Given find mathcad как использовать: Сообщество Экспонента

29.11.201801.06.2021

Содержание

Решение системы уравнений в Mathcad

Первоначально рассмотрим СЛАУ в Mathcad. Для их решения может использоваться блок given …find() или специальная функция lsolve(). Применение блока given …find() предопределяет необходимость задания начальных значений искомых переменных. Далее после ключевого слова given описывается СЛАУ и с помощью find() находится решение. Следует указать, что в том случае, когда СЛАУ в Mathcad имеет бесконечное множество решений блок given …find() дает конкретный результат, что несомненно следует отнести к недостаткам. В случае отсутствия решения будет выдано сообщение “Matrix is singular. Cannot compute its inversу – Матрица сингулярная. Нельзя вычислить эту инверсию”.

Применение функции lsolve( ) позволяет избежать этого недостатка. Функция lsolve(M,b)

имеет два аргумента. M – матрица коэффициентов при неизвестных, b – вектор свободных членов. На листинге приведен пример решения СЛАУ.

Пример решения СЛАУ:

Для решения системы нелинейных уравнений используются два блока: given…find() и given…minerr (). Так как система нелинейных уравнений может иметь несколько решений, то полученные результаты зависят от начальных значений искомых переменных. В обоих случаях получаются приближенные решения, для которых рекомендуется делать проверку. Обычно в Mathcad требуется, чтобы количество уравнений было равно количеству искомых переменных, но в некоторых случаях, когда с точки зрения классической математики может быть получено точное решение и при меньшем количестве уравнений, данное условие может быть нарушено. На листинге представлены примеры использования блоков given…find() и given…minerr ()

для решения систем нелинейных уравнений.

Урок 24. Решение уравнений в Mathcad – использование функций

Решение уравнений является важным для решения практических задач. Поэтому уделим уравнениям еще один урок.

Блок решения в функции

Если Вы хотите исследовать изобразить на графике поведение уравнения в зависимости от значения определенного параметра, Вам, возможно, придется решить систему уравнений много раз. Вы можете сделать это, используя блок решения в функции. Покажем на примере: предположим, мы хотим исследовать поведение решения следующего уравнения в зависимости от различных значения параметра A:

Блоку решения не нужно ни значение параметра, ни начальное приближение, поскольку решение есть функция этих двух значений. Эти значения мы будем задавать при вызове функции.

Функцию можно использовать сколько угодно раз:

Использовать функцию можно с диапазоном переменных:

Такая техника решения не самая надежная. Если хотя бы одно решение не может быть найдено, Вы не получите и решений для других параметров (это произойдет, если задать

A<0.7). Поэтому лучше заранее проверить свою функцию.

Сообщения об ошибке можно избежать, написав маленькую программу:

Если блок решения выдает сообщение об ошибке, на выходе получим значение NaN (Not a Number – «Не Число»), которое просто не отображается на графике:

Построим две ветки уравнения с использованием этого приема:

Когда переменных много

Расчеты часто содержат несколько переменных, но Вам, возможно, придется использовать лишь некоторые из них. В качестве примера рассмотрим систему восьми уравнений, где нам нужно получить только значения X и Y. Начальные приближения следует задать для всех переменных:

Решение представляет собой вектор из восьми элементов, но нам нужны лишь элементы с индексами 0 и 1.

Минимизация ошибки

Find() – не единственный решатель в Mathcad. Еще один полезным решателем является Minnerr(), находящий решения, которые минимизируют ошибку в системе уравнений. Рассмотрим пример: есть набор данных, которые мы хотим аппроксимировать уравнением Бейтмена:

Мы хотим подобрать три константы в уравнении Бейтмена таким образом, чтобы ошибка приближения была минимальна. У нас есть семь уравнений (по одной для каждого эксперимента) и три константы, так что в системе избыток данных. Minerr() может обработать эту проблему:

Замечания:

Три константы являются переменными для этой системы.
Переменные не могут иметь счетных индексов.
У параметров (t и c) могут быть счетные индексы.

Возможно, Вам хотелось бы использовать цикл for для семи уравнений, но в блоке решений этого сделать нельзя.

Для полностью определенных систем (с одинаковым числом независимых уравнений и неизвестных) функция

Minerr() дает тот же ответ, что и Find().

Резюме

В этом уроке мы определили способы расширенного использования блоков решения:

Вы можете определить вывод блока решения как функцию. Таким образом в блок решения можно передавать параметры и начальные приближения.
Если при вычислении точек для графика хотя бы одно решение не будет найдено, то график не будет построен. Этой ошибки можно избежать, написав небольшую программу с использованием “try/on error”, которая выводит NaN (Not a Number – Не Число), если результат отсутствует.
Для двух и более неизвестных (и уравнений) вывод блока решения является вектором. Если нужен один или два элемента этого вектора, их можно вывести, используя подстрочные индексы.
Вместо функции Find() можно использовать Minerr() – она минимизирует ошибку для заданного набора ограничений, в том числе, если данные избыточны.
Minerr() часто может дать приближенный результат, когда Find() выдает ошибку.

Другие интересные материалы

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Нелинейные алгебраические уравнения › Символьное решение уравнений. Вычислительный блок Given/Find. [страница – 94] | Самоучители по математическим пакетам

Символьное решение уравнений. Вычислительный блок Given/Find.

Относительно небольшое количество задач отыскания корней алгебраических уравнений можно решить аналитически, а на практике почти всегда приходится искать решение при помощи численных методов. Тем не менее мы начнем знакомство с принципами решения алгебраических уравнений в Mathcad именно с описания использования символьного процессора, что позволит, с одной стороны, освоить соответствующий инструментарий Mathcad, а с другой – лучше понять специфику исследуемых задач.

Рассмотрим решение системы N нелинейных уравнений с м неизвестными:

Здесь f_i(x_i,…, х_M) =b₁,…, f_N (x_i,…, х_M) =b_N – некоторые скалярные выражения, зависящие от скалярных переменных x₁,x₂,…,х_M и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что систему (5.1) можно формально переписать в – виде:

Где х – вектор, составленный из переменных x₁,x₂,…,х_N, b – вектор, составленный из правых частей уравнений, а f (х) – соответствующая векторная функция их левых частей.

Для решения систем в Mathcad применяется специальный вычислительный блок Given/Find (Дано/найти), состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Given – ключевое слово;
система, записанная логическими операторами в виде равенств и, возможно, неравенств;
Find(xi,…,хм) – встроенная функция для решения системы уравнений относительно переменных x₁,…, х_M.

Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью инструментов Boolean (Булевы операторы). Если вы предпочитаете ввод с клавиатуры, помните, что логический знак равенства вводится сочетанием клавиш

CTRL + =. Значение функции Find представляет собой матрицу, составленную из всевозможных решений по каждой переменной, причем количество ее строк в точности равно числу аргументов Find. Структура матрицы решения станет сразу вам понятной, как только вы бросите взгляд на примеры, приведенные ниже в данном разделе.

Примечание
При решении уравнений в векторной форме в вычислительном б локе не рекомендуется, а, начиная с версии Mathcad 12, просто запрещено использование одних элементов вектора в качестве неизвестных, а других – в качестве параметров задачи.

Решение уравнений в MathCad 13, 14, 15 на примерах. Методы Given

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами:

Использование метода

Given – Find:

Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем слово Given

. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения уравнения численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомой переменной. Это нужно для увеличения скорости и точности решения уравнения. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю

Рис. 1. Ввод данных в поле mathcad

Далее вводится уравнение. Его можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа “ровно”. На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

После уравнения вводится функция Find(x)

(где х – переменная). Это функция, которая возвращает результат. Значение функции Find(x) можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа “:=” и использовать ее далее в расчетах

Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ “→” либо “=” из панели Evaluation (см. рис. 3). Причем, если вы используете символ “→“, то mathcad определит все корни уравнения и сформирует матрицу результатов. Но если вы используете символ “=“, то mathcad выведет единственный корень, который был наиболее близок к начальному приближению. Так что, если вы не знаете сколько корней имеет уравнение, то лучше использовать стрелочку

Рис. 3. Панель “Evaluation”

В зависимости от сложности уравнения через определенное время MathCad выведет результат. На рис.4 можно рассмотреть синтаксис и различие результатов выводимых mathcad. Обратите внимание, что выводимые результаты одного и того же уравнения различны

Рис. 4. Результат численного решения уравнения

Mathcad позволяет решать уравния в символьном виде. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 5). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ “→” для вывода результата

Рис. 5. Результат символьного решения уравнения

Использование метода

Solve:

Этот метод отличается от выше рассмотренного синтаксисом. На свободном поле вводим уравнение с использованием логического символа “ровно” из панели Boolean. После ввода уравнения, не смещая курсор ввода, на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 6)

Рис. 6. Панель Symbolic

Затем ставим запятую и вводим переменную, относительно которой нужно решить уравнение (в нашем случае это x). Нажимаем Enter на клавиатуре и смотрим результат (см. рис. 7)

Рис. 7. Результат решения уравнения методом Solve

Обратите внимание, что метод подходит как для численного так и для символьного представления результатов

Как показывает моя личная инженерная практика, иногда не удается решить уравнения с помощью Given – Find, но получается в Solve. При этом, к сожалению, метод Solve не очень удобен для далнейшего использования результатов решения уравнения

Решение уравнений и систем уравнений

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

· отделение корней;

· уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.

Отделение корней нелинейного уравнения

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD, в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD. Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Уточнение корней нелинейного уравнения

Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.

Функция root. В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root, которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.

Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.

Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨

Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.

Пример 8.1.5. Используя функцию root, вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.

Функция polyroots. Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots. Обращение к этой функции имеет вид polyroots(v), где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

Пример. Используя функцию polyroots, найти все три корня уравнения , включая и два комплексных

Блок Given. При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given, имеющий следующую структуру:

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры ЛОГИЧЕСКИЙ.

Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find(x), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr(x), которая возвращает приближенное значение корня.

Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find(x) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.

Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr(x).

Использование численных методов в функциях Find(x), Minerr(x) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.

Пример. Используя блок Given, вычислите корень уравнения в интервале отделения .

В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:

· алгебраические системы уравнений;

· трансцендентные системы уравнений.

Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

В матричном виде систему можно записать как

где – матрица размерности , – вектор с проекциями.

Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve, обращение к которой имеет вид: lsolve(А,b), где А – матрица системы, – вектор правой части.

Решение систем нелинейных уравнений

MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD2001i доведено до 200.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.

Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.

Пример. Дана система уравнений:

Определить начальные приближения для решений этой системы.

Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨

Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью. Для этого используется уже известный вычислительный блок Given.

Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find(x), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке < Начальные условия >. Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

· ограничения со знаком ¹;

· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;

· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr).

Пример. Используя блок Given, вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.

Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений

MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии

Главная / Математика / MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии / Тест 4 Упражнение 1:

Номер 1

Какая из приведенных функций  не  может быть использования для решения уравнений

Ответ:

&nbsp(1) root()&nbsp

&nbsp(2) lsolve()&nbsp

&nbsp(3) Find()&nbsp

&nbsp(4) CreateMesh()&nbsp

Номер 2

Какая  переменная отвечает за точность вычислений корней уравнения  функцией  root()  ?

Ответ:

&nbsp(1) ORIGIN&nbsp

&nbsp(2) TOL&nbsp

&nbsp(3) начальное приближение&nbsp

&nbsp(4) аргумент функции&nbsp

Номер 3

Для численного решения уравнения  с использованием функции root() необходимо задать:

Ответ:

&nbsp(1) границы отрезка, где находится корень &nbsp

&nbsp(2) начальное приближение корня&nbsp

&nbsp(3) ничего не требуется&nbsp

&nbsp(4) максимальное значение функции уравнения&nbsp

Упражнение 2:

Номер 1

Решение системы уравнений с помощью блока given find  дает решение:

Ответ:

&nbsp(1) приближенное&nbsp

&nbsp(2) минимальное &nbsp

&nbsp(3) точное &nbsp

&nbsp(4) максимальное&nbsp

Номер 2

Какой знак равенства в уравнениях используется в блоке решения Given Find:

Ответ:

&nbsp(1) :=&nbsp

&nbsp(2) ==&nbsp

&nbsp(3) =&nbsp

&nbsp(4) &nbsp

Номер 3

Решение системы уравнений с помощью блока given minerr дает решение:

Ответ:

&nbsp(1) точное&nbsp

&nbsp(2) приближенное &nbsp

&nbsp(3) минимальное &nbsp

&nbsp(4) максимальное&nbsp

Упражнение 3:

Номер 1

Сколько корней имеет уравнение

Ответ:

&nbsp(1) 1&nbsp

&nbsp(2) 2&nbsp

&nbsp(3) 3&nbsp

&nbsp(4) 4&nbsp

Номер 2

Какими способами можно получить решение уравнения :

Ответ:

&nbsp(1) используя root() &nbsp

&nbsp(2) используя given Find()) &nbsp

&nbsp(3) используя функцию lsolver() &nbsp

&nbsp(4) используя оператор solver&nbsp

Номер 3

Выбрать правильное решение уравнения :

Ответ:

&nbsp(1) (4; 12)&nbsp

&nbsp(2) (5.01; 10.8)&nbsp

&nbsp(3) (3.05;13)&nbsp

&nbsp(4) (0,1;12)&nbsp

Упражнение 4:

Номер 1

При численном нахождении корней  полинома n степени с помощью функции Polyroots():  аргументом функции является

Ответ:

&nbsp(1) вектор коэффициентов длиной n &nbsp

&nbsp(2) вектор коэффициентов длиной n+1&nbsp

&nbsp(3) вектор коэффициентов длиной n-1&nbsp

&nbsp(4) начальное приближение&nbsp

Номер 2

Какими способами можно получить решение уравнения  :

Ответ:

&nbsp(1) +используя функцию root() &nbsp

&nbsp(2) +используя блок given Find()) &nbsp

&nbsp(3) +используя функцию Polyroots()&nbsp

&nbsp(4) используя функцию lsolver()&nbsp

&nbsp(5) +используя оператор solver&nbsp

Номер 3

Выбрать действительный корень уравнения :

Ответ:

&nbsp(1) (-0.819)&nbsp

&nbsp(2) (-1.819)&nbsp

&nbsp(3) (0.819)&nbsp

&nbsp(4) (2.819)&nbsp

Упражнение 5:

Номер 1

Система уравнений имеет вид 
		Сколько корней имеет система.

Ответ:

&nbsp(1) 1&nbsp

&nbsp(2) 2&nbsp

&nbsp(3) 3&nbsp

&nbsp(4) 4&nbsp

Номер 2

Какими способами можно получить  решение системы уравнений

Ответ:

&nbsp(1) используя функцию root() &nbsp

&nbsp(2) используя блок given Find()) &nbsp

&nbsp(3) используя функцию Polyroots()&nbsp

&nbsp(4) используя функцию lsolver()&nbsp

Номер 3

Какие решения являются корнями системы уравнений?

Ответ:

&nbsp(1) (-0,53; 0.26)&nbsp

&nbsp(2) (1,89; 2.1)&nbsp

&nbsp(3) (1.71; 0.78)&nbsp

&nbsp(4) (6.53; 8.73)&nbsp

Упражнение 6:

Номер 1

Система уравнений имеет вид 
		
		Сколько корней имеет система.

Ответ:

&nbsp(1) 1&nbsp

&nbsp(2) 2&nbsp

&nbsp(3) 3&nbsp

&nbsp(4) 4&nbsp

Номер 2

Какими способами можно получить  решение системы уравнений:

Ответ:

&nbsp(1) используя функцию root() &nbsp

&nbsp(2) используя блок given Find()) &nbsp

&nbsp(3) используя функцию Polyroots()&nbsp

&nbsp(4) используя функцию lsolver()&nbsp

Номер 3

Какие решения являются корнями системы уравнений?

Ответ:

&nbsp(1) (-1,67; 5.70)&nbsp

&nbsp(2) (1,56; 4.91)&nbsp

&nbsp(3) (5.53; 10.26)&nbsp

&nbsp(4) (0.15; 1.02)&nbsp

Номер 2

Сколько способов существует в   MathCad  для  решения  системы линейных алгебраических уравнений

Ответ:

&nbsp(1) 1&nbsp

&nbsp(2) 2&nbsp

&nbsp(3) 3&nbsp

&nbsp(4) 4&nbsp

Номер 3

Матрица A имеет вид  ,  матрица . Выбрать правильное решение уравнения

Ответ:

&nbsp(1) (4; 2.93; 2.71)&nbsp

&nbsp(2) (3; 1.93; 1.71)&nbsp

&nbsp(3) (2; 0.93; 0.71)&nbsp

&nbsp(4) (1; -0.93;- 0.71)&nbsp

Упражнение 8:

Номер 1

Для  решения задач оптимизации используются блоки:

Ответ:

&nbsp(1) given maximize&nbsp

&nbsp(2) given miniimize&nbsp

&nbsp(3) given find&nbsp

&nbsp(4) given solver&nbsp

Номер 2

В задаче оптимизации начальные значения неизвестных параметров  вводятся с использованием знака:

Ответ:

&nbsp(1) :=&nbsp

&nbsp(2) =&nbsp

&nbsp(3) =&nbsp

&nbsp(4) &nbsp

Номер 3

В задаче оптимизации  оптимизируемая функция вводится с использованием знака:

Ответ:

&nbsp(1) :=&nbsp

&nbsp(2) =&nbsp

&nbsp(3) =&nbsp

&nbsp(4) &nbsp

Упражнение 9:

Номер 1

Решение задачи оптимизации   MathCad  представляет в виде:

Ответ:

&nbsp(1) вектора&nbsp

&nbsp(2) числа (чисел)&nbsp

&nbsp(3) функции&nbsp

&nbsp(4) экстремального значения функции&nbsp

Номер 2

Максимальное значение функции  при условии  равно

Ответ:

&nbsp(1) 40&nbsp

&nbsp(2) 60&nbsp

&nbsp(3) 50&nbsp

&nbsp(4) 70&nbsp

Номер 3

Значения  x  и  y, для которых функция    имеет  максимум при условии ,  равны

Ответ:

&nbsp(1) (1 ; 0.4)&nbsp

&nbsp(2) (0.9 ; 3)&nbsp

&nbsp(3) (0.9 ;0.4)&nbsp

&nbsp(4) (0.7 ; 0.5)&nbsp

Упражнение 10:

Номер 1

Задачи оптимизации решаются методами :

Ответ:

&nbsp(1) математической статистики&nbsp

&nbsp(2) линейного программирования&nbsp

&nbsp(3) математического анализа&nbsp

&nbsp(4) решения дифференциальных уравнений &nbsp

Номер 2

Для  решения задач оптимизации необходимо задать:

Ответ:

&nbsp(1) начальные значения неизвестных параметров &nbsp

&nbsp(2) начальное значение оптимизируемой функции &nbsp

&nbsp(3) ограничения для неизвестных параметров&nbsp

&nbsp(4) вид оптимизируемой функции &nbsp

Номер 3

Для  решения задач оптимизации можно использовать встроенные функции MathCad:

Ответ:

&nbsp(1) maximize&nbsp

&nbsp(2) miniimize&nbsp

&nbsp(3) root()&nbsp

&nbsp(4) lsolver()&nbsp

Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по MathCAD. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

· отделение корней;

· уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.

Отделение корней нелинейного уравнения

Пример. Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Уточнение корней нелинейного уравнения

Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.

Пример. Используя функцию polyroots, найти все три корня уравнения , включая и два комплексных

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логический.

Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr(x).

Пример. Используя блок Given, вычислите корень уравнения в интервале отделения .

В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:

· алгебраические системы уравнений;

· трансцендентные системы уравнений.

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

В матричном виде систему можно записать как

где – матрица размерности , – вектор с проекциями.

Решение систем нелинейных уравнений

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.

Пример. Дана система уравнений:

Определить начальные приближения для решений этой системы.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

· ограничения со знаком ¹;

· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;

Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений

Поиск решения системы уравнений в Mathcad

Во-первых, давайте рассмотрим набор линейных алгебраических уравнений в Mathcad. Чтобы найти решение уравнений, можно использовать модуль с… find () или специальную функцию lsolve () . Применение модуля given… find () предопределяет необходимость присвоения начальных значений искомым переменным. Позже, после ввода ключевого слова, создается набор линейных алгебраических уравнений, и find () помогает найти решение.Следует отметить, что в случае, если система линейных алгебраических уравнений в Mathcad имеет бесконечный набор решений, случай задан… find () дает конкретный результат, что, безусловно, является недостатком. В случае отсутствия решения выдается сообщение «Матрица – сингулярная. Невозможно вычислить обратное значение ”.

Функция lsolve () может помочь избежать упомянутого выше недостатка. Функция lsolve (M, b) имеет два аргумента. M – матрица коэффициентов, определяющих неизвестные переменные, b – вектор абсолютных членов.В листинге программы показан пример решения такой системы линейных алгебраических уравнений.

Пример:

Чтобы найти решение системы нелинейных уравнений, используются два модуля: задано… find () и задано… minerr () . Поскольку система нелинейных уравнений может иметь несколько решений, полученные результаты зависят от начальных значений искомых переменных. В обоих случаях мы получаем приблизительные решения, которые требуют проверки решения. Обычно в Mathcad требуется, чтобы количество уравнений было равно количеству искомых переменных, но в некоторых случаях, когда с точки зрения классической математики правильное решение может быть найдено с меньшим количеством уравнений, это условие можно пренебречь.В листинге программы показаны примеры блоков , заданных… find () и , заданных… minerr () , используемых для поиска решений наборов нелинейных уравнений.

Решение систем уравнений | PTC

В математике и инженерии нам часто остается ряд уравнений с равным числом переменных, которые мы хотим решить. Это известно как система уравнений. Примеры из реальной жизни, требующие решения системы уравнений, включают закон Кирхгофа для электрического сопротивления и аэродинамические траектории.[Это Кирхгоф на изображении выше.]

В PTC Mathcad есть несколько методов, которые можно использовать для определения переменных. К ним относятся:

Конструкция Solve Block.
Функция lsolve .
Символическое решение.

Давайте посмотрим, как использовать каждый из этих методов.

Решить блоки

Блок решения – это особая структура в Mathcad. Помимо решения систем уравнений, его можно использовать для выполнения оптимизаций – нахождения минимума или максимума для функции – и дифференциальных уравнений.Если вы собираетесь использовать Mathcad для инженерных расчетов, я настоятельно рекомендую вам научиться использовать эту конструкцию.

Блок решения запускается на вкладке «Математика». Он состоит из трех разных разделов:

Предполагаемые значения: в этом разделе вы инициализируете переменные, которые вы хотите найти, для использования оператора Definition для присвоения значения. Если я не знаю, что использовать, я буду использовать значение 1.
Ограничения: вы пишете здесь свою систему уравнений.Обратите внимание, что для знака равенства используется оператор Comparison , а не оператор Evaluation .
Решатель: создайте вектор для переменных, которые вы хотите найти. Затем используйте оператор Definition , чтобы назначить функцию Find для тех же переменных.

Затем вне блока решения оцените вектор или отдельные переменные, чтобы увидеть решения.

Мне нравятся блоки решения, потому что их можно использовать для решения как линейных, так и нелинейных систем уравнений.Линейная система – это система, в которой все переменные возведены в первую степень, и уравнение приводит к строке. В нелинейной системе одна или несколько переменных возводятся в степень выше единицы.

Кроме того, Mathcad предупредит вас, если у вас есть несовместимая система уравнений, то есть система, для которой не существует решения.

Функция lsolve

Mathcad имеет встроенную функцию для решения линейной системы уравнений под названием lsolve . Чтобы использовать lsolve , выполните следующие действия:

Создайте матрицу, содержащую коэффициенты переменных в вашей системе уравнений.
Создайте вектор констант, появляющихся в правой части системы уравнений.
Оцените функцию lsolve, используя матрицу и вектор в качестве входных данных.

При желании можно также присвоить переменной функцию lsolve .

Символическое решение

Иногда, когда у нас есть система уравнений, вместо того, чтобы решать ее численно, мы хотим найти переменные как функции коэффициентов или констант в правой части выражений.Мы можем сделать это с помощью оператора Symbolic Evaluation и ключевого слова resolve. После выбора ключевого слова решения введите запятую, а затем переменные, которые вы хотите решить символически:

Теперь у вас есть формулы для каждой из переменных.

Заключение

Mathcad предоставляет несколько методов решения систем уравнений. Ознакомившись с этими инструментами, вы сможете применять их к различным инженерным и математическим задачам.Я особенно рекомендую научиться использовать блоки решения, так как считаю их полезными во многих ситуациях. Какой метод вы предпочитаете?

Можете продублировать это? PTC Mathcad делает инженерные расчеты легкими и увлекательными. Что еще более важно, PTC Mathcad Express делает его бесплатным, так чего же вы ждете?

Об авторе

Дэйв Мартин – бывший инструктор и консультант Creo, Windchill и Mathcad.После ухода из PTC он был специалистом по Creo в Amazon; и инженер-механик, администратор Creo и администратор Windchill для Amazon Prime Air. Он получил степень в области машиностроения в Массачусетском технологическом институте и в настоящее время работает инженером по авионике в Blue Origin.

Мартин является автором книг «Проектное намерение в Creo Parametric» и «Проектирование сверху вниз в Creo Parametric», которые доступны на сайте www.amazon.com. С ним можно связаться по адресу [email protected].

Упрощение задач алгебры с помощью Mathcad: квадратные уравнения

Вы, вероятно, сталкивались с квадратными уравнениями (т.е., факторинг) впервые в младших или средних классах алгебры. А если вы зациклились на математике, естествознании или инженерии, вы видели их снова и снова. Не только на уроках математики, но и на физике и архитектуре вокруг вас.

Составьте квадратное уравнение, и вы увидите дугу мяча, брошенного через поле, изгиб океанской волны и изгиб моста Золотые Ворота.

Изображение © Стивен Павлов через Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0

Независимо от того, новичок ли вы в уравнениях / квадратиках / факторинге второй степени или просто хотите освежить в памяти, посмотрите это видео, показывающее, как вы бы составили уравнение, проверьте свои результаты и затем изобразите их (даже не беря в руки ручку) в Mathcad.

Mathcad гарантирует, что ваша работа будет ясной и точной, независимо от того, передаете ли вы ее учителю математики или применяете к реальным инженерным расчетам.

Нет времени на факторинг?

Предположим, вы уже давно не разбираетесь в алгебре, и вам просто нужно найти x .Быстрый прием, который вы можете использовать, – это ключевое слово «Решить» в Mathcad.

Когда вы применяете ключевое слово к выражению, содержащему переменную, которой присвоено значение, PTC Mathcad сначала заменяет переменную ее значением, а затем применяет ключевое слово.

Попробуйте это (если у вас еще нет Mathcad, вы можете бесплатно загрузить Mathcad Express, чтобы продолжить):

Тот же ответ, что и в видео, но с гораздо меньшим объемом работы.

Вы также можете добавить ключевое слово «упрощать», чтобы облегчить чтение более сложных уравнений.

Попытка решить блоки

В Mathcad вы также можете использовать блоки решения, чтобы быстро получить ответы на свои квадратные уравнения, опять же – без ручного факторизации

Блок решения – это контейнер для решения уравнений или для решения задачи оптимизации. Они используют предполагаемые значения, а затем итеративно переходят к решению.

Каждый блок решения может иметь только одну функцию решения. Обратите внимание, что вы должны определить предполагаемые значения или начальные / граничные условия над функцией блока решения.

Вы можете узнать больше о блоках решения в предыдущем сообщении блога: Как решать системы уравнений с помощью блоков решения. Также не забудьте заглянуть в Справочный центр Mathcad.

Функция поиска

Другой способ найти ваши значения – применить «Найти» к функции в разделе «Решатель» блока «Решить».

В последнем примере мы использовали:

Но можно переписать уравнение

со значениями a: = 2, b: = 4 и c: = 0.Итак:

Проверьте раздел «Ограничения» в блоке решения ниже. Вы его еще не нашли?

Теперь вы можете играть и добавлять еще больше значений.

Если уравнение содержит несколько переменных, необходимо указать переменную, которую нужно найти. В нашем случае это x и y .

Поиск ответов с помощью Mathcad

Mathcad – это программное обеспечение для инженерной математики, которое помогает выполнять, анализировать и делиться всеми наиболее важными вычислениями.Инженеры из новаторских компаний используют его, и теперь вы можете попробовать свою собственную бесплатную версию и посмотреть, что это мощное математическое программное обеспечение может сделать для вас. Загрузите PTC Mathcad Express прямо сейчас.

Символьное решение уравнений »MathCadHelp.com» Номер 1 в MathCad Assignments

В этом разделе обсуждается, как использовать ключевые слова или команды меню из меню «Символика» для символьного решения уравнения для переменной, поиска символьных корней выражения и символически решить систему уравнений.Большинство примеров в этом разделе демонстрируют «живое» решение с использованием символических ключевых слов, но вы можете применять команды из меню «Символика» к выражениям в каждом конкретном случае, если хотите. Имейте в виду, что, в отличие от выражений с измененными ключевыми словами, выражения, измененные командами из меню «Символика», не обновляются автоматически, как описано в разделе «Использование меню« Символика »» на стр. 360.

Символьное решение уравнений намного сложнее, чем их численное решение.Вы можете обнаружить, что символьный решатель не дает решения. Это может происходить по разным причинам, обсуждаемым в разделе «Ограничения символьной обработки».

Решение уравнения для переменной

Чтобы символьно решить уравнение для переменной, используйте ключевое слово resolve:

• Введите уравнение. Убедитесь, что вы используете [Ctrl] = для создания знака равенства.
• Нажмите [Ctrl] [Shift 1 • (удерживая клавиши Control и Shift, введите точку). Mathcad отображает заполнитель слева от стрелки: «→»
• В заполнителе введите решение, затем запятую и переменную, для которой требуется решить.
• Нажмите [Enter], чтобы увидеть результат.

Mathcad найдет переменную и вставит результат справа от символа «→». Обратите внимание: если переменная была возведена в квадрат в исходном уравнении, вы можете получить два ответа, когда решите. Mathcad отображает их в векторе. На рис. 17-17 показан пример.

Другой способ найти переменную – ввести уравнение, щелкнуть переменную, которую нужно найти в уравнении, и выбрать Variable⇒Solve в меню Symbolics.

Примеры решения уравнений, решения неравенств и нахождения корней

Вы также можете решить неравенство, введенное с помощью символов <,>, ≤ и ≥. Решения неравенств будут отображаться в виде логических выражений Mathcad. Если существует несколько решений, Mathcad помещает их в вектор. Логическое выражение Mathcad, такое как x <2, имеет значение 1, если оно истинно, и 0, если оно ложно. Таким образом, решение «x меньше 2 и больше -2» будет представлено выражением (x <2).(-2 <х).

Нахождение корней выражения

Вы можете использовать ключевое слово решения, чтобы найти корни выражения аналогично решению уравнения в переменной:

• Введите выражение.
• Нажмите [Ctrl] [Shift 1 • (удерживая клавиши Control и Shift, введите точку). Mathcad отображает заполнитель слева от стрелки «→».
• В поле заполнитель введите решение, затем запятую и переменную, для которой требуется решить.
• Нажмите [Enter], чтобы увидеть результат.

Обратите внимание, что нет необходимости устанавливать выражение равным нулю. Когда Mathcad не находит знака равенства, предполагается, что вы хотите установить выражение равным нулю.

Символьное решение системы уравнений: ключевое слово «решить»

Одним из способов символического решения системы уравнений является использование того же ключевого слова решения, которое использовалось для решения одного уравнения с одним неизвестным. Чтобы решить систему из n уравнений относительно n неизвестных:

• Нажмите [Ctrl] M, чтобы создать вектор, состоящий из n строк и 1 столбца.
• Заполните каждый заполнитель вектора одним из n уравнений, составляющих систему. Убедитесь, что вы используете [Ctrl] = для создания знака равенства.
• Нажмите [Ctrl] [Shi ft 1 • (удерживая клавиши Control и Shift, введите точку). Mathcad отображает заполнитель слева от стрелки «→».
• Введите в поле “решить” и запятую.
• Нажмите [Ctrl] M, чтобы создать вектор, содержащий n строк и 1 столбец.
• Нажмите [Enter], чтобы увидеть результат.

Mathcad отображает n решений системы уравнений справа от стрелки.

Символьное решение системы уравнений: Блок решения

Другой способ символьного решения системы уравнений – использовать блок решения, аналогичный блокам численного решения, описанным «Решение уравнений».

• Введите слово «Дано». Это сообщает Mathcad, что нижеследующее представляет собой систему уравнений. Вы можете набирать Given в любой комбинации прописных и строчных букв и любым шрифтом. Только убедитесь, что вы не набираете его в текстовой области или абзаце.
• Теперь введите уравнения в любом порядке под словом «Дано». Убедитесь, что вы нажали [Ctrl] =, чтобы ввести «=».
• Введите функцию «Найти» в соответствии с вашей системой уравнений. Эта функция описывается «Системой уравнений». Аргументы функции – это переменные, для которых вы решаете.
• Нажмите [Ctrl]. (клавиша управления с точкой). Mathcad отображает символический знак равенства.
• Щелкните за пределами функции поиска

Mathcad отображает решения системы уравнений справа от стрелки.Если функция «Найти» имеет один аргумент, Mathcad возвращает один результат. Если у Find есть более одного аргумента, Mathcad возвращает вектор результатов. Например, Find (x, y) возвращает
вектор, содержащий выражения для x и y, которые решают систему уравнений. Обратите внимание, что если ваша система является чрезмерно детерминированной линейной системой, функция «Найти» не вернет решение. Используйте функцию Minerr вместо Find. Майнер вернет ответ, который минимизирует ошибки в ограничениях.

Большинство рекомендаций для блоков решения, описанных «Решение уравнений», относятся к символьному решению систем уравнений.Основное отличие состоит в том, что когда вы решаете уравнения символически, вы не должны вводить предполагаемые значения для решений.

На рис. 17-18 показан пример блока решения, используемого для символьного решения системы уравнений. Для получения дополнительной информации о блоках решения см. «Решение уравнений».

Символьное решение системы уравнений.

468: Решение линейных уравнений с использованием Mathcad

Числовые методы : Система уравнений решается численно с использованием блока решения «Задано / Найти».Mathcad требует исходных значений для каждой из переменных числового метода.

Начальные значения: x: = 1 y: = 1 z: = 1

Дано: \ (5 \ cdot x + 2 \ cdot y + z = 36 \) \ (x + 7 \ cdot y + 3 \ cdot z = 63 \) \ (2 \ cdot x + 3 \ cdot y + 8 \ cdot z = 81 \)

Найти (x, y, z) = \ (\ begin {pmatrix}
3.6 \\
5.4 \\
7.2
\ end {pmatrix} \)

Могут использоваться другие блоки решения «Дано / Найти».

Учитывая \ (\ begin {pmatrix}
5 \ cdot x + 2 \ cdot y + z = 36 \\
x + 7 \ cdot y + 3 \ cdot z = 63 \\
2 \ cdot x + 3 \ cdot y + 8 \ cdot z = 81
\ end {pmatrix}
= \ begin {pmatrix}
36 \\
63 \\
81
\ end {pmatrix} \) Найдите (x, y, z) = \ ( \ begin {pmatrix}
3.6 \\
5,4 \\
7,2
\ end {pmatrix} \)

Дано \ (\ begin {pmatrix}
5 & 2 & 1 \\
1 & 7 & 3 \\
2 & 3 & 8
\ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix}
x \\
y \\
z
\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix}
36 \\
63 \\
81
\ end {pmatrix} \) Найти (x, y, z) = \ (\ begin {pmatrix}
3,6 \
5,4 \
7,2
\ end {pmatrix} \)

Матричные методы : уравнения также могут быть решены с использованием матричной алгебры, как показано ниже.В матричной форме уравнения записываются как MX = C. Вектор решения находится путем умножения матрицы на обратную M.

M: = \ (\ begin {pmatrix}
5 & 2 & 1 \\
1 & 7 & 3 \\
2 & 3 & 8
\ end {pmatrix} \) C: = \ (\ begin {pmatrix }
36 \\
63 \\
81
\ end {pmatrix} \) X: = M ^-1 \ (\ cdot \) CX = \ (\ begin {pmatrix}
3.6 \\
5.4 \\
7,2
\ end {pmatrix} \)

Подтвердите, что решение найдено:

M \ (\ cdot \) X = \ (\ begin {pmatrix}
36 \\
63 \\
81
\ end {pmatrix} \)

Альтернативное матричное решение с использованием команды lsolve.

X: = lsolve (M, C) X = \ (\ begin {pmatrix}
3.6 \\
5.4 \\
7.2
\ end {pmatrix} \) M \ (\ cdot \) X = \ (\ begin {pmatrix}
36 \\
63 \\
81
\ end {pmatrix} \)

Живой символьный метод : Для использования живого символьного метода в этом документе Mathcad требуются рекурсивные определения, очищающие предыдущие значения x, y и z. В этом не было бы необходимости, если бы x, y и z не были определены ранее.

x: = x y: = y z: = z

\ (\ begin {pmatrix}
5 \ cdot x + 2 \ cdot y + z = 36 \\
x + 7 \ cdot y + 3 \ cdot z = 63 \\
2 \ cdot x + 3 \ cdot y + 8 \ cdot z = 81
\ end {pmatrix}
solution, \ begin {pmatrix}
x \\
y \\
z
\ end {pmatrix} \ rightarrow \ begin {pmatrix}
\ frac {18} {5} & \ frac {27} {5} & \ frac {36} {5}
\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix}
3.6 и 5.4 и 7.2
\ end {pmatrix} \)

Основы MathCAD

ВВЕДЕНИЕ В MathCAD

MathCAD – одна из нескольких конкурирующих программ, используемых в качестве инструмента автоматизированного проектирования для ученых, инженеров, инженеров-технологов и инженеров. Некоторые из этих конкурирующих программ включают Mathmatica, Matlab, TK Problem Solver и Maple. Некоторые могут рассматривать в качестве конкурентов электронные таблицы, такие как Excel, StarCalc или Gnumeric.Однако позже в этом курсе мы увидим, что MathCAD довольно хорошо работает с компонентами электронных таблиц, особенно с MS Excel. Фактически, часть этого курса посвящена совместному использованию MathCAD и Excel, обеспечивая очень мощный инструмент для проектирования / расчета.

Подобно портативному калькулятору, MathCAD НЕ является инструментом, который сделает вашу работу за вас; и это не инструмент, который заменит плохие математические навыки. Последний момент особенно важен. Чтобы эффективно применять MathCAD, необходимо разбираться в математике в целом, а также в специфике своей дисциплины.Можно даже утверждать, что дальнейшее использование MathCAD на других курсах и на работе значительно улучшит математические навыки.

MathCAD избавит вас от утомительного выполнения многих математических операций. Благодаря встроенному символьному механизму это включает символьную алгебру и символьное исчисление. Например, хотя решение двух уравнений с двумя неизвестными посредством ручного вычисления является очень простым процессом, использование блока «Решить» в MathCAD позволяет выполнить такое решение за секунды.

Как и любое другое программное обеспечение, MathCAD прост в использовании, если вы его знаете. Однако в нем есть свои нюансы, с которыми вам необходимо ознакомиться. Таким образом, для его эффективного и действенного использования требуется практика. Но ни один курс не может научить вас всем аспектам MathCAD или любой другой важной части программного обеспечения в этом отношении. Несомненно, наиболее важным аспектом любого программного обеспечения для изучения является его справочная / учебная утилита. MathCAD имеет исключительную справочную функцию.

Использование справки MathCAD

MathCAD предоставляет широкий набор функций справки.К ним относятся:

Справка MathCAD
Это стандартный диалог справки Windows, который вы найдете в любом программном пакете. Этот диалог включает вкладки «Содержание», «Указатель» и «Поиск». Откройте диалоговое окно справки, нажав клавишу « F1 » или выбрав «Справка»> «Справка MathCAD» в строке меню.

Содержание Вкладка представляет информационные темы в виде Оглавления, как в любой книге.
Указатель Вкладка оформлена в виде указателя, как на обратной стороне любой книги.
Search позволяет искать тему на основе ввода ключевого слова.

В конце концов, все три метода поиска информации заканчиваются одним и тем же результатом. То, что вы используете, скорее зависит от ваших предпочтений.

Доступ к учебным пособиям из пункта меню «Справка». Все темы учебника будут вам полезны в течение всего квартала.Но в первую неделю вам следует ознакомиться с «Учебниками по началу работы» (за исключением символических праймеров). Эти учебники охватывают большую часть того, чем мы занимаемся в первую неделю занятий.

Функция quicksheet – одна из самых приятных функций в арсенале инструментов справки MathCAD. Короче говоря, это живые рабочие листы MathCAD, содержащие примеры функций MathCAD, возможностей построения графиков и программирования. Вы также можете изменить или добавить в Quicksheet. Хотя вы не можете сохранить эти изменения в исходном файле Quicksheet, вы можете сохранить файл под другим именем.Вы также можете скопировать / вставить уравнения из быстрой таблицы на свой рабочий лист.

Еще одна уникальная особенность MathCAD – наличие справочных таблиц. Это просто таблицы различных физических свойств, таких как удельный вес выбранных жидкостей, фундаментальные константы и т. Д. Хотя это ни в коем случае не исчерпывающий ресурс, они исключительно подходят для ряда приложений.

Еще одна особенность MathCAD – электронная книга или электронная книга. MathCAD поставляется с несколькими электронными книгами, которые установлены по умолчанию.Дополнительные электронные книги доступны на веб-сайте MathCAD. Большинство из них бесплатны, но некоторые необходимо покупать. Электронные книги, как правило, посвящены определенной теме. Например, одна из установленных по умолчанию электронных книг – «Механика материалов». Это электронное приложение к популярному тексту материалов, написанному Гиром и Тимошенко.

Сотрудничество с MathCAD (форум пользователей)

Сотрудничество – это форум пользователей в сети.Это отличный способ получить помощь опытных людей. Сотрудничество разделено на предметные области, такие как машиностроение, гражданское строительство и финансы, и это лишь некоторые из них. Также доступны пожертвованные листы по множеству тем.

Структура рабочего листа

Фраза «Блокнот инженера» часто используется для описания MathCAD. Это подходящее описание. MathCAD позволяет вам писать уравнения, фактически, для разработки полных решений проблем, как если бы вы это делали на бумаге.По большей части вы можете размещать уравнения, определения переменных, графики и текст в любом месте на странице, где захотите. Вот почему я часто называю MathCAD «электронной таблицей произвольной формы». Однако существует минимальный набор правил относительно такого размещения и есть синтаксис, который необходимо понимать применительно к математическим операциям.

Основные математические операции

От базовой арифметики до уравнений в частных производных MathCAD использует стандартную номенклатуру для всех математических операций.MathCAD также следует стандартной иерархии операций. А пока давайте сосредоточимся на арифметических операциях и определениях переменных.

Круглые скобки – используйте открывающие / закрывающие круглые скобки (Shift-9 и Shift-0) для круглых скобок. Не пытайтесь использовать квадратные или фигурные скобки. MathCAD при необходимости изменит скобки, если вы используете вложенные наборы.
Возведение в степень – используйте символ пряника (Shift-6) для возведения в степень
Умножение – используйте звездочку (Shift-8) в качестве оператора умножения.Оператор отображается в виде выпуклой точки. (например: вводится как 5 * 6 =)
Деление – используйте косую черту в качестве оператора деления. Оператор отображается в виде стандартной дроби. (например: вводится как 5/6 =)
Дополнение – вы можете использовать знак плюса на цифровой клавиатуре или в верхнем ряду клавиш (Shift- =)
Вычитание – вы можете использовать знак минус на цифровой клавиатуре или в верхнем ряду клавиш.

Примечание. Во многих случаях нет необходимости явно нажимать клавишу умножения при вводе уравнения, включающего умножение.Например, при вводе выражения 5x множитель вводится автоматически. Однако, по моему опыту, при определенных условиях это вызывает проблемы. Другими словами, в некоторых ситуациях множитель не вводится автоматически, когда он должен быть. Поэтому я рекомендую вам ВСЕГДА явно нажимать клавишу умножения (Shift-8) при вводе формулы, включающей умножение.

Переменные, присвоение переменных и вычисление уравнений.

Конечно, чтобы в полной мере использовать MathCAD, нужно уметь определять переменную, использовать ее в уравнении или функции, а затем оценивать эту функцию.Очевидно, это делается со знаком равенства, но существует шесть различных форм знака равенства в зависимости от того, определяете ли вы переменную или оцениваете функцию. Ниже объясняется каждая из этих форм.

Присваивание равно (:) – Используйте эту версию знака равенства, чтобы присвоить значение локальной переменной или определить уравнение или функцию. Используйте ключ с двоеточием. Например, нажатие клавиш для присвоения значения пяти переменной «x» будет x: 5. Значение «x» доступно только для функций, следующих за объявлением.

Глобальное присвоение равно (~) – Используйте эту версию знака равенства, чтобы присвоить значение глобальной переменной. Для этого используйте клавишу тильды (~). Эта клавиша обычно находится сразу под клавишей Escape. Эта версия знака равенства позволяет назначенной переменной быть доступной для всех уравнений на рабочем листе, даже если объявление переменной происходит после объявления уравнения. Хотя это звучит неплохо, это может затруднить устранение неполадок на сложном листе.Я рекомендую вам использовать этот метод объявления переменных только для объявления констант. Клавиши, используемые для присвоения значения 13 переменной ‘y’, имеют вид y ~ 13.

Вычислить равно (=) – Эта форма знака равенства используется для фактического вычисления уравнения или функции. Он НЕ используется для присвоения значения. Оператор оценки равенства – это просто стандартный знак равенства на клавиатуре. Например, предположим, что переменная «z» представляет собой сумму переменных «x» и «y», обе из которых были определены выше.. Мы можем ввести это, нажав клавиши z: x + y, что приведет к уравнению:

Чтобы оценить результат, просто введите z =
.

Логическое равенство (Ctl- =) – Логическое равенство фактически является логическим оператором. Он не используется для присвоения значений и не используется для оценки функции. Он используется как оператор сравнения и задает вопрос: «Равна ли переменная ‘x’ ‘y’?». Если выражение истинно, оно возвращает единицу, если выражение ложно, оно возвращает ноль.Логический оператор равенства используется в основном в программировании, но мы также будем использовать его при решении систем уравнений. Сочетание клавиш для логического оператора равенства – Ctl- =. В качестве примера мы ранее присвоили значение пять переменной x и значение 13 переменной y. Очевидно, мы знаем, что «x» не равно «y». В терминах логического выражения мы можем записать и оценить следующим образом:

Вышеприведенное выражение просто сравнивает значение «x» со значением «y», определяет, что они не равны, таким образом возвращает значение нуля (ложь).

Локальное присвоение ({) – Эта версия знака равенства идентична двоеточию равенства, за исключением того, что она используется в рамках программы MathCAD. Имеет вид:

Локальное назначение не имеет абсолютно никакой цели вне рамок программирования. Мы обсудим это в следующей лекции по программированию MathCAD.

Символьная оценка (Ctl-.) – В то время как описанный выше знак равенства дает приблизительное решение, символьная оценка дает точное решение с использованием символьного механизма MathCAD.Чаще всего он используется для вычисления выражений символьного исчисления. В качестве примера оцените частное 17/51 приблизительно и точно следующим образом:

Приближенное решение с использованием оценки равно.

Точное решение с использованием символьной оценки

На первый взгляд кажется, что символическая оценка просто уменьшает дробь. В случае простой арифметики это, по сути, верно. Но на самом деле символический двигатель делает гораздо больше. Чтобы не усложнять задачу, символьный движок предоставляет точное решение, сохраняя все числа в их рациональной форме (то есть: 1/3 вместо 0.3333) или выразив решение с помощью символа (например: p вместо 3,14159). Например, натуральный логарифм 5 – это иррациональное число. Его нельзя выразить рациональной дробью, приблизительное и точное решение:

Примерное решение
Точное решение

Определение переменных

При определении переменных важно не переопределять встроенную переменную или переопределять ранее определенную пользовательскую переменную. Еще одна важная проблема, связанная с переменными, заключается в том, что MathCAD чувствителен к регистру.Следующие переменные, хотя они могут показаться вам и мне одинаковыми, уникальны для MathCAD просто из-за использования заглавных букв.

Обратите внимание на зеленую волнистую линию под последним определением. Это указывает на переопределение переменной. В этом случае «галлоны в минуту» в нижнем регистре – это единица измерения MathCAD галлонов в минуту. НИКОГДА не переопределяйте переменную MathCAD или модуль , если вы точно не знаете, что делаете и каковы последствия вашего действия.Как мы обсудим позже, это, вероятно, приведет к переопределению ряда других модулей, что приведет к ошибочным результатам, которые трудно устранить. Обратите внимание на эту маленькую закорючку. Это сэкономит ваше время.

Встроенные константы

MathCAD имеет ряд встроенных констант. Это:

Infinity (Ctl-Shift-z) – При алгебраическом использовании бесконечность имеет значение 1×10 ³⁰⁷ и -1×10 ³⁰⁷.
При символическом использовании это трактуется как истинная бесконечность.

или же Алгебраическое определение
или же Символическое определение

Пи (Ctl-Shift-p) –
Ускорение свободного падения (g) – Хотя MathCAD действительно определяет ускорение свободного падения, он не определяет гравитационную постоянную. В системе единиц СИ гравитационная постоянная равна единице. Однако в английской системе единиц гравитационная постоянная g _c равна
. 32.174 (фут-фунт _м) / (фунт _f-сек ²).

База Напериан (д) – Это значение «е», используемое при работе с натуральными логарифмами.

Процент (%) – Процент всегда является десятичным числом. Таким образом, символ процента фактически умножает предшествующее ему число на 0,01. Например,
Speed of Light (c) – Маленькая буква c обозначает скорость света в вакууме

Комплексные числа (i) – Квадратный корень из отрицательного числа обозначается буквой «i» или буквой «j».Я рекомендую вам выбрать наиболее удобную для вас номенклатуру и придерживаться ее. Чтобы ввести комплексное число, просто введите коэффициент, за которым следует буква «i» или «j» (в зависимости от того, что вы предпочитаете).

ВАЖНО: введенная строчная буква «i» или «j» НЕ представляет собой квадратный корень из отрицательного числа. Вы ДОЛЖНЫ ставить перед буквой «i» или «j» цифру один. Например, приведенные ниже выражения – это два разных числа, несмотря на то, что они имеют одинаковый внешний вид.

Корень квадратный из отрицательного
Переменной i присвоено значение три

Греческие буквы

Как все мы знаем, использование греческих букв в инженерии довольно распространено. Греческие буквы доступны через палитру «Греческий», которая, в свою очередь, доступна из палитры «Математика». Если ваша математическая палитра не отображается, включите ее в строке меню, выбрав «Вид»> «Панели инструментов»> «Математика». Если вы знаете взаимосвязь между греческим алфавитом и набором римских символов, вы можете просто ввести латинскую букву, а затем нажать Ctrl-G, чтобы преобразовать ее в соответствующую греческую букву.

Будьте очень осторожны при использовании заглавных греческих букв, которые выглядят как заглавные латинские буквы. Например, заглавная буква «А» и заглавная буква альфа показаны ниже.

Заглавная буква римская ‘А’
Заглавная буква греческого альфа

Хотя они выглядят практически одинаково, это две разные переменные. Это может вызвать значительные трудности при устранении неполадок или даже при простом использовании рабочего листа. Также обратите внимание, что заглавная римская буква «A» помечена как ранее определенная переменная (помните зеленую волнистую линию?).В этом случае MathCAD использует его в качестве инженерной единицы для усилителя. Вероятно, использовать A в качестве переменной – не лучшая идея. С другой стороны, вместо этого можно было бы использовать заглавную альфа, но вам нужно помнить, что символ, который выглядит как заглавная римская буква «А», на самом деле является заглавной греческой альфой. Думаю, вы видите проблему.

Написание собственных уравнений и функций

Прежде чем мы на самом деле напишем уравнения и функции, давайте обсудим еще два пункта. Первый касается использования индексов при определении переменных.MathCAD использует два разных типа индексов: литеральные индексы и индексы массива. Литеральный нижний индекс очень полезен для различения похожих переменных. Вы можете указать нижний индекс, просто нажав клавишу точки (.) При определении переменной. Например, давайте определим переменную ex sub see (x _c) и установим ее равной 10. Нажатие клавиш при этом будет x.c: 10.

Индексы массивов будут рассмотрены через пару недель, когда мы обратимся к матрицам и векторам.

Последний пункт – использование клавиши пробела. Пробел полезен для управления синим курсором, окружающим разработку уравнения. Несомненно, наиболее частое использование – это перемещение курсора из знаменателя дроби или из экспоненты. Например, предположим, что вы хотите написать формулу, умножив десять на одну треть, а затем прибавив 20. Дробь, одна треть, вводится нажатием клавиш 1/3. Однако, прежде чем нажимать клавиши +20, вы должны вывести курсор из знаменателя, иначе +20 окажется в знаменателе дроби, а не в качестве независимого члена, который вам нужен.Введите уравнение, нажав следующие клавиши: 1/3 {sp} + 20 = где {sp} обозначает пробел. Следует также отметить, что повторное нажатие клавиши пробела циклически перемещает синий курсор Math по рассматриваемому уравнению.

Теперь давайте применим наши навыки на практике. Заимствуя из курса статики, продублируйте определение следующих переменных и следующее выражение.

Попытайтесь воспроизвести приведенное выше уравнение в стороне.Обратите внимание, что символ квадратного корня можно найти на палитре калькулятора или вы можете использовать горячую клавишу, косую черту (\). Если ваше заполненное уравнение станет красным, это означает, что произошла ошибка. При нажатии на уравнение появится всплывающая всплывающая подсказка, сообщающая вам, в чем проблема. Если вы не понимаете сообщение, нажмите функциональную клавишу F1 для получения контекстно-зависимой справки. Клавиши для приведенного выше уравнения:

S Ctl-g M.o: 4/5 {sp} * (R.1) -5 / \ 41 {sp} {sp} * (R. 0.5 {sp} * (R.3)

Примечание. {Sp} – это пробел
. Ctl-g – это последовательность клавиш, в которой удерживается клавиша управления при одновременном нажатии и отпускании клавиши «g».

Часто более желательно определить уравнение как функцию. Пользовательские функции определяются так же просто, как уравнение. Например, уравнение параболы можно определить как:

Поскольку переменная ‘b’ не определена, уравнение генерирует ошибку. Но если бы кто-то определил его как функцию ‘f’ в переменной ‘b’, мы бы записали его следующим образом:

Теперь мы можем оценить функцию в дискретных точках, просто подставив число или определенную переменную в качестве аргумента функции.

Функции также могут быть определены в нескольких переменных.

Обратите внимание, что переменная ‘c’ помечена как предопределенная переменная; снова обратите внимание на зеленую волнистую линию. Маленькая буква «c» зарезервирована MathCAD как скорость света. Если ваши расчеты прямо или косвенно не включают скорость света, вероятно, можно использовать эту переменную. Но поймите, что у вас больше нет доступа к этой константе для оставшейся части рабочего листа.

Встроенные функции

MathCAD имеет множество встроенных функций, больше, чем кто-либо, вероятно, когда-либо воспользуется.Определенно больше, чем у нас есть время для обсуждения. Вот почему функция справки MathCAD так важна. Если вам нужно что-то сделать, воспользуйтесь служебными программами, чтобы узнать, как это сделать.

Доступ к функциям можно получить, щелкнув значок f (x) в строке меню. В появившемся диалоговом окне на правой панели отображается полный список функций. Не пугайтесь существующих функций. Эта программа предназначена для использования в самых разных дисциплинах.Мы будем использовать только небольшую часть доступных функций.

Функции, которые нам нужно решить сегодня, включают тригонометрические функции, логарифмические функции и функции округления / усечения. Имея дело с тригонометрическими функциями, важно понимать, что MathCAD ожидает углы в радианах. Все функции arc возвращают углы в радианах. Если мы хотим использовать градусное измерение, мы должны явно указать это. Например, синтаксис функции синуса – sin (x), где x – угловое измерение в радианах.Чтобы использовать градусные меры, умножьте аргумент на единицу измерения «градус». Ниже приведены некоторые примеры.

При использовании функций дуги результатом является угловая мера в радианах.

Если вы нажмете на указанное выше выражение, вы увидите заполнитель, маленький черный квадрат, сразу справа от результата. В этот заполнитель вы вводите единицу измерения. Если вы хотите отображать указанное выше в градусах, введите «градус» в поле-заполнитель.

Логарифмические функции включают в себя функции с основанием Напериана, основанием 10 и основанием «n».

Функции пола и потолка работают очень хорошо, если нужно определить целое число объектов.Например, при проектировании бетонной балки выполняется расчет для определения количества арматурных хомутов. Очевидно, что количество хомутов должно быть целым, но расчет дает десятичное число. Использование функции потолка позволяет MathCAD возвращать целое число хомутов, которое затем можно использовать в последующих вычислениях для определения расстояния хомутов.

Базовые единицы

Единицы можно рассматривать как переменную и применяются как таковые. Другими словами, если кто-то хочет объявить значение ‘x’ равным пяти футам, можно определить это, используя нажатия клавиш x: 5 * ft.

MathCAD может обрабатывать преобразование единиц измерения без явного указания коэффициента преобразования.Например, определите переменную t как 10 секунд, а переменную v как частное от x и t.

В приведенном выше примере отображаются футы в секунду. Если кто-то желает получить решение в разных единицах, можно заменить любую эквивалентную единицу таким же образом, как мы преобразовали радианы в градусы (как обсуждалось выше).

MathCAD неплохо справляется с отображением результирующих единиц вычисления.Однако бывают случаи, когда полученные единицы сводятся к чему-то более фундаментальному. В этих обстоятельствах вам нужно будет заменить желаемое устройство. Например, в термодинамике базовый расчет теплопередачи утверждает, что энергия равна массе объекта, умноженной на удельную теплоемкость этого объекта, умноженную на изменение температуры. Предположим, что объект имеет массу 30 слизней, удельную теплоемкость 12 британских тепловых единиц / (фунт R) с изменением температуры на 30 градусов по Ренкину.Результирующее энергосодержание должно быть в БТЕ.

Обратите внимание, что результат не отображается в BTU. Результат отображается в наборе единиц, размерно эквивалентных BTU. Чтобы отобразить правильную единицу, щелкните результат и вручную вставьте единицу BTU в заполнитель.

Примечание о температуре в MathCAD

MathCAD не может обрабатывать температуры, выраженные в градусах Фаренгейта или в градусах Цельсия.Вы можете использовать только температуры, выраженные в градусах Ренкина (R) или в Кельвинах (K). Это связано с тем, что преобразование из Ренкина в Фаренгейта и из Кельвина в Цельсия связано с дополнительным компонентом.

Ренкин = Фаренгейт + 459,69
Кельвинов = Цельсия + 273,17
Фаренгейт = 1,8 (Цельсия) +32

Однако преобразование между Рэнкином и Кельвином является мультипликативным, поэтому преобразование единиц измерения выполняется легко.

Ренкина = 1,8 Кельвина

Однако все это не проблема.В дисциплинах термодинамики и теплопередачи большинство расчетов связано с разницей температур. Поскольку шкала Ренкина и шкала Фаренгейта на самом деле являются одними и теми же шкалами, только обозначены по-разному, разница температур в один градус, выраженная в шкале Ренкина, равна разнице температур в один градус, выраженной в Фаренгейте. Это также верно для шкал Кельвина и Цельсия. Самая распространенная проблема, с которой сталкивается учащийся при работе с температурой, – это понимание этой концепции. Предположим, у вас есть тело, которое начинается при температуре 120 F и заканчивается при температуре 150 F.Очевидно, это изменение температуры на 150–120 = 30 градусов по Фаренгейту. Но каково изменение температуры в градусах Ренкина? Просто преобразуйте температуру Фаренгейта в температуру Ренкина, добавив 460, а затем вычтите две температуры следующим образом.

(150 + 460) – (120 + 460) = 610 – 580 = 30
рэндов
Изменение температуры по шкале Фаренгейта такое же, как и по шкале Ренкина. Опять же, в этом есть смысл. Это одинаковые весы с разными надписями.

Те расчеты, которые учитывают текущую температуру тела, а не изменение температуры, всегда основаны на абсолютной температуре, выраженной в единицах Ренкина или Кельвина.Таким образом, проблема, связанная с Farenheit или Celcius, не имеет значения.

Заметка о единицах массы и силы в MathCAD

Нет ничего особенного в использовании единиц массы и силы в MathCAD. Однако использование соответствующих единиц для массы и силы кажется проблемой для многих студентов, особенно в английской системе. Типичные единицы массы и силы в английской системе и системе СИ показаны под
.
Английский SI

Масса пули кг (кг-масса)
фунт (фунт-масса)

Сила фунт-сила (фунт-сила) Н (Ньютон)
кгс (килограмм-сила)

К настоящему времени мы все знаем закон Ньютона, сила – это продукт массы и ускорения.Применение закона Ньютона довольно просто при использовании системы единиц СИ. Многие не знают, как применить закон Ньютона в английской системе единиц, когда масса выражается в единицах массы или фунта.

Например, в системе СИ закон Нетвона требует, чтобы масса выражалась в килограммах, ускорение свободного падения составляет 9,807 м / с ², а результирующая сила будет выражена в ньютонах.

В системе дюйм-фунт закон Ньютона требует, чтобы масса выражалась в слагах.Слизняк – это старая английская единица массы. Он равен (фунт _f s ²) / фут. Результирующая сила измеряется в фунтах силы. В MathCAD фунт-сила выражается в фунтах-силах. Следует отметить, что обе единицы массы. фунт-масса и снаряд до сих пор используются в машиностроении и инженерных технологиях. Нужно знать и то, и другое.

Однако более распространенной единицей массы в системе дюйм-фунт является фунт-масса.В MathCAD единицей измерения фунт-масса является просто фунт. Но чтобы использовать фунт-массу в законе Ньютона, нужно немного изменить закон Ньютона, введя гравитационную постоянную. Многие люди не осознают, что ускорение свободного падения НЕ является постоянной величиной. На самом деле он немного варьируется по поверхности земли. Однако гравитационная постоянная – постоянная величина. Он присваивается переменной g _c и имеет значение 32,174 (фут-фунт _м) / (фунт _f -с ²).Таким образом, закон Ньютона модифицируется, как показано, и результирующая сила выражается в фунтах силы.

Хотя все это верно и очень важно понимать, многое из этого становится неактуальным при работе в MathCAD.Это потому, что MathCAD выполняет все преобразования единиц измерения за вас. Например, можно показать, что одна пуля равна 32,174 фунтам массы. Поскольку MathCAD выполняет все преобразования единиц измерения, нет необходимости явно писать закон Ньютона с использованием гравитационной постоянной при работе с массой в фунтах-массах. Рассмотрим следующий пример.

При использовании единиц измерения в MathCAD программа всегда будет поддерживать целостность размеров, даже если вы ошиблись при указании единицы измерения.Это часто приводит к появлению каких-то странных (бессмысленных?) Дисплеев устройств. Например, рассмотрим следующее уравнение для определения выходной мощности двигателя с учетом развиваемого крутящего момента и скорости вращения. В показанном уравнении крутящий момент выражается в единицах силы фут-фунт, а число оборотов в минуту выражается в единицах в минуту (1 / мин). Единицей измерения мощности в MathCAD является л.с. С точки зрения размеров, лошадиные силы – это сила на фунт-фут в единицу времени. Найдите выходную мощность двигателя, если развиваемый крутящий момент составляет 1000 фут-фунт-сила, а скорость вращения составляет 3600 об / мин.

Просто определите переменные крутящий момент и обороты, как показано

Напишите уравнение для мощности

Покажите решение.Выглядит правильно, не так ли?

Повторно отобразите решение и введите единицу измерения «hp» в поле единицы измерения. Обратите внимание на результат. Что именно это означает? Короче говоря, это значит, что кто-то ошибся. В этом конкретном случае причина, по которой единица отображается, как показано, заключается в том, что мы неправильно определили крутящий момент.Обратите внимание, что крутящий момент был неправильно определен в единицах массы фут-фунт. Предполагается, что крутящий момент определяется как сила на фунт-фут. Эта ошибка вкупе с тем фактом, что хорспауэр – это сила в фут-фунт в единицу времени, вынуждает MathCAD вставлять «корректирующую» единицу для сохранения целостности размеров относительно того, как были определены исходные данные. Это легко исправить. Просто определите крутящий момент с правильной единицей измерения фут-фунт-сила.

Если такая ситуация возникает, когда вы делаете домашнее задание, интерпретируйте ее так, какова она есть, ВЫ ЧТО-ТО СДЕЛАЛИ НЕПРАВИЛЬНО.Таким образом, исправьте ошибку, прежде чем сдавать задание. Я не вижу смысла в отправке заведомо неверного задания.

Это произошло по двум причинам. Первая причина, как объяснено выше, заключается в использовании неправильных единиц измерения. Вторая причина – [случайно] переопределение встроенного модуля. Например, многие люди любят использовать переменную m для определения массы в уравнении. Однако MathCAD использует переменную m для определения единицы измерения. Поскольку метр также является частью единицы силы Ньютона, такое переопределение вызовет значительные проблемы.Два способа определить, безопасно ли использовать конкретную переменную (т. Е. Вы не переопределяете ее случайно).

Введите переменную, а затем оценку равно (например: m =). Если единица измерения определена, вы получите что-то, как показано слева. Это очевидное свидетельство того, что переменная является встроенной единицей или была ранее определена вами.

С другой стороны, если переменная не используется, то ее ввод (например: n =) приведет к ошибке. Обычно MathCAD не может найти определение переменной. Поскольку MathCAD не может найти определение, он предполагает, что вы пытаетесь его определить, и подставляет знак равенства с двоеточием для оценки знака равенства.

Второй способ – это фактическое определение переменной.Если под переменной появляется зеленая волнистая линия, переменная уже используется. В зависимости от того, является ли переменная встроенной переменной MathCAD или пользовательской переменной, вы должны принять решение о выборе новой переменной или переопределении существующей. Почти всегда можно переопределить пользовательскую переменную. Очень редко вы хотите переопределить встроенную переменную или единицу MathCAD. Это может иметь негативные последствия, которые ОЧЕНЬ сложно устранить.

ВНИМАНИЕ: Следует понимать, что способность MathCAD определять переопределение переменной является новой, начиная с первого обновления пакета обновления для MathCAD 11.В исходном выпуске версии 11 и во всех предыдущих версиях MathCAD не извивался :). Кроме того, этот параметр может быть отключен пользователем (Инструменты> Настройки> Предупреждения). В этом случае не полагайтесь на эту функцию, если вы не знаете, что она доступна (то есть: правильная версия MathCAD и функция включена).

Структура рабочего листа

Рабочий лист MathCAD состоит из трех областей: математической, текстовой и графической.Как можно понять из названий, математическая область содержит только математические формулы, текстовая область содержит только текст, а область графика содержит только график.

По умолчанию, когда вы начинаете вводить текст на листе, MathCAD автоматически создает математическую область. Ниже приведены некоторые примеры.

Если первый вводимый вами символ является альфа-символом, MathCAD предполагает, что вы вводите имя переменной.

Если первый вводимый вами символ – это число, MathCAD интерпретирует его как число.

Если первый вводимый вами символ – это число, за которым следует строка буквенных символов, MathCAD интерпретирует это как число, умноженное на переменную. Знак умножения не очевиден, но подразумевается.Щелкните запись, чтобы увидеть подразумеваемый знак умножения.

ПРИМЕЧАНИЕ. Я рекомендую НИКОГДА не вводить подобное выражение. Известно, что это вызывает трудности. В некоторых случаях подразумеваемого умножения не происходит. Это часто случается при работе с символической математикой.

Текстовая область – это область, содержащая чистый текст.Весь текст, который вы читали, находится в текстовой области. Самый простой способ начать текстовую область – просто начать печатать. Как только вы начнете печатать, MathCAD создаст математическую область. Но как только вы нажимаете клавишу пробела, регион преобразуется в текстовую область. Однако с этим неявным методом создания текстовой области возникают некоторые трудности. Большинство знаков препинания – это сочетания клавиш в MathCAD для ввода определенных функций. Таким образом, если вы начинаете текстовую область с числа или знака препинания (например, апострофов) или если вы должны ввести знак препинания перед нажатием клавиши пробела, MathCAD интерпретирует нажатие клавиши как желание ввести какой-либо тип функции. или формула.В таких случаях ЗАПУСТИТЕ текстовую область, нажав клавишу двойных кавычек.

Вы можете отличить математическую область от текстовой двумя способами. Самым надежным считается внешний вид курсора. В математической области курсор имеет синий цвет и окружает математическую запись или ее часть с двух сторон от нее. Текстовый курсор представляет собой вертикальную красную линию.

Второй способ – распознать разницу в стиле и размере шрифта между математической областью и текстовой областью. Однако пользователь может изменять стили и размеры шрифтов как для математических, так и для текстовых областей.Другими словами, шрифты в обоих регионах могут быть идентичными. Однако по умолчанию это не так.

Все числа и формулы, вводимые в текстовой области, являются текстовыми строками. Это не живые формулы. Однако MathCAD позволяет вводить математическую область внутри текстовой области. Фактически, этот метод широко используется в этом листе, а также в других листах лекций, используемых в оставшейся части этого курса. Чтобы ввести математическую область внутри текстовой области, перейдите в пункт меню «Вставка»> «Математическая область».Например, я могу определить переменную:

и формула:

Обратите внимание, что и «x», и «y» доступны, даже если они определены внутри текстовой области. Это отличная функция, позволяющая писать хорошо работающие отчеты. Другими словами, вам не нужно делать непонятную ссылку на переменную или функцию в тексте, который вы пишете, а затем разбивать текст, чтобы ввести переменную или формулу в отдельной области Math.Вы можете просто ввести математическую область внутри текстовой области. У вас будет много возможностей попрактиковаться в этом при выполнении первого домашнего задания.

Область графика – это просто область, в которую вводится график.Графики вводятся из меню вставки. MathCAD позволяет создавать графики различных типов. Однако мы сосредоточимся только на создании стандартного графика X-Y. График также можно ввести, нажав клавишу @ (Shift-2). Простой график создается путем простой вставки графика, ввода функции в местозаполнитель центральной оси Y и последующего помещения зависимой переменной в местозаполнитель центральной оси x. Остальные четыре заполнителя предназначены для определения пределов осей x и y.Если вы их не заполните, MathCAD построит график функции для значения x от -10 до 10. Мы обсудим построение графиков более подробно в следующей лекции. А пока давайте определим и построим график функции:

Макет страницы

К настоящему времени очевидно, что MathCAD имеет возможности обработки текстов. Хотя эти возможности не такие широкие, как у MS Word, et. др., их более чем достаточно для создания красивого документа. Я позволю вам самостоятельно изучить возможности форматирования текста и абзацев.Поговорим о форматировании страниц.

В MathCAD единственные параметры форматирования страницы, которые у вас есть, – это ширина поля, ориентация страницы, размер страницы и разрывы страниц. Для правильной документации (например, домашнего задания) вам необходимо знать это, чтобы ваша статья выглядела профессионально.

Чтобы установить поля, размер бумаги и ориентацию страницы, перейдите в пункт меню «Файл»> «Параметры страницы». Установите параметры по своему усмотрению.

Как и в MS Word, разрывы страниц бывают двух видов: жесткие и мягкие.Непосредственно над этим текстом находится горизонтальная сплошная линия (не отображается, если вы читаете это на распечатке или в виде HTML-страницы). Чуть выше, над графиком, находится горизонтальная пунктирная линия (также не видна на распечатке или странице HTML). Пунктирная линия представляет собой мягкий разрыв страницы. За исключением возможности изменять поля страницы, вы не можете перемещать или каким-либо иным образом контролировать расположение мягкого разрыва страницы. Однако вы можете вставить, удалить или переместить жесткий разрыв страницы. Сплошная линия непосредственно выше – это такой разрыв страницы.Чтобы вставить разрыв, поместите курсор в то место, где вы хотите разрыв, и выберите «Разрыв страницы» в меню «Вставить». Чтобы переместить или удалить разрыв страницы, используйте мышь и щелкните разрыв, удерживая нажатой клавишу «Shift». Разрыв будет выделен парой пунктирных линий. Используйте мышь, чтобы перетащить разрыв. Чтобы удалить, щелкните разрыв, удерживая клавишу Shift, и выберите «Вырезать» в меню редактирования. Выполняя домашнее задание, убедитесь, что вы правильно используете разрывы страниц, чтобы домашнее задание отображалось логично. Нет причин, по которым разрыв страницы пересекает уравнение! Вам будут выставлены оценки за представление домашнего задания.

При вычислении рабочего листа MathCAD чувствителен к относительному расположению формул и переменных. Как и в случае с электронной таблицей, MathCAD выполняет вычисления слева направо и сверху вниз. Это означает, что вы должны убедиться, что ваши формулы и определения переменных правильно расположены. Обычно это просто перетаскивание соответствующей математической области в соответствующее место. С другой стороны, бывают случаи, когда вы хотите, чтобы формулы выстраивались либо по горизонтали, либо по вертикали. Для этого используйте две кнопки выравнивания на панели значков.MathCAD предупредит вас, если выравниваемые области перекрываются. Если они это сделают, вам, возможно, придется внести некоторые незначительные изменения в расположение регионов перед автоматическим выравниванием.

Вы также можете вставить «Область» MathCAD. Просто выберите «Вставить»> «Область» в меню «Вставка». Такая область чрезвычайно полезна для сокрытия расчетов. При желании зону можно свернуть и заблокировать. С помощью мыши щелкните правой кнопкой мыши стрелку вверху и слева. Контекстное меню позволяет свернуть область (если она развернута) или развернуть область (если она свернута).Также позволяет заблокировать
область с паролем. НЕ ПОТЕРЯЙТЕ ПАРОЛЬ. Невозможно разблокировать область, если пароль утерян.

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта область не отображается при просмотре как HTML-страница; он будет отображаться как обычный абзац. Разграничение области печатается на распечатке, но при желании может быть скрыто.

39

Совет 39. Программируйте без оператора, если

Рис. 39. Программа без оператора, если

Если мы учтите, что альтернативой является резервная структурная управляя построением, то алгоритм любой сложной программы может быть реализовано без оператора, если из панели программирования Mathcad.

Пользователя функция, которая возвращает корень уравнения и использует метод половинного деления, создается первой программой в рис. 39. Цикл с предварительной проверкой, который цикл body имеет полную альтернативу. Оператор if исключен из второй программы на рис. 39: альтернативой с одной рукой является цикл с предварительной проверкой, тело которого выполняется либо один раз, либо никогда. Полная альтернатива (альтернатива с двумя arm) – это две неполные альтернативы: две альтернативы с одной рукой.В альтернатива – инструмент для быстрого перемещения по программе только на одном направление (сверху вниз), но цикл является сокращенным движением в обоих направлениях (сверху вниз и снизу вверх). Отсюда мы видим бесполезность альтернативы. Продолжение (открытие) темы вы найдете в совете 45 и в одной из книг Программирование. в Mathcad.

Совет 40. Функция, если вместо этого оператора if

Фиг.40. Функция if вместо оператора if

Когда ты реализовать разветвленные алгоритмы конструкцией структурной директивы, а именно альтернативы используется параллельно с циклом. Для этого мы вводим логическую переменную в программа, которая направляет альтернативу. Затем выполняем следующие операции по первому (лучше сказать по нулю) или второй (ненулевой) скрипт в зависимости от того, какое текущее значение (0 нет, не ноль да) у логической переменной есть.Если у каждой из двух альтернатив альтернативы есть по одному по одним операторам, то можно попробовать использовать функцию, если из набора встроенных функции Mathcad (сравните две функции на рис. 40) вместо оператора, если из панели программирования. Я толстый что что-то связано с одной и той же переменной в двух плечах альтернатива, тогда можно обойтись только оператор, который используется функцией if. Пример:

c, если (a> b, a, b) вместо из if (a> b, c a, c b)

К сожалению, метод смены оператора при одноименной функции перестает работать в Mathcad 8 Pro, Mathcad 2000 Pro и Mathcad 2001 Pro функция ___2 в Mathcad PLUS 6.0 и Mathcad 7 Pro дает правильный результат, но если мы перенесем его в Mathcad 8 Pro и за это попадает в бесконечную петлю.

Однако для реализации разветвленных алгоритмов вне программы можно измените функцию if на комбинацию операторов if и в противном случае.

в что целесообразно привести операторы к возврату во множественном ветвлении, которое ускорить расчет (подсказка без номера ).

Фактически функция если стала ненужно: в новой версии Mathcad функция сохранена для совместимости со старыми версиями [2].Та же история произошла с функция до (цикл организация, в органе которой один оператор), которую оператор при этом успешно сменил. (Хотя в восьмая и более поздние версии Mathcad – есть функция до тех пор, пока она работает, но ее нет Мастер-функция.)

Совет 41. Конструкция со сложными операторами в плечах

Рис. 41. Конструкция с составными операторами в плечах

Если есть являются двумя или более операторами в плечах полной альтернативы, тогда они записываются под ключевые слова, если и в противном случае (см. функции на рис.33). Если эти блоки операторов заключены в скобки , то они будут располагаться слева соответствующих ключевых слов (см. рис. 41, где функция поиска минимума методом золотого сечения есть остальное укорочено по сравнению с аналогами на рис. 33).

The важное замечание! Невозможно разместить всех операторов на одной линии в плечах оператора. альтернатива (см. совет 33). Такая программа будет работать в Mathcad 7 Pro, но он перестанет работать (попадет в бесконечную цикл или вернет неправильный ответ) в Mathcad 8 и более поздних версиях.

Совет 42. Имитация параллельных вычислений в Mathcad

Рис.42. Имитация параллельных вычислений Mathcad

Размещение из нескольких операторов в одной строке (см. совет 33) имеет один больше объяснений.

Два Первые операторы обеих программ могут выполняться в любом порядке, показанном на рис. 42 (например, сначала два связаны переменная b, но затем один связана с переменной a или наоборот, как на рис.42). Но лучше для выполнения этих операторов одновременно, т.е. параллельно ! Компилятор Mathcad поддерживает только последовательные вычисления на однопроцессорная машина. Расчет может быть значительно ускорен распараллеливанием Расчет . Вот типичная задача для таких вычислений – суммируются две матрицы: соответствующий элемент второй матрицы суммируется каждый элемент первая матрица.

В настоящее время параллельно версии традиционных языков программирования (например, FORTRAN) для работы над появляются многопроцессорные машины.

Когда мы размещаем параллельно операторы в одной строке Mathcad-программы (см. рис. 42) в первую очередь мы как бы готовим его к исполнению на многопроцессорной машине во-вторых, мы подчеркиваем причинно-следственную связь операторов и блоки операторов.

Совет 43. Фиксация программных блоков

Фиг.43. Фиксатор мягких блоков

Всего в языках программирования есть ключевые слова и символы, которые исправляют , начинаются и заканчивают отдельных мягких блоков. На языке программирования Паскаль слова начинаются и заканчиваются, в языке программирования C символы – фигурные скобки, в языке программирования BASIC конец строки ключевыми словами являются Next, EndIf, Then, Else и т. д. Мягкие блоки Mathcad фиксируются вертикальной линией, которая появляется (продлевается) после нажатия клавиши Добавить Строка на панели программирования.Но если в софте всего один оператор block, то он не будет обведен вертикальной линией. Это немного снижает читаемость Mathcad-программа. В традиционных программах отдельный оператор и блок операторы могут быть выделены абзацами с левой стороны дисплея или бумаги, показывающей таким образом вложенность структур. Mathcad лишен такая возможность тоже, точнее абзац вводит не программист, а системой и более того, это не так сильно проявляется в случае, когда есть только один оператор в блоке.

Кому выделить один оператор вертикальной чертой в Mathcad-программе необходимо добавьте к нему комментарии (см. совет 30). Как в комментариях вы можете использовать ключевые слова или символы языков программирования, которые знакомы с одним пользователем Mathcad. На рис. 43 год читатель видит почти Pascal Mathcad-программу поиска корня своего алгебраическое уравнение методом половинного деления, нормальный вариант которого вы можете см. на рис. 39.

Совет 44.Решение системы алгебраические уравнения в теле программы

Рис.44. Решение системы алгебраических уравнений в теле программы

В Mathcad встроенная функция Find, которая работает вместе с клавишей слово Дано, предназначено для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (см. пример решения таких проблема в подсказке 10). К сожалению, подобная технология невозможно в Mathcad-программе, так как мы не можем вставить в нее ключевое слово Дано.Есть три решения проблема:

1. это можно попытаться свести нелинейную систему к линейной, используя, для Например, замена переменных. После этого проблема решается с помощью встроенная функция lsolve, не требующая ключевого слова Дано.

2. это можно попытаться свести систему уравнений к одному алгебраическому уравнению с помощью подстановки переменных [5]. Поиск корней уравнения осуществляется возможно с помощью функции root в мягком блоке (общий случай) или многокорнях (уравнение-полином).Решение проблема может быть получена с помощью вложенности встроенной функции корень: корень (f1, root (f2 и т. д.

3. Запуск с восьмой версией в Mathcad добавлены функции Minimize и Maximize, ориентированные на решение задач оптимизации. Эти функции могут работать как с ключевым словом Учитывая (ограниченную задачу см. пример из совета 15) и без него (без ограничений проблема). Это позволяет искать корни системы внутри мягкого блока с помощь функции Minimize.При этом, например, можно минимизировать квадрат максимума согласованность системы: найти такие значения переменных, которые оставили и правые части минимально отличаются друг от друга, см. рис. 44. Для него формируется функция дополнительных пользователей F (x, y). Возвращает максимальные значения (max) квадрата отклонения левой и правой частей. уравнений, которые включает текущая задача. К сожалению, это невозможно определить функции пользователей внутри программы (ограничение Mathcad).После этого формируется основная функция soft пользователей root (x, y). Его аргументы – первое приближение к решению системы. Функция возвращает матрицу, который первый столбец хранит комментарии, первый элемент второго столбец сохраняет вектор решения и второй элемент второго столбца сохраняет максимальную невязку системы, которая используется для контроля точности решения. На рис. 44 четыре настоящих корня имеют был найден. Графическое решение задачи рассматривалось в подсказке 24, а аналитическое – в подсказке. 29.
Внимание ! Mathcad-документ на рис. 44 год дает правильный результат только в Mathcad 8 Pro и перестает работать в Mathcad 2000 Pro. Автор сообщил об ошибке разработчику Mathcad. Главный Ответ был следующим: Функции, которые входят в Solver Mathcad (группа Solving в основных функциях Mathcad: Minimize, Maximize, Find, MinErr, polyroots и root) не является продуктом MathSoft, Inc., но они покупают у фирмы Frontline, Inc.Вот почему все претензии мы должны направить ему. Тем не менее ошибка была исправлена в Mathcad 2001.

Совет 45. Единицы в программе

Рис.45. Размерность внутри программы

В Mathcad функция может возвращать несколько значений, которые объединены в вектор или матрица (массив). Данная функция мягких пользователей возвращает значения периметра и квадрат треугольника в зависимости от длины его стороны в точке 1 в рис.45. Но если пользователь хочет, чтобы аргументы были размерные для функции возвращает значение периметра и квадрата треугольник с соответствующими единицами измерения (длина и квадрат 2), тогда его будет ждать неудача. При этом появится вводящий в заблуждение отчет об ошибке: Несовпадение единиц. Пользователь думает, что суммирует метры с килограммами, для пример, но причина кроется в другом, вектор Mathcad может сохранить переменные только одного размера. Мы уже встречались с этим явлением когда мы рассматривали методы отладки программ в подсказке 36 и 37.

Это можно выполнить функцию, показанную на рис. 45 к давать два значения не сразу, а по очереди (см. совет 37) в зависимости от значения дополнительного аргумента (пункт 3): if i = Perimeter затем функция Parameters_triangle возвращает треугольник периметр, если i = Square, функция возвращает квадрат. Но в этом случае работа с размеры также приведут к ошибкам, см. пункт 4. Функция Parameters_triangle, как и любая другая функция, всегда возвращает единицу измерения размерной переменной из первой возвращенной строки программа.

разработчику Mathcad сообщили о данной ошибке (программа на рис. 45 всегда выводит размерность операнда возврат первого оператора). В ошибка была частично исправлена: если мы установим первый патч на Mathcad 2000 Pro после чего номер версии становится длиннее на букву А, затем программа вернет безразмерное значение в пункте 3 на рис. 45.

В советы фирмы MathSoft (см. Совет дня пункт 71) Размерность внутри программ использовать не рекомендуется.Причем почему-то петли упоминаются, но у них нет возможности работать с размерные переменные. В этом случае дело не только в петлях, но и в механизм возврата переменных и, конечно, в массивах, которые не могут хранить переменные разных размеров.

В точка 7 на рис. 45 альтернатива заменена на два цикла While, тело оператора которых выполняется либо один раз, либо не один раз. Об этом методе мы писали в подсказке 39. но здесь он используется для попытки реабилитации программы на рис.45. Надо признать, что попытка обернулась на провал: и альтернатива, и петля работают с габаритами не полностью правильно. Выход есть в подсказке 52 и в Mathcad 2001 Pro. где ошибка была окончательно исправлена.

Совет 46. Защита от дурака и от шутника

Рис.46. Защита от дурака и от шутника

Есть ряд особых шутников, получающих удовольствие от попыток практических анекдоты про компьютер: компьютер, ты слишком много думаешь о сам.Посмотрим, проглотишь ты это или нет! они думают так или об этом при вводе заведомо неверной информации в компьютер. Компьютер должен иметь возможность защищаться от свободного или принудительного ошибки пользователя.

В советах 6 и 21 мы уже давали советы по защита не компьютер, конечно (хотя как бы это сказать: например, пользователь может установить в компьютер неправильную дискету, открыть темное письмо, которое у него есть полученный по электронной почте, принесите вирус и взломайте программное обеспечение или сложная часть компьютера), но сам пользователь от ошибок ввода: контроль попадания в пределах возможного диапазона (совет 6), контроль добавления данных необходимой размерности ( тип 21 ).

Как Правило, невозможно заранее предусмотреть все возможные ошибки пользователя. Обычно эти ошибки появляются во время работы программы. Если ошибка заметил, и это привело к нежелательным последствиям, тогда программа будет добавлена новыми операторами и функциями, препятствующими появлению данного ошибка.

Наши старая задача, которая возвращает объем конуса в зависимости от его геометрических размеров, показано на рис. 46: диаметр основания (d) и длина конусов образующая (l) дополнена путем контроля соотношения между d и l.Когда ты защитить программу важно не только , заблокировать ее работу, если исходные данные неверны, но и дает максимально информативный отчет об ошибках: встроенный или пользовательский. Но встраивание в программу отчета об ошибках пользователей (безразмерная текстовая константа) нарушает его способность работать со значениями измерений: функция V возвращает безразмерные значения в случай, если его аргументы размерны.

Это слишком сложно предположить, какие ошибки может сделать пользователь, вводя начальные данные.Можно пойти наоборот, принять только правильные данные и определить и отсечь неправильные данные. В этом случае будет полезна оператор error, но не функция: ¾ при ошибке ¾ оператор обработки условий предупреждения. Первый операнд будет выполнен в данном операторе, если ошибка имеет место во время выполнения второго операнда.

Совет 47. Критические точки на графике

Рис.47. Критические точки на графике

Они (см. заголовок подсказки) можно обозначать не только как константы , но и как переменные , выражения и функции.

метод численного поиска локального минимума и локального максимума пользователей функция с одним аргументом показана на рис. 47. Как правило, такая работа сопровождается графическим контролем результата. построение графа с учетом полученных точек в декартовых координатах. Mathcad позволяет маркировать точки на графике красными пунктирными линиями. Для этого в окне форматирования графики на вкладке Axes ставим галочки (опции включены) Show Markers.После этого на графике рядом с осями y и x появляется пара заполнителей, куда пользователь обычно записывает константы. (числа). Однако мы можем ввести их переменных (выражения, функции) и мы это сделали: не фиксированных , а плавающих маркеров есть появились и отмечают критические точки (минимум и максимум) на графике. Если находим новые точки минимума и максимума (модифицированной начальной функции, при пример), то пунктирные линии для фиксации их на графике уберут автоматически тоже.

Как ну можно вставлять не только числа, но и выражения в заполнители возле осей y и x для плавающих фиксация разброса графика по ординате и абсциссе. Термин плавающая фиксация как ни странно (как в ботинке всмятку) но в в данном случае достаточно точно описывает технологию форматирования графов мы помещаем переменных в места, где разработчик предписывает ставить константы.

Это можно порекомендовать еще один способ фиксации точек на графике для дополнительное форматирование.Очень часто при публикации результатов расчета в Mathcad графика замораживается нажатием клавиши PrnScr (или Alt + PrnScr) а затем они проектируют как общую картину в среде некоторой графики редактор. В этом случае можно добавить график по своему желанию. Довольно хорошо чтобы обратить внимание на людей, которые пытаются повторить такую идеальную картинку в Mathcad этого в Mathcad такой вид графика не предусмотрен.

Подсказка 48. Различные масштабы оси абсцисс

Фиг.48. Различные масштабы оси абсцисс

Очень часто в декартовых координатах двух и более функций одной переменной кривая лежит вниз по оси x из-за малого значения соответствующей функции в выбранном диапазоне аргумента. В Mathcad невозможно иметь две оси y с разными масштабами (мы можем иметь это, например, в Excel). Тем не менее решение проблемы существует.

Вид функции и ее производной следующий: показано на первом графике рис.48. Рассеивание значения функции и ее производной несоизмеримы в данном предел аргумента (8-9) в графе.

На втором графике значения функции умножить на 10 (коэффициент подбирается экспериментально) и реанимирует график: теперь видно, что производные равны нулю в точки минимума и максимума и т. д.

Второе отличие графиков на рис. 48 позволяет сформулировать еще один наконечник (без номер) .

Производная строится с помощью числового вычисления его значений на первом графике.