Интеграл табличный: Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов
- Комментариев к записи Интеграл табличный: Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов нет
- Разное
- Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов
- Табличные интегралы
- Таблица первообразных (“интегралов”). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
- как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры
- Методы решения интегралов, формулы и примеры
- Таблица интегралов
- – Mathonline
- – Интеграция по частям
- Численное интегрирование табличных данных в Excel
- 6.3 Интеграция по частям и табличная интеграция
- РЕШЕНО: Оцените интеграл следующей вкладки…
Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов
Табличные интегралы для занятий по математическому анализу. В помощь студентам первых курсов технических, экономических и математических ВУЗов, преподавателям и репетиторам по математике.
Неопределенных интегралы от основных функций.
1. Интеграл от степенной функции
2. Интеграл от константы
3. Интеграл от синуса
4. Интеграл от косинуса
5. Интеграл от экспоненты
6. Интеграл от показательной функции
7. Интеграл от обратной пропорциональности
8.Интеграл, равный тангенсу
9. Интеграл, равный котангенсу
10. Интеграл от тангенса
11. Интеграл от котангенса
12. Интеграл, равный арксинусу
13. Интеграл, равный минус арккосинусу
14. Интеграл от секонса
15. Интеграл от косеконса
16. Интеграл, от обратной величины к разности квадратов
17. Полезный интеграл, сводящийся к арксинусу
18. Полезный интеграл, сводящийся к арктангенсу
19. Интеграл, сводящийся к натуральному логарифму
Комментарий репетитора по математике: к табличным обычно относят простейшие интегралы, в записи которых участвуют элементарные (основные) функции математического анализа. Табличные интегралы можно использовать для вычисления любых других интегралов (типовых или сложных) на любом этапе реализации алгоритма их нахождения. Техника интегрирования допускает следующий план: как только вам встетился табличный интеграл — применяйте его без каких-либо доказательств или вывода.
{2}} = \frac{1}{2 a} \operatorname{ln}\left|{\frac{- a + x}{a + x}}\right| + C$$Интеграл от единицы, деленной на разницу x в квадрате минус a в квадрате равен натуральному логарифму от модуля деления x-a на x + a и весь этот логарифм делен на произведение 2a
$$\int \operatorname{ln}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{ln}\left(x\right) – x + C$$
Интеграл от натуральной логарифической функции равен произведению x на натуральный логарифм и минус переменная x
$$\int \frac{dx}{x \operatorname{ln}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{ln}\left(x\right)\right) + C$$
Integral от единицы, деленной на произведение x на натуральный логарифм равняется логарифму от логарифма от x – по сути получается такая сложная функция
$$\int \operatorname{log}_{b}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{log}_{b}\left(x\right) – \operatorname{log}_{b}\left(e\right) + C$$
Интеграл от логарифма от x по основанию b равен произведению x на логарифм от x по основанию b минус логарифм от экспоненты по основанию b
$$\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$$
Значение интеграла от экспоненты в степени x равно самой экспоненте от x плюс константа C
$$\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\operatorname{ln}\left(a\right)} + C$$
Интеграл от числа a в степени x равняется a в степени x, деленное на натуральный логарифм от a
$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = \operatorname{arcsin}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$
Интегральное выражение от 1 деленного на корень квадратный из разницы a в квадрате минус x в квадрате равняется арксинусу от деления x на a
$$\int \frac{- dx}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = \operatorname{arccos}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$
Этот же интеграл, но со знаком минус равен арккосинусу от деления x на a
$$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^{2} – a^{2}}} = \frac{1}{a} \operatorname{arcsec} \frac{\left|x\right|}{a} + C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \operatorname{ln}\left| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right| + C$$
$$\int \operatorname{sin}\left(x\right)\,dx = – \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$
Интеграл от функции синус от x равен минус косинусу от того же x
$$\int \operatorname{cos}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sin}\left(x\right) + C$$
Интеграл от функции косинус от x равен синусу от x
$$\int \operatorname{tg}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + C$$
Интегральное от тангенса от x равно одной второй от логарифма от суммы тангенса в квадрате от x плюс один
$$\int \frac{dx}{\operatorname{tg}\left(x\right)} = – \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}\left(x\right)\right) + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{cos}\left(x\right)} = – \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) -1\right) + \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) + 1\right) + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right)} = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) -1\right) – \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) + 1\right) + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{cos}^{2}\left(x\right)} = \frac{\operatorname{sin}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C$$
интегралиус от 1 деленной на косинус в квадрате от x равен синусу от x, деленному на косинус от x
$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}^{2}\left(x\right)} = – \frac{\operatorname{cos}\left(x\right)}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C$$
интегрализэ от единицы, деленной на синус в квадрате от x равен минус косинусу от x, деленному на синус от x
$$\int \frac{\operatorname{tg}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)}\,dx = \frac{1}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{tg}\left(x\right)} = \frac{1}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C$$
$$\int \operatorname{sin}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x – \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$
$$\int \operatorname{cos}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C$$
$$\int \operatorname{arctg}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{arctg}\left(x\right) – \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(x^{2} + 1\right) + C$$
$$\int \operatorname{sin}^{n} \left(x\right)\,dx = – \frac{\operatorname{sin}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{cos}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{sin}^{n-2}\left(x\right)\,dx$$ при $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$
$$\int \operatorname{cos}^{n} \left(x\right)\,dx = \frac{\operatorname{cos}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{sin}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{cos}^{n-2}\left(x\right)\,dx$$ при $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$
$$\int \operatorname{sh}\left(x\right)\,dx = \operatorname{ch}\left(x\right) + C$$
Интеграл от гипорболического синуса от x равен гиперболическому косинусу от x
$$\int \operatorname{ch}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sh}\left(x\right) + C$$
Интеграл от гипорболического косинуса от x равен гиперболическому синусу от x
$$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}^{2}\left(x\right)} = \frac{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{th}^{2}\left(\frac{x}{2}\right) + 1} + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}^{2}\left(x\right)} = – \frac{1}{2} \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right) – \frac{1}{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)} + C$$
$$\int \operatorname{th}\left(x\right)\,dx = x – \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}\left(x\right)} = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{sh}\left(x\right)\right) + C$$
$$\int \frac{dx}{\operatorname{th}\left(x\right)} = x – \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right)\right) + C$$
Табличные интегралы
Содержание:
Табличные интегралы
Табличные интегралы. Операция нахождения неопределенного интеграла данной функции, называемая Интегралом, является обратной производной, то есть операцией нахождения производной по данной функции(см. свойства неопределенного интеграла в разделах 22.1, 1 и 2).Таким образом, выражение, выражающее производную функции, то есть выражение в виде P ’(x)= f (x), может быть обращено(записано в виде интегральных уравнений). Используя это обсуждение, напишите таблицу значений ряда неопределенных интегралов, полученных непосредственно из таблицы производных соответствующих элементарных функций (см.§ 9).
Тот факт, что производная функции в правой части этих выражений является соответствующим подынтегральным выражением, проверяется прямым дифференцированием. Людмила Фирмаль
- Если число a таково, что степень x имеет смысл для всех x»=; 0, то уравнение 1 справедливо для любого интервала. Например, выражение Допустимо для всей числовой оси. Тем не менее, Интеграл Единственная формула, действительная для всей области определения, то есть для всей числовой оси, от которой отходят нули числа excluded. (А0 + AGX по + a2×2 + … 1-АПН) yx = Он получен из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см.§ 22.1) и Формулы 1 этого раздела.
Смотрите также:
Предмет математический анализ
Интеграл степенной функции. |
Интеграл степенной функции. |
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала. |
|
Интеграл экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число. |
Интеграл сложной экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненциальной функции. |
Интеграл, равняющийся натуральному логарифму. |
Интеграл : “Длинный логарифм”. |
Интеграл : “Длинный логарифм”. |
|
Интеграл : “Высокий логарифм”. |
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала |
Интеграл : “Высокий логарифм”. |
|
Интеграл косинуса. |
Интеграл синуса. |
Интеграл, равный тангенсу. |
Интеграл, равный котангенсу. |
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу. |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
|
|
Интеграл равный косекансу. |
Интеграл, равный секансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арккосекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу. |
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx |
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому секансу. |
Интеграл, равный гиперболическому косекансу. |
как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Изучаем понятие «интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
«Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a, b и с:
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Методы решения интегралов, формулы и примеры
1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором подынтегральная функция путем тождественных преобразований и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Подробнее про непосредственное интегрирование читайте по ссылке.
2. Метод подведения под знак дифференциала
Метод подведения под знак дифференциала. Этот метод является эквивалентным методу подстановки. Если , то
Подробнее про метод подведения под знак дифференциала читайте по ссылке.
3. Метод замены переменной или метод подстановки
Метод замены переменной или метод подстановки. Этот метод заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть делается подстановка). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или с помощью преобразований его можно свести к табличному.
Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку . Тогда и интеграл принимает вид:
Подробнее про метод замены переменной/подстановки читайте по ссылке.
4. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующей формуле:
или
При этом предполагается, что нахождение интеграла проще, чем исходного интеграла . В противном случае применение метода неоправданно.
Подробнее про метод интегрирования по частям читайте по ссылке.
Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Таблица интегралов
В школе у многих не получается решить интегралы или возникают какие-либо трудности с ними. Данная статья поможет вам в этом разобраться, так как в ней вы найдете все таблицы интегралов.
Интеграл является одним из главных вычислений и понятием в математическом анализе. Его появление получилось от двух целей:
Первая цель – восстановить функцию с помощью ее производной.
Вторая цель – вычисление площади, находящейся на расстоянии от графика к функции f(x) на прямой где, а больше или равна х больше или равен b и ось абсцисс.
Данные цели подводят нас к определенным и неопределенным интегралам. Связь между данными интегралами лежит в поиске свойств и вычислении. Но все течет и все меняется со временем, находились новые пути решения, выявлялись дополнения тем самым приводя определенные и неопределенные интегралы к иным формам интегрирования.
Что такое неопределенный интеграл спросите Вы. Это первообразная функция F(x) одной переменной x в интервале а больше х больше b. называется любой функцией F(x), в данном интервале для любого обозначения х, производная равняется F(x). Понятно что F(x) первообразная для f(x) в промежутке а больше х больше b. Значит F1(x) = F(x) + C. С -является любым постоянным и первообразным для f(x) в данном интервале. Данное утверждение обратимо, для функции f(x) – 2 первообразные отличаются только постоянной. Опираясь на теорему интегрального исчисления получается, что каждая непрерывная в интервале a
Определенный интеграл понимается как предел в интегральных суммах, или в ситуации заданной функции f(x) определенной на некоторой прямой (а,b) имея на нем первообразную F, означающую разность ее выражений в концах данной прямой F(b) – F(a).
Для наглядности изучения данной темы, предлагаю посмотреть видео. В нем подробно рассказывается и показывается как находить интегралы.
Каждая таблица интегралов сама по себе очень полезна, так как помогает в решении конкретного вида интегралов.
Все возможные виды канцтоваров и не только. Вы можете приобрести через интернет-магазин v-kant.ru. Либо просто перейдите по ссылке Канцтовары Самара (http://v-kant. ru) качество и цены Вас приятно удивят.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Табличная интеграция
– Mathonline
Табличное интегрирование – это специальный метод интегрирования по частям, который может быть применен к определенным функциям в форме $ f (x) = g (x) h (x) $, где одно из $ g (x) $ или $ h (x) $ is можно легко дифференцировать несколько раз, в то время как другую функцию можно легко интегрировать несколько раз. Есть два типа табличной интеграции.
Первый тип – это когда один из множителей $ f (x) $ при многократном дифференцировании переходит в $ 0 $.
Второй тип – это когда ни один из множителей $ f (x) $ при многократном дифференцировании не достигает значения $ 0 $.
Табличная интеграция, тип 1
Шаг 1 | В произведении, содержащем функцию $ f $, найдите многочлен и обозначьте его $ F (x) $. {3} x3, вы действительно хотели бы интегрировать по частям 10 раз? Конечно нет. Табличная интеграция происходит следующим образом. Допустим, вы интегрируете и у вас есть u = f (x) u = f (x) u = f (x) и dv = g (x) dx dv = g (x) dx dv = g (x) dx. Тогда, интегрировав по частям, мы можем написать f (x) ∫g (x) −∫ (f ′ (x) ∫g (x)). \ Displaystyle е (х) \ int g (x) – \ int \ left (f ‘(x) \ int g (x) \ right). f (x) ∫g (x) −∫ (f’ (x) ∫g (x)). (Я опускаю dxdxdx для простоты.) Допустим, мы хотим упростить интеграл в этом выражении по частям. Тогда мы можем написать f (x) ∫g (x) – (f ′ (x) ∫∫g (x) −∫ [f ′ ′ (x) ∫∫g (x)]).\ Displaystyle е (х) \ int g (x) – \ left (\ displaystyle f ‘(x) \ int \ int g (x) – \ int \ left [f’ ‘(x) \ int \ int g (x) ) \верно-верно). f (x) ∫g (x) – (f ′ (x) ∫∫g (x) −∫ [f ′ ′ (x) ∫∫g (x)]). Видите выкройку? Если мы хотим написать больше итераций, почему бы нам не сделать таблицу:
Обратите внимание, как мы умножаем A1 на B2, умножаем A2 на B3, A3 на B4 и т. {2016} \ sin x \, dx∫0π / 2 x2016sinxdx, вы получите сумму разные степени π \ piπ, умноженные на разные коэффициенты. Какой наивысший показатель числа π \ pi π вы встретите при вычислении интеграла, если предположить, что вычисление, которое вы получаете, находится в точной форме, и что вы оставляете все развернутым без какого-либо факторинга? Введите этот показатель в качестве ответа. Дополнительный вопрос : Как это можно обобщить? Что произойдет, если вы сделаете это с косинусом? Почему это работает? В процессе Исчисление– Интеграция по частямИсчисление – Интеграция по частям – Техническое обучение
к началуУловки: если одна из функций является многочленом (скажем, n-го порядка), а другая – можно интегрировать n раз, тогда вы можете использовать быстрый и простой табличный метод:
к началуПродвинутый Существует способ расширить табличный метод для обработки сколь угодно больших интегралов с помощью частей – вы просто включаете интеграл произведения функций в последнюю строку и вставьте дополнительный знак (то, что будет следующим в чередующемся ряду), чтобы Уловка состоит в том, чтобы знать, когда остановиться для интеграла, который вы пытаетесь выполнить. Попробуйте это для несколько простых функций, вот увидите! к началуThe u – v Метод:
к началуПримеры || 1 || 2 || 3 || Пример 1
вверхПример 2 Так по таблице, вверхПример 3
вверхТаким образом, этот метод можно использовать даже для очень неприятных интегралов! к началу
Используйте вышеуказанные методы, чтобы отобразить 1. 2. 3. к началу
Схема Шаума исчисления (Шаума …
Schaum’s Easy Схема: исчисление
|
---|