонстрируйте круговое движение, привязывая груз к веревке и вращая ее. Спросите студентов, что произойдет, если вы внезапно перережете веревку? В каком направлении движется объект? Почему? Что это говорит о направлении ускорения? Попросите учащихся привести примеры, когда они столкнулись с центростремительным ускорением.

На рис. 6.7 показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью. Направление мгновенной тангенциальной скорости показано в двух точках вдоль пути. Ускорение происходит в направлении изменения скорости; в этом случае он указывает примерно на центр вращения. (Центр вращения находится в центре круговой траектории). Если мы представим, что ΔsΔs становится все меньше и меньше, тогда ускорение будет направлять точно на к центру вращения, но этот случай трудно изобразить.Мы называем ускорение объекта, движущегося в равномерном круговом движении, центростремительным ускорением a c , потому что центростремительное означает центростремительное движение .

Рисунок 6.7 Показаны направления скорости объекта в двух разных точках, и видно, что изменение скорости ΔvΔv указывает приблизительно на центр кривизны (см. Маленькую вставку). При очень малом значении ΔsΔs ΔvΔv указывает точно на центр круга (но это трудно изобразить).Поскольку ac = Δv / Δtac = Δv / Δt, ускорение также направлено к центру, поэтому a c называется центростремительным ускорением.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Обратите внимание на рисунок 6.7. На рисунке показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью, и направление мгновенной скорости двух точек на траектории. Ускорение происходит в направлении изменения скорости и указывает на центр вращения. Это строго верно только при стремлении ΔsΔs к нулю.

Теперь, когда мы знаем, что центростремительное ускорение направлено к центру вращения, давайте обсудим величину центростремительного ускорения. Для объекта, движущегося со скоростью по круговой траектории с радиусом 19 , величина центростремительного ускорения составляет

.

Центростремительное ускорение больше на высоких скоростях и на крутых поворотах (меньший радиус), как вы могли заметить при вождении автомобиля, потому что автомобиль фактически толкает вас к центру поворота.Но немного удивительно, что a c пропорциональны квадрату скорости. Это означает, например, что при повороте на 100 км / ч ускорение в четыре раза больше, чем при 50 км / ч.

Мы также можем выразить a c через величину угловой скорости. Подставляя v = rωv = rω в приведенное выше уравнение, мы получаем ac = (rω) 2r = rω2ac = (rω) 2r = rω2. Следовательно, величина центростремительного ускорения с точки зрения величины угловой скорости равна

Tips For Success

Уравнение, выраженное в форме a c = 2 , полезно для решения задач, где вам известна угловая скорость, а не тангенциальная скорость.

Virtual Physics

Движение божьей коровки в 2D

В этом моделировании вы экспериментируете с положением, скоростью и ускорением божьей коровки при круговом и эллиптическом движении. Переключите тип движения с линейного на круговое и наблюдайте за векторами скорости и ускорения. Затем попробуйте эллиптическое движение и обратите внимание, как векторы скорости и ускорения отличаются от векторов кругового движения.

Проверка захвата

Какой угол между ускорением и скоростью при равномерном круговом движении? Какое ускорение испытывает тело при равномерном круговом движении?

  1. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает линейное ускорение.
  2. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.
  3. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает линейное ускорение.
  4. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.

Центростремительная сила

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Используя ту же демонстрацию, что и раньше, попросите учащихся предсказать взаимосвязь между величинами угловой скорости, центростремительного ускорения, массы, центростремительной силы.Предложите студентам поэкспериментировать, используя веревки разной длины и веса.

Поскольку объект при равномерном круговом движении испытывает постоянное ускорение (за счет изменения направления), мы знаем из второго закона движения Ньютона, что на объект должна действовать постоянная чистая внешняя сила.

Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение веревки на тросе, сила притяжения Земли на Луне, трение между дорогой и шинами автомобиля при движении по кривой или нормальная сила американских горок. следите за тележкой во время петли.

Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой. Направление центростремительной силы - к центру вращения, такое же, как и для центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила вызывает ускорение массы согласно F net = м a . Для равномерного кругового движения ускорение является центростремительным: a = a c . Следовательно, величина центростремительной силы F c равна Fc = macFc = mac.

Используя две разные формы уравнения для величины центростремительного ускорения, ac = v2 / rac = v2 / r и ac = rω2ac = rω2, мы получаем два выражения, включающих величину центростремительной силы F c . Первое выражение относится к тангенциальной скорости, второе - к угловой скорости: Fc = mv2rFc = mv2r и Fc = mrω2Fc = mrω2.

Обе формы уравнения зависят от массы, скорости и радиуса круговой траектории. Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Второй закон Ньютона также гласит, что объект будет ускоряться в том же направлении, что и чистая сила. По определению центростремительная сила направлена ​​к центру вращения, поэтому объект также будет ускоряться к центру. Прямая линия, проведенная от круговой траектории к центру круга, всегда будет перпендикулярна тангенциальной скорости. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите

Из этого выражения мы видим, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую.

Рисунок 6.8 На этом рисунке сила трения f служит центростремительной силой F c . Центростремительная сила перпендикулярна тангенциальной скорости и вызывает равномерное круговое движение. Чем больше центростремительная сила F c , тем меньше радиус кривизны r и тем круче кривизна. Нижняя кривая имеет ту же скорость v , но большая центростремительная сила F c дает меньший радиус r'r '.

Watch Physics

Центростремительная сила и ускорение Intuition

В этом видео объясняется, почему центростремительная сила создает центростремительное ускорение и равномерное круговое движение. Он также охватывает разницу между скоростью и скоростью и показывает примеры равномерного кругового движения.

Поддержка учителей
Предупреждение о неправильном представлении
Поддержка учителей

Некоторые студенты могут запутаться между центростремительной силой и центробежной силой. Центробежная сила - это не реальная сила, а результат ускоряющейся системы отсчета, такой как вращающийся автомобиль или вращающаяся Земля.Центробежная сила относится к вымышленному центру , убегающему от силы .

Проверка захвата

Представьте, что вы качаете йойо по вертикальному кругу по часовой стрелке перед собой, перпендикулярно направлению, в которое вы смотрите. Если веревка порвется, когда йо-йо достигнет самого нижнего положения, ближайшего к полу. Что будет с йо-йо после разрыва струны?

  1. Йо-йо полетит внутрь в направлении центростремительной силы.
  2. Йо-йо полетит наружу в направлении центростремительной силы.
  3. Йо-йо полетит влево в направлении тангенциальной скорости.
  4. Йо-йо полетит вправо в направлении тангенциальной скорости.

Решение проблем центростремительного ускорения и центростремительной силы

Чтобы получить представление о типичных величинах центростремительного ускорения, мы проведем лабораторию по оценке центростремительного ускорения теннисной ракетки, а затем, в нашем первом рабочем примере, сравним центростремительное ускорение автомобиля, огибающего кривую, с ускорением свободного падения.Для второго рабочего примера мы вычислим силу, необходимую для поворота автомобиля на повороте.

Snap Lab

Оценка центростремительного ускорения

В этом упражнении вы будете измерять качание клюшки для гольфа или теннисной ракетки, чтобы оценить центростремительное ускорение конца клюшки или ракетки. Вы можете сделать это в замедленном режиме. Напомним, что уравнение центростремительного ускорения имеет вид ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2.

  • Одна теннисная ракетка или клюшка для гольфа
  • Один таймер
  • Одна линейка или рулетка

Порядок действий

  1. Работа с партнером.Стойте на безопасном расстоянии от вашего партнера, когда он или она размахивает клюшкой для гольфа или теннисной ракеткой.
  2. Опишите движение качелей - это равномерное круговое движение? Почему или почему нет?
  3. Постарайтесь сделать свинг как можно ближе к равномерному круговому движению. Какие корректировки пришлось внести вашему партнеру?
  4. Измерьте радиус кривизны. Что вы измерили физически?
  5. Используя таймер, найдите либо линейную, либо угловую скорость, в зависимости от того, какое уравнение вы решите использовать.
  6. Каково примерное центростремительное ускорение на основе этих измерений? Как вы думаете, насколько они точны? Почему? Как вы и ваш партнер можете сделать эти измерения более точными?
Поддержка учителя
Поддержка учителя

Удар клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен двигать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки - это радиус кривизны.Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека. Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен двигать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки - это радиус кривизны. Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека.

Проверка захвата

Было ли более полезным использовать в этом упражнении уравнение ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2? Почему?

  1. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы проще.
  2. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы проще.
  3. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы затруднительно.
  4. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы затруднительно.

Рабочий пример

Сравнение центростремительного ускорения автомобиля на повороте с ускорением под действием силы тяжести

Автомобиль движется по кривой радиусом 500 м со скоростью 25,0 м / с (около 90 км / ч). Какова величина центростремительного ускорения автомобиля? Сравните центростремительное ускорение для этой довольно пологой кривой, снятой на скорости шоссе, с ускорением свободного падения ( g ).

Стратегия

Поскольку дана линейная, а не угловая скорость, наиболее удобно использовать выражение ac = v2rac = v2r, чтобы найти величину центростремительного ускорения.

Решение

Ввод данных значений v = 25,0 м / с и r = 500 м в выражение для a c дает

ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с 2. ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с2.

Обсуждение

Для сравнения с ускорением свободного падения ( g = 9.80 м / с 2 ), берем соотношение ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128 ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128. Следовательно, ac = 0,128gac = 0,128g, что означает, что центростремительное ускорение составляет примерно одну десятую ускорения свободного падения.

Рабочий пример

Сила трения на шинах автомобиля, огибающих кривую
  1. Рассчитайте центростремительную силу, действующую на автомобиль массой 900 кг, который движется по кривой радиусом 600 м на горизонтальной поверхности со скоростью 25,0 м / с.
  2. Статическое трение предотвращает скольжение автомобиля.Найдите величину силы трения между шинами и дорогой, которая позволяет автомобилю обогнуть поворот, не соскальзывая по прямой.

Стратегия и решение для (а)

Мы знаем, что Fc = mv2rFc = mv2r. Следовательно,

Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н. Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н.

Стратегия и решение для (b)

На изображении выше показаны силы, действующие на автомобиль при повороте кривой. На этой диаграмме автомобиль движется по странице, как показано, и поворачивает налево.Трение действует влево, ускоряя автомобиль к центру поворота. Поскольку трение - единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, в этом случае оно обеспечивает всю центростремительную силу. Следовательно, сила трения является центростремительной силой в этой ситуации и направлена ​​к центру кривой.

Обсуждение

Поскольку мы нашли силу трения в части (b), мы также можем найти коэффициент трения, поскольку f = μsN = μsmgf = μsN = μsmg.

Практические задачи

9.

Какое центростремительное ускорение ощущают пассажиры автомобиля, движущегося со скоростью 12 м / с по кривой радиусом 2,0 м?

  1. 3 м / с 2
  2. 6 м / с 2
  3. 36 м / с 2
  4. 72 м / с 2
10.

Вычислить центростремительное ускорение объекта, движущегося по траектории с радиусом кривизны 0,2 м и угловой скоростью 5 рад / с.

  1. 1 м / с
  2. 5 м / с
  3. 1 м / с 2
  4. 5 м / с 2

Проверьте свое понимание

11.

Что такое равномерное круговое движение?

  1. Равномерное круговое движение - это когда объект ускоряется по круговой траектории с постоянно увеличивающейся скоростью.
  2. Равномерное круговое движение - это когда объект движется по круговой траектории с переменным ускорением.
  3. Равномерное круговое движение - это когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью.
  4. Равномерное круговое движение - это когда объект движется по круговой траектории с переменной скоростью.
12.

Что такое центростремительное ускорение?

  1. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и радиально направленного к центру круговой орбиты
  2. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и тангенциально направленного по круговой траектории
  3. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении движения объекта
  4. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении, противоположном движению объекта
13.

Существует ли чистая сила, действующая на объект при равномерном круговом движении?

  1. Да, объект ускоряется, поэтому на него должна действовать чистая сила.
  2. Да потому что разгона нет.
  3. Нет, потому что ускорение есть.
  4. Нет, потому что разгона нет.
14.

Укажите два примера сил, которые могут вызвать центростремительное ускорение.

  1. Сила притяжения Земли на Луну и нормальная сила
  2. Сила притяжения Земли на Луну и натяжение веревки на вращающемся тросболе
  3. Нормальная сила и сила трения, действующие на движущийся автомобиль
  4. Нормальная сила и натяжение троса на тезерболе

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела.Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

3.1 Разгон | Texas Gateway

Определение ускорения

В этой главе мы будем использовать следующие термины: время , смещение , скорость и ускорение . Напомним, что у каждого из этих терминов есть обозначенная переменная и единица измерения СИ следующим образом:

  • Время: t в секундах
  • Смещение: Δ d , измеряется в метрах (м)
  • Скорость: v , измеряется в метрах в секунду (м / с)
  • Ускорение: a , измеряется в метрах в секунду в секунду (м / с 2 , также называемые метрами в секунду в квадрате)
  • Также обратите внимание на следующее:
    • Δ означает изменение в
    • Нижний индекс 0 относится к начальному значению; иногда индекс i используется для обозначения начального значения.
    • Нижний индекс f относится к окончательному значению
    • Полоса над символом, например ¯a¯, означает в среднем

Ускорение - это изменение скорости, деленное на период времени, в течение которого это изменение происходит. В системе СИ единицами измерения скорости являются м / с, а единицей СИ для времени - с, поэтому единицами СИ для ускорения являются м / с 2 . Среднее ускорение составляет

. a¯ = ΔvΔt = vf − v0tf − t0.a¯ = ΔvΔt = vf − v0tf − t0.

Среднее ускорение отличается от мгновенного ускорения, которое представляет собой ускорение в определенный момент времени.Величина ускорения часто не постоянна во времени. Например, бегуны, участвующие в гонке, ускоряются в первую секунду гонки с большей скоростью, чем в последующие секунды. Вам не нужно постоянно знать все мгновенные ускорения, чтобы рассчитать среднее ускорение. Все, что вам нужно знать, это изменение скорости (то есть конечная скорость минус начальная скорость) и изменение во времени (то есть конечное время минус начальное время), как показано в формуле. Обратите внимание, что среднее ускорение может быть положительным, отрицательным или нулевым.Отрицательное ускорение - это просто ускорение в отрицательном направлении.

Имейте в виду, что хотя ускорение указывает в том же направлении, что и , изменение скорости на , оно не всегда происходит в направлении самой скорости. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его скорости. На обыденном языке это называется замедлением; но в физике это ускорение, направление которого противоположно направлению скорости. А пока предположим, что движение вправо по оси x равно положительным , а движение влево - отрицательным .

На рис. 3.2 показан автомобиль с положительным ускорением в (a) и отрицательным ускорением в (b). Стрелки представляют собой векторы, показывающие направление и величину скорости и ускорения.

Рис. 3.2 Автомобиль ускоряется на (a) и замедляется на (b).

Скорость и ускорение являются векторными величинами. Напомним, что векторы имеют как величину, так и направление. Объект, движущийся с постоянной скоростью - следовательно, не имеющий ускорения - действительно ускоряется, если он меняет направление.Итак, поворот рулевого колеса движущегося автомобиля заставляет автомобиль ускоряться, потому что скорость меняет направление.

Virtual Physics

The Moving Man

С помощью этой анимации на рисунке 3.3 вы можете создать как вариации ускорения, так и скорости, показанные на рисунке 3.2, а также еще несколько вариаций. Изменяйте скорость и ускорение, перемещая красный и зеленый маркеры по шкале. Удержание маркера скорости около нуля сделает эффект ускорения более очевидным.Попробуйте изменить ускорение с положительного на отрицательное, пока мужчина движется. Мы вернемся к этой анимации и посмотрим на представление Charts , когда будем изучать графическое представление движения.

Проверка захвата

Какая часть (a) или (b) представлена, когда вектор скорости находится на положительной стороне шкалы, а вектор ускорения установлен на отрицательной стороне шкалы? Как выглядит движение автомобиля для данного сценария?

  1. Часть (а).Автомобиль замедляется, потому что векторы ускорения и скорости действуют в противоположном направлении.
  2. Часть (а). Автомобиль ускоряется, потому что векторы ускорения и скорости действуют в одном направлении.
  3. Часть (б). Автомобиль замедляется, потому что векторы ускорения и скорости действуют в противоположных направлениях.
  4. Часть (б). Автомобиль ускоряется, потому что векторы ускорения и скорости действуют в одном направлении.

Равномерное круговое движение

Центростремительное ускорение

Движение объекта по круговой траектории с постоянной скоростью известно как равномерное круговое движение (UCM). Объект в UCM постоянно меняет направление, и, поскольку скорость является вектором и имеет направление, можно сказать, что объект, подвергающийся UCM, имеет постоянно меняющуюся скорость, даже если его скорость остается постоянной.И если скорость объекта меняется, он должен ускоряться. Следовательно, объект, подвергающийся UCM, постоянно ускоряется. Этот тип ускорения известен как центростремительное ускорение .

Вопрос : Если автомобиль ускоряется, увеличивается ли его скорость?

Ответ : Это зависит от обстоятельств. Его скорость может увеличиваться, или он может ускоряться в направлении, противоположном его скорости (замедление). Или его скорость может оставаться постоянной, но при этом ускоряться, если он движется равномерно по кругу.

Не менее важно, что нам нужно выяснить направление ускорения объекта, поскольку ускорение - это вектор. Для этого нарисуем объект, движущийся против часовой стрелки по круговой траектории, и покажем его вектор скорости в двух разных точках времени. Поскольку мы знаем, что ускорение - это скорость изменения скорости объекта во времени, мы можем определить направление ускорения объекта, найдя направление его изменения скорости Δv.

Чтобы найти его изменение скорости Δv, мы должны это вспомнить.

Следовательно, нам необходимо графически найти разность векторов v f и v i , которую можно переписать как.

Напомним, что для графического сложения векторов мы выстраиваем их в линию, кончик к хвосту, а затем рисуем результирующий вектор от начальной точки (хвоста) нашего первого вектора до конечной точки (кончика) нашего последнего вектора.

Итак, вектор ускорения должен указывать в указанном выше направлении. Если я снова покажу этот вектор на нашем исходном круге, выстроив его прямо между нашим начальным и конечным векторами скорости, легко увидеть, что вектор ускорения указывает на центр круга.

Вы можете повторить эту процедуру из любой точки окружности ... куда бы вы ни пошли, вектор ускорения всегда направлен к центру окружности. Фактически, слово центростремительный, в слове «центростремительное ускорение» означает «центростремительный»!

Итак, теперь мы знаем направление ускорения объекта (к центру круга), но как насчет его величины? Величина центростремительного ускорения объекта может быть найдена в справочной таблице и определяется по формуле:

Круговая скорость

Так как же определить скорость объекта, движущегося по круговой траектории? Формула скорости, которую мы изучили в кинематике, все еще применима.

Однако мы должны быть осторожны при использовании этого уравнения, чтобы понять, что объект, движущийся по круговой траектории, движется по окружности круга. Следовательно, если объект совершит один полный оборот по окружности, расстояние, которое он преодолеет, будет равно длине окружности круга.

Давайте посмотрим на пример задачи:

Вопрос : Миранда едет на своей машине по часовой стрелке по круговой колее радиусом 30 метров.Она делает 10 кругов по трассе за 2 минуты. Найдите общее пройденное расстояние, среднюю скорость и центростремительное ускорение Миранды.

Ответ :

Центростремительная сила

Если объект, движущийся по круговой траектории, имеет внутреннее ускорение, 2-й закон Ньютона говорит нам, что чистая сила также должна быть направлена ​​к центру круга.Этот тип силы, известный как центростремительная сила, может быть гравитационной силой, натяжением, приложенной силой или даже силой трения.

ПРИМЕЧАНИЕ: Имея дело с проблемами кругового движения, важно понимать, что центростремительная сила на самом деле не новая сила, центростремительная сила - это просто ярлык или группировка, которые мы применяем к силе, чтобы указать ее направление к центру круг. Это означает, что вы никогда не захотите обозначать силу на диаграмме свободного тела как центростремительную силу, F c .Вместо этого обозначьте силу, направленную к центру, как можно точнее. Если усилие вызывает натяжение, обозначьте его F T . Если сила трения вызывает силу, направленную к центру, обозначьте ее F f и так далее.

Мы можем объединить уравнение центростремительного ускорения со 2-м законом Ньютона, чтобы получить 2-й закон Ньютона для кругового движения. Напомним, что 2-й закон Ньютона гласит:

Для объекта, движущегося по круговой траектории, должна существовать чистая (центростремительная) сила, направленная к центру круговой траектории, чтобы вызвать (центростремительное) ускорение, направленное к центру круговой траектории.В таком случае мы можем пересмотреть 2-й закон Ньютона для этого конкретного случая следующим образом:

Затем, вспомнив нашу формулу центростремительного ускорения как:

Мы можем сложить их вместе, заменив c в нашем уравнении, чтобы получить комбинированную форму 2-го закона Ньютона для равномерного кругового движения:

Конечно, если объект движется по круговой траектории и центростремительная сила устранена, объект продолжит движение по прямой в любом направлении, в котором он двигался в момент снятия силы.

Вопрос : Бегущий назад 800N поворачивает угол по круговой траектории r = 1 м со скоростью 8 м / с. Найдите массу убегающего, центростремительное ускорение и центростремительную силу.

Ответ : Дано mg = 800N, r = 1m, v = 8m / s; Найти m, ac, Fc

Попробуем еще:

Еще одна примерная задача, на этот раз включающая только алгебраические манипуляции:


Частота и период

Для объектов, движущихся по круговой траектории, мы можем охарактеризовать их движение по кругу, используя термины частота (f) и период (T).Частота объекта - это количество оборотов, которые объект совершает за полную секунду. Он измеряется в единицах [1 / с] или Герцах (Гц). Точно так же период объекта - это время, необходимое для совершения одного полного оборота. Поскольку период - это временной интервал, он измеряется в секундах. Мы можем связать период и частоту, используя уравнения:

Вопрос : Игрушечный поезд весом 500 г проходит 10 кругов по круговой колее за 1 мин 40 сек.Если диаметр пути составляет 1 м, найдите центростремительное ускорение поезда (a c ), центростремительную силу (F c ), период (T) и частоту (f).

Ответ :

Давайте посмотрим на другой пример:

Вертикальное круговое движение

Объекты движутся по кругу как по вертикали, так и по горизонтали.Поскольку скорость этих объектов обычно не является постоянной, технически это не равномерное круговое движение , но наши навыки анализа UCM по-прежнему применимы.

Представьте американские горки, движущиеся по вертикальной петле радиусом 10 м. Вы путешествуете по петле вверх ногами, но не падаете с американских горок. Как это возможно? Мы можем использовать наше понимание UCM и динамики, чтобы выяснить это!

Конец круга

Для начала давайте посмотрим на каботажное судно, когда машина находится в нижней части петли.Нарисуя диаграмму свободного тела, сила тяжести на подставке, также известная как его вес, тянет его вниз, поэтому мы рисуем направленный вниз вектор с надписью «mg». Этой силе противодействует нормальная сила, с которой рельсы каботажного судна толкают вверх, которую мы обозначили как F N .

Поскольку каботажное судно движется по круговой траектории, мы можем проанализировать его с помощью инструментов, которые мы разработали для равномерного кругового движения. 2-й закон Ньютона все еще применяется, поэтому мы можем написать:

Обратите внимание: поскольку мы говорим о круговом движении, мы примем соглашение, согласно которому силы, направленные к центру круга, положительны, а силы, направленные от центра круга, отрицательны.На этом этапе вспомните, что сила, которую вы «чувствуете», когда вы находитесь в движении, на самом деле является нормальной силой. Итак, вычисляя нормальную силу, когда вы начинаете двигаться по кругу, мы находим, что

Поскольку мы знаем, что чистая сила всегда равна массе, умноженной на ускорение, поэтому чистая центростремительная сила равна массе, умноженной на центростремительное ускорение, мы можем заменить F NET c следующим образом:

Из полученного уравнения видно, что нормальная сила теперь равна весу плюс дополнительный член центростремительной силы кругового движения.Когда мы движемся по круговой траектории в нижней части петли, мы чувствуем себя тяжелее своего веса. В общем, мы чувствуем дополнительные «перегрузки». Сколько g, по нашему мнению, можно получить, приложив немного больше усилий. Если мы перепишем наше уравнение для нормальной силы, вытягивая массу, применяя распределительное свойство умножения, мы получим:

Обратите внимание, что внутри скобок у нас есть стандартное ускорение свободного падения, g, плюс член центростремительного ускорения ().

Этот дополнительный термин - дополнительная перегрузочная сила, которую ощущает человек. Например, если c было равно g (9,81 м / с 2 ), вы могли бы сказать, что человек в тележке испытывал два g (1 g от центростремительного ускорения и 1 g от гравитационного поля Земли). Если бы c было равно 3 * g (29,4 м / с 2 ), человек испытал бы в общей сложности четыре g.

Расширяя этот анализ до аналогичной ситуации в другом контексте, попробуйте представить вместо американских горок массу, вращающуюся по вертикальному кругу на веревке.В нашем анализе вы можете заменить нормальную силу натяжением струны. Поскольку сила больше в нижней части круга, вероятность разрыва струны наиболее высока, когда масса находится в нижней части круга!

Вершина круга

В верхней части цикла мы видим существенно другую картину. Теперь нормальная сила от рельсов подстаканника должна давить вниз на тележку, хотя все еще в положительном направлении, так как теперь вниз направлено к центру круговой траектории.В этом случае, однако, вес объекта также указывает на центр круга, поскольку гравитационное поле Земли всегда тянется к центру Земли. Наша диаграмма свободного тела выглядит значительно иначе, и поэтому наше приложение ко 2-му закону Ньютона для кругового движения также значительно отличается.

Поскольку сила, которую вы чувствуете, на самом деле является нормальной силой, мы можем найти нормальную силу и расширить чистую центростремительную силу, как показано:

Из уравнения видно, что нормальная сила теперь равна центростремительной силе за вычетом вашего веса.Если бы центростремительная сила была равна вашему весу, вы бы почувствовали себя невесомым. Обратите внимание, что это также точка, в которой нормальная сила точно равна 0. Это означает, что рельсы гусеницы больше не давят на тележку американских горок ... если бы центростремительная сила была хоть немного меньше (скорость автомобиля было немного меньше), нормальная сила FN будет меньше 0. Поскольку рельсы не могут физически тянуть тележку в отрицательном направлении (от центра круга), это означает, что вагон падает с рельса. и у пассажира телеги вот-вот будет очень, очень плохой день.Только поддерживая высокую скорость, тележка может успешно преодолеть петлю ... идти слишком медленно, и тележка падает.

В целях безопасности настоящие американские горки на самом деле имеют колеса по обеим сторонам рельсов, чтобы тележка не упала, если она когда-либо замедлялась на вершине петли, хотя горки спроектированы так, что на самом деле такая ситуация никогда не возникает.

4.5. Равномерное круговое движение - Physics LibreTexts

Цели обучения

  • Найдите центростремительное ускорение объекта, движущегося по круговой траектории.
  • Используйте уравнения кругового движения, чтобы найти положение, скорость и ускорение частицы, совершающей круговое движение.
  • Объясните разницу между центростремительным ускорением и тангенциальным ускорением, возникающим в результате неравномерного кругового движения.
  • Оцените центростремительное и тангенциальное ускорение при неравномерном круговом движении и найдите вектор полного ускорения.

Равномерное круговое движение - это особый тип движения, при котором объект движется по кругу с постоянной скоростью. Например, любая точка пропеллера, вращающегося с постоянной скоростью, совершает равномерное круговое движение. Другими примерами являются секундная, минутная и часовая стрелки часов. Примечательно, что точки на этих вращающихся объектах действительно ускоряются, хотя скорость вращения постоянна. Чтобы увидеть это, мы должны проанализировать движение в терминах векторов.

Центростремительное ускорение

В одномерной кинематике объекты с постоянной скоростью имеют нулевое ускорение.Однако в двух- и трехмерной кинематике, даже если скорость постоянна, частица может иметь ускорение, если она движется по криволинейной траектории, такой как окружность. В этом случае вектор скорости меняется, или \ (\ frac {d \ vec {v}} {dt} \) ≠ 0. Это показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \). Поскольку частица движется против часовой стрелки во времени \ (\ Delta \) t по круговой траектории, ее вектор положения перемещается из \ (\ vec {r} (t) \) в \ (\ vec {r} (t + \ Delta t ) \). Вектор скорости имеет постоянную величину и касается пути при изменении от \ (\ vec {v} \) (t) до \ (\ vec {v} \ left (t + \ Delta t \ right) \), только меняя свое направление.Поскольку вектор скорости \ (\ vec {v} (t) \) перпендикулярен вектору положения \ (\ vec {r} \) (t), треугольники, образованные векторами положения и \ (\ Delta \ vec { r} \), а векторы скорости и \ (\ Delta \ vec {v} \) аналогичны. Кроме того, с

\ [| \ vec {r} (t) | = | \ vec {r} (t + \ Delta t) | \ nonumber \]

и

\ [| \ vec {v} (t) | = | \ vec {v} (t + \ Delta t) |, \ nonumber \]

два равнобедренных треугольника. Из этих фактов мы можем сделать утверждение

\ [\ dfrac {\ Delta v} {v} = \ dfrac {\ Delta r} {r} \]

или

\ [\ Delta v = \ dfrac {v} {r} \ Delta r. {2}} {r} \ ldotp \]

Направление ускорения также можно найти, отметив, что по мере приближения \ (\ Delta \) t и, следовательно, \ (\ Delta \ theta \) к нулю вектор \ (\ Delta \ vec {v} \) приближается к направлению перпендикулярно \ (\ vec {v} \).{2}} {r} \ ldotp \ label {4.27} \]

Направление вектора ускорения - к центру круга (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Это радиальное ускорение и называется центростремительным ускорением , поэтому мы даем ему индекс \ (c \). Слово центростремительный происходит от латинских слов centrum (что означает «центр») и petere (что означает искать ») и, таким образом, принимает значение« поиск центра ».

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Вектор центростремительного ускорения указывает на центр круговой траектории движения и представляет собой ускорение в радиальном направлении.Также показан вектор скорости, касающийся окружности.

Давайте рассмотрим несколько примеров, которые иллюстрируют относительные величины скорости, радиуса и центростремительного ускорения.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): создание ускорения на 1 g

Самолет летит со скоростью 134,1 м / с по прямой и делает разворот по круговой траектории на уровне земли. Каким должен быть радиус окружности, чтобы вызвать центростремительное ускорение в 1 g для пилота и струи по направлению к центру круговой траектории?

Стратегия

Учитывая скорость струи, мы можем найти радиус окружности в выражении для центростремительного ускорения.{2}} = 1835 \; m = 1,835 \; км \ ldotp \]

Значение

Чтобы создать у пилота большее ускорение, чем g, струе придется либо уменьшить радиус своей круговой траектории, либо увеличить скорость по существующей траектории, либо и то, и другое.

Упражнение 4.5

Радиус маховика 20,0 см. Какова скорость точки на краю маховика, если она испытывает центростремительное ускорение 900,0 см / с 2 ?

Центростремительное ускорение может иметь широкий диапазон значений в зависимости от скорости и радиуса кривизны круговой траектории.Типичные центростремительные ускорения приведены в таблице \ (\ PageIndex {1} \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): типичное центростремительное ускорение
Объект Центростремительное ускорение (м / с 2 или g)
Земля вокруг Солнца 5,93 x 10 -3
Луна вокруг Земли 2,73 x 10 -3
Спутник на геостационарной орбите 0.233
Внешний край компакт-диска при воспроизведении 5,75
Струя в бочкообразном рулоне (2-3 г)
Американские горки (5 г)
Электрон, вращающийся вокруг протона в простой модели атома Бора 9,0 x 10 22

Уравнения движения для равномерного кругового движения

Частица, совершающая круговое движение, может быть описана ее вектором положения \ (\ vec {r} (t) \).На рисунке \ (\ PageIndex {3} \) показана частица, совершающая круговое движение против часовой стрелки. Когда частица движется по окружности, ее вектор положения сметает угол \ (\ theta \) с осью x. Вектор \ (\ vec {r} (t) \), образующий угол \ (\ theta \) с осью x, показан с его компонентами вдоль осей x и y. Величина вектора положения равна \ (A = | \ vec {r} (t) | \), а также является радиусом круга, так что с точки зрения его компонентов

\ [\ vec {r} (t) = A \ cos \ omega \ hat {i} + A \ sin \ omega t \ hat {j} \ ldotp \ label {4.28} \]

Здесь \ (\ omega \) - постоянная, называемая угловой частотой частицы. Угловая частота измеряется в радианах (рад) в секунду и представляет собой просто количество радианов угловой меры, через которую проходит частица в секунду. Угол \ (θ \), который имеет вектор положения в любой конкретный момент времени, равен \ (\ omega \) t.

Если \ (T \) - период движения или время, чтобы совершить один оборот (\ (2 \ pi \, rad \)), то

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): вектор положения частицы, движущейся по кругу, с ее компонентами по осям x и y.Частица движется против часовой стрелки. Угол \ (\ theta \) - угловая частота \ (\ omega \) в радианах в секунду, умноженная на \ (t \).

Скорость и ускорение можно получить из функции положения путем дифференцирования:

\ [\ vec {v} (t) = \ frac {d \ vec {r} (t)} {dt} = -A \ omega \ sin \ omega t \ hat {i} + A \ omega \ cos \ омега т \ шляпа {j} \ ldotp \ label {4.29} \]

Из рисунка \ (\ PageIndex {3} \) видно, что вектор скорости касается окружности в месте нахождения частицы и имеет величину A \ (\ omega \).{2} \ vec {r} \) (t).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): круговое движение протона

Протон имеет скорость 5 x 10 6 м / с и движется по окружности в плоскости xy радиуса r = 0,175 м. Каково его положение в плоскости xy в момент времени t = 2,0 x 10 −7 с = 200 нс? При t = 0 положение протона составляет 0,175 м \ (\ hat {i} \), и он вращается против часовой стрелки. Набросайте траекторию.

Решение

По приведенным данным протон имеет период и угловую частоту:

\ [T = \ frac {2 \ pi r} {v} = \ frac {2 \ pi (0.{−7} \, мс = 200 \, нс \). Показана траектория протона. Угол, под которым протон движется по окружности, составляет 5,712 рад, что немного меньше одного полного оборота.

Значение

Мы выбрали начальное положение частицы по оси абсцисс. Это было совершенно произвольно. Если бы была задана другая начальная позиция, у нас было бы другое конечное положение при t = 200 нс.

Неравномерное круговое движение

Круговое движение не обязательно должно иметь постоянную скорость.Частица может двигаться по кругу и ускоряться или замедляться, показывая ускорение в направлении движения.

При равномерном круговом движении частица, совершающая круговое движение, имеет постоянную скорость, а круг имеет фиксированный радиус. Если скорость частицы тоже меняется, то мы вводим дополнительное ускорение в направлении, касательном к окружности. Такое ускорение происходит в точке на вершине, которая изменяет скорость вращения, или в любом ускоряющем роторе. В работе «Векторы смещения и скорости» мы показали, что центростремительное ускорение - это скорость изменения направления вектора скорости во времени.Если скорость частицы изменяется, то она имеет тангенциальное ускорение , , то есть скорость изменения величины скорости во времени:

\ [a_ {T} = \ frac {d | \ vec {v} |} {dt} \ ldotp \ label {4.31} \]

Направление тангенциального ускорения касается окружности, тогда как направление центростремительного ускорения радиально внутрь к центру окружности. Таким образом, частица, движущаяся по кругу с тангенциальным ускорением, имеет общее ускорение , которое является векторной суммой центростремительного и тангенциального ускорений:

\ [\ vec {a} = \ vec {a} _ {c} + \ vec {a} _ {T} \ ldotp \ label {4.32} \]

Векторы ускорения показаны на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Обратите внимание, что два вектора ускорения \ (\ vec {a} _ {c} \) и \ (\ vec {a} _ {T} \) перпендикулярны друг другу, причем \ (\ vec {a} _ {c } \) в радиальном направлении и \ (\ vec {a} _ {T} \) в тангенциальном направлении. Общее ускорение \ (\ vec {a} \) указывает под углом между \ (\ vec {a} _ {c} \) и \ (\ vec {a} _ {T} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Центростремительное ускорение указывает на центр круга. Тангенциальное ускорение является касательным к окружности в месте расположения частицы.{2}}, c_ {1} = 4.0 \; м / с, c_ {2} = 6,0 \; м \ cdotp s \ ldotp \]

Каково полное ускорение частицы при t = 2,0 с?

Стратегия

Нам даны скорость частицы и радиус круга, поэтому мы можем легко вычислить центростремительное ускорение. Направление центростремительного ускорения - к центру круга. Мы находим величину тангенциального ускорения, взяв производную по времени от | v (t) | используя уравнение \ ref {4.{2} \]

и \ (\ theta \) = tan −1 \ (\ left (\ dfrac {3.1} {1.5} \ right) \) = 64 ° от касательной к окружности. См. Рисунок \ (\ PageIndex {6} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): векторы тангенциального и центростремительного ускорения. Чистое ускорение \ (\ vec {a} \) - это векторная сумма двух ускорений.

Значение

Направления центростремительного и тангенциального ускорений можно описать более удобно в терминах полярной системы координат с единичными векторами в радиальном и тангенциальном направлениях.Эта система координат, которая используется для движения по криволинейным траекториям, подробно обсуждается позже в книге.

Авторы и авторство

  • Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

Центростремительная сила - Гипертекст по физике

Обсуждение

ищу центр

Текст.

Текст.

Текст.

Доказательство, подобное этому, было впервые представлено английским ученым, математиком, изобретателем и теологом Исааком Ньютоном (1642–1727). Вот изображение из одной из его записных книжек, показывающее, как он к этому относился.

Текст?

уравнений

Текст.

Текст.

a c = - ω 2 r
Центростремительное ускорение выбранных событий (от наименьшего к наибольшему)
a (м / с 2 ) событие
0 движется с постоянной скоростью по прямой
2.32 × 10 −10 галактическое ускорение на Солнце
8,8 Международная космическая станция на орбите
0–150 центрифуга для обучения человека
10 4 –10 6 медицинская центрифуга

вывод с использованием евклидовой геометрии и алгебры

В левой части схемы ниже показана пунктирная линия, представляющая путь объекта по круговой траектории с постоянной скоростью.(Это называется равномерное круговое движение для тех, кто любит технические термины.) Красные стрелки указывают на положение объекта в какой-то момент ( r 0 ), а в другой момент чуть позже ( r ) ). Начало этой системы координат находится в центре круговой траектории. Это означает, что векторы положения также являются радиусами. Синие стрелки показывают скорость объекта в эти два момента ( v 0 , v ).Векторы скорости всегда касаются пути, по которому следует объект. Как вас, вероятно, учили где-то на уроке геометрии, радиус в точке и касательная в одной и той же точке на окружности всегда перпендикулярны.

Давайте переместим векторы в среднюю часть диаграммы, чтобы мы могли лучше видеть, что происходит. Два вектора положения выходят из одной и той же точки - и мы просто оставим их такими. Два вектора скорости выходят из разных точек.Давайте переместим их так, чтобы они выходили из одной точки. Определение вектора - это величина, имеющая как величину, так и направление. Здесь ничего не говорится о местонахождении. Перемещение векторов не проблема. Добавьте стрелку от кончика начальных векторов ( r 0 , v 0 ) до кончика конечных векторов ( r , v ). Таковы изменения этих векторов (Δ r , Δ v ).

Теперь у нас есть два похожих треугольника: один со сторонами r 0 , r , Δ r и другой с соответствующими сторонами v 0 , v , Δ v .Оба треугольника равнобедренные (имеют две стороны равной длины) и имеют одинаковый угол при вершине (θ). Позиционные векторы r 0 и r равны, потому что они оба радиуса, и все радиусы имеют одинаковую длину в любом одном круге. Векторы скорости v 0 и v равны, потому что я сказал, что скорость постоянна. Угол θ в обоих треугольниках одинаков, потому что векторы положения и скорости всегда перпендикулярны. Когда вы поворачиваете вектор положения на некоторую величину, вы также поворачиваете вектор скорости на ту же величину.

Для одинаковых треугольников соотношение сторон постоянно. Я знаю, как я хочу, чтобы это выглядело, когда я закончу, поэтому я собираюсь писать в этом порядке. (Последнее соотношение является отчасти избыточным, поскольку оно является своего рода копией среднего. Мы больше ни для чего не собираемся его использовать.)

Δ в = v = v 0
Δ r r r 0

Когда я настраивал описание этого происхождения, я намеренно использовал фразу «немного позже», чтобы описать изменение положения.Я сделал это не зря. Два вектора положения, r 0 и r , также являются сторонами сектора круга. (Сектор круга похож на кусок пиццы - если пицца круглая и «диагональный разрез».) Длина дуги этого сектора - это расстояние, пройденное объектом. Если временной интервал «мал», то это расстояние (Δ s ) почти такое же, как изменение положения (Δ r ) - и чем оно меньше, тем ближе они приближаются.

Δ с → Δ r как Δ т → 0

Поскольку скорость была постоянной, существует простое уравнение для расстояния.

Δ r ≈ Δ с = v Δ t

Подставляем обратно в такое же соотношение треугольников.

Соберите одинаковые количества, умножив только скорость ( v ).

Узнать количество слева? Это ускорение - в данном случае центростремительное ускорение ( a c ).

вывод с использованием аналитической геометрии и исчисления

Вот один метод, который можно использовать для вывода уравнений уравнения для центростремительного ускорения. Представьте себе объект в равномерном круговом движении - что-то вроде человека, стоящего на вращающейся платформе. Они остаются на одинаковом расстоянии от точки вращения ( r = постоянная), но движутся вокруг нее с постоянной угловой скоростью (ω = постоянная).

Представьте их вектор положения ( r ) компоненты в прямоугольной системе координат ( x , y ).Возьмите производную этих координат, чтобы получить компоненты скорости ( v x , v y ) вектора скорости человека ( v ). Затем возьмите производную компонентов скорости, чтобы получить компоненты ускорения ( a x , a y ) и вектор ускорения ( a ). Сделайте это примерно так…

. . .
r x = + r cos (ω t ) y = + r sin (ω t )
против = d r v x = - r ω sin (ω t ) v y = + r ω cos (ω t )
дт
а = d v a x = - r ω 2 cos (ω t ) a y = - r ω 2 sin (ω t )
дт

Теперь мы проанализируем эти результаты, чтобы определить величины и относительные направления трех кинематических векторов.Используйте теорему Пифагора, чтобы получить звездных величин положения, скорости и ускорения.

Позиция первая.

r 2 = x 2 + y 2
r 2 = [+ r cos (ω t 917 90)] 2 r sin (ω t )] 2
0 r = r

Человек находится на постоянном расстоянии от центра вращения.Вот что значит следовать по круговой траектории. Круг - это геометрическое место точек, равноудаленных от точки.

Скорость секунды.

v 2 = v x 2 + v y 2
v 2 = [- r 917 917 ω ] 2 + [+ r ω cos (ω t )] 2
v t = r ω

Поступательная и угловая скорости связаны ожидаемым уравнением.

Разгон третье.

a 2 = a x 2 + a y 2
a 2 = [- 917 cos27 r 917 930 ω32 902 t )] 2 + [- r ω 2 sin (ω t )] 2
a c = r ω 2

Скорость имеет постоянное значение, но направление меняется. - это ускорение, и это его уравнение. Если вам не нравятся угловые величины, вы можете использовать алгебру для определения центростремительного ускорения в терминах тангенциальной скорости. Сделайте это, и вы получите…

Используйте триггерные идентификаторы, чтобы получить относительных направлений положения, скорости и ускорения. Начните с положения и ускорения, так как это более легкая пара для сравнения. Функции триггера совпадают, но знаки противоположные. Это означает, что в каком бы направлении ни указывал вектор положения, вектор ускорения указывает противоположную сторону.Поскольку вектор положения всегда указывает и от центра вращения, вектор ускорения всегда указывает внутрь и к центру. Другими словами, ускорение центростремительное.

x = + r cos (ω t ) и = + r sin (ω t )
a x = - r ω 2 cos (ω t ) a y = - r ω 2 sin (ω t )
a x = - x ω 2 a y = - y ω 2
a = - r ω 2

Менее очевидно, что делать со скоростью.Функции синуса и косинуса полны симметрии сами по себе и друг с другом. Их можно перевернуть и сдвинуть всевозможными способами, чтобы одна функция стала другой. Под переворотом я подразумеваю изменение знака или отражение, а под сдвигом я подразумеваю добавление фазового угла или сдвиг. Например…

Эти тождества могут использоваться, чтобы показать, что вектор скорости на 90 ° опережает вектор положения во время равномерного кругового движения; то есть касательная к круговой траектории в направлении движения.Возможно, вы где-то этому научились, но если нет, я вам сейчас говорю, касательная и радиус перпендикулярны.

x = + r cos (ω t ) и = + r sin (ω t )
v x = - r ω sin (ω t ) v y = + r ω cos (ω t )
v x = + r ω cos (ω t + 90 °) v y = + r ω sin (ω t + 90 °)
Нет хорошего способа записать это математически

Поскольку центростремительная сила и радиус разнесены на 180 °, центростремительная сила и скорость разнесены на 90 °.


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *