Матрица тема – умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Тема 1.1. Лекция 1. Занятие 1.

Тема: Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Матрицейназывается прямоугольная таблица, составленная из чисел или каких-либо других объектов. У матрицы различают элементы, строки и столбцы. В общем виде:

Первый индекс указывает номер строки, а второй номер столбца. Иногда коротко пишут: т.е. I меняется от 1 до m, а j от 1 до n.

Пара чисел называется размерностью матрицы.

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, тогда говорят о ее порядке.

Матрица, у которой всего один столбец называется столбцевой, или числовым вектором.

Матрица, у которой всего одна строка называется строчной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. И обозначается 0.

Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, называется

диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной

Иногда применяется транспонирование матрицы А, т.е. перемена ролями ее строк и столбцов, полученную матрицу обозначим .

 

Действия над матрицами.

 

1. Матрицы одинакового размера можно складывать по формуле:

(1)

 

 

2. Матрицы можно умножать на число по формуле:

(2)

 

3. Если число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй, то матрицы можно перемножать друг на друга по правилу:

(3)

- получается путем умножения элементов I-той строки первой матрицы на элементы j-того столбца второй и результаты складываются.

Схема умножения матриц: r

 

n

n

m

 

Квадратная матрица имеет определитель, который будем обозначать detА или .

 

Тема 1.1 Лекция 2. Занятие 2



Тема: Определители второго и третьего порядка. Вычисление определителей с применением их свойств.

Выражение называется определителем ( детерминантом) второго порядка и записывается в виде: , (4)

где вертикальные черточки – знак определителя.

Аналогично определитель матрицы третьего порядка: (5)

Это выражение называется определителем третьего порядка .

Данный определитель можно вычислить по правилу треугольника:

 

Главная диагональ и треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали со знаком плюс.

побочная диагональ и треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали со знаком минус.

 

 

Определитель третьего порядка имеет три строки (горизонтальные ряды), три столбца

(вертикальные ряды), девять элементов ( числа .

Свойства определителей:

1. Если переставить два параллельных ряда , т.е. две строки или два столбца, то определитель умножится на –1.

2. Если определитель имеет два одинаковых ряда, то он равен нулю.

3. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя.

4. Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.

5. Если к каждому из элементов какого-либо ряда прибавить числа, пропорциональные соответствующим элементам какого-нибудь другого ряда, параллельному первому, то значение определителя не изменится.

6. Определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно. Это называется транспонированием определителя.

 

Разложение определителя по элементам ряда:

Алгебраическим дополнением к элементу называется определитель, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, в которых находится данный элемент. Но этот определитель надо взять со знаком «+» или «-« , в зависимости от положения данного элемента в исходном определителе: если сумма индексов элемента четна, то берется со знаком «+», если нечетно, то «-«. Обозначается

В определителе (5 ) алгебраическое дополнение элемента равно ,

алгебраическое дополнение элемента равно и т.д.

Имеет место следующее свойство определителей: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь из рядов на алгебраические дополнения этих элементов.

Например: Разложение определителя по элементам первой строки:

(6)

Обратная матрица.

Обратной к матрице А называется матрица , такая, что .

Квадратная матрица, для которой , называется вырожденной. Вырожденная матрица не имеет обратной, а всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Возьмем невырожденную матрицу , тогда обратная будет (7),

где большими буквами А1……С3 – обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов в матрице А.

Ранг матрицы.

Вычеркнем из матрицы А несколько строк и столбцов так, чтобы количество оставшихся строк равнялось количеству оставшихся столбцов. Если после этого заменить знак матрицы на знак определителя, то полученный определитель называется

минором матрицы АМатрица имеет много миноров, причем некоторые из них могут равняться нулю, а другие отличны от нуля. Наивысший из порядков миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы А.

Ранг нулевой матрицы, у которой все миноры равны нулю, принимается равным нулю.

Ранг матрицы равен максимально возможному числу ее линейно независимых строк. Матрицу А с помощью элементарных преобразований сводят к ступенчатому виду и посчитают количество строк. Это и будет ранг матрицы.

Элементарные преобразования:

1. меняем местами строки.

2. прибавляем к одной строке другую, умноженную на какое либо число.

3. Отбрасываем нулевые строки.

 

Тема: Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия.

Векторы на плоскости

Если началом вектора является точка А( ), а концом В( ) , то имеет координаты: = (1)

Над векторами, заданными своими координатами можно производить следующие действия: если и , то (2)

(3)

, где (4)

Вектор коллинеаренвектору , если их координаты пропорциональны: .

Расстояние между точками и равно (5)

Следовательно длина вектора вычисляется по формуле (6)

Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=λ. То координаты точки С находятся по формулам: ; ; (7)

Если λ=1, то получим формулы для середины отрезка: ; (8)

Скалярное произведение векторов, заданными своими координатами в пространстве вычисляется по формуле (10)

Косинус угла между векторами находится по формуле: (11)

Условие перпендикулярности двух векторов:

 

Векторы в пространстве

Если началом вектора является точка А( ), а концом В( ) , то имеет координаты: = (12)

Над векторами, заданными своими координатами можно производить следующие действия: если и , то (13)

(14)

, где (15)

Вектор коллинеаренвектору , если их координаты пропорциональны: .

Расстояние между точками и равно (16)

Следовательно длина вектора вычисляется по формуле (17)

Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=λ. То координаты точки С находятся по формулам: ; ; (18)

Если λ=1, то получим формулы для середины отрезка: ; ; (19) Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые он образует с осями координат.

; ; (20)

(21)

Скалярное произведение векторов, заданными своими координатами в пространстве вычисляется по формуле (22)

Косинус угла между векторами находится по формуле: (23)

Условие перпендикулярности двух векторов:

Прямая на плоскости.

Способы задания прямой основаны на аксиомах и теоремах школьного курса. Из школьного же курса известно общее уравнение прямой: .

  1. Задание прямой проходящей через точку и имеющую данный угловой коэффициент.

 

Угловым коэффициентом прямойназывается число, равное отношению второй координаты ее направляющего вектора к первой координате

Замечание: Геометрический смысл углового коэффициента имеет смысл только в

ортонормированном базисе: ,

  1. Задание прямой проходящей через точку и имеющую данный нормальный вектор.

Всякий вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой.

Если прямая задана общим уравнением , то за нормальный вектор можно принять .

Дано: : .

  1. Задание прямой через точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой называется всякий вектор, параллельный этой прямой или лежащий на ней. Если прямая задана общим уравнением , то направляющим вектором является или .

Дано: || каноническое уравнение прямой будет:

- . (13)

4. Задание прямой проходящей через две различные точки.

Дано: .

Условие перпендикулярности прямых:

Угол между пересекающимися прямыми вычисляется по формуле:

Условие параллельности прямых:

Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, которое каждому элементу хÎ X сопоставляет один и только один элемент уÎ Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), хÎ X или ƒ: X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y.

Например, соответствия ƒ и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу хÎX соответствует элемент уÎY. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество X называется областью определения функции ƒ и обозначается D(f). Множество всех уÎY называется множеством значений функции ƒ и обозначается Е(ƒ).

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция ƒ : X→Y.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.

Частное значение функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х2-3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции у=√(1-х2) является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром в О(0;0) (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции у= √(1-х2)является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Обратная функция

Пусть задана функция у=ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению уєЕ соответствует единственное значение хєD, то определена функция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102).

Такая функция φ(у) называется обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х=j(y)=f-1(y).Про функции у=ƒ(х) и х=φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х=φ(у), обратную к функции у=ƒ (х), достаточно решить уравнение ƒ(х)=у относительно х (если это возможно).

Примеры:

1. Для функции у=2х обратной функцией является функция х=у/2;

2.Для функции у=х2 хє[0;1] обратной функцией является х=√у;заметим, что для функции у=х2, заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=ƒ(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция ƒ(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция у=ƒ(х) и обратная ей х=φ(у) изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у=ƒ(х) запишется в виде у=φ(х).

Это означает, что точка M1(xo;yo) кривой у=ƒ(х) становится точкой М2оо) кривой у=φ(х). Но точки M1 и М2 симметричны относительно прямой у=х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функции у=ƒ(х) и у=φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D1, причем для " xÎ D1 соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D 1 определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у=sin2x есть суперпозиция двух функций у=sinu и u=2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Интегрирование по частям

Теорема: Пусть даны две функции и , дифференцируемы на промежутке . Если существует интеграл , следовательно, существует интеграл .

Условно интегралы, берущиеся по частям, можно разбить на группы.

1.

за обозначают то что в скобках, а за все остальное.

2.

за обозначают , а за все остальное.

3. берутся с помощью повторного интегрирования (за u берем ,

за все остальное)

 

 

X

при условии, что сохраняет знак на отрезке

 

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми

и двумя прямыми вычисляется по формуле

 

 

y x=a x=b

     
 
 
 

0 a b x

Задача вычисления пути.

Материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью . Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от до

Если , то .

Если - функция, то путь , пройденный телом, определяется из равенства

при и при

 

Тема 1.1. Лекция 1. Занятие 1.

Тема: Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Матрицейназывается прямоугольная таблица, составленная из чисел или каких-либо других объектов. У матрицы различают элементы, строки и столбцы. В общем виде:

Первый индекс указывает номер строки, а второй номер столбца. Иногда коротко пишут: т.е. I меняется от 1 до m, а j от 1 до n.

Пара чисел называется размерностью матрицы.

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, тогда говорят о ее порядке.

Матрица, у которой всего один столбец называется столбцевой, или числовым вектором.

Матрица, у которой всего одна строка называется строчной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. И обозначается 0.

Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной

Иногда применяется транспонирование матрицы А, т.е. перемена ролями ее строк и столбцов, полученную матрицу обозначим .

 

Действия над матрицами.

 

1. Матрицы одинакового размера можно складывать по формуле:

(1)

 

 

2. Матрицы можно умножать на число по формуле:

(2)

 

3. Если число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй, то матрицы можно перемножать друг на друга по правилу:

(3)

- получается путем умножения элементов I-той строки первой матрицы на элементы j-того столбца второй и результаты складываются.

Схема умножения матриц: r

 

n

n

m

 

Квадратная матрица имеет определитель, который будем обозначать detА или .

 

Тема 1.1 Лекция 2. Занятие 2


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Тема: Эксцентриситет гиперболы

1)

Полуось - Действительная

Полуось b – мнимая

Ветви гиперболы все ближе приближаются к

2)

Ветви отодвигаются от

Парабола – множество точек в плоскости для которых расстояние до данной точки называемой фокусом и данной прямой называемой директриса равны.

N y

M – точка параболы

P0/2 P/2 F –фокус х

, -расстояние от директрисы до фокуса

Можно доказать, что последнее равенство равносильно первому. Оно называется каноническим уравнением параболы.

Тема: Исследование формы параболы.

  1. т.к. координата у входит в уравнение во второй степени, то кривая симметрична относительно оси

  2. может быть только больше или равным нулю. Значит, параболы существуют только в правой полуплоскости.

  3. при,

  4. из уравнения видно, что парабола проходит из начала координат, т.е. при

  5. так как парабола симметрично относительно , то достаточно построить ее часть лежащую в I четверти.

у

0 х

Замечание:

К числу канонических следует отнести также следующие уравнения параболы

Эксцентриситет параболы =1

Тема: Матрица. Понятие матрицы. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или функций расположенных по строкам и столбцам.

- размерность матрицы

Матрица называется квадратной, если m=n

Если матрица имеет размерность , такая матрица называется матрица - трока.

Если матрица имеет размерность , такая матрица называется матрица – столбец

Матрица размерностью , называется матрицей n-ого порядка.

А,В,С

Две матрицы одинаковой размерности равны друг другу, если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Элементы матрицы, у которых номер строки равен номеру столбца, образуют главную диагональ матрицы.

Тема: Действие над матрицами

  1. Пусть даны две матрицы одинаковой размерности. Их суммой (или разностью) называется такая матрица той же размерности, все элементы которой получены сложением (или вычитанием) соответствующих элементов данных матриц.

  1. Умножение матрицы на число

Произволением матрицы на число является матрица той же размерности, все элементы которой получены умножением соответствующих элементов данной матрицы на это число.

  1. Транспонирование матриц.

Перемена местами строк и столбцов матрицы таким образом, что строка № i становится столбцом № I, и наоборот, называется транспонированием матрицы.

  1. Умножение матриц друг на друга.

Произведением матрицы А размерности на матрицу B размерностью называется такая матрица с размерностью , каждый элемент которой получен из элементов матриц А и В по правилу «строка на столбец».

Из определения следует, что нельзя перемножать матрицы произвольных размерностей.

Условие перемножаемости: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.

Правило «Строка на столбец»

Рассмотрим его на примере:

Замечание:

Из определения произведения матриц следует, что умножение матриц не перестановочно, потому что после перемены местами сомножителей может оказаться, что такое умножение не возможно.

studfiles.net

Тема 1 матрицы и определители Матрицы Основные понятия

Тема 1. матрицы и определители Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами Элементарные преобразования матриц Определитель матрицы. Определители второго порядка Определители третьего порядка Разложение определителя Свойства определителей Обратная матрица 1

Матрицы. Основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов. Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические выражения, функции и т. д. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы матрицы – теми же маленькими буквами. Размерность матрицы обозначается: количество строк количество столбцов 2

Если , то матрица называется прямоугольной. Если , то матрица называется квадратной (n - ного порядка). Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого порядка, размерностью . Матрица типа называется матрица-строка: Матрица типа называется матрица-столбец: 3

Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, остальные – нулю (обозначается буквой Е): Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нуль-матрицей и обозначается символом 0. 4

Действия над матрицами Равенство матриц Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны. Сложение (вычитание) матриц Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового размера, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются. 5

Умножение матрицы на число При умножении матрицы A на число k получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k. Найти значение выражения: 6

Умножение матриц Произведение матриц A * B определено только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в противном случае произведение не существует. Произведением матрицы A размера с элементами aij на матрицу B размера с элементами bjq называется матрица C размера с элементами: 7

Найти С = A * B 6 9 1 14 24 4 8

Свойства операции произведения матриц: 1) 2) 3) 4) В общем случае для произведения матриц не действует переместительный закон: иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными. 5) Единичная матрица является коммутативной для любой квадратной матрицы того же порядка: 6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение определителей равно определителю произведения . 9

Транспонирование матрицы Под этой операцией понимают переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. 10

Элементарные преобразования матриц Отбрасывание нулевой строки (столбца) Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю Изменение порядка строк (столбцов) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число Транспонирование Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований. 11

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет следующий вид: С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду 12

Определитель матрицы. Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы. Определитель любой единичной матрицы равен единице. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица невырожденная. 13

Определителем n – ого порядка называется число: 14

Определители 2 порядка Определители широко применяются во многих разделах высшей математики, в теоретической механике, физике и т. д. для сокращения записей и удобства вычислений. Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде: ai j Номер строки Элементы определителя, Индексы Номер столбца из произведения элементов главной диагонали вычитается Главная диагональ произведение элементов побочной диагонали. определителя Побочная диагональ определителя 15

Определитель третьего порядка 1 Метод треугольника + _ Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка 16

2 Метод Саррюса Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс» . Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус: 17

Разложение определителя Минором Mij элемента определителя aij называется определитель, полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Алгебраическое дополнение Aij элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-), если эта сумма – нечетная. 18

Величина определителя равна сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения: Разложение определителя по элементам i – ой строки Разложение определителя по элементам j – ого столбца 19

Свойства определителей. Свойства определителя: Величина определителя равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки равны нулю: Величина определителя равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны 20

Определитель меняет знак, если поменять местами строки (столбцы): Определитель увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца (строки) увеличить в k раз: Определитель не меняется при замене строк соответствующими столбцами: 21

Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали: 22

Пример вычисления определителя при помощи свойств Выберем 1 К элементам 2 Разложим столбец и К элементам 3 строки прибавим определитель по превратим второй строки прибавим элементы столбца элементам 11 строки, и третий элементы 1 строки умноженные на (-2) элементы в нули Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству. 23

Обратная матрица Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом, согласно определению: АА-1=А-1 А=Е. Транспонированная матрица Присоединенная матрица получается из матрицы А Если определитель матрицы получается путем замены каждого путем замены строк т равен нулю, то обратная элемента матрицы А на его соответствующими матрица не существует алгебраическое дополнение столбцами 24

Пример вычисления обратной матрицы. Из второй -2 2 -1 Разложим определитель строки вычтем 2 -2 2 по элементам 3 столбца первую строку -4 6 -6 25

present5.com

Проект по математике.Тема :"Нумерология.Матрица Пифагора"

Описание слайда:

Человек с числом судьбы 1 обладает задатками лидерства в любой сфере. Он честолюбив и решителен, обладает хорошими организаторскими способностями. Люди с числом судьбы 1 редко бывают подчиненными или исполнителями чужой воли, им больше нравится самим руководить другими людьми. Негативной стороной характера таких людей является сверхчувствительность, они с трудом переносят критику, бывают, склонны к унынию и тщеславию. /Манукян А., Якушева Е./ Дипломатия и тактичность – вот основные качества человека с числом судьбы 2. Благодаря прирожденной дружелюбности, умению сосредотачиваться на главном, такие люди часто успешно продвигаются по служебной лестнице. К негативу характера человека с числом судьбы 2 можно отнести частую перемену настроения и излишнюю чувствительность /Абдурашидова Н, Дычко А, Егорова Н, Тафизова Д/. Люди с числом судьбы 4 напоминают чем - то квадрат с его надежными четырьмя углами и равными сторонами. Расчетливость, практичность и целеустремленность – вот на чем основывается жизнь таких людей. Другой стороной характера человека с числом судьбы 4 может являться его чрезмерная мелочность, чувство ответственности и консерватизм, которые способны тормозить продвижение в делах, а также создавать проблемы в семейной жизни./Кенджаев Р, Марюшкина А, Сибирякова А, Ядгаров Ф/ Людям с числом судьбы 5 характерно прирожденное чувство свободы, которое зовет их на всевозможные приключения, а врожденный ум и неуемная энергия являются залогом того, что они будут происходить постоянно. Их ирония, юмор, а также повышенная чувствительность способны подчинять окружающих людей. Люди с числом судьбы 5 наделены незаурядным умом и изобретательностью, что позволяет им выполнять несколько занятий одновременно. Негативной стороной характера человека с таким числом является его непостоянство, ревность, склонность к унынию и злобность /Сухарев Д/ В нумерологии число судьбы 6 связано неразрывно с умением приспосабливаться, мудростью и дипломатией. Люди с таким числом бескорыстны в своих стремлениях и являются большими ценителями красоты. Гармония во всем - в доме и профессиональной деятельности – вот их кредо. К немногочисленным недостаткам человека с числом судьбы 6 относятся экстравагантность, навязчивое покровительство и, отчасти, мнительность./Прозоров в, Стрельцова А, Якушева К/ Для людей с числом судьбы 7 открыт внутренний мир как ни для кого другого. Они прирожденные философы и мыслители. Многие из них становятся хорошими учителями и писателями. Такие люди часто медлительны и у них находится много времени для отдыха и размышлений. А еще число 7 является мистическим числом, поэтому, люди с таким числом судьбы обладают хорошей интуицией. Их недостатками является склонность к угрюмости, отчужденности и скрытности. /Щёлокова И/ Число судьбы 8 обещает своему обладателю власть, достаток и процветание. Прирожденные организаторские способности помогают таким людям и их семье добиться материального и духовного благополучия. Они очень проницательны, дисциплинированны и хорошо разбираются в людях. Часто становятся борцами за справедливость, так как не терпят ущемления прав других людей. Обратной стороной характера таких людей является их увлечение властью и деньгами. /Волкова А, Джолматов И, Фомина Е, Чурик А/ Судьба человека с числом 9 представляет собой сумму судеб, определяемых всеми другими числами. Поэтому, такие люди наделены всеми присущими другим числам положительными и отрицательными свойствами, что делает их чрезвычайно могущественной личностью в любом смысле слова./Клоус З, Краснов К, Осипова Д, Хачатрян Н, Шарипова У/ Число судьбы.

infourok.ru

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .
  2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.
  3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

  1. .

Примеры.

  1. .
  2. Найти 2A-B, если , .

    .

  3. Найти C=–3A+4B.

    Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

    Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

  2. Найти произведение матриц.

    .

  3. .
  4. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
  5. Пусть

    Найти АВ и ВА.

  6. Найти АВ и ВА.

    , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  1. .
  2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .
  2. .
  3. Решите уравнение..

    .

    (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

    (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

    (x-4)(x-1)=0.

    x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

toehelp.ru

План-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме: Лекция по математике. Раздел 1. Линейная алгебра. Тема: Матрицы и определители.Занятие №1.

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок№1.

Тема: Понятие матрицы. Виды матриц. Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матрицы.Выполнение операций над матрицами».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия  с ними можно выполнять?

2.Изучение нового материала.

Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n  столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения:   или

Или кратко: А=(аij)mn или А=[aij].  Две матрицы А и В одинаковых размеров равны  А=В, если аij=bij для любых i, j.

Матрицы бывают:  0 =  - нулевая матрица,

А =  - матрица противоположная матрице А,

 - матрица – строка,                  - матрица – столбец,

 - верхняя треугольная матрица,

 -нижняя треугольная матрица, - диагональная матрица,

Е =  - единичная матрица.

Если все аij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из чисел аij комплексное, то матрица называется комплексной.

ДЕЙСТВИЯ  НАД МАТРИЦАМИ

1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij , для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

A +B = B + A

(A +B) +C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Транспонирование матриц.

А =  Ат =

Ат – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования:

1)              3)

2)           4)

Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)

Тех же размеров, у которой сij = k · aij  для любых i,j.

C = k · A

Свойства умножения матрицы на число:

1)

2)

3)

4)  для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β  R

Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется матрица С = (сij) размеров mp, у которой

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

AE = EA = A

A0 = 0A = 0

(AB)D = A(BD)

(A + B)D = AD + BD

D(A + B) = DA + DB   (при условии, что все указанные операции имеют      смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

3.Закрепление нового материала.

Пример 1:  Найти сумму матриц:  А =  и  В  = .

Решение: С = А + В              С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2:  Найти разность матриц А – В:  А =  и В = .

Решение: С = А – В      -В =       С =

Пример 3:  Дана матрица А =.      Найти матрицу С = 2А.

Решение:   С = 2А =

Пример 4:   Даны матрицы: А =  и  В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение:   С = АВ     С =      С =

4.Итог занятия. Рефлексия.

5.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

3.Найти:   а)         б)

4.Найти матрицу , если

а)  

б)  

nsportal.ru

1 Тема: Матрицы и определители

Таблицу вида

называют прямоугольной матрицей размера . Элементыназыаются элементами матрицы. m – число строк, n- число столбцов. Матрица размера называется квадратной матрицей.

Операции над матрицами определяются с помощью операции над их элементами.

  1. Две матрицы А и В размера равны, если равны их элементы.

  2. Суммой матриц А и В размера есть матрица размера, каждый ее элемент равен сумме соответствующих элементов.

  3. Произведение матрицы А размера на число есть матрица размера, каждый элемент которой равен произведениюна число.

  4. Произведение матрицы А размера на матрицу В размераесть матрица С размера.

Матрицей обратной для А называется матрица , для которой.

Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу.

Число линейно независимых строк(или столбцов) матрицы называют ее рангом.

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называют число

(2)

Минором элемента в определителе n-го порядка (2) есть определитель

(n—1)-го порядка, получающийся из определителя (2), если из него вычеркнуть i-строку и j-й столбец.

Алгебраическое дополнение элемента есть коэффициент прив разложении определителя или. Определитель можно выразить через элементы его строки или столбца и их алгебраические дополнения следующим образом:(разложение Лапласа).

Определитель второго порядка .

Определитель третьего порядка .

Свойства определителей

  1. Определитель не меняется при транспонировании

  2. При перемене местами двух строк(столбцов) определитель меняет знак.

  3. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столца), то ее определитель равен нулю.

  4. Если все элементы какой –либо строки (столбца) определителя умножить на число с, то на это число умножится и сам определитель.

  5. Если элементы любой строки(столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором –вторым.

  6. Определитель не меняется при строчном (столбцевом) перобразовании

  7. Сумма произведении элементов любой строки(столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Если все элементы определителя n-го порядка расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны 0, то определитель равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

2 Тема: Система линейных уравнений.

Система n линейных уравнений c n неизвестными имеет вид:

(1)

Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел a1, a2, an, которая, будучи поставлена в систему на место неизвестных X 1,X 2 ,…,X n, обращает все уравнения системы в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет одно единственное решение, и несовместной, если не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Определителем системы называется определитель, составленный из коэффициентов aij.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю.

Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в неё уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель её равен нулю.

Для нахождения решения системы линейных уравнений применяют метод Гаусса и правило Крамера.

Метод Гаусса решения системы заключается в последовательном исключении переменных.

Теорема: Для того, чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Тогда:

  1. если r = R =0, т.е. если все коэффициенты a1 ,a 2, b1 ,b 2, c 1, c2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы.

  2. если r =0, R =1, т.е. a1 =a 2=b1 =b 2=0 и c +c≠0, то система не имеет решений.

  3. если r =1, R =1, то система имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

  4. если r =1, R =2, то система не имеет решений.

  5. если r =2, R =2, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Формулы Крамера имеют вид: .

studfiles.net


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *