Интеграл табличный: Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов

Содержание

Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов

Табличные интегралы для занятий по математическому анализу. В помощь студентам первых курсов технических, экономических и математических ВУЗов, преподавателям и репетиторам по математике.

Неопределенных интегралы от основных функций.

1. Интеграл от степенной функции

2. Интеграл от константы

3. Интеграл от синуса

4. Интеграл от косинуса

5. Интеграл от экспоненты

6. Интеграл от показательной функции

7. Интеграл от обратной пропорциональности

8.Интеграл, равный тангенсу

9. Интеграл, равный котангенсу

10. Интеграл от тангенса

11. Интеграл от котангенса

12. Интеграл, равный арксинусу

13. Интеграл, равный минус арккосинусу

14. Интеграл от секонса

15. Интеграл от косеконса

16. Интеграл, от обратной величины к разности квадратов

17. Полезный интеграл, сводящийся к арксинусу

18. Полезный интеграл, сводящийся к арктангенсу

19. Интеграл, сводящийся к натуральному логарифму

Комментарий репетитора по математике: к табличным обычно относят простейшие интегралы, в записи которых участвуют элементарные (основные) функции математического анализа. Табличные интегралы можно использовать для вычисления любых других интегралов (типовых или сложных) на любом этапе реализации алгоритма их нахождения. Техника интегрирования допускает следующий план: как только вам встетился табличный интеграл — применяйте его без каких-либо доказательств или вывода. {2}} = \frac{1}{2 a} \operatorname{ln}\left|{\frac{- a + x}{a + x}}\right| + C$$

Интеграл от единицы, деленной на разницу x в квадрате минус a в квадрате равен натуральному логарифму от модуля деления x-a на x + a и весь этот логарифм делен на произведение 2a

$$\int \operatorname{ln}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{ln}\left(x\right) - x + C$$

Интеграл от натуральной логарифической функции равен произведению x на натуральный логарифм и минус переменная x

$$\int \frac{dx}{x \operatorname{ln}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{ln}\left(x\right)\right) + C$$

Integral от единицы, деленной на произведение x на натуральный логарифм равняется логарифму от логарифма от x - по сути получается такая сложная функция

$$\int \operatorname{log}_{b}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{log}_{b}\left(x\right) - \operatorname{log}_{b}\left(e\right) + C$$

Интеграл от логарифма от x по основанию b равен произведению x на логарифм от x по основанию b минус логарифм от экспоненты по основанию b

$$\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$$

Значение интеграла от экспоненты в степени x равно самой экспоненте от x плюс константа C

$$\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\operatorname{ln}\left(a\right)} + C$$

Интеграл от числа a в степени x равняется a в степени x, деленное на натуральный логарифм от a

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \operatorname{arcsin}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

Интегральное выражение от 1 деленного на корень квадратный из разницы a в квадрате минус x в квадрате равняется арксинусу от деления x на a

$$\int \frac{- dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \operatorname{arccos}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

Этот же интеграл, но со знаком минус равен арккосинусу от деления x на a

$$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a} \operatorname{arcsec} \frac{\left|x\right|}{a} + C$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \operatorname{ln}\left| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right| + C$$

$$\int \operatorname{sin}\left(x\right)\,dx = - \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$

Интеграл от функции синус от x равен минус косинусу от того же x

$$\int \operatorname{cos}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sin}\left(x\right) + C$$

Интеграл от функции косинус от x равен синусу от x

$$\int \operatorname{tg}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + C$$

Интегральное от тангенса от x равно одной второй от логарифма от суммы тангенса в квадрате от x плюс один

$$\int \frac{dx}{\operatorname{tg}\left(x\right)} = - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}\left(x\right)\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{cos}\left(x\right)} = - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) -1\right) + \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) + 1\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right)} = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) -1\right) - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) + 1\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{cos}^{2}\left(x\right)} = \frac{\operatorname{sin}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C$$

интегралиус от 1 деленной на косинус в квадрате от x равен синусу от x, деленному на косинус от x

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}^{2}\left(x\right)} = - \frac{\operatorname{cos}\left(x\right)}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C$$

интегрализэ от единицы, деленной на синус в квадрате от x равен минус косинусу от x, деленному на синус от x

$$\int \frac{\operatorname{tg}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)}\,dx = \frac{1}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{tg}\left(x\right)} = \frac{1}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C$$

$$\int \operatorname{sin}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$

$$\int \operatorname{cos}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$

$$\int \operatorname{arctg}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{arctg}\left(x\right) - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(x^{2} + 1\right) + C$$

$$\int \operatorname{sin}^{n} \left(x\right)\,dx = - \frac{\operatorname{sin}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{cos}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{sin}^{n-2}\left(x\right)\,dx$$ при $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$

$$\int \operatorname{cos}^{n} \left(x\right)\,dx = \frac{\operatorname{cos}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{sin}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{cos}^{n-2}\left(x\right)\,dx$$ при $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$

$$\int \operatorname{sh}\left(x\right)\,dx = \operatorname{ch}\left(x\right) + C$$

Интеграл от гипорболического синуса от x равен гиперболическому косинусу от x

$$\int \operatorname{ch}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sh}\left(x\right) + C$$

Интеграл от гипорболического косинуса от x равен гиперболическому синусу от x

$$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}^{2}\left(x\right)} = \frac{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{th}^{2}\left(\frac{x}{2}\right) + 1} + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}^{2}\left(x\right)} = - \frac{1}{2} \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)} + C$$

$$\int \operatorname{th}\left(x\right)\,dx = x - \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}\left(x\right)} = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{sh}\left(x\right)\right) + C$$

$$\int \frac{dx}{\operatorname{th}\left(x\right)} = x - \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right)\right) + C$$

Табличные интегралы

Содержание:

Табличные интегралы

Табличные интегралы. Операция нахождения неопределенного интеграла данной функции, называемая Интегралом, является обратной производной, то есть операцией нахождения производной по данной функции(см. свойства неопределенного интеграла в разделах 22.1, 1 и 2).Таким образом, выражение, выражающее производную функции, то есть выражение в виде P ’(x)= f (x), может быть обращено(записано в виде интегральных уравнений). Используя это обсуждение, напишите таблицу значений ряда неопределенных интегралов, полученных непосредственно из таблицы производных соответствующих элементарных функций (см.§ 9).

Тот факт, что производная функции в правой части этих выражений является соответствующим подынтегральным выражением, проверяется прямым дифференцированием. Людмила Фирмаль
  • Если число a таково, что степень x имеет смысл для всех x»=; 0, то уравнение 1 справедливо для любого интервала. Например, выражение Допустимо для всей числовой оси. Тем не менее, Интеграл Единственная формула, действительная для всей области определения, то есть для всей числовой оси, от которой отходят нули числа excluded. (А0 + AGX по + a2×2 + … 1-АПН) yx = Он получен из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см.§ 22.1) и Формулы 1 этого раздела.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл степенной функции.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

 
   

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.

   

 

Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.

 

Интеграл : "Длинный логарифм".

 

 

Интеграл : "Длинный логарифм".

 

Интеграл : "Высокий логарифм".

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),

в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.

 

Интеграл : "Высокий логарифм".

 
   

Интеграл косинуса.

Интеграл синуса.

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

   

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

 

 

Интеграл равный косекансу.

 

Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

   

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
- гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx

- гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

 

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x)

.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

  • При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Методы решения интегралов, формулы и примеры

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором подынтегральная функция путем тождественных преобразований и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Подробнее про непосредственное интегрирование читайте по ссылке.

2. Метод подведения под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала. Этот метод является эквивалентным методу подстановки. Если , то

   

Подробнее про метод подведения под знак дифференциала читайте по ссылке.

3. Метод замены переменной или метод подстановки

Метод замены переменной или метод подстановки. Этот метод заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть делается подстановка). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или с помощью преобразований его можно свести к табличному.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку . Тогда и интеграл принимает вид:

   

Подробнее про метод замены переменной/подстановки читайте по ссылке.

4. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующей формуле:

   

или

   

При этом предполагается, что нахождение интеграла проще, чем исходного интеграла . В противном случае применение метода неоправданно.

Подробнее про метод интегрирования по частям читайте по ссылке.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Таблица интегралов

В школе у многих не получается решить интегралы или возникают какие-либо трудности с ними. Данная статья поможет вам в этом разобраться, так как в ней вы найдете все таблицы интегралов.

Интеграл является одним из главных вычислений и понятием в математическом анализе. Его появление получилось от двух целей:
Первая цель - восстановить функцию с помощью ее производной.
Вторая цель - вычисление площади, находящейся на расстоянии от графика к функции f(x) на прямой где, а больше или равна х больше или равен b и ось абсцисс.

Данные цели подводят нас к определенным и неопределенным интегралам. Связь между данными интегралами лежит в поиске свойств и вычислении. Но все течет и все меняется со временем, находились новые пути решения, выявлялись дополнения тем самым приводя определенные и неопределенные интегралы к иным формам интегрирования.

Что такое неопределенный интеграл спросите Вы. Это первообразная функция F(x) одной переменной x в интервале а больше х больше b. называется любой функцией F(x), в данном интервале для любого обозначения х, производная равняется F(x). Понятно что F(x) первообразная для f(x) в промежутке а больше х больше b. Значит F1(x) = F(x) + C. С -является любым постоянным и первообразным для f(x) в данном интервале. Данное утверждение обратимо, для функции f(x) - 2 первообразные отличаются только постоянной. Опираясь на теорему интегрального исчисления получается, что каждая непрерывная в интервале a

Определенный интеграл понимается как предел в интегральных суммах, или в ситуации заданной функции f(x) определенной на некоторой прямой (а,b) имея на нем первообразную F, означающую разность ее выражений в концах данной прямой F(b) - F(a).

Для наглядности изучения данной темы, предлагаю посмотреть видео. В нем подробно рассказывается и показывается как находить интегралы.

Каждая таблица интегралов сама по себе очень полезна, так как помогает в решении конкретного вида интегралов.

Все возможные виды канцтоваров и не только. Вы можете приобрести через интернет-магазин v-kant.ru. Либо просто перейдите по ссылке Канцтовары Самара (http://v-kant. ru) качество и цены Вас приятно удивят.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Табличная интеграция

- Mathonline

Табличное интегрирование - это специальный метод интегрирования по частям, который может быть применен к определенным функциям в форме $ f (x) = g (x) h (x) $, где одно из $ g (x) $ или $ h (x) $ is можно легко дифференцировать несколько раз, в то время как другую функцию можно легко интегрировать несколько раз. Есть два типа табличной интеграции.

Первый тип - это когда один из множителей $ f (x) $ при многократном дифференцировании переходит в $ 0 $.
Второй тип - это когда ни один из множителей $ f (x) $ при многократном дифференцировании не достигает значения $ 0 $.

Табличная интеграция, тип 1

Шаг 1 В произведении, содержащем функцию $ f $, найдите многочлен и обозначьте его $ F (x) $. {3} x3, вы действительно хотели бы интегрировать по частям 10 раз? Конечно нет.

Табличная интеграция происходит следующим образом. Допустим, вы интегрируете и у вас есть u = f (x) u = f (x) u = f (x) и dv = g (x) dx dv = g (x) dx dv = g (x) dx.

Тогда, интегрировав по частям, мы можем написать f (x) ∫g (x) −∫ (f ′ (x) ∫g (x)). \ Displaystyle е (х) \ int g (x) - \ int \ left (f '(x) \ int g (x) \ right). f (x) ∫g (x) −∫ (f' (x) ∫g (x)). (Я опускаю dxdxdx для простоты.)

Допустим, мы хотим упростить интеграл в этом выражении по частям. Тогда мы можем написать f (x) ∫g (x) - (f ′ (x) ∫∫g (x) −∫ [f ′ ′ (x) ∫∫g (x)]).\ Displaystyle е (х) \ int g (x) - \ left (\ displaystyle f '(x) \ int \ int g (x) - \ int \ left [f' '(x) \ int \ int g (x) ) \верно-верно). f (x) ∫g (x) - (f ′ (x) ∫∫g (x) −∫ [f ′ ′ (x) ∫∫g (x)]).

Видите выкройку?

Если мы хотим написать больше итераций, почему бы нам не сделать таблицу:

a b
1 f (x) f (x) f (x) g (x) g (x) g (x)
2 f ′ (X) f '(x) f ′ (x) ∫g (x) \ int g (x) ∫g (x)
3 f ′ ′ (x) f' '(x ) f ′ ′ (x) ∫∫g (x) \ int \ int g (x) ∫∫g (x)
4 f ′ ′ ′ (x) f '' '(x) f ′ ′ ′ (x) ∫∫∫g (x) \ int \ int \ int g (x) ∫∫∫g (x)

Обратите внимание, как мы умножаем A1 на B2, умножаем A2 на B3, A3 на B4 и т. {2016} \ sin x \, dx∫0π / 2 x2016sinxdx, вы получите сумму разные степени π \ piπ, умноженные на разные коэффициенты.

Какой наивысший показатель числа π \ pi π вы встретите при вычислении интеграла, если предположить, что вычисление, которое вы получаете, находится в точной форме, и что вы оставляете все развернутым без какого-либо факторинга? Введите этот показатель в качестве ответа.

Дополнительный вопрос : Как это можно обобщить? Что произойдет, если вы сделаете это с косинусом? Почему это работает?

В процессе

Исчисление

- Интеграция по частям

Исчисление - Интеграция по частям - Техническое обучение

Интеграция по частям
Предположим, у нас есть две функции, умноженные друг на друга
и дифференцируйте в соответствии с правилом продукта:
, затем интегрируя обе стороны между пределами a и b
и перестановка дает

к началу

Уловки: если одна из функций является многочленом (скажем, n-го порядка), а другая - можно интегрировать n раз, тогда вы можете использовать быстрый и простой табличный метод:

Табличный Метод
Предположим и. Тогда, если мы установим таблицу, дифференцируя f (x) столько раз, сколько нужно для достижения нуля, и интегрировав g (x) столько раз, мы получим
- обратите внимание, как мы чередуем знаки в столбце «I». Затем, умножая строки похожими буквами (которые вы можете пропустить на своей бумаге, чтобы сделать это более понятным - нарисуйте стрелки вместо от (а) до (а) и т. д.) дает следующее прямо как антипроизводную:
Этот метод намного быстрее, чем метод f-g или более старый метод u-v, особенно для повторных (более одного раза) интегралы по частям (Спасибо Dr.Уильям Т. Гай, UT Остин).
к началу

Продвинутый

Существует способ расширить табличный метод для обработки сколь угодно больших интегралов с помощью частей - вы просто включаете интеграл произведения функций в последнюю строку и вставьте дополнительный знак (то, что будет следующим в чередующемся ряду), чтобы

Уловка состоит в том, чтобы знать, когда остановиться для интеграла, который вы пытаетесь выполнить. Попробуйте это для несколько простых функций, вот увидите!

к началу

The u - v Метод:

Это старый резерв
, что идентично каноническому методу, если вы установите
Многим легче запомнить это!
к началу

Примеры || 1 || 2 || 3 ||

Пример 1

Так по таблице,
Методом u - v,
и
вверх

Пример 2

Так по таблице,

вверх

Пример 3

Это немного повеселее… из таблицы у нас
Последний интеграл справа дает замену
и , а именно.
, что составляет окончательный интеграл
вверх

Таким образом, этот метод можно использовать даже для очень неприятных интегралов!

к началу
Упражнения || 1 || 2 || 3 ||
Это действительно доказательства, потому что я дам вам ответы.

Используйте вышеуказанные методы, чтобы отобразить

1.

2.

3.

к началу
Рекомендуемые книги

Схема Шаума исчисления (Шаума ...

Классический сборник задач по исчислению - очень мало теории, много проблемы с полными решениями, еще проблемы с ответами

Schaum's Easy Схема: исчисление

Упрощенная и обновленная версия классической модели Schaum's Outline. 4 \ sin \ left (x \ right) dx $, применив метод табличного интегрирования по частям, который позволяет нам выполнять последовательное интегрирование по частям на интегралах вида $ \ int P (x) T (x) dx $.{n-1}

долларов США

$ 24x $

Производная линейной функции, умноженная на константу, равна константе

$ 24 $

Производная постоянной функции ($ 24 $) равна нулю

0

3

Получите $ P (x) $, пока оно не станет равным 0 $

$ 0 $

Объясните больше

Промежуточные ступени

Найдите интеграл $ \ sin \ left (x \ right) $ относительно $ x $

$ \ sin \ left (x \ right)

$

Примените интеграл функции синуса: $ \ int \ sin (x) dx = - \ cos (x) $

$ - \ cos \ left (x \ right)

$

Интеграл постоянной функции равен постоянной, умноженной на интеграл функции

$ - \ int \ cos \ left (x \ right) dx $

Примените интеграл функции косинуса: $ \ int \ cos (x) dx = \ sin (x) $

$ - \ sin \ left (x \ right)

$

Интеграл постоянной функции равен постоянной, умноженной на интеграл функции

$ - \ int \ sin \ left (x \ right) dx $

Примените интеграл функции синуса: $ \ int \ sin (x) dx = - \ cos (x) $

$ \ соз \ влево (х \ вправо) $

Примените интеграл функции косинуса: $ \ int \ cos (x) dx = \ sin (x) $

$ \ sin \ left (x \ right)

$

Примените интеграл функции синуса: $ \ int \ sin (x) dx = - \ cos (x) $

$ - \ cos \ left (x \ right)

$ 4

Интегрируйте $ T (x) $ столько раз, сколько нам потребовалось для получения $ P (x) $, поэтому мы должны интегрировать $ \ sin \ left (x \ right) $ в сумме 5 $, умноженных на

. {2} & + & \ cos \ left (x \ right) \\ 24x & - & \ sin \ left (x \ right) \\ 24 & + & - \ cos \ left (x \ right) \\ 0 & & \ end {matrix} $

6

Тогда решение представляет собой сумму произведений производных и интегралов согласно предыдущей таблице.{2} \ cos \ left (x \ right) -24x \ sin \ left (x \ right) -24 \ cos \ left (x \ right) + C_0 $

Численное интегрирование табличных данных в Excel

Существует два основных способа численного интегрирования в Excel:

  • Интеграция табличных данных
  • Интеграция с использованием VBA

1. Интеграция табличных данных

Этот тип численного интегрирования в основном зарезервирован для экспериментальных данных.

Это полезно, когда вы хотите увидеть, как какой-то интеграл экспериментальных данных прогрессирует с течением времени.

2. Интеграция с использованием VBA

Этот метод лучше всего работает, когда вы хотите интегрировать уравнение с большим количеством точек интегрирования и хотите вернуть только одно значение.

Его можно настроить с помощью пользовательской функции (UDF).

Независимо от того, хотите ли вы интегрировать табличные данные в электронную таблицу или уравнение в VBA, существуют два общих приближения, которые используются для оценки площади под кривой.

Это правило средней (или конечной) точки и правило трапеции.

Правило средней точки

Правило средней точки оценивает площадь под кривой как серию чистых прямоугольников (с центром в точке данных).

Как вы понимаете, это приводит к плохой точности при быстром изменении подынтегральной функции.

Лучше не использовать этот метод, если количество точек интеграции ограничено.

Правило трапеции

Правило трапеций оценивает площадь под кривой как серию трапеций.

Это значительно увеличивает точность, независимо от изменения подынтегральной функции.

По мере увеличения количества точек интеграции результаты этих методов будут сходиться.

Нам дают таблицу данных ускорения и просят оценить скорость и положение с течением времени. Ускорение как функция времени выглядит следующим образом:

Для начала давайте добавим несколько столбцов для скорости и позиции к нашим данным, а также заполним начальные значения.

Мы можем предположить, что ускоряемый здесь объект начинает движение в состоянии покоя, поэтому его скорость и положение равны «0» в момент времени t = 0.

Затем мы можем вычислить скорость. Мы знаем, что в общем случае скорость связана с ускорением следующим уравнением:

Итак, чтобы вычислить скорость в любой момент времени, нам нужно вычислить интеграл ускорения во времени.

Так как у нас есть конечное количество точек данных, метод трапеций даст нам наибольшую точность, поэтому давайте воспользуемся этим.

В ячейке C5 (первое значение скорости после начальной скорости 0, введенное выше) введите формулу для расчета площади трапеции под кривой.

Заполнение этой формулы полностью вниз дает следующий результат скорости:

Результат скорости имеет смысл с учетом данных ускорения. У нас есть область постепенного увеличения скорости от 0 до 0,1 секунды. Скорость увеличения с разной скоростью от 0,1 до ~ 0,45 секунды и от ~ 0,45 до 0,7 секунды. И постоянная скорость (нулевое ускорение) от 0,7 до 1 секунды.

Теперь мы можем перейти к данным о местоположении.

Мы введем ту же формулу для площади трапеции под кривой скорости, чтобы вычислить положение.

Еще раз, мы заполняем это уравнение полностью, чтобы получить положение как функцию времени:

Этот метод численного интегрирования в Excel можно применить для решения множества различных задач. Надеюсь, этот пост дал вам все, что вам нужно, чтобы начать применять эту технику в своей работе.

6.3 Интеграция по частям и табличная интеграция

Презентация на тему: «6.3 Интеграция по частям и табличная интеграция» - стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = "4502451947"] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = "4502451947"]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 6. 3 Интеграция по частям и табличная интеграция

2 Проблема: интеграция первообразной не очевидна
U-подстановка не работает У нас должен быть другой метод, чтобы хотя бы попытаться найти первообразную !!!

3 Формула по частям: Начните с правила продукта:
Это формула интеграции по частям.

4 u дифференцируется до нуля (обычно).
дв легко интегрируется. u дифференцируется до нуля (обычно). Формула «Интеграция по частям» - это «правило продукта» для интеграции. Выберите u в следующем порядке: LIPET Logs, Inverse trig, Polynomial, Exponential, Trig.

5 Пример 1: множитель полинома LIPET

6 Пример 2: логарифмический коэффициент LIPET

7 Пример 3: LIPET Это все еще продукт, поэтому нам снова нужно использовать интеграцию по частям.

8 Пример 4: LIPET Это выражение, с которого мы начали!

9 Пример 5: ЛИПЕТ

10 Пример 5 (продолжение): Это называется «решение неизвестного интеграла». Это работает, когда оба фактора объединяются и различаются навсегда.

11 Ярлык: табличное интегрирование
Табличное интегрирование работает для интегралов вида: где: дифференцируется до нуля за несколько шагов. Интегрируется многократно.

12 Сравните это с той же задачей, выполненной другим способом:

13 Пример 6: LIPET Это проще и быстрее сделать с табличной интеграцией!

14

РЕШЕНО: Оцените интеграл следующей вкладки…

Стенограмма видео

для оценки интеграла методом трапеций. Итак, мы оцениваем сводку Сената в верхней части здесь. Мы хотим начать с высоты, разделенной на два или трапеции, и это действительно будет эквивалентно Delta X, и, следовательно, в этом случае Delta X будет 0,1, потому что это ширина между чешским значением там, а затем мы хотим выйти и умножить на все высоты. Гм, и мы просто продолжим и начнем с того, что поместим их сюда. Так что давайте продолжим и сделаем это в первую очередь. И ключ к правилу трапеции - это все, кроме внешних высот, которые будут использоваться дважды, поэтому мы умножили их на два.Потому что просто визуализировать очень быстро, чтобы избежать ловушек. Например, эта высота здесь используется как для первой, так и для второй трапеции. Вот почему у нас есть целая куча, ну, двое перед ними - все эти высоты обнаруживаются в ловушках, которых можно избежать, а концы, конечно, обнаруживаются только на одном. И тем более обо всем, что между ними, ладно. Итак, отсюда мы все готовы к работе. Итак, все это, ммм, алгебраическое утверждение здесь будет упрощено до 2. 15 И это приближение для площади под кривой или всех этих трапеций.Если бы мы продолжали переходить к 0,5 здесь, а затем оттуда, мы хотели бы использовать Симпсона Брюле, и Правило симптомов имеет деленное на три, а не деленное на два в git, снова имеет ту же идею Delta X здесь. Итак, мы идем thio, вычитаем B минус a, а затем делим это на пять. И это тоже закончится тем, что позвольте мне написать, что здесь u минус a Разделенное на n взглядов, которое в данном случае равно пяти. И это дает нам здесь максимальное значение 0,1. А потом оставим немного места.Итак, тогда правило Симпсона в конечном итоге снова будет похоже на то, которое мы только что использовали выше с правилом трапеции. Высота снаружи будет равна единице. Но затем он чередуется между четырьмя и временами тоже. Таким образом, это будет умножение на четыре на восемь или следующий тип, который равен четырем, умноженный на два. Я не писал этот звук, плюс следующий тип, умноженный в четыре раза. И эта следующая высота - 3,5, и здесь еще две, плюс в два раза больше, чем пять, и, наконец, плюс один. Итак, снова, чтобы подвести итог, правило трапеции использует двойки для всего для каждой высоты, которая не является одной из высот конечной конечной точки. И затем Правило Симпсонов использует комбинацию чередующихся четверок и двоек в качестве факторов для всего, что находится в середине. Но он оставляет другие высоты как есть, и поэтому будет оцениваться вторая высота. Извините, вторая область под аппроксимацией кривой в конечном итоге дает нам 2,2 для правила Симпсона, и поэтому ясно, что эти два являются очень хорошими приближениями, потому что они только с ними.Хм, вы знаете, пять сотен друг друга, и вот как мы могли бы использовать трапецию и правило Симпсона. Оцените здесь площадь под кривой. Дайте ему эту таблицу

. .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *