Гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений вида:

может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.

Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:

Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
8 3 4 5 31 14 4 33 23 17 15 4 23 7 22 4 11 17 1 51

СЛАУ в матричном виде

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Количество решений

 

Вектор решения системы уравнений

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Метод Гаусса

Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н.  э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).

Приведение матрицы к ступенчатому виду

На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:

Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.

Выражение базисных переменных

Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк).

Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.

Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:

Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.

Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.

В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).

Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.

Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).

Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных
1 2 -3 5 1 1 3 -13 22 -1 3 5 1 -2 5 2 3 4 -7 4

СЛАУ в матричном виде

Количество решений

 

Коэффициенты решения

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

1.
Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Откуда обратным ходом находим единственное решение:

Система совместна и определена.

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

В результате приходим к системе:

Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:

поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.

При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:

;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:

не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим

Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система имеет вид:

Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:

которые можно отбросить.

Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:

Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с "+" на "-" вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например:

1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Это классический метод решения системы линейных уравнений, в основе которого лежат элементарные преобразования системы (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффмцменты) для приведения к равносильной системе уравнений треугольного типа, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные неизвестные. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.

На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса онлайн

Для решения любой системы линейных уравнений метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных является наиболее универсальным и достаточно простым при небольшом количестве переменных. Этот метод универсален, его применяют, когда система уравнений имеет:

  • единственное решение;
  • бесконечное множество решений;
  • вовсе не имеет решений.

Суть метода состоит в переходе от заданной системы линейных уравнений к более простой с помощью таких эквивалентных преобразований в системе, как:

  • перемена двух уравнений местами;
  • умножение обеих частей уравнения на любое действительное число, не равное 0;
  • прибавление к одному уравнению соответствующих частей другого, умноженных на произвольное число.

С помощью преобразований последовательно исключаем одну переменную за другой пока в одной из строк не будет определена переменная xi.

Метод Гаусса позволяет решать СЛАУ при небольшом числе вычислительных операций.

Алгоритм решения:

  • записываем систему в виде расширенной матрицы;
  • прямой ход — приводим матрицу к ступенчатому виду;
  • обратный ход — приводим матрицу к специальному ступенчатому виду.

Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными переменными:

Определитель основной матрицы не равен 0.

Исключим из всех уравнений системы переменную х1, начиная со 2-го, для чего:

  • ко 2-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а2111;
  • к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а3111, и т. д.;
  • к n-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а
    n1
    11.

В результате преобразований система приняла вид:

Далее таким же путем исключаем неизвестную переменную х2 из всех уравнений, начиная с 3-го.

Для этого к 3-му уравнению прибавляем 2-е, умноженное на — а3222 и т.д. К n-му уравнению прибавим 2-е, умноженное на — аn222.

Таким же способом исключаем неизвестную х3 из всех уравнений системы, начиная с 4-го.

Прямой ход продолжается, пока в последнем уравнении не останется единственная неизвестная. Система будет иметь вид:

аnn(n-1) хn = bn(n-1)

После окончания прямого хода метода Гаусса — последовательного исключения неизвестных, вычисляем неизвестную в последнем уравнении:

  • из последнего уравнения системы находим хn по формуле:
  • из предпоследнего уравнения находим хn-1 и т. д.
  • из первого уравнения находим х1.

Последовательное нахождение неизвестных, начиная с последнего уравнения к первому, называется обратным ходом.

Заметим, если в матрице есть хоть одна нулевая строка, у которой правая часть (свободный член) не равна 0, система несовместима, решения отсутствуют.

Для быстрого и правильного решения СЛАУ методом Гаусса можно воспользоваться калькулятором онлайн.


Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
123456  — количество неизвестных
Количество знаков после разделителя дроби в числах: 0123456789101112

Как решить уравнение Гаусса онлайн с решением

Карл Фридрих Гаусс - немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем линейных уравнений, поскольку он имеет большее количество преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:

- универсальность;

- не требует проверки системы на совместимость;

- минимальное количество математических операций.

Так же читайте нашу статью "Решить неравенство онлайн решателем"

Если возникли сомнения касательно конечного результата, то всегда можно узнать онлайн решение уравнения методом Гаусса и сравнить ответы.

Решим следующее уравнение методом Гаусса:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3x1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right. \]

Составляем расширенную матрицу системы

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Далее необходимо с помощью второго уравнения исключить переменную \[x_2\] из:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Сделаем собственно исключение переменной\[ x_2\] из 3 и 4 уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на \[\frac{1}{4},\] а к четвёртой - вторую, умноженную на\[ \frac{7}{1}.\]

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[ -\frac{18}{18}=-1\]. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

\[ \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим "с конца". Из четвёртого уравнения имеем

\[x_4=-\frac{7}{18}\]

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40\]

откуда

\[x_3=\frac{13}{9}\]

Далее, подставляем значения\[ x_3\]и \[x_4\] во второе уравнение системы:

\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8\]

т. е.

\[x_2=-\frac{43}{18},\]

Наконец, подстановка значений

\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1\]

Получаем:

\[x_1=\frac {2}{3}\]

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение \[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18})\].

Где можно решить методом Гаусса систему уравнений онлайн?

Решить систему матричных уравнений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Ранг матрицы методом Гаусса | Мозган калькулятор онлайн

Для того что бы вычислить ранг матрицы можно применить метод окаймляющих миноров или метод Гаусса. Рассмотрим метод Гаусса или метод элементарных преобразований.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.

Метод Гаусса использует элементарные преобразования, которые не изменяют ее ранг:

  1. Транспонирование.

  2. Перестановка местами строк или столбцов.

  3. Прибавление одной строки/столбца к другой строке/столбцу умноженного на ненулевое число.

  4. Умножение строки или столбца на ненулевое число.

С помощью данного метода нужно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество строк, в которых есть хоть один не нулевой элемент.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы:

Для облегчения дальнейших расчетов поменяем местами строку №1 со строкой №2.

Сделаем элемент a3,1 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №1, умноженную на 3/2.

Сделаем элемент a4,1 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №1, умноженную на 2.

Сделаем элемент a3,2 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №2, умноженную на -1/4. Мы его получили разделив элимент a3,2 = -0.5 на элимент a2,2 = 2.

Сделаем элемент a4,2 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №2, умноженную на -1/2.

Сделаем элемент a4,3 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №3, умноженную на 2.

В получившейся матрице одна строка содержит нулевые элементы, а три строки имеют не нулевые элементы. Ответ: Ранг=3.

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн.

метод Гаусса–Жордана - один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к "треугольному" виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;
Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля - переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов. =a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n - размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

4. Метод Жордана - Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Здесь x1, x2, …, xn - неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn - коэффициенты системы - и b1, b2, … bm - свободные члены - предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе - неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) - совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики...

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с...



Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной...

... «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных...

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе...

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:


(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5


Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.

(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

    В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

    Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

    Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

    Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

    В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

    Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

    В качестве опорной выбираем последнюю строку.

    Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

    В качестве опорной строки выбираем строку выше.

    Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

    В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.


Калькулятор исключения Гаусса

Как найти неизвестные переменные в уравнениях методом исключения Гаусса?

Исключение Гаусса или редукция строки , это алгоритм для решения системы линейных уравнений. Этот метод также называется исключением Гаусса-Жордана. Он представлен последовательностью операций, выполняемых над матрицей. Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя был известен китайским математикам.Метод решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса аналогичен методу решения матриц. Например, существует связь между системой трех линейных уравнений и ее матрицей коэффициентов. $$ \ begin {align} & a_1x + b_1y + c_1z = {d_1} \\ & a_2x + b_2y + c_2z = {d_2} \\ & a_3x + b_3y + c_3z = {d_3} \\ \ end {align} \ quad \ longmapsto \ left ( \ begin {array} {ccc} {a_1} & b_1 & c_1 \\ {a_2} & b_2 & c_2 \\ {a_3} & b_3 & c_3 \\ \ end {массив} \ right) $$ Есть три типа операций с элементарными строками:

  • Замена двух рядов;
  • Умножение строки на ненулевое число;
  • Добавление числа, кратного одной строке, к другой строке.
Метод исключения Гаусса состоит из двух частей. Первая часть сводит данную систему к \ underline {форме эшелона строк}. Из формы эшелона строк мы можем сделать вывод, что у системы нет решений, единственное решение или бесконечно много решений. Вторая часть использует операции со строками, пока не будет найдено решение. Форма ступенчатого эшелона удовлетворяет следующим свойствам:
  • Старший коэффициент каждой строки должен составлять 1 доллар;
  • Все элементы в столбце ниже $ 1 $ должны быть $ 0 $;
  • Все строки, содержащие нули, находятся внизу матрицы.
Например, следующие матрицы представлены в виде эшелона строк $$ \ left ( \ begin {array} {cc} 1 и 5 \\ 0 и 1 \\ \ end {массив} \ вправо), \ квад \ влево ( \ begin {array} {cccc} 1 и 1 и 0 и 5 \\ 0 и 1, 3 и 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \ end {массив} \ справа), \ quad \ left ( \ begin {array} {cccc} 1 и 2 и 3 и 4 \\ 0 и 1, 3 и 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {массив} \ right) $$ Матрица находится в форме сокращенного эшелона строк , если, кроме того, в каждом столбце, содержащем ведущий коэффициент, все другие записи в этом столбце равны нулю.Например, матрицы, показанные ниже, являются примерами матриц в сокращенной форме эшелона строк. $$ \ left ( \ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 и 1 \\ \ end {массив} \ вправо), \ квад \ влево ( \ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \ end {массив} \ вправо), \ квад \ влево ( \ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {массив} \ right) $$ Расширенная матрица - это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц.В случае решения системы нам необходимо увеличить матрицу коэффициентов и постоянную матрицу. Вертикальная линия показывает разделение между матрицей коэффициентов и постоянной матрицей. Итак, для системы трех уравнений $$ \ begin {align} & a_1x + b_1y + c_1z = {d_1} \\ & a_2x + b_2y + c_2z = {d_2} \\ & a_3x + b_3y + c_3z = {d_3} \\ \ end {align} $$ расширенная матрица $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ \ end {массив} \ right) $$ Количество решений системы зависит только от ранга матрицы, представляющей систему, и ранга соответствующей расширенной матрицы.На основании теоремы Кронекера-Капелли любая система из трех линейных уравнений не имеет решений, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Если ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных, в данном случае, если ранг равен 3 $. Например, решим решение системы методом исключения Гаусса $$ \ begin {align} & 4x + 5y + 3z = {10} \\ & 3x + 6y + 7z = {8} \\ & 2x + 3y + 0z = {8} \\ \ end {align} $$ Коэффициенты и постоянные члены системы дают матрицы $$ \ left ( \ begin {array} {ccc} 4 и 5 и 3 \\ 3 и 6 и 7 \\ 2 и 3 и 0 \\ \ end {массив} \ вправо), \ квад \ влево ( \ begin {array} {c} 10 \\ 8 \\ 8 \\ \ end {массив} \ right) $$ Расширенная матрица $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 4 и 5 и 3 и 10 \\ 3 и 6 и 7 и 8 \\ 2 и 3 и 0 и 8 \\ \ end {массив} \ right) $$ Чтобы решить систему, приведите расширенную матрицу к сокращенной форме эшелона строк следующим образом.
  • Разделите строку $ 1 $ на $ 4 $ ($ R_1 = \ frac {R_1} 4) $, чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 3 и 6 и 7 и 8 \\ 2 и 3 и 0 и 8 \\ \ end {массив} \ right) $$
  • Вычтите строку $ 1 $, умноженную на $ 3 $, из строки $ 2 $ ($ R_2 = R_2-3R_1 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 0 & \ frac 94 & \ frac {19} 4 & \ frac 12 \\ 2 и 3 и 0 и 8 \\ \ end {массив} \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 1 $, умноженную на $ 2 $, из строки $ 3 $ ($ R_3 = R_3-2R_1 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 0 & \ frac 94 & \ frac {19} 4 & \ frac 12 \\ 0 & \ frac12 & - \ frac 32 & 3 \\ \ end {массив} \ справа) $$
  • Умножьте строку $ 2 $ на $ \ frac 49 $ ($ R_2 = \ frac49 R_2 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\\ 0 & \ frac12 & - \ frac 32 & 3 \\ \ end {массив} \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 2 $, умноженную на $ \ frac 54 $, из строки $ 1 $ ($ R_1 = R_1- \ frac54 R_2 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & - \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & \ frac12 & - \ frac 32 & 3 \\ \ end {массив} \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 2 $, умноженную на $ \ frac 12 $, из строки $ 3 $ ($ R_3 = R_3- \ frac12R_2 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & - \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & 0 & - \ frac {23} 9 & \ frac {26} 9 \\ \ end {массив} \ right) $$
  • Умножьте строку $ 3 $ на $ - \ frac9 {23} $ ($ R_3 = - \ frac9 {23} R_3 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & - \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & 0 & 1 & - \ frac {26} {23} \\ \ end {массив} \ справа) $$
  • Добавьте строку $ 3 $, умноженную на $ \ frac {17} 9 $, в строку $ 1 $ ($ R_1 = R_1 + \ frac {17} 9R_3 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & \ frac2 {23} \\ 0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\ 0 & 0 & 1 & - \ frac {26} {23} \\ \ end {массив} \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 3 $, умноженную на $ \ frac {19} 9 $, из строки $ 2 $ ($ R_2 = R_2- \ frac {19} 9R_3 $), чтобы получить $$ \ left ( \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & \ frac2 {23} \\ 0 & 1 & 0 & \ frac {60} {23} \\ 0 & 0 & 1 & - \ frac {26} {23} \\ \ end {массив} \ right) $$ Итак, решение системы: $ (x, y, z) = (\ frac {2} {23}, \ frac {60} {23}, - \ frac {26} {23}) $.
Работа исключения Гаусса с шагами показывает полное пошаговое вычисление для поиска решения линейной системы трех уравнений с использованием метода исключения Гаусса. Для любой другой системы просто введите двенадцать действительных чисел в качестве коэффициентов линейных уравнений и нажмите кнопку «Создать работу». Учащиеся начальной школы используют этот Калькулятор исключения Гаусса для создания работы, проверки результатов решения систем линейных уравнений, выведенных вручную, или для эффективного выполнения домашних заданий.Во многих приложениях необходимо вычислить исключение матрицы, где этот онлайн-калькулятор исключения матрицы Гаусса может помочь легко упростить вычисления для соответствующих входных данных.

Онлайн калькулятор: Метод исключения Гаусса

Системы линейных уравнений:

могут быть решены методом исключения Гаусса с помощью калькулятора.

В методе исключения Гаусса система линейных уравнений представлена ​​как расширенная матрица, то есть матрица, содержащая коэффициенты уравнения и постоянные члены с размерами [n: n + 1]:

Исключение по Гауссу
8 3 4 5 31 14 4 33 23 17 15 4 23 7 22 4 11 17 1 51

Матрица системы линейных уравнений

Точность вычислений

Цифры после десятичной точки: 2

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Исключение по Гауссу

Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса, гениального немецкого математика 19 века. Сам Гаусс не изобрел этот метод. Метод сокращения строк был известен древним китайским математикам; он был описан в «Девяти главах математического искусства», китайской книге по математике, изданной во II веке.

Вперед на выбывание

Первым шагом исключения Гаусса является получение матрицы строковой формы. Левая нижняя часть этой матрицы содержит только нули, и все нулевые строки находятся ниже ненулевых строк:

Матрица приведена к этой форме с помощью элементарных операций со строками: поменять местами две строки, умножить строку на константу, добавить к одной строке скалярное кратное другой.
Наш калькулятор получает эшелонированную форму путем последовательного вычитания верхних строк, умножения на нижние строки, умножения на, где i - ведущая строка коэффициентов (ведущая строка).
Важно, чтобы старший коэффициент отличался от нуля. Если он становится равным нулю, строка заменяется на более низкую с ненулевым коэффициентом в той же позиции.

Обратная замена

На этом этапе операции с элементарными строками продолжаются до тех пор, пока не будет найдено решение. Наконец, он преобразует матрицу в сокращенный вид эшелона строк:
,

M.7 Исключение Гаусса-Джордана | STAT ONLINE

Исключение Гаусса-Жордана - это алгоритм, который можно использовать для решения систем линейных уравнений и нахождения обратной матрицы любой обратимой матрицы.Он основан на трех операциях с элементарной строкой , которые можно использовать с матрицей:

  1. Поменять местами две строки
  2. Умножить одну из строк на ненулевой скаляр.
  3. Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.

В качестве примера операции с первой элементарной строкой поменяйте местами 1-ю и 3-ю строки.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 7 & 5 & 0 \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \ end {pmatrix} \]

Для примера операции со второй элементарной строкой умножьте вторую строку на 3.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 6 & -6 & 9 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \]

В качестве примера операции с третьей элементарной строкой добавьте дважды первую строку ко второй строке.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 10 & -2 & 1 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \]


Редукторный эшелон

Цель метода исключения Гаусса-Жордана состоит в том, чтобы использовать три операции с элементарными строками для преобразования матрицы в эшелонированную форму сокращенных строк.Матрица находится в форме сокращенного эшелона строки , также известной как каноническая форма строки , если выполняются следующие условия:

  1. Все строки с нулевыми записями находятся внизу матрицы
  2. Первая ненулевая запись в строке, называемая ведущей записью или поворотной точкой , каждой ненулевой строки находится справа от ведущей записи строки над ней.
  3. Начальная запись, также известная как точка поворота, в любой ненулевой строке - 1.
  4. Все остальные записи в столбце, содержащие в начале 1, являются нулями.

Например,

\ [A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}, B = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}, C = \ begin {pmatrix} 0 & 7 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}, D = \ begin {pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \]

Матрицы A и B представлены в виде эшелона с уменьшенной строкой, а матрицы C и D - нет. C не находится в форме пониженного ряда, потому что он нарушает условия два и три. D не находится в форме пониженного ряда, поскольку нарушает условие четыре. Кроме того, операции с элементарными строками могут использоваться для уменьшения матрицы D в матрицу B .


Шаги для исключения Гаусса-Джордана

Для выполнения исключения Гаусса-Джордана:

  1. Поменяйте местами строки так, чтобы все строки со всеми нулевыми записями находились внизу
  2. Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой ненулевой записью была наверху.
  3. Умножьте верхнюю строку на скаляр так, чтобы ведущая запись верхней строки стала 1.
  4. Добавить / вычесть кратные числа верхней строки из других строк, чтобы все остальные записи в столбце, содержащем ведущую запись верхней строки, были равны нулю.
  5. Повторите шаги 2–4 для следующей самой левой ненулевой записи, пока все ведущие записи не станут 1.
  6. Поменяйте местами строки так, чтобы ведущая запись каждой ненулевой строки находилась справа от ведущей записи строки над ней.

Выбранные примеры видео показаны ниже:

Чтобы получить инверсию матрицы n × n A :

  1. Создайте разделенную матрицу \ ((A | I) \), где I - единичная матрица.{-1} = I \).

Калькулятор метода исключения Гаусса - Онлайн-программа для сокращения строк

Поиск инструмента

Исключение по Гауссу

Инструмент для применения метода исключения Гаусса и получения формы сокращенного эшелона строки с шагами, деталями, обратной матрицей и векторным решением.

Результаты

Исключение Гаусса - dCode

Тег (и): Матрица, символьное вычисление

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор исключения по Гауссу

Преобразователь системы уравнений в матрицу

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое метод исключения Гаусса?

Алгоритм исключения Гаусса (также называемый методом Гаусса-Жордана или методом поворота) позволяет находить решения системы линейных уравнений и определять обратную матрицу.

Алгоритм работает со строками матрицы путем обмена или умножения строк между ними (с точностью до множителя).

На каждом шаге алгоритм стремится ввести в матрицу на элементах за пределами диагонали нулевые значения.

Как вычислить решения системы линейных уравнений с Гауссом?

Первым шагом из системы линейных уравнений является преобразование уравнений в матрицу.

Пример: $$ \ left \ {\ begin {array} {} x & - & y & + & 2z & = & 5 \\ 3x & + & 2y & + & z & = & 10 \\ 2x & - & 3y & - & 2z & = & - 10 \\\ end {массив} \ право.$$ можно записать в форме умножения "> матричного умножения: $$ \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \ end { array} \ right). \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 5 \\ 10 \\ -10 \ end {array} \ right) $$, который соответствует (расширенной) матрице $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 10 \\ 2 & -3 & 2 & -10 \ end {array} \ right) $$

Затем для каждого элемента за пределами ненулевой диагонали выполните соответствующие вычисления, добавив или вычтя другие строки, чтобы элемент стал 0.

Пример: Вычтите 3 раза (строка 1) из (строка 2), например, элемент в строке 2, столбец 1 станет 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 2 & -3 & -2 & -10 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 2 раза (строка 1) до (строка 3) например, элемент в строке 3, столбец 1 становится 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & -1 & -6 & -20 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 1/5 раз (строка 2) из ​​(строка 3), например, элемент в строке 3, столбец 2 станет 0: $$ \ слева (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 1/5 раз (строка 2) из ​​(строка 1), например, элемент в строке 1, столбец 2 станет 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 1/7 раз (строка 3) до (строка 1), например как элемент в строке 1, столбец 3 становится 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 5/7 раз (строка 3) из (строка 2), например, элемент в строке 2, столбец 3 станет 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$

Упростите каждую строку, разделив значение по диагонали.

Пример: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array } \ right) $$

Вектор результата - последний столбец.

Пример: $ {1,2,3} $, что соответствует $ {x, y, z} $, поэтому $ x = 1, y = 2, z = 3 $

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Исключение Гаусса». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма исключения Гаусса (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой алгоритм исключения Гаусса 'функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Исключения Гаусса» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

исключение, опорная точка, Гаусс, Иордания, матрица, система, уравнение

Ссылки


Источник: https: // www.dcode.fr/gaussian-elimination

© 2021 dCode - Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Академия математического образования им. Гаусса

Академия математического образования Гаусса


Онлайн-программы 2020-2021 гг.
Начиная с 8 сентября 2020 г.

Онлайн-классы включают:
Групповые онлайн-классы (4-10 человек)
Самостоятельные онлайн-программы

gauss_2020-21_school_year_schedule.xlsx
Размер файла: 17 kb
Тип файла: xlsx
Загрузить файл

1. Программа соревнований по математике

  • M201: средняя школа 1 (AMC 8, алгебра, число и счет)
  • M202: средняя школа 2 (AMC 8 и Mathcount, алгебра 2, геометрия)
  • M203: средняя школа 1 (AMC10 и AIME )
  • M204: Средняя школа 2 (AMC 12 и AIME)

2. Программа решения математических задач
  • M301: 1-й класс
  • M302: 2-й класс
  • M303: 3-й класс
  • M304: 4-й класс
  • M305: класс 5
  • M306: Prealgebra
  • M307: Algebra 1
  • M308: Geometry
  • M309: Algebra 2
  • M310: Precalculus
  • M311 AP Calculus AB / BC

3.Подготовка к экзамену по математике
  • M401 SAT Math
  • M402 SAT Предмет Math 2

4. Научная программа
  • Honor Physics
  • AP Physics 1/2
  • AP Physics C
  • Physics F = MA test prepare
  • AP Chemistry

5. Программа изучения английского языка
  • ELA 1 (1 класс)
  • ELA 2 (2 класс)
  • ELA 3 (3 класс)
  • ELA 4 (4 класс)
  • ELA 5 (5 класс) )
  • ELA 6 (степень 6)
  • ELA 7 (степень 7)
  • ELA 8 (степень 8)
  • ELA 9 (степень 9)
Политика онлайн-школы:
  1. Ежегодный регистрационный взнос составляет 50 долларов на семью для новых учащихся и 50 долларов на человека.
  2. Каждый новый студент будет посещать вступительный экзамен перед зачислением.
  3. Если зачислений меньше четырех, Гаусс оставляет за собой право отменить занятие.
  4. Скидка для братьев и сестер: получите скидку 10% на стоимость одного студента, если на курс записывается и брат или сестра. Скидка для братьев и сестер не суммируется с другими предложениями или акциями.
  5. Плата за обучение будет взиматься по семестрам (17 недель). Плата за обучение должна быть произведена 1 сентября 2020 года и 17 января 2021 года.
  6. Политика возврата: мы обеспечиваем 100% возмещение (кроме платы за обработку в размере 100 долларов США) до первого дня занятий.После начала занятий возврат средств не производится. За пропущенные занятия деньги не возвращаются. Могут быть предоставлены онлайн-видеозаписи.

Квадратура Гаусса (Выберите метод) Калькулятор

[1] 2021/04/15 11:39 Мужской / 20-летний уровень / Высшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования
Двойная проверочная рука расчеты за класс.

[2] 2020/03/16 13:25 Мужской / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Немного /

Комментарий / запрос
Пожалуйста, включите рассчитанные веса и узлы.

[3] 2018/07/16 04:04 Мужчина / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

Цель использования
resolução
Комментарий / Запрос
faltou as resoluções

[4] 2017/01/21 01:19 Мужчина / Уровень 40 лет / Средняя школа / Университет / Выпускник / Очень /

Цель использования
Интегрировать тетраэдр
Комментарий / Запрос
Интересно, есть ли различия в результатах для квадратуры G-Якоби в функции (1 + x) ^ alpha и просто x ^ alpha с точки зрения получения узлов и весов.

[5] 2015/04/17 07:29 Мужской / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Изучение численного анализа ....
Комментарий / запрос
Этот сайт очень полезен

[6] 2015/04/17 07:29 Мужской / 20-летний уровень / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Изучение численного анализа ....

[7] 2015/03/06 18:36 Мужчина / 60 лет и старше / Старшая школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования
Курс численного анализа, применение для упражнений

[8] 2014/10/16 23:41 Женский / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования
исследование
Комментарий / запрос
очень хорошо

[9] 28.05.2013 21:56 Мужской / 20-летний уровень / Высшая школа / ВУЗ / Аспирант / Очень /

Цель использования
Для академической учебы.
Комментарий / запрос
Это будет полезно, если в интегральные калькуляторы добавить двухмерные (2-D) и 3-D вычисления.
Best Ragards

Закон Гаусса | MIT OpenCourseWare

Закон Гаусса

  • 8.02 Физика II: Электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, проф. Роберт Редвин, проф. Брюс Кнутесон, проф. Гюнтер Роланд, проф.Болек Вислоуш, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Кацавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, связанные с этим Тема:

Определен закон Гаусса; электрический поток; открытые и закрытые поверхности; выбор гауссовых поверхностей и примеров со сферической, цилиндрической и плоской симметрией.

Закон Гаусса определен; введение в гауссовские поверхности для множественных форм; отработанные примеры для бесконечного стержня, бесконечной плоскости, сферической оболочки и твердой сферы с однородным зарядом.

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Пересмотр; приложение к сфере заряда, оболочке заряда, плоскости заряда.

В начало

Определение потенциала по закону Гаусса

Примеры использования интегралов и закона Гаусса для определения потенциала точечного заряда и твердой заряженной сферы.

  • 8.02 Физика II: Электричество и магнетизм, Весна 2007 г.
    Проф. Джон Белчер, Д-р Питер Дурмашкин, Проф.Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Вислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Вернуться к началу

Electric Flux

Определение; поток через цилиндр и замкнутые поверхности; флюс с содержащимся зарядом; Закон Гаусса.

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Введение в понятие потока и его применение к электрическому полю; поток через обобщенные поверхности в 3-D.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Кацавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Доказательство закона Гаусса

Теоретическая и экспериментальная проверка закона Гаусса.

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

В начало

Дивергенция

Применение дивергенции к закону Гаусса; теорема расходимости; определение с лимитами и производными; поиск E из V.

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Вернуться к началу

Стратегии решения проблем: использование закона Гаусса

Представляет пошаговый метод определения электрического поля с использованием закона Гаусса для сфер, бесконечные плоскости и бесконечные линии заряда.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Определение поля и заряда плиты от потенциала

Имея выражение для электрического потенциала, определите электрическое поле, местоположение и плотность заряда в распределении.Решение включено после проблемы.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Поле двух параллельных пластин заряда

Найдите электрическое поле повсюду, обусловленное двумя параллельными противоположно заряженными бесконечными плоскостями.Решение включено после проблемы.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Электрический поток через квадратную поверхность

Найдите электрический поток, обусловленный точечным зарядом через квадратную поверхность и куб.Решение включено после проблемы.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Кацавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад к началу

Закон Гаусса для гравитации

Найдите гравитационное поле внутри сферической массовой оболочки, используя закон Гаусса.Решение включено после проблемы.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Кацавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Электрический потенциал твердой сферы

Найдите электрический потенциал везде, обусловленный однородно заряженной сферой, используя закон Гаусса.Решение включено после проблемы.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Кацавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад Наверх

Непроводящая твердая сфера с полостью

Найдите электрическое поле внутри сферической полости в однородно заряженной твердой сфере.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Поле и потенциал неоднородной сферы

Найдите электрическое поле и электрический потенциал повсюду, обусловленные сферически-симметричной неоднородной плотностью заряда; также найдите полную потенциальную энергию.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Электрическое поле заряженной пластины

Найдите электрическое поле повсюду, вызванное заряженной пластиной, используя закон Гаусса.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Электрическая потенциальная энергия однородной сферы

Найдите полную потенциальную энергию однородно заряженной твердой сферы.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Расчет электрического поля на основе потенциала

Получив выражение для электрического потенциала, определите электрическое поле и соответствующее распределение плотности заряда.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Электрический поток через поверхности

Определите знак электрического потока через открытые и закрытые поверхности.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад к началу

Применение закона Гаусса

Определите, в каких ситуациях следует использовать закон Гаусса.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад к началу

Быстрый закон Гаусса Вопросы

Охарактеризуйте электрическое поле внутри заряженной сферической оболочки и внутри толстой заряженной пластины.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Кацавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад к началу

Концептуальные вопросы по закону Гаусса и проводникам

Вопросы по интерпретации закона Гаусса, а также по заряду и потенциалу на поверхности проводников.

  • 8,02 Физика II: электричество и магнетизм, Весна 2007
    Проф. Джон Белчер, доктор Питер Дурмашкин, профессор Роберт Редвин, профессор Брюс Кнутесон, профессор Гюнтер Роланд, профессор Болек Уислоух, доктор Брайан Вехт, профессор Эрик Катсавунидис, профессор Роберт Симко, профессор Джозеф Формаджо, Энди Нили, Мэтью Страфус, профессор Эрик Хадсон, доктор Сен-Бен Ляо

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

Назад наверх

Равномерная плоская зарядка

Рисование и пояснение электрического поля около слоя заряда.

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

В начало

Заряженная сфера внутри оболочки

Нахождение распределения заряда, электрического поля и силовых линий положительной сферы внутри отрицательной сферической оболочки.

Материалы курса, относящиеся к этой теме:

В начало

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *