Как взять частную производную – .
1) Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные)
Решение
Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:
.
Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:
.
2) Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом
Решение
Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим
;
,
,
; .
Подставляя в формулу , найдем
.
Ответ:
3) Исследовать на максимум и минимум следующую функцию ,
Решение
Найдем частные производные и :
,
.
Решим систему уравнений Которая в данном случае примет вид:
Решения и не удовлетворяют условию
Определим частные производные второго порядка:
, , .
Найдем значение в точке :
, , .
Тогда . и функция в точке имеет экстремум.
Так как , то в точке функция имеет минимум и .
Ответ: т. – точка минимума,
4) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области ,
Решение
Функция непрерывна в замкнутом квадрате . Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего, значений функции.
Найдём все решения системы уравнений:
Имеем
Все решения находятся в области
Найдём значения функции в найдённых стационарных точках:
На границе области
А) . Отсюда
Б) . Отсюда ,
С) . Отсюда
D) . Отсюда ,
Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область .
Выберем наибольшее и наименьшее значения:
,
5) Найти условные экстремумы функции при
Решение
Составим функцию Лагранжа
Имеем
Система имеет единственное решение
Далее
Найдём дифференциал второго порядка в точке :
Тогда
Из уравнения ограничения
При поэтому функция в точке имеет условный минимум,
Ответ: в точке имеет условный минимум,
< Предыдущая | Следующая > |
---|
matica.org.ua
12. Частные производные высших порядков
Пусть функция имеет в некоторой области
Если , точастная производная второго порядка называется смешанной. Если , то частная производная второго порядка обозначается
Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и т.д.
Следует отметить свойство смешанных частных производных:
Теорема. Если в точкеDсмешанные частные производныеинепрерывны, то они равны между собой в этой точке, т.е.
,
или значение смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование.
Это свойство верно и для смешанных производных любого порядка.
Теорема. Если функция определена в некоторой областиDи имеет в этой области всевозможные частные производные до го порядка включительно инепрерывные в Dсмешанные производные го порядка, то значение любой той смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Частные производные первого порядка для этой функции мы нашли раньше, рассматривая пример 1:
Найдем теперь частные производные от частных производных первого порядка, получим тем самым частные производные второго порядка заданной функции:
На примере убеждаемся, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому в дальнейшем будем находить только одну из них.
13. Дифференциалы высших порядков
Пусть функция определена в некоторой областиD и имеет в этой области непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она имеет и полный дифференциал:
,
который, в свою очередь, является некоторой функцией от тех же переменных. Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для функции
Замечание. Приращения при этом рассматриваются какпостоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Следовательно, дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю, т.е.
,. (7)
Поэтому, применяя правила дифференцирования и помня о равенстве смешанных производных по одному и тому же набору переменных, получим:
Здесь и далее ,.
Аналогично определяются дифференциалы третьего ,четвертого и т.д.порядков. Если определен дифференциал го порядка, то дифференциалго порядка определяется как полный дифференциал от дифференциалаго порядка:
.
Сложность выражения для дифференциала зависит как от количества переменных, так и от его порядка. Поэтому проще запомнить
,
которое нужно понимать следующим образом: сначала многочлен, стоящий в скобках, формальнопо правилам алгебры возводится в степень, затем все полученные члены «умножаются» на, т.е.дописывается в числителе каждой дроби при, а после этого всем символам возвращается их значение производных и дифференциалов.
Например, если , то
т.е.
(8)
таким образом,
(9)
и т.д.
Пример 6. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции
.Решение. Для нахождения дифференциалов функции воспользуемся свойствами дифференциала, выраженными формулами (6) (дифференциал суммы, разности, произведения двух функций и т.д.) и определением дифференциала второго, третьего и т.д. порядков:
Теперь дифференцируем полученное выражение, помня, что дифференциалы независимых переменных есть константы, т.е. дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю (см. формулу (7)):
Дифференцируя третий раз, применяя те же правила, получим:
Здесь
.
Для дифференциалов второго и третьего порядка данной функции мы получили бы те же самые выражения, если бы воспользовались для их нахождения формулами (8) и (9), т.е. если бы сначала нашли все частные производные нужных порядков, а потом подставили их в эти формулы. Проверьте и сравните.
Из полученных выражений для дифференциалов заданной функции мы можем теперь записать выражения для частных производных этой функции любого порядка, по любым независимым переменным, сопоставляя полученное с формулами (8) и (9), например:
,
, .
Пример 7. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .
Решение. Так как все частные производные данной функции по переменной, начиная со второй, равны нулю, то здесь легко сразу воспользоваться формулами (3) и (4):
.
studfiles.net
Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.
Как уже отмечали, что производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные, так называемые повторные, производные по x, и y или смешанные частные производные.
Так, частные производных второго обозначаются следующим образом:
или ; или ;
или ; или ;.
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции z=f(x, y) имеем:
, Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
,
;
;
.
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называютсявторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx , zyy’ , zxy или. Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная . Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности
вычислялись частные производные по x и по y.
Похожие статьи:
poznayka.org