Формулы нахождения производной – Производная функции — Википедия

Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.

Основные правила дифференцирования:

  1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

  2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

  3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .

  4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

  1. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что ).

  2. Производная сложной функции. Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е..

Производные основных элементарных функций (таблица производных):

  1. Производная логарифмической функции.

А) и, где некоторая функция зависящая от .

Б) и.

  1. Производная показательной функции.

А) и.

Б) и.

  1. Производная степенной функции.

и .

  1. Производная степенно-показательной функции.

.

  1. Производная тригонометрических функций.

и ;

и ;

и

;

и .

  1. Производная обратных тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

Пример. Найти производные следующих функций:

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее первой производной, т.е., и обозначаетсяилиили.

Аналогично определяются и обозначаются: производная 3-го порядка ; производная 4-го порядка; ………… производная-го порядка.

Пример. Найти производную 2-го и 3-го порядка:

А)

Б)

Понятие дифференциала и его геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежуткеи дифференцируема в окрестности точки,тогда

или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем, где бесконечно малая величина при . Отсюда:. Таким образом, приращение функциисостоит из двух слагаемых: 1. линейного относительно , т.к.; 2. нелинейного относительно , т.к..

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:.

Пример. Найти приращение функции прии

Пример. Найти дифференциал функции .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:.

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Откуда, поэтомуможно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителеми знаменателем.

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументуприращение

, тогда функция получает приращение. В точкепроведем касательную, образующую уголс осью. Извидно, что. Изимеем:. Таким образом,и соответствует формуле.

Рис. 5.

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когдаполучает приращение.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной. Это свойство дифференциала получило названиеинвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала, т.е. .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Согласно формулы , т.е., при достаточно малых значенияхприращение функцииприблизительно равно ее дифференциалу,. Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить .

studfiles.net

Формулы производных

Что такое производная функция - это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.

Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x

Таблица производных

Если проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.

2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Формулы производной | Формулы с примерами

Формулы
Приращение аргумента

Приращение функции

Производная функции ?(x) в точке x0

Касательная к графику

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику ? (x)

Физический смысл производной

Правила дифференцирования

Таблица производных

Достаточное условие монотонности функции ? (x)

Экстремумы функции ? (x)

Необходимое условие экстремума ? (x)

Достаточное условие экстремума непрерывной в точке x0 функции ? (x)

formula-xyz.ru


Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о