Обобщение закона электромагнитной индукции – 404 Not Found

Билет 6. Обобщение закона электромагнитной индукции. Первое уравнение Максвелла.

Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнит­ное поле возбуждает в окружающем про­странстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения ин­дукционного тока в контуре, циркуляция которого равна изменению магнитного потока:

Подставив в формулу (137.1) выраже­ние (см. (120.2)), получим

Если поверхность и контур неподвиж­ны, то операции дифференцирования и ин­тегрирования можно поменять местами. Следовательно,

циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его eq) вдоль любого замкну­того контура равна нулю:

Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматриваемыми по­лями (ЕB и eq) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора

ЕB в отли­чие от циркуляции вектора eq не равна нулю. Следовательно, электрическое поле ЕB, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, явля­ется вихревым.

Вывод первого уравнения Максвелла.

 

Сравнивая это выражение с I=Iсм = , имеем

D=e0E+P, где Е — напряжен­ность электростатического поля, а Р — поляризованность (см. § 88), то плотность тока смещения

где e0дE/дt— плотность тока смещения

Плотность полного тока jполн=j+дD/дt.

Iполн=

первое уравнение Максвелла

 

7. Для установления количественных отношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники

электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (/) и смещения (/см ) рав-ны: Ток проводимости вблизи обкладок (в общем случае).

плотность тока смещения

При зарядке конденсатора (рис. 199, а) через провод- ник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой, поле в конденсаторе усиливается, следовательно, т. е. вектор направлен в ту же сторону, что и D.

При разрядке конденсатора (рис. 199, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой, поле в конденсаторе ослабляется; следовательно, т. е. вектор направлен противоположно вектору D направление вектора

j, а следовательно, и вектора jсм совпадает

с направлением вектора дD/дt

Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле

диэлектриках ток смещения:

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимо- сти (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока jполн=j+дD/дt.

Максвелл обобщил теорем}’ о циркуляции вектора Н , введя в ее правую часть полный ток Iполн= поверхность S, натянутую на замкнутый контур L. Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде

 

Второе уравнение Максвелла– это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. То есть переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Получим второе уравнение Максвелла в интегральной форме

Уравнение 1.19 – второе уравнение Максвелла в интегральной форме.

 

Уравнение 1.20 есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

8. Система уравнений Максвелла. Электромагнитное поле.

В основе теории Максвелла лежат след уравнения.

1. Электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым , поэтому напряженность суммарного поля E=E

Q+EB. Так как циркуляции вектора EQ равна нулю, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды , но и магнитные поля.

2. Обобщенная теория о циркуляции вектора H:

Уранеие показывает,что поля могут возбуждаться движ-ся зарядами или переменными электрич. полями.

3. Теорема Гаусса для поля D:

 

4. Теорема Гаусса для поля B:

Из уравнений М. следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом – они образует единое электромагнитно поле.

 


Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Глава 4. Электромагнитная индукция и уравнения Максвелла.

20

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

4.1. Электромагнитная индукция. Открытие Фарадея.

В 1831 г. М. Фарадеем было сделано одно из важнейших фундаментальных открытий в электродинамике – обнаружено явление электромагнитной индукции.

В замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (потока вектора ), охватываемого этим контуром, возникает электрический ток.

Этот ток получил название индукционного.

Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает э.д.с. индукции (работа по перенесению единичного заряда по замкнутому контуру). Весьма замечательным является то, что значениесовершенно не зависит от того, каким образом осуществляется изменение магнитного потока, и определяется лишь скоростью его изменения, т.е. величиной. Изменение знака производнойприводит к изменению знака

э.д.с. индукции .

Фарадей обнаружил, что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами, которые удобно объяснить с помощью рисунка.

1-й способ: перемещение рамкив магнитном поле

неподвижной катушки .

2-й способ: изменение магнитного поля , создаваемого

катушкой , за счет ее движения или вследствие

изменения силы тока в ней (или того и другого

вместе). Рамка при этом неподвижна.

В обоих этих случаях гальванометр будет показывать

наличие индукционного тока в рамке .

Направление индукционного тока и, соответственно, знак

э.д.с. индукции определяются правилом Ленца.

Правило Ленца.

Индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

Другими словами, индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающего э.д.с. индукции.

Правило Ленца выражает важное физическое свойство – стремление системы противодействовать изменению ее состояния. Это свойство называют электромагнитной инерцией.

4.2. Закон электромагнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея).

Какова бы ни была причина изменения магнитного потока, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с. индукции определяется формулой

. (2.1)

Природа электромагнитной индукции.

Разберемся в тех физических причинах, которые приводят к возникновению э.д.с. индукции. С этой целью последовательно рассмотрим два случая.

1. Контур движется в постоянном магнитном поле.

Пусть контур с подвижной перемычкой длиной находится в магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Если двигать перемычку со скоростьювправо, то с такой же скоростью начнут двигаться и носители тока в перемычке – электроны. В результате на каждый электрон начинает действовать сила

, (2.2)

вызывающая перемещение электронов по перемычке вниз, т.е. потечет

ток, направленный вверх.

Перераспределившиеся заряды создадут электрическое поле,

которое возбудит ток и в остальных участках контура.

Это и есть индукционный ток.

Магнитная сила играет роль сторонней силы. Ей можно

сопоставить эквивалентное поле

. (2.3)

Электродвижущая сила, создаваемая этим полем, называется электродвижущей силой индукции . В нашем случае

. (2.4)

Здесь знак «минус» поставлен потому, что стороннее поле направлено против положительного обхода контура, определяемого правилом правого винта. Произведениеесть скорость приращения площади контура (приращение площади в единицу времени), поэтому

, (2.5)

где – приращение магнитного потока сквозь контур.

Т.о.,

. (2.6)

Полученный результат можно обобщить на случай произвольной ориентации вектора индукции магнитного поля относительно плоскости контура и на любой контур, движущийся (и,или деформируемый) произвольным образом в постоянном неоднородном внешнем магнитном поле, аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении работы амперовых сил.

.

Итак, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием магнитной составляющей силы Лоренца, пропорциональной , которая возникает при перемещении проводника.

Контур покоится в переменном магнитном поле.

Наблюдаемое на опыте возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что и в этом случае в контуре появляются сторонние силы, которые теперь связаны с изменяющимся во времени магнитным полем. Какова же их природа? Ответ на этот принципиальный вопрос был дан Максвеллом.

Поскольку проводник покоится, то скорость упорядоченного движения электрических зарядов и, следовательно, магнитная сила, пропорциональная, также равна нулю и уже не может привести заряды в движение. Однако кроме магнитной силы на электрический заряд может действовать только сила со стороны электрического поля, равная. Поэтому остается заключить, чтоиндукционный ток обусловлен электрическим полем , возникающим при изменении во времени внешнего магнитного поля.Именно это электрическое поле и ответственно за появление э.д.с. индукции в неподвижном контуре. Согласно Максвеллу,изменяющееся во времени магнитное поле порождает в окружающем пространстве электрическое поле. Возникновение электрического поля не связано с наличием проводящего контура, который лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование этого поля. Появление электрического поля можно обнаружить и по другим его действиям. Например, по поляризации диэлектрика, пробою конденсатора, ускорению и торможению заряженных частиц и т.п.

Формулировка закона электромагнитной индукции, данная Максвеллом, принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики.

Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле.

Математическая формулировка закона электромагнитной индукции в понимании Максвелла имеет вид:

Циркуляция вектора напряженности этого поля по любому неподвижному замкнутому контуруопределяется выражением

, (2.7)

где – магнитный поток, пронизывающий контур.

Используемый для обозначения скорости изменения магнитного потока знак частной производной указывает на то, что контур является неподвижным.

Поток вектора через поверхность, ограниченную контуром, равен, поэтому выражение закона электромагнитной индукции можно переписать следующим образом:

. (2.8)

По теореме Стокса

, тогда

и, учитывая, что последнее соотношение справедливо для любой произвольной поверхности , получаем закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

. (2.9)

Это одно из уравнений системы уравнений Максвелла.

Примечание: в системе СИ

Тот факт, что циркуляция электрического поля, возбуждаемого переменным во времени магнитным полем, отлична от нуля, означает, что рассматриваемое электрическое поле не потенциальное. Оно, как и магнитное поле, являетсявихревым.

В общем случае электрическое поле может быть представлено векторной суммой потенциального (поля статических электрических зарядов, циркуляция которого равна нулю) и вихревого (обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем) электрических полей.

В основе рассмотренных нами явлений, объясняющих закон электромагнитной индукции, не просматривается общего принципа, позволяющего установить общность их физической природы. Поэтому эти явления следует рассматривать как независимые, а закон электромагнитной индукции – как результат их совместного действия. Тем более удивительным оказывается тот факт, что э.д.с. индукции в контуре всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь контур. В тех случаях, когда меняется и поле и расположение или конфигурация контура в магнитном поле, э.д.с. индукции следует рассчитывать по формуле

,

а закон электромагнитной индукции можно представить в виде

.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, представляет собой полную производную магнитного потока по времени:

.

Первое слагаемое связано с изменением магнитного поля во времени, второе – с движением контура.

Можно сказать, что во всех случаях индукционный ток вызывается полной силой Лоренца

.

Какая часть индукционного тока вызывается электрической, а какая магнитной составляющей силы Лоренца – зависит от выбора системы отсчета.

Необходимый комментарий.

Из самого определения работы следует, что сила, действующая в магнитном поле на электрический заряд и перпендикулярная его скорости, не может совершать работы. Однако при движении проводника с током, увлекающего за собой заряды, сила Ампера все же работу совершает. Наглядным подтверждением этого служат электромоторы.

Это противоречие исчезает, если принять во внимание, что движение проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлением электромагнитной индукции. Поэтому наряду с силой Ампера работу над электрическими зарядами совершает и возникающая в проводнике электродвижущая сила индукции. Т.о., полная работа сил магнитного поля складывается из механической работы, обусловленной силой Ампера, и работы э.д.с., индуцируемой при движении проводника. Обе работы равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому их сумма равна нулю. Действительно, работа амперовой силы при элементарном перемещении проводника с током в магнитном поле равна , за это же время э.д.с. индукции совершает работу

,

тогда полная работа .

Силы Ампера совершают работу не за счет энергии внешнего магнитного поля, которое может оставаться постоянным, а за счет источника э.д.с., поддерживающего ток в контуре.

studfiles.net

Обобщение закона электромагнитной индукции

Введём взаимосвязь между основными характеристиками ЭСП (основной силовой характеристики напряженностью и основной силовой характеристики потенциалом). Для этого воспользуемся фундаментальным физическим законом (законом магнитной индукции).

Из опыта известно, что в некотором замкнутом поводящем контуре охваченным поверхностью S будет возникать электрический ток (индукционный) в то случае если поток магнитной индукции через данную поверхность будет меняться с течением времени.

Данный закон получен из электромагнитной индукции.

ЭДС индукции возникающее в данном контуре

– изменение потока магнитной индукции через поверхность S. – изменение промежутка времени в течение которого данное изменение произошло. Знак минус говорит о правиле Ленца согласно которому которое говорит что индукционный ток должен иметь такое направление, что создаваемое им магнитное поле должно препятствовать изменению того магнитного потока которое создаёт данный индукционный ток. Получим уравнение обобщающее данный физический закон. Это уравнение было выведено максвеллом и вошло в систему уравнений максвелла обобщающих основной закон электричества и магнетизма. Параллельно получим закон Ома в дифференциальной форме, то есть для некоторого элементарного отрезка по которому протекает ток. Согласно закону Ома для замкнутой цепи ЭДС индукции равно:

где: I – индукционный ток протекающий в данной поверхности замкнутого контура. R – сопротивление. dR – сопротивление элементарного участка данной цепи длинной dL.

Данный элементарный участок замкнутого контура длинной dL имеет площадь поперечного сечения ∆S, то

– удельная проводимость данного проводника.

Предполагаем что к некоторому проводнику длинной L и имеющему сопротивление R приложено напряжение U. То есть разность потенциалов проводника равная U. Сопротивление R данного проводника может быть определено:

где: j – плотность тока, то есть ток проходящий через единицу поверхности поперечного сечения проводника, в том случае если проводник короткий, то можно считать что напряжённость электрического поля под действием которой происходит движение электрических зарядов связано с напряжением U.

С учётом выше изложенного

Таким образом мы получили закон Ома в дифференциальной форме. Или уравнение среды. Используя выше представленные выкладки получили обобщающее уравнение электромагнитной индукции.

ЭДС индукции которая возникла в замкнутом контуре мы можем трактовать как циркуляцию вектора напряжённости электрического поля возникающего в результате изменения магнитного потока через поверхность которая охвачена замкнутым контуром по которому происходит выше названная циркуляция.

Циркуляция вектора напряжённости ЭП по замкнутому контуру L равна изменению во времени потока магнитной индукции через поверхность S которая охватывает данный замкнутый контур L взятую с обратным знаком. Из этого уравнения следует что изменяющийся во времени поток магнитной индукции порождает ЭП которое в общем случае отличается от ЭСП. Это поле наиболее легко обнаруживается если в качестве замкнутого контура охватывающего замкнутый контур S взять проводящий контур по которому будет протекать электрический ток вызывающий воздействие ЭП на свободные заряды находящиеся в проводнике. Данное уравнение является уравнением обобщающим закон электромагнитной индукции в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме воспользуемся формулой Стокса.

С учётом формулы стокса.

Это выражение может выполняться только в случае когда

Данное выражение есть запись уравнения обобщающего закон электромагнитной индукции для некоторой точки пространства.

В случае ЭСП все производные по времени равны нулю, а неподвижными электрическими зарядами МП не создается. Тогда для ЭСП уравнение обобщающее закон электромагнитной индукции можно записать следующим образом.

Эта запись говорит о потенциальности, консервативности ЭСП, о том что работа сил кулоновского происхождения на замкнутом контуре равна нулю. Или что работа этих сил не зависит от формы траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точки движения заряда. Таким образом исходя из обобщённого уравнения Максвелла нами получено свойство ЭСП, а именно его консервативность (потенциальность).

В общем случае работа по перемещению заряда Uиз точки а в точку б может быть определена как:

Исходя из потенциальности ЭСП можно получить взаимосвязь между напряжённостью ЭСП (основной силовой характеристикой ЭСП) и потенциалом ЭСП (основной энергетической характеристикой ЭСП). Ранее нами было введено понятие grad скалярной функции. Определим его физический смысл. Предполагаем, что дана скалярная функция φ. В некоторый момент данная функция определена и в пространстве данную функцию можно изобразить с помощью поверхности.

В следующий момент времени данная скалярная функция принимает другое значение и соответственно так же данная скалярная функция может быть изображена в виде новой поверхности причём можно утверждать, что за некоторый промежуток времени поверхность описанная уравнением сместилось в новое положение определяемое поверхностью . Вдоль нормали к этой поверхности. Величина равная получила название градиента скалярной функции φ. Таким образом градиент это вектор направленный в сторону наибольшего изменения некоторой скалярной функции.

Будем понимать под функцией φ потенциал ЭСП. Потенциал ЭСП можно определить как работу по перемещению положительного единичного пробного заряда выполненную силами ЭСП из данной точки (в которой определяется потенциал) на бесконечность.

Так как ЭСП потенциально то для него справедливо:

Из данного выражения следует:

Найдём однозначную взаимосвязь между напряжённостью и потенциалом. С учетом введённого определения потенциала можно записать:

где: – элементарное изменение потенциала; – элементарное перемещение.

Так как можно трактовать как элементарную работу консервативных сил по перемещению единичного пробного положительного заряда на величину dr, а работа консервативных сил связанная с потенциальной энергией тела находящегося в поле данных консервативных сил:

Таким образом исходя из этого можно определить:

Таки образом исходя из фундаментального физического закона электромагнитной индукции получили потенциальность ЭСП и нашли взаимосвязь между двумя характеристиками ЭСП (напряжённость и потенциал).

Потенциалом можно так же дать и иное определение. Потенциал равен, той потенциальной энергии которой обладает единичный пробный положительный заряд в точке определения потенциала, находящегося в поле кулоновских сил (сил электростатического происхождения). Отсюда выражения для определения потенциальной энергии заряда q находящегося в поле кулоновских сил может быть определено:

– величина заряда; – потенциал ЭСП в точке где находится заряд q.

studfiles.net

Обобщение Максвелла закона электромагнитной индукции Фарадея. Коэффициент взаимной индукции

Экзамен. Обобщение Максвелла закона электромагнитной индукции Фарадея.

(для второй половины закона Фарадея)

Максвелл предположил, что изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля, и это поле приводит к появлению

Eинд.

Рассмотрим два выражения для э. д. с. индукции.  С одной стороны:

         Eинд (Eстор,dl ) = (E dl, ),    где    по     предположению                           Максвелла

                                  l                             l

E E= стор. По теореме Стокса zdE dl, i = zdrot E dSc h,     i, тогда

                                                                               l                        S

         Eинд = (rot E( ),dS).

S

          С другой стороны по закону Фарадея:

           Eинд = −1c dΦdtB = −1c ∂Φ∂tB , здесь полная производная по времени

заменена частной, чтобы подчеркнуть неподвижность контура, неизменность его пространственных координат. Тогда  Eинд = −1 ⋅ ∂∂t dΦB = −1c ⋅ ∂∂t ∫(B dS, ) = S∫−1c ⋅ ∂∂Bt ,dS . c

                                                 S                            S

          Приравниваем два выражения для э. д. с. индукции и получаем:

    zdrot E dSc h, i = zFHG−1B ,dSIJK             =>    zS drot Ec hindS = zS FGH−1BIJK dS ,

S             S             c t    c t n            где S — любая поверхность.

          Пусть S — маленькая площадка, тогда интеграл можно заменить одним слагаемым:          drot Ec hin S = −FGH 1BIKJn S           =>      drot Ec hin = −FHG 1BIJK c t      c t n

          для проекции на любое направление n . Следовательно,

                           rot Ec h = −1B — математическая формулировка обобщения Максвелла c t

закона электромагнитной индукции Фарадея.

B

                    ≠ 0 — это только первый шаг к рассмотрению переменных

t электромагнитных полей. Второй шаг (токи смещения) будет сделан позднее.  В электростатике rot Ec h = 0. Для переменных полей rot Ec h ≠ 0 и поле E

— вихревое, не потенциальное поле.

Экзамен. Коэффициент взаимной индукции.

(в присутствии линейных магнетиков)

Линейность магнетика означает, что связь между векторами B и H линейна: B H= µ .

     Рассмотрим систему контуров и два контура из этой системы li и lk .

 

    Пусть ток Ii протекает в контуре li . Ток Ii создает магнитное поле Bi .

Это поле пронизывает контур lk .

            Пусть Φki — поток магнитного поля Bi через контур lk .

            Φki ~ Bi ~ Ii                     =>

                         Φki = Lki Ii — определение коэффициента взаимной индукции Lki . c

          В системе СИ:      Φki = L Iki i .

Факультатив. Коэффициент взаимной индукции двух катушек на общем сердечнике при µ>>1.

          Найдем коэффициент взаимной индукции L21 .

            Схема решения задачи: I1 H1 B1 →Φ21 L21 .

Коэффициент взаимной индукции L21 не зависит от величин токов в обеих обмотках.

Пусть в первичной обмотке протекает ток I1 . Будем считать, что во вторичной обмотке тока нет, например, потому что эта обмотка замкнута через очень большое сопротивление.

     Рассмотрим теорему о циркуляции напряженности магнитного поля

           H dll      = 4πI lc

для контура интегрирования вдоль оси сердечника. Поле H во всех сечениях сердечника примерно одинаково и направлено по оси сердечника, поэтому для сердечника длиной l получим:

 Hl = 4πN I1 1 => H = 4πN I1 1 => B = µH = 4πµN I1 1 => c cl cl

           Φ21 = BS N⋅ 2 = 4πµN N S1    2      I1

                                                                 l           c

          Тогда    с    учетом    определения    коэффициента    взаимной        индукции

Φ21 = L21 I1 получим c

          L21 = 4πµN N S1 2   

l

          Заметим, что L21 = L12 .

           В системе СИ: zH dll   = I               B = µ0µ⋅ H           Φ21 = L I21 1

l

                                                                         µ0µN N S1       2

                                         L21 =                   .

l

Экзамен. Теорема о равенстве коэффициентов взаимной индукции.

(теорема о взаимности)

           Lki = Lik

Докажем это равенство только для токов в вакууме без магнетиков, хотя это равенство справедливо и в присутствии магнитных сред.

                   Заметим, что равенство Cki = Cik тоже называют теоремой о взаимности.

Получим некоторое равенство для потока магнитного поля через площадку S , равенство, которое нам понадобится и в других вопросах.

         ΦB = zcB dS,       h

S

Подставим сюда B = rot Ac h и получим  ΦB = zdrot A dSc h, i.

S

    По теореме Стокса zdrot A dSc h, i =zdA dl, i, тогда

                                                                 S                                   l

           ΦB =dA dl,       i, где l — контур, ограничивающий площадку S , через

l

которую проходит поток ΦB . Это равенство нам понадобится сейчас и далее.

Рассмотрим теперь поток Φki магнитного поля тока в i -ом контуре через k -ый контур:

         Φki =zdA dli ,       k i

lk

          Подставим сюда определение векторного потенциала dA = Idl и получим

vunivere.ru

ГЛАВА 16. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. § 111. Обобщение закона электромагнитной индукции : ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ : Юридическая библиотека

Мы доказали в предыдущей главе, что движение проводника в магнитном поле сопровождается индукционными явлениями. Если этот движущийся проводник составляет часть контура, маг­нитный поток через который меняется при движении, то в контуре

возникает ток, соответствующий э. д. с. индукции = —~ . При­чина возникновения тока заключается в действии лоренцевой силы: на единичный электрический заряд действует сила, равная ~ [vB]

(в системе СГС).

При возникновении индукционного тока существенно лишь от­носительное перемещение провода и магнитного поля. С одинаковым правом можно говорить, что лоренцева сила возникает тогда, когда заряд движется в магнитном поле, или в том случае, если магнитное поле движется, а заряд «покоится». Этот факт следует из принципа относительности.

Выберем систему координат, по отношению к которой магнитное поле изменяется; например, свяжем систему координат с лаборатор­ным столом, вдоль которого движется полюс постоянного магнита. Тогда на заряды, находящиеся в покое по отношению к лаборатор­ному столу, будет действовать сила Лоренца. Представим себе, что нам ничего не известно о движущемся постоянном магните. Устано­вив наличие силы, действующей на покоящиеся электрические заря­ды, мы сделаем вполне справедливый вывод о существовании в этой системе электрического поля, напряженность которого равняется силе Лоренца, отнесенной к величине заряда. Итак, напряженность электрического поля в «покоящейся» системе координат, по отно­шению к которой источник постоянного магнитного поля движется со скоростью v, выражается формулой

£ = 1[®В].

Разумеется, законы электрического поля, создаваемого заряда­ми, и электрического поля, создаваемого движением системы по от­ношению к магнитному полю, будут разными. Прежде всего, у но­вого поля, с которым мы знакомимся, нет источников — зарядов. Значит, силовые линии не имеют начала и конца. С другой стороны, нетрудно видеть, что силовые линии этого электрического поля будут замкнутыми, т. е. электрическое поле, создаваемое движущимся магнитным полем, является полем вихревым.

Мысленно построим произвольный контур (неподвижный по от­ношению к лабораторному столу). Движущееся магнитное поле бу% дет пересекать этот контур. Если бы на месте мысленного контура

был реальный проволочный контур, то согласно закону Фарадея в нем возникла бы э. д. е., равная, как нам известно, ф Edl. Следо­вательно, интеграл U = ^Edl не равен нулю; а это и значит, что

электрическое полеЕ = [vB], созданное движущимся магнитным полем, является .полем вихревым.

тт         г г        1 d<b  ^ –

Для реального проволочного контура U = — — > где Ф — маг­нитный поток, проходящий через контур. Но наличие или отсут­ствие провода на месте замкнутой кривой ничего не меняет. Равен-

тт 1

ство и = должно иметь место и для мысленного контура, ко­торый построен в пространстве, где движутся источники магнитного поля.

Остается сделать последнее обобщение. Опыт показывает, что причины изменения магнитного поля не играют роли в индукционном эффекте. Всегда можно подобрать равноценные изменения полей, создаваемые движением постоянного магнита или изменением силы тока в неподвижной катушке, например приближением постоянного магнита или усилением тока в катушке, создающей поле. Поэтому найденный закон должен быть справедлив всегда* во всех случаях, независимо от того, по какой причине меняется магнитное поле. Итак, если в какой-либо области пространства меняется магнитное поле (магнитный поток), то возникает вихревое электрическое поле, связанное с изменением магнитного поля законом: напряжение

U = ^ Edl вдоль замкнутого контура равняется производной по

времени от магнитного потока, проходящего через эту кривую:

U ~ с dt

или в системе СИ

В этом состоит обобщенный закон индукции — один из важнейших законов природы.

Раскроем математическое содержание закона. Подставляя выра­жения электрического напряжения и магнитного потока, запишем его в развернутом виде

§Edl = — -i^JScosadS {СГС),

^Edl = — jt^BcosadS (СИ).

Остановимся, прежде всего, на знаке минус, который надо ввести в развернутой форме записи. Дело в том, что в векторной алгебре направление обхода контура и направление нормали к площади кон­тура связаны между собой: положительное направление нормали в

правовинтовой системе идет так, что с конца вектора мы видим вра­щение против часовой стрелки (рис. 123). Построим в пространстве замкнутую кривую и присвоим ей произвольное направление обхода. Этим будет уже определено направление нормали к площадке, ох­ваченной рассматриваемой кривой. Через контур проходит магнит­ный поток. В данное мгновение он может быть положительным или

отрицательным — вектор индукции обра­зует острый или тупой угол с нормалью. Производная по времени от потока будет положительной, если поток возрастает, и будет отрицательной, “если поток убы­вает. Таким образом, учитывая знак ми­нус в формуле закона индукции, можно сказать следующее: электрическое на­пряжение будет положительно, т. е. на­правление электрической силовой линии совпадет с принятым положительным на­правлением обхода, в том случае, если положительный поток убывает или отри­цательный поток возрастает; наоборот, напряжение отрицательно, если положи­тельный поток возрастает, а отрицательный убывает. Эти соотно­шения хорошо видны на рис. 124.

Покажем, что знак минус в формуле индукции есть математиче­ское выражение правила Ленца. Предположим, например, что к

 

Рис. 123.

 

сИоложитгг

направление.

обхода.

 

Лоло^ипт.

направление

обкома.

ф tfodpaemaenr

Рис. 124.

катушке приближается своим северным полюсом стержневой маг­нит. Примем направление обхода контура, указанное на рис. 125. Тогда положителен магнитный поток и положительна его производ­ная по времени. Электрическое напряжение должно быть отрица­тельным и индукционный ток направлен в сторону, обратную той,

которая принята за положительное направление обхода. Магнитное поле индукционного тока мы сразу же найдем, вспоминая, что си­ловые линии выходят с той стороны кольцевого тока, где ток пред­ставляется идущим против часовой стрелки. Следовательно, при сближении магнита с контуром в последнем возникает ток такого направления, который своим полем препятствует вызвавшему его эффекту. Это и есть правило Ленца. Не составляет труда продемон­стрировать это важное правило и для других частных случаев.

Подведем итоги. Переменное магнитное поле неотделимо от поля электрического. Более того, мы видим, что разделение полей на электрические и магнитные носит относительный характер. С од­ной точки зрения в пространстве имеется одно лишь магнитное поле. С другой точки зрения наряду с магнитным полем присутствует и электрическое поле.

Вихревое электрическое поле образуется электрическими линия­ми, обворачивающимися около векторов магнитной индукции, при условии, что магнитный поток, пронизывающий замкнутую сило­вую линию, изменяется во времени. При возрастании потока сило­вая линия имеет направление по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора индукции.

Теория электромагнитного поля, начала которой были заложены Фарадеем, была математически завершена английским ученым Джемсом Клерком Максвеллом. Одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о необходимости симметрии во взаимозависимости магнитного и электрического полей.

Мы обсудили только что вопрос о создании электрического поля меняющимся магнитным потоком. Возникает естественный вопрос: создает ли переменный поток электрических силовых линий свое собственное магнитное поле? Максвелл отвечает на этот вопрос ут­вердительно и выдвигает гипотезу о существовании связи между пе­ременным электрическим потоком и магнитным полем, совершенно симметричной обобщенному закону индукции. Гипотеза состоит в

 

JToxoMum.

направление

ocfcoda

Рис. 125.

bookzie.com

ГЛАВА 16. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. § 111. Обобщение закона электромагнитной индукции : ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ : Юридическая библиотека

Мы доказали в предыдущей главе, что движение проводника в магнитном поле сопровождается индукционными явлениями. Если этот движущийся проводник составляет часть контура, маг­нитный поток через который меняется при движении, то в контуре

возникает ток, соответствующий э. д. с. индукции = —~ . При­чина возникновения тока заключается в действии лоренцевой силы: на единичный электрический заряд действует сила, равная ~ [vB]

(в системе СГС).

При возникновении индукционного тока существенно лишь от­носительное перемещение провода и магнитного поля. С одинаковым правом можно говорить, что лоренцева сила возникает тогда, когда заряд движется в магнитном поле, или в том случае, если магнитное поле движется, а заряд «покоится». Этот факт следует из принципа относительности.

Выберем систему координат, по отношению к которой магнитное поле изменяется; например, свяжем систему координат с лаборатор­ным столом, вдоль которого движется полюс постоянного магнита. Тогда на заряды, находящиеся в покое по отношению к лаборатор­ному столу, будет действовать сила Лоренца. Представим себе, что нам ничего не известно о движущемся постоянном магните. Устано­вив наличие силы, действующей на покоящиеся электрические заря­ды, мы сделаем вполне справедливый вывод о существовании в этой системе электрического поля, напряженность которого равняется силе Лоренца, отнесенной к величине заряда. Итак, напряженность электрического поля в «покоящейся» системе координат, по отно­шению к которой источник постоянного магнитного поля движется со скоростью v, выражается формулой

£ = 1[®В].

Разумеется, законы электрического поля, создаваемого заряда­ми, и электрического поля, создаваемого движением системы по от­ношению к магнитному полю, будут разными. Прежде всего, у но­вого поля, с которым мы знакомимся, нет источников — зарядов. Значит, силовые линии не имеют начала и конца. С другой стороны, нетрудно видеть, что силовые линии этого электрического поля будут замкнутыми, т. е. электрическое поле, создаваемое движущимся магнитным полем, является полем вихревым.

Мысленно построим произвольный контур (неподвижный по от­ношению к лабораторному столу). Движущееся магнитное поле бу% дет пересекать этот контур. Если бы на месте мысленного контура

был реальный проволочный контур, то согласно закону Фарадея в нем возникла бы э. д. е., равная, как нам известно, ф Edl. Следо­вательно, интеграл U = ^Edl не равен нулю; а это и значит, что

электрическое полеЕ = [vB], созданное движущимся магнитным полем, является .полем вихревым.

тт         г г        1 d<b  ^ –

Для реального проволочного контура U = — — > где Ф — маг­нитный поток, проходящий через контур. Но наличие или отсут­ствие провода на месте замкнутой кривой ничего не меняет. Равен-

тт 1

ство и = должно иметь место и для мысленного контура, ко­торый построен в пространстве, где движутся источники магнитного поля.

Остается сделать последнее обобщение. Опыт показывает, что причины изменения магнитного поля не играют роли в индукционном эффекте. Всегда можно подобрать равноценные изменения полей, создаваемые движением постоянного магнита или изменением силы тока в неподвижной катушке, например приближением постоянного магнита или усилением тока в катушке, создающей поле. Поэтому найденный закон должен быть справедлив всегда* во всех случаях, независимо от того, по какой причине меняется магнитное поле. Итак, если в какой-либо области пространства меняется магнитное поле (магнитный поток), то возникает вихревое электрическое поле, связанное с изменением магнитного поля законом: напряжение

U = ^ Edl вдоль замкнутого контура равняется производной по

времени от магнитного потока, проходящего через эту кривую:

U ~ с dt

или в системе СИ

В этом состоит обобщенный закон индукции — один из важнейших законов природы.

Раскроем математическое содержание закона. Подставляя выра­жения электрического напряжения и магнитного потока, запишем его в развернутом виде

§Edl = — -i^JScosadS {СГС),

^Edl = — jt^BcosadS (СИ).

Остановимся, прежде всего, на знаке минус, который надо ввести в развернутой форме записи. Дело в том, что в векторной алгебре направление обхода контура и направление нормали к площади кон­тура связаны между собой: положительное направление нормали в

правовинтовой системе идет так, что с конца вектора мы видим вра­щение против часовой стрелки (рис. 123). Построим в пространстве замкнутую кривую и присвоим ей произвольное направление обхода. Этим будет уже определено направление нормали к площадке, ох­ваченной рассматриваемой кривой. Через контур проходит магнит­ный поток. В данное мгновение он может быть положительным или

отрицательным — вектор индукции обра­зует острый или тупой угол с нормалью. Производная по времени от потока будет положительной, если поток возрастает, и будет отрицательной, “если поток убы­вает. Таким образом, учитывая знак ми­нус в формуле закона индукции, можно сказать следующее: электрическое на­пряжение будет положительно, т. е. на­правление электрической силовой линии совпадет с принятым положительным на­правлением обхода, в том случае, если положительный поток убывает или отри­цательный поток возрастает; наоборот, напряжение отрицательно, если положи­тельный поток возрастает, а отрицательный убывает. Эти соотно­шения хорошо видны на рис. 124.

Покажем, что знак минус в формуле индукции есть математиче­ское выражение правила Ленца. Предположим, например, что к

 

Рис. 123.

 

сИоложитгг

направление.

обхода.

 

Лоло^ипт.

направление

обкома.

ф tfodpaemaenr

Рис. 124.

катушке приближается своим северным полюсом стержневой маг­нит. Примем направление обхода контура, указанное на рис. 125. Тогда положителен магнитный поток и положительна его производ­ная по времени. Электрическое напряжение должно быть отрица­тельным и индукционный ток направлен в сторону, обратную той,

которая принята за положительное направление обхода. Магнитное поле индукционного тока мы сразу же найдем, вспоминая, что си­ловые линии выходят с той стороны кольцевого тока, где ток пред­ставляется идущим против часовой стрелки. Следовательно, при сближении магнита с контуром в последнем возникает ток такого направления, который своим полем препятствует вызвавшему его эффекту. Это и есть правило Ленца. Не составляет труда продемон­стрировать это важное правило и для других частных случаев.

Подведем итоги. Переменное магнитное поле неотделимо от поля электрического. Более того, мы видим, что разделение полей на электрические и магнитные носит относительный характер. С од­ной точки зрения в пространстве имеется одно лишь магнитное поле. С другой точки зрения наряду с магнитным полем присутствует и электрическое поле.

Вихревое электрическое поле образуется электрическими линия­ми, обворачивающимися около векторов магнитной индукции, при условии, что магнитный поток, пронизывающий замкнутую сило­вую линию, изменяется во времени. При возрастании потока сило­вая линия имеет направление по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора индукции.

Теория электромагнитного поля, начала которой были заложены Фарадеем, была математически завершена английским ученым Джемсом Клерком Максвеллом. Одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о необходимости симметрии во взаимозависимости магнитного и электрического полей.

Мы обсудили только что вопрос о создании электрического поля меняющимся магнитным потоком. Возникает естественный вопрос: создает ли переменный поток электрических силовых линий свое собственное магнитное поле? Максвелл отвечает на этот вопрос ут­вердительно и выдвигает гипотезу о существовании связи между пе­ременным электрическим потоком и магнитным полем, совершенно симметричной обобщенному закону индукции. Гипотеза состоит в

 

JToxoMum.

направление

ocfcoda

Рис. 125.

bookzie.com

Билет 6. Обобщение закона электромагнитной индукции. Первое уравнение Максвелла.

Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнит­ное поле возбуждает в окружающем про­странстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения ин­дукционного тока в контуре, циркуляция которого равна изменению магнитного потока:

Подставив в формулу (137.1) выраже­ние (см. (120.2)), получим

Если поверхность и контур неподвиж­ны, то операции дифференцирования и ин­тегрирования можно поменять местами. Следовательно,

циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его eq) вдоль любого замкну­того контура равна нулю:

Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматриваемыми по­лями (ЕB и eq) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора ЕB в отли­чие от циркуляции вектора eq не равна нулю. Следовательно, электрическое поле ЕB, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, явля­ется вихревым.

Вывод первого уравнения Максвелла.

 

Сравнивая это выражение с I=Iсм = , имеем

D=e0E+P, где Е — напряжен­ность электростатического поля, а Р — поляризованность (см. § 88), то плотность тока смещения

где e0дE/дt— плотность тока смещения

Плотность полного тока jполн=j+дD/дt.

Iполн=

первое уравнение Максвелла

 

7. Для установления количественных отношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники

электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (/) и смещения (/см ) рав-ны: Ток проводимости вблизи обкладок (в общем случае).

плотность тока смещения

При зарядке конденсатора (рис. 199, а) через провод- ник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой, поле в конденсаторе усиливается, следовательно, т. е. вектор направлен в ту же сторону, что и D.

При разрядке конденсатора (рис. 199, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой, поле в конденсаторе ослабляется; следовательно, т. е. вектор направлен противоположно вектору D направление вектора j, а следовательно, и вектора jсм совпадает

с направлением вектора дD/дt

Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле

диэлектриках ток смещения:

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимо- сти (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока jполн=j+дD/дt.

Максвелл обобщил теорем}’ о циркуляции вектора Н , введя в ее правую часть полный ток Iполн= поверхность S, натянутую на замкнутый контур L. Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде

 

Второе уравнение Максвелла– это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. То есть переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Получим второе уравнение Максвелла в интегральной форме

Уравнение 1.19 – второе уравнение Максвелла в интегральной форме.

 

Уравнение 1.20 есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

8. Система уравнений Максвелла. Электромагнитное поле.

В основе теории Максвелла лежат след уравнения.

1. Электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым , поэтому напряженность суммарного поля E=EQ+EB. Так как циркуляции вектора EQ равна нулю, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды , но и магнитные поля.

2. Обобщенная теория о циркуляции вектора H:

Уранеие показывает,что поля могут возбуждаться движ-ся зарядами или переменными электрич. полями.

3. Теорема Гаусса для поля D:

 

4. Теорема Гаусса для поля B:

Из уравнений М. следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом – они образует единое электромагнитно поле.

 



lektsia.info


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *