Онлайн найти пределы функции: Решение предела функции · Калькулятор Онлайн

Содержание

Решение предела функции · Калькулятор Онлайн

Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел

Сайт предоставляет ПОДРОБНОЕ решение по нахождению предела функции.

Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке.
Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0.
Для примера, находит предел функции в нуле и предел на бесконечности.

Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция – арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция – арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция – экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция – Синус от x
cos(x)
Функция – Косинус от x
sinh(x)
Функция – Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция – Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция – квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция – Квадрат x
ctg(x)
Функция – Котангенс от x
arcctg(x)
Функция – Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция – Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция – Тангенс от x
tgh(x)
Функция – Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция – кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7. 3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x – 6
– вычитание
15/7
– дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция – арксеканс от x
acsc(x)
Функция – арккосеканс от x
sec(x)
Функция – секанс от x
csc(x)
Функция – косеканс от x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция – округление
x
в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число “Пи”, которое примерно равно ~3. “>abab
exp456×

стереть

()|a|ln789–↑↓ √3√Cloga0.+←→
TRIG:sincostancotcsc
sec
назад
INVERSE:arcsinarccosarctanacotacscasec

стереть

HYPERB:sinhcoshtanhcothxπ
OTHER:,y=<>
Что делать, если решение не появляется (пустой экран)?

Данный калькулятор по вычислению пределов онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Вычисление пределов функций онлайн

Предел функции

Решение пределов функции онлайн. Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису – вычислить предел функции онлайн. Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению

пределов онлайн, достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции. Вычисляя пределы онлайн, можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.matematikam.ru, что приведет с успешному выполнению задачи – вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и
www.matematikam.ru
вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы. С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Предел функции в точке

 

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Определение

Число A называется пределом функции y=f(x), при х->x0, если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A.

На этом определении предела функции и основана работа нашего калькулятора.

Для вычисления предела мы попросту вычисляем значение функции в точке незначительно отличающейся от заданной. Говоря незначительно, я имею в виду величину предельно мало отличающуюся от заданной точки, которая только возможна для нашей вычислительной системы. Для получения такой предельно малой величины мы берем некоторую малую величину и уменьшаем ее методом половинного деления до тех пор, пока значение функции в точке, отличающейся от заданной на эту малую величину, определено.

В результате предпоследнего вычисления мы получаем предел нашей функции.

Метод требует наличия некоторых вычислительных мощностей, потому что значение функции вычисляется несколько сотен раз. Но так как все вычисления в наших калькуляторах делаются на компьютере пользователя, заботу о наличии этих мощностей мы перекладываем на ваши плечи, дорогие посетители нашего сайта 🙂

Калькулятор Пределов – Решение Пределов Онлайн

Этот калькулятор пределов вычисляет положительные или отрицательные пределы для заданной функции в любой точке. Вы должны попробовать этот решатель пределов, чтобы определить, как легко решать пределы. Кроме того, калькулятор правил l’hopital помогает вычислять предельные задачи \ (\ frac {0} {0} \) и \ (\ frac {\ infty} {\ infty} \) и поддерживает вычисление пределов онлайн на положительной и отрицательной бесконечности.

Что ж, читайте дальше, чтобы понять, как найти предел онлайн функции с помощью этого решение пределов онлайн. Начнем с основ!

Что такое предел (математика)?

Обозначение пределов представляет собой математическое понятие, основанное на идее близости. Его также можно определить как значение, к которому функция «приближается», когда вход «приближается» к некоторому значению. Необходимо оценить Предел в исчислении и математическом анализе, чтобы определить непрерывность, производные и интегралы. калькулятор пределов онлайн присваивает значения определенным функциям в точках, где значения не определены, таким образом, чтобы они согласовывались с ближайшими или близкими значениями. В большинстве курсов по исчислению мы работаем с пределом, что означает, что легко начать думать, что предел исчисления существует всегда. С другой стороны, это также помогает решить предел по правилу Лопиталя, согласно которому предел, когда мы делим одну функцию на другую, остается таким же после того, как мы берем производную каждой функции.

Что ж, пределы онлайн калькулятор производной – лучший способ вычислить предел производную функции по заданным значениям и показывает дифференцирование.

Что такое формула предела?

Формула предела будет следующей:

$$ \ lim_ {x \ to a} f (x) = L $$

Пример:

Если у вас есть функция «\ (\ frac {(x2 – 1)} {(x – 1)} \)», тогда необходимо найти пределы, когда \ (x \) равно \ (1 \), как деление по нулю не является законной математической операцией. С другой стороны, для любого другого значения \ (x \) числитель может быть учтен, а также разделен на \ ((x – 1) \), чтобы получить \ (x + 1 \). Таким образом, это частное будет равно \ (x + 1 \) для всех значений \ (x \), за исключением 1, которая не имеет значения. Хотя, 2 можно присвоить функции \ (\ frac {(x2 – 1)} {(x – 1)} \) как ее предел, когда \ (x \) приближается к 1. Если предел \ (x \) приближается к 0 или бесконечности, такие вычисление пределов онлайн упростить с помощью калькулятор пределов онлайн правил Лопиталя.

Для нахождения пределов существуют определенные законы и калькуляторы пределов, которые используют правило исчисления для определения предела функции. Кроме того, бесплатный пределы онлайн калькулятор интегралов позволяет вам определить интегралы функции, соответствующие задействованной переменной, и показать вам пошаговую работу.

Лимитные законы:

Для нахождения пределов существуют определенные законы и калькуляторы пределов, которые используют правило исчисления для определения предела функции. Эти законы можно использовать для оценки предела полиномиальной или рациональной функции. Кроме того, для некоторых правил существуют определенные условия, и если они не выполняются, то правило не может использоваться для проверки оценки лимита. Однако использование оценщика пределов – лучший способ оценить пределы функции в любой момент.
В следующей таблице приведены вычислить предел законы и некоторые основные свойства.

Предельный закон в символах Предел закон на словах
1  \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)\) Сумма Лимитов равна лимиту суммы. 2} $$

мы можем найти предел онлайн 0, Inf, -Inf или вычисление пределов онлайн коэффициентам.

Формальный метод:

Речь идет о доказательстве того, как мы можем максимально приблизиться к ответу, сделав «\ (y \)» близким к «\ (a \)».

Как калькулятор лимитов вычисляет лимиты?

Этот калькулятор лимитов позволяет вам оценить лимит данных переменных. Что ж, искатель решение пределов онлайн помогает найти пределы, выполнив следующие действия:

Вход:

  • Прежде всего введите уравнение или функцию.
  • В раскрывающемся списке выберите переменную, для которой необходимо оценить предел. Это может быть \ (x, y, z, a, b, c, \) или \ (n \).
  • Укажите число, по которому вы хотите рассчитать лимит. В этом поле вы также можете использовать простое выражение, например «\ (inf = ∞ \) или pi = \ (π \)».
  • Теперь выберите направление ограничения. Он может быть как положительным, так и отрицательным.
  • После того, как вы введете значения в указанные поля, калькулятор предоставит вам предварительный просмотр уравнения.
  • Нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выход:

  • Прежде всего, он отобразит данный ввод.
  • Он покажет предельные значения для данного ввода.

Часто задаваемые вопросы:

Как узнать, что лимит не существует?

Чтобы найти предел на графике, если существует вертикальная асимптота, и одна сторона идет в сторону бесконечности, а другая – в направлении отрицательной бесконечности, тогда предел не существует. Точно так же, если на графике есть дыра при значении x c, то двусторонний предел не будет существовать. Тем не менее, поиск пределов может помочь вам более точно оценить пределы.

Каковы правильные обозначения пределов?

По сути, предельная запись – это способ сформулировать тонкую идею, чем просто сказать \ (x = 5 \) или \ (y = 3 \). \ (\ lim_ {x \ to a} f (x) = b \). С другой стороны, калькулятор пределов онлайн избавляет от беспокойства об обозначении пределов, поскольку он определяет пределы и указывает их неточное форматирование.

Можно ли применить правило L‘Hopital к каждому пределу?

Правило L’Hôpital используется с неопределенными пределами, имеющими форму \ (0/0 \) или бесконечность. Он не решает всех ограничений. Иногда даже повторяющиеся применения правила не могут помочь найти предел онлайн значения. Итак, для удобства калькулятор правил l’hopital – лучший способ решить бесконечные вычислить предел функций.

Может ли 0 быть пределом?

Если мы просто оцениваем уравнение, предел \ (0/0 \) будет неопределенным. Однако, если мы получим \ (0/0 \), то может быть серия ответов. Теперь единственный способ определить точный ответ – это использовать решатель пределов для точного определения проблем с предельными значениями.

Как используются лимиты в расчетах?

Пределы определяют, как функция будет действовать рядом с точкой, как альтернатива в этой точке. Эта идея лежит в основе исчисления. Например, предел «\ (f \)» при \ (x = 3 \) и \ (x = 3 x = 3 \) – это значение f по мере того, как мы приближаемся к \ (x = 3 \). .

Конечное примечание:

Этот пределы онлайн калькулятор пределов находит пределы и специально предназначен для определения пределов в отношении переменной. Пределы можно оценивать как с положительной, так и с отрицательной стороны. Он обслуживает все вычислить предел задачи, которые невозможно решить алгебраически. Таким образом, здорово помочь студентам и профессионалам решить и проверить ваши ограничения в мгновение ока.

Other Languages: Limit Calculator, Limit Hesaplama, Kalkulator Limit, Grenzwertrechner, Kalkulačka Limit, Calculadora De Limites, Calculateur De Limite, Calculadora De Limites, Calcolatore Limiti.

Предел функции в точке

Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.

Найти предел функции в точке:

Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой

Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.

 

Пример 47. Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.

 

Пример 48. Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.

 

Пример 49.Прямая подстановка x=2 показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0}. Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2).
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2).
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.

 

Пример 50. Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0}.
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.

 

Пример 51.Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3 находим предел функции в точке

 

Пример 52.Особенность вида {0/0} раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.

 
Здесь использовали первый замечательный предел:

и следствия из него


где a и b – произвольные числа.

 

Пример 53.Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.

Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:

Вычислить предел функции в точке:

Пример 54. Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2).
Однако числитель дальше содержит (x+2), а это значит, что при x=-2 граница равна нулю.

 

Пример 55.Имеем дробную функцию – в числителе разница корней, в знаменателе – поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0}.
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1).
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке

 

Пример 56.С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x), и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби

 

Пример 57.Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.

На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.

Предел функции в точке – онлайн калькулятор

Следующий калькулятор может вычислить предел функции в заданной вами точке численным методом. Недостатком данного метода вычисления есть тот факт, что калькулятор не сможет вам посчитать предел функции, когда заявленный аргумент стремиться к бесконечности.

Число A называется пределом функции y=f(x), при х->x0, если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A.

На данной формуле основана работа текущего калькулятора.

Чтобы вычислить предел мы берем и вычисляем значение функции в точке незначительно отличающейся от заданной. Незначительно – это на величину, которая не очень то и отличается от заданной точки, которая возможна для вычисления. За счет уменьшения некоторой малой величины методом деления (пока значение функции в точке, отличающейся от заданной на эту малую величину, определено), мы получаем ту саму незначительную величину.

В результате предпоследнего вычисления мы получаем предел нашей функции.



The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

minutes

minutes

minute

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

hour

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

days

day

day

day

day

days

days

days

days

days

days

days

month

month

month

month

months

months

months

months

months

months

months

year

of the year

of the year

of the year

years

years

years

years

years

years

years

ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutesу ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 hour ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 days ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

Предел функции в точке – численный метод.

 Предел функции в точке:

Решение пределов по правилу Лопиталя

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов функций является использование правила Лопиталя. Оно позволяет раскрывать неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ в конечной или бесконечно удаленной точке, которую мы обозначим как x0. Правило Лопиталя заключается в том, что мы находим производные числителя и знаменателя дроби. Если существует предел , то существует равный ему предел .
Если после дифференцирования мы опять получаем неопределенность, то процесс можно повторить, то есть применить правило Лопиталя уже к пределу . И так далее, до раскрытия неопределенности.

Для применения этого правила, должна существовать такая проколотая окрестность точки x0, на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и функция в знаменателе и ее производная не обращается в нуль.

Применение правила Лопиталя состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 или ∞/∞. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной. В результате получаем предел вида .
2) Убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и знаменатель и его производная не обращаются в нуль.
3) Находим производные числителя и знаменателя.
4) Если имеется конечный или бесконечный предел , то задача решена: .
5) Если предела не существует, то это не означает, что не существует исходного предела. Это означает, что данную задачу решить с помощью правила Лопиталя нельзя. Нужно применить другой метод (см. пример ниже).
6) Если в пределе вновь возникает неопределенность, то к нему также можно применить правило Лопиталя, начиная с пункта 2).

Как указывалось выше, применение правила Лопиталя может привести к функции, предела которой не существует. Однако это не означает, что не существует исходного предела. Рассмотрим следующий пример.
.
Применяем правило Лопиталя. , .
Однако предела не существует. Не смотря на это, исходная функция имеет предел:
.

Правило Лопиталя. Формулировки теорем

Здесь мы приводим формулировки теорем, на которых основывается раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью правила Лопиталя.
⇓,   ⇓,   ⇓,
⇓,   ⇓,   ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Показать, что экспонента растет быстрее любой степенной функции, а логарифм – медленнее. То есть показать, что
А)  ;
Б)  ,
где .

Решение

Рассмотрим предел А). При . Это неопределенность вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя. Пусть
.
Находим производные. . Тогда
.
Если , то неопределенность исчезает, поскольку при . По правилу Лопиталя,
.

Если , то применяем правило Лопиталя n раз, где – целая часть числа b.
;

.
Поскольку , то . Хотя мы привыкли читать слева направо, но эту серию равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . И так далее, пока не дойдем до предела .

Теперь рассмотрим предел Б):
. Сделаем замену переменной . Тогда ; при ; .

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью правила Лопиталя:
.

Решение

Это неопределенность вида 0/0. Находим по правилу Лопиталя.

.

Здесь, после первого применения правила мы снова получили неопределенность. Поэтому применили правило Лопиталя второй раз. Эту серию равенств нужно читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Ответ

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
.

Решение

Найдем значения числителя и знаменателя при :
;

.
Числитель и знаменатель равны нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, применим правило Лопиталя.



.

Ответ

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью правила Лопиталя.
.

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида (+0)+0. Преобразуем ее к виду +∞/+∞. Для этого выполняем преобразования.
.

Находим предел в показателе степени, применяя правило Лопиталя.
.

Поскольку экспонента – непрерывная функция для всех значений аргумента, то
.

Ответ

.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел используя правило Лопиталя:
.

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Приводя дроби к общему знаменателю, приведем ее к неопределенности вида 0/0:
.

Применяем правило Лопиталя.
;
;
.

Здесь у нас снова неопределенность вида 0/0. Применяем правило Лопиталя еще раз.
;

;
.

Окончательно имеем:

.
Как и во всех пределах, вычисляемых с помощью правила Лопиталя, читать нужно с конца. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Можно упростить вычисления, если воспользоваться теоремой о замене функций эквивалентными в пределе частного. Согласно этой теореме, если функция является дробью или произведением множителей, то множители можно заменить на эквивалентные функции. Поскольку при , то

.

Ответ

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Калькулятор пределов

с шагами – Решатель пределов

Введите функцию, переменную и предел в поля ниже. Нажмите кнопку Рассчитать , чтобы определить предел с помощью калькулятора пределов.

Калькулятор пределов с шагами

Калькулятор пределов – это онлайн-инструмент, который оценивает пределы для заданных функций и показывает все шаги. Он решает ограничения относительно переменной. Пределы могут быть оценены как слева, так и справа, используя этот решатель пределов.

Что такое лимиты?

Предел функции – это значение, к которому приближается f (x) , когда x приближается к некоторому числу.

Пределы жизненно важны для математического анализа и расчетов. Они также используются для определения производных, интегралов и непрерывности.

Как оценить лимиты?

Использование оценщика пределов – лучший способ определения пределов, однако мы обсудим ручной метод оценки пределов.Следуйте приведенному ниже примеру, чтобы понять пошаговый метод определения пределов.

Пример:

lim x → 2 (x 3 + 4x 2 −2x + 1)

Решение:

Шаг 1: Применить функцию ограничения отдельно к каждому значению.

Шаг 2: Разделите коэффициенты и выведите их за пределы функции.

Шаг 3: Примените предел, подставив в уравнение x = 2 .

= 1 (2 3 ) + 4 (2 2 ) – 2 (2) + 1

= 8 + 16 – 4 + 1

= 21

Указанный выше поиск пределов также использует правило L’hopital для определения пределов.


Другие языки: Limit Calculator, Calculadora de límites, GrenzwertRechner, Calculadora de limites, Calcolatore Limiti, Calculateur de limite, калькулятор пределов, Batasi Kalkulator, ッ ト 電 卓, Kalkulator limitów, 한도 äı , Limitní kalkulačka

Калькулятор лимитов – Бесплатный онлайн-калькулятор лимитов

Калькулятор пределов вычисляет значение пределов для заданной функции.Пределы определяются по мере приближения значения функции по мере приближения входных данных к указанному значению.

Что такое калькулятор лимитов?

Limits Calculator – это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать значение лимитов. Это поможет вам рассчитать значение пределов за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор пределов, введите функцию в данное поле ввода.

Как пользоваться калькулятором лимитов?

Выполните следующие действия, чтобы найти значение лимитов с помощью онлайн-калькулятора лимитов:

  • Шаг 1: Перейти к онлайн-калькулятору лимитов Cuemath
  • Шаг 2: Введите функцию или многочлен и предельное значение в данное поле ввода калькулятора пределов.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти значение пределов.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести другие значения.

Как работает калькулятор лимитов?

Пределы используются для приближения, используемого в расчетах, как можно ближе к фактическому значению количества. Формула предела для вычисления производной функции:

\ (\ lim_ {x \ rightarrow a} = A \)

Это читается как «предел функции x равен A, когда x приближается к a.2 + 8у + 9) \)

☛ Статьи по теме:

Исчисление I – Пределы вычислений

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Пределы вычислений

В предыдущем разделе мы видели, что существует большой класс функций, который позволяет нам использовать

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \]

для вычисления пределов.2} – 2x}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{\ left ({x – 2} \ right) \ left ({x + 6} \ right)}} {{x \ left ({x – 2} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} \ end {align *} \]

Итак, разложив на множители, мы увидели, что можем исключить \ (x – 2 \) как из числителя, так и из знаменателя. После этого у нас теперь есть новое рациональное выражение, в которое мы можем вставить \ (x = 2 \), потому что мы потеряли проблему деления на ноль. Таким образом, ограничение составляет

. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{{x ^ 2} + 4x – 12}} {{{x ^ 2} – 2x}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} = \ frac {8} {2} = 4 \]

Обратите внимание, что это на самом деле то, что мы предполагали. 2} – 2x}} = \ frac {{x + 6}} {x} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {provided}} x \ ne 2 \]

Другими словами, два уравнения дают одинаковые значения, за исключением точки \ (x = 2 \), и поскольку пределы касаются только того, что происходит вокруг точки \ (x = 2 \), предел двух уравнений будет равен . Что еще более важно, в упрощенной версии мы получаем «достаточно хорошее» уравнение, и поэтому то, что происходит вокруг \ (x = 2 \), идентично тому, что происходит в \ (x = 2 \).

Таким образом, мы можем взять предел упрощенной версии, просто подставив \ (x = 2 \), даже если мы не могли вставить \ (x = 2 \) в исходное уравнение и значение предела упрощенного уравнения будет таким же, как предел исходного уравнения.

Кстати, 0/0, которое мы изначально получили в предыдущем примере, называется неопределенной формой . Это означает, что мы действительно не знаем, что это будет, пока мы не продолжим работу. Обычно ноль в знаменателе означает, что он не определен. Однако это будет верно только в том случае, если числитель также не равен нулю. Кроме того, ноль в числителе обычно означает, что дробь равна нулю, если знаменатель также не равен нулю. Точно так же все, что делится само на себя, равно 1, если мы не говорим о нуле.

Итак, здесь действительно есть три конкурирующих «правила», и неясно, какое из них победит. Также возможно, что ни один из них не выиграет, и мы получим что-то совершенно отличное от undefined, нуля или единицы. Мы могли бы, например, получить из этого значение 4, чтобы выбрать число наугад.

При простой оценке уравнения 0/0 не определено. Однако, принимая предел, если мы получаем 0/0, мы можем получить множество ответов, и единственный способ узнать, какое из них является правильным, – это фактически вычислить предел.2}}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({- 12 + 2h} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \, \, – 12 + 2h = – 12 \ end {align *} \] Пример 3 Оцените следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} \] Показать решение

Этот предел потребует немного больше усилий, чем два предыдущих. Однако еще раз обратите внимание, что мы получаем неопределенную форму 0/0, если пытаемся просто оценить предел.2} \]

Итак, если в первом и / или втором члене есть квадратный корень, рационализация устранит корень (и). Этот может помочь в оценке предела.

Давайте попробуем рационализировать числитель в этом случае.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ на 4} \ frac {{\ left ({t – \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} {{\ left ({4 – t} \ right)}} \, \ frac {{\ left ( {t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} {{\ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \]

Помните, что для обоснования мы просто берем числитель (поскольку это то, что мы рационализируем), меняем знак у второго члена и умножаем числитель и знаменатель на этот новый член. 2} – 3t – 4}} {{\ left ({4 – t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы также не умножали знаменатель. Большинство студентов заканчивают занятия по алгебре, и им в голову приходит мысль постоянно умножать эти вещи. Однако в этом случае умножение сделает задачу очень сложной, и в конце концов вы все равно ее вычтите обратно.

На этом мы почти закончили. Обратите внимание, что числитель можно множить, так что давайте сделаем это.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ до 4} \ frac {{\ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} {{\ left ({4 – t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \]

Теперь все, что нам нужно сделать, это заметить, что если мы вычленим «-1» из первого члена знаменателя, мы можем произвести некоторое сокращение. В этот момент проблема деления на ноль исчезнет, ​​и мы сможем оценить предел.

\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{\ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} {{- \ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t + 1}} {{ – \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \\ & = – \ frac {5} {8} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что если бы мы умножили знаменатель, мы не смогли бы выполнить это отмену и, по всей вероятности, даже не увидели бы, что какое-то сокращение могло быть выполнено.2} + 5 & \ hspace {0.25in} {\ mbox {if}} y

Вычислите следующие ограничения.

  1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) \)
  2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) \) Показать решение

В этом случае действительно особо нечего делать. Делая ограничения, помните, что мы всегда должны смотреть на то, что происходит по обе стороны от рассматриваемой точки, когда мы приближаемся к ней.В этом случае \ (y = 6 \) полностью находится внутри второго интервала для функции, поэтому есть значения \ (y \) по обе стороны от \ (y = 6 \), которые также находятся внутри этого интервала. Это означает, что мы можем просто использовать этот факт для оценки этого предела.

\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} (1 – 3y ) \\ & = – 17 \ end {align *} \]
b \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \) Показать решение

В этой части и есть суть проблемы.В этом случае точка, для которой мы хотим взять предел, – это точка отсечки для двух интервалов. Другими словами, мы не можем просто вставить \ (y = – 2 \) во вторую часть, потому что этот интервал не содержит значений \ (y \) слева от \ (y = – 2 \), и нам нужно чтобы знать, что происходит по обе стороны от точки зрения.

Для выполнения этой части нам нужно вспомнить факт из раздела об односторонних ограничениях, в котором говорится, что если два односторонних ограничения существуют и одинаковы, то нормальный предел также будет существовать и иметь такое же значение.+}} g \ left (y \ right) \]

и так как два односторонних ограничения не совпадают

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \]

не существует.

Обратите внимание, что очень простое изменение функции приведет к существованию предела в \ (y = – 2 \), поэтому не забывайте, что ограничения в этих точках отсечки в кусочной функции никогда не существуют, как следующие пример покажет.

Пример 5 Оцените следующий предел.-} {\ mbox {подразумевает}} y – 2 \\ & = 9 \ end {align *} \]

Односторонние ограничения такие же, поэтому получаем

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) = 9 \]

Нам нужно сделать еще одно ограничение. Однако нам понадобится новый факт об ограничениях, который поможет нам в этом.

Факт

Если \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) и \ (a \ le c \ le b \), то

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) \ le \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) \]

Обратите внимание, что этот факт должен иметь для вас некоторый смысл, если мы предположим, что обе функции достаточно хороши.Если обе функции «достаточно хороши», чтобы использовать факт оценки предела, то у нас есть

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) = f \ left (c \ right) \ le g \ left (c \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) \]

Неравенство верно, потому что мы знаем, что \ (c \) находится где-то между \ (a \) и \ (b \), и в этом диапазоне мы также знаем \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (х \ право) \).

Обратите внимание, что на самом деле нам не нужно, чтобы две функции были достаточно хорошими, чтобы факт был правдой, но это действительно хороший способ дать быстрое «обоснование» факту.

Также обратите внимание, что мы сказали, что мы предположили, что \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, точки \ (x = c \)). Поскольку ограничения не заботятся о том, что на самом деле происходит в \ (x = c \), нам действительно не нужно, чтобы неравенство сохранялось в этой конкретной точке. Нам нужно только, чтобы он держался около \ (x = c \), поскольку это то, о чем заботится предел.

Мы можем пойти еще дальше и получить следующую теорему.

Теорема о сжатии

Предположим, что для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) имеем

\ [е \ влево (х \ вправо) \ ле ч \ влево (х \ вправо) \ ле г \ влево (х \ вправо) \]

Также предположим, что,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) = L \ ]

для некоторых \ (a \ le c \ le b \). Затем

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} h \ left (x \ right) = L \]

Как и в случае с предыдущим фактом, нам нужно только знать, что \ (f \ left (x \ right) \ le h \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) истинно вокруг \ (x = c \), потому что мы работаем с ограничениями, и их интересует только то, что происходит вокруг \ (x = c \), а не то, что на самом деле происходит в \ (x = c \).

Теперь, если мы снова предположим, что все три функции достаточно хороши (опять же, это не требуется для того, чтобы сделать теорему сжатия истинной, это только помогает с визуализацией), тогда мы можем получить быстрый набросок того, что говорит нам теорема сжатия. .На следующем рисунке показано, что происходит в этой теореме.

Из рисунка видно, что если пределы \ (f (x) \) и \ (g (x) \) равны при \ (x = c \), то значения функций также должны быть равны при \ ( x = c \) (здесь мы используем тот факт, что мы предполагали, что функции «достаточно хороши», что на самом деле не требуется для теоремы). Однако, поскольку в этой точке \ (h (x) \) «зажато» между \ (f (x) \) и \ (g (x) \), то \ (h (x) \) должно иметь такое же значение. .2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \] Показать решение

В этом примере нам не поможет ни один из предыдущих примеров. Здесь нет необходимости в факторинге или упрощении. Мы не можем рационализировать, и односторонние ограничения не работают. Есть даже вопрос, будет ли существовать этот предел, поскольку у нас есть деление на ноль внутри косинуса в \ (x = 0 \).

Первое, на что следует обратить внимание, это то, что мы знаем следующий факт о косинусе.

\ [- 1 \ le \ cos \ left (x \ right) \ le 1 \]

Наша функция не имеет просто \ (x \) в косинусе, но пока мы избегаем \ (x = 0 \), мы можем сказать то же самое для нашего косинуса.2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 0 \]

Мы можем проверить это с помощью графика трех функций. Это показано ниже.

В этом разделе мы рассмотрели несколько инструментов, которые мы можем использовать, чтобы помочь нам вычислить пределы, в которых мы не можем просто оценить функцию в рассматриваемой точке. Как мы увидим, многие ограничения, которые мы будем делать в следующих разделах, потребуют одного или нескольких из этих инструментов.

Исчисление I – Предельные свойства

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-4: Предельные свойства

Почти пришло время для нас вычислить некоторые пределы. Однако, прежде чем мы это сделаем, нам понадобятся некоторые свойства ограничений, которые сделают нашу жизнь несколько проще. Итак, давайте сначала взглянем на них. Доказательство некоторых из этих свойств можно найти в разделе «Доказательство различных предельных свойств» главы «Дополнительные возможности».

Недвижимость

Сначала предположим, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) \) и \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right) \) существуют и что \ (c \) – любая константа.Затем

  1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{cf \ left (x \ right)} \ right] = c \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} е \ влево (х \ вправо) \)

    Другими словами, мы можем «разложить» мультипликативную константу вне предела.

  2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right] = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) \ pm \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right) \)

    Итак, чтобы взять предел суммы или разницы, все, что нам нужно сделать, это взять предел отдельных частей и затем снова сложить их вместе с соответствующим знаком.Это также не ограничивается двумя функциями. Этот факт будет работать независимо от того, сколько функций мы разделили «+» или «-».

  3. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right) g \ left (x \ right)} \ right] = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) \, \, \, \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right) \)

    Мы принимаем пределы продуктов точно так же, как мы можем определять пределы сумм или разниц. Просто возьмите предел кусочков, а затем снова соедините их.Также, как и в случае с суммами или разностями, этот факт не ограничивается двумя функциями.

  4. \ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right] = \ frac {{\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right)}} {{\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right)}} {\ rm {,}} \, \, \, \, \, {\ rm {provided}} \, \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ влево (х \ вправо) \ ne 0 \)

    Как отмечено в заявлении, нам нужно беспокоиться только о том, что предел в знаменателе равен нулю, когда мы делаем предел частного. {\ frac {1} {n}}} \\ & = \ sqrt [n] {{ \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right)}} \ end {align *} \]

  5. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} c = c, \, \, \, \, c {\ mbox {- любое действительное число}} \)

    Другими словами, предел константы – это просто константа.п} \)

    Это действительно частный случай свойства 5 с использованием \ (f \ left (x \ right) = x \).

Обратите внимание, что все эти свойства также относятся к двум односторонним ограничениям, и мы просто не записали их с односторонними ограничениями для экономии места.

Давайте вычислим предел или два, используя эти свойства. Следующая пара примеров приведет нас к некоторым действительно полезным фактам об ограничениях, которые мы будем использовать постоянно.2} + 5x – 9} \ right) \] Показать решение

В этот раз мы будем использовать только указанные выше свойства для вычисления предела. 2} + \ mathop {5 \ lim} \ limits_ {x \ to – 2} x – \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to – 2} 9 \ end {align *} \]

Теперь мы можем использовать свойства с 7 до 9 , чтобы фактически вычислить предел.2} + 5 \ left ({- 2} \ right) – 9 \\ & = – 7 \\ & = p \ left ({- 2} \ right) \ end {align *} \]

Другими словами, в этом случае мы видим, что предел – это то же значение, которое мы получили бы, просто оценив функцию в рассматриваемой точке. Похоже, это нарушает одно из основных понятий об ограничениях, которое мы видели до сих пор.

В предыдущих двух разделах мы много говорили о том, что ограничения не заботятся о том, что происходит в рассматриваемой точке.Их волнует только то, что происходит вокруг точки. Итак, как предыдущий пример вписывается в это, если он, похоже, нарушает основную идею ограничений?

Несмотря на внешний вид, предел все еще не заботится о том, что функция делает в \ (x = – 2 \). В этом случае функция, которую мы получили, просто «достаточно хороша», так что то, что происходит вокруг точки, в точности совпадает с тем, что происходит в точке. В конце концов мы формализуем то, что подразумевается под «достаточно хорошо».На этом этапе давайте не будем слишком беспокоиться о том, что такое «достаточно хорошо». Давайте просто воспользуемся тем фактом, что некоторые функции будут «достаточно хорошими», что бы это ни значило.

Функция в последнем примере была полиномом. Оказывается, все многочлены «достаточно хороши», так что то, что происходит вокруг точки, в точности совпадает с тем, что происходит в точке. Это приводит к следующему факту.

Факт

Если \ (p (x) \) – многочлен, то

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} p \ left (x \ right) = p \ left (a \ right) \]

К концу этого раздела мы значительно обобщим это на большинство функций, которые мы увидим в этом курсе.3} + 1}} \]

Что ж, на самом деле нам следует быть немного осторожнее. -}} е \ влево (х \ вправо) = е \ влево (а \ вправо) \ hspace {0.+}} е \ влево (х \ вправо) = е \ влево (а \ вправо) \]

Опять же, в конце концов мы формализуем то, что мы подразумеваем под «достаточно хорошим». На этом этапе все, что нам нужно, – это беспокоиться о том, какие функции «достаточно хороши». Некоторые функции «достаточно хороши» для всех \ (x \), в то время как другие будут «достаточно хороши» только для определенных значений \ (x \). Все будет зависеть от функции.

Как отмечено в заявлении, этот факт также имеет место для двух односторонних пределов, а также для нормального предела.

Вот список некоторых наиболее распространенных функций, которые «достаточно хороши».

  • Многочлены подходят для всех \ (x \).
  • Если \ (\ displaystyle f \ left (x \ right) = \ frac {{p \ left (x \ right)}} {{q \ left (x \ right)}} \), то \ (f (x) \) будет достаточно хорошим при условии, что оба \ (p (x) \) и \ (q (x) \) достаточно хороши, и если мы не получим деление на ноль в точке, в которой мы оцениваем.
  • \ (\ cos \ left (x \ right), \, \, \ sin \ left (x \ right) \) достаточно хороши для всех \ (x \)
  • \ (\ sec \ left (x \ right), \, \, \ tan \ left (x \ right) \) достаточно хороши при условии \ (x \ ne \ ldots, – \ frac {{5 \ pi}} {2}, – \ frac {{3 \ pi}} {2}, \ frac {\ pi} {2}, \ frac {{3 \ pi}} {2}, \ frac {{5 \ pi}} {2}, \ ldots \) ​​Другими словами, секущая и касательная достаточно хороши везде, где косинус не равен нулю.Чтобы понять, зачем вспоминать, что это обе действительно рациональные функции и что косинус находится в знаменателе обеих, вернитесь вверх и посмотрите на второй маркер выше.
  • \ (\ csc \ left (x \ right), \, \, \ cot \ left (x \ right) \) достаточно хороши при условии \ (x \ ne \ ldots, – 2 \ pi, \, \, – \ pi, \, \, 0, \, \, \ pi, \, \, 2 \ pi, \ ldots \) ​​Другими словами, косеканс и котангенс достаточно хороши везде, где синус не равен нулю.
  • \ (\ sqrt [n] {x} \) достаточно хорош для всех \ (x \), если \ (n \) нечетно.x} \) достаточно хороши для всех \ (x \).
  • \ ({\ log _b} x, \, \, \, \ ln x \) достаточно хороши для \ (x> 0 \). Помните, что мы можем подставлять только положительные числа в логарифмы, а не ноль или отрицательные числа.
  • Любая сумма, разница или произведение вышеперечисленных функций также подойдет. Коэффициенты будут достаточно хорошими, если мы не получим деление на ноль при оценке предела.

Последний пункт важен. Это означает, что для любой комбинации этих функций все, что нам нужно сделать, это оценить функцию в рассматриваемой точке, убедившись, что ни одно из ограничений не нарушено.3}}} {{1 + \ ln \ left (3 \ right)}} + \ sin \ left (3 \ right) \ cos \ left (3 \ right) \\ & = {\ rm {8}} { \ rm {.185427271}} \ end {align *} \]

Не очень красивый ответ, но теперь мы можем сделать предел.

Приблизительные пределы графического калькулятора – Видео и стенограмма урока

Применение команды TRACE

В этом случае мы будем искать предел, поскольку x приближается к 2 из ( x + 1/ x – 1) или lim → 2 ( x + 1/ х – 1).

Прежде чем использовать любой из этих методов для аппроксимации lim → 2 ( x + 1/ x – 1), важно установить РЕЖИМ и ОКНО в калькуляторе. Эти две команды настраивают калькулятор для работы с функциями этого типа.

РЕЖИМ определяет, как будет работать калькулятор. Он определяет, находится ли калькулятор в обычном, научном или инженерном режиме; до скольких знаков после запятой округлится калькулятор; и другие важные параметры.Убедитесь, что установлен следующий режим:

ОКНО установит размеры нашей декартовой системы координат; то есть, какую часть графика мы видим. В нашем примере полезное окно: Xmin = -5, Xmax = 5, Xscl = 1, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 1 и Xres = 1. Минимальные и максимальные значения – это границы графика, в то время как Xscl и Yscl определяют, какие отметки на осях x и y представляют.Xres – это переменная, которую мы можем просто принять равной 1.

Первым делом нужно поместить уравнение для y = ( x + 1/ x – 1) в Y =:

Затем построим график функции:

После того, как функция отобразится графически, мы нажимаем команду TRACE.Мы используем эту команду для ввода значений x , близких к 2, поскольку мы пытаемся найти предел ( x + 1/ x – 1) при приближении x к 2. Мы выбираем следующие Значения x : 2,1, 2,01 и 2,001, которые постепенно становятся ближе к x = 2 справа:

x = 2,1 дает нам y = 2,81.

x = 2,01 дает y = 2.98.

И x = 2,001 дает нам y = 2,99.

Мы также выбираем некоторые значения x , которые постепенно становятся ближе к x = 2 слева: x = 1,9, 1,99 и 1,999.

x = 1,9 дает y = 3,22.

x = 1.99 дает нам y = 3,02.

И x = 1,999 дает нам y = 3,00.

Из этих данных мы можем ясно вывести, что, поскольку x приближается к 2, y приближается к 3; следовательно, lim → 2 ( x + 1/ x – 1) = 3.

Применение команды ТАБЛИЦА

Еще один способ приблизить этот предел – получить доступ к ТАБЛИЦЕ.Во-первых, мы должны настроить нашу ТАБЛИЦУ на отображение подходящего диапазона. Для этого мы нажимаем команду TBLSET и устанавливаем приблизительное значение x , на котором мы хотели бы сосредоточиться, и приращения, которые мы хотели бы охватить:

После ввода y = ( x + 1/ x – 1) в наш Y =, мы используем команду GRAPH для просмотра рассматриваемой функции, за которой следует 2-я клавиша и ТАБЛИЦА:

Мы видим, что по мере приближения x к 2 из x > 2, y приближается к 3.

И поскольку x приближается к 2 из x <2, y приближается к 3.

Заключение, lim → 2 ( x + 1/ x – 1) = 3. Это это то же приближение, которое мы получили при использовании команды TRACE в сочетании с вводом значений x .

Резюме урока

Некоторые ограничения может оказаться трудным приблизить вручную, но графические калькуляторы значительно упрощают этот процесс.Вы можете приблизить пределы, используя Texas Instruments TI-84 , который является одним из наиболее распространенных графических калькуляторов на рынке, с помощью команды TRACE или TABLE.

Чтобы использовать команду TRACE, установите параметры MODE, , который определяет, как будет работать калькулятор, и WINDOW, , который устанавливает размеры нашей декартовой системы координат. Они должны быть установлены в соответствии с функцией, используйте GRAPH для отображения и вставьте числа, близкие к заданному значению x .Для каждого значения x мы приблизимся к нашему пределу. Чтобы использовать команду TABLE, используйте TBLSET для установки представления таблицы. Нажмите ТАБЛИЦА и просмотрите числа, близкие к заданному значению x . Они будут приближаться к нашему пределу. Эти методы имеют огромное преимущество при приближении пределов или проверке работы, выполняемой вручную.

Определите, является ли функция непрерывной, используя пределы

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Лимиты – MATLAB и Simulink

Фундаментальная идея в исчислении состоит в том, чтобы производить вычисления на функционирует как переменная «приближается к» или приближается определенное значение. Напомним, что определение производной дается на предел

при условии, что этот предел существует.Программное обеспечение Symbolic Math Toolbox ™ позволяет напрямую рассчитывать пределы функций. Команды

иллюстрируют два самых важных ограничения в математике: производная (в данном случае cos ( x )) и экспоненциальная функция.

Односторонние пределы

Вы также можете рассчитать односторонние пределы с помощью программного обеспечения Symbolic Math Toolbox. Например, вы можете рассчитать предел x / | x |, график которого показан ниже рисунок, поскольку x приближается к 0 слева или справа.

 syms x
fplot (x / abs (x), [-1 1], 'ShowPoles', 'off') 

Чтобы вычислить предел, когда x приближается к 0 слева,

введите

 syms x
limit (x / abs (x), x, 0, 'left') 

Чтобы вычислить предел, когда x приближается к 0 справа,

введите

 syms x
limit (x / abs (x), x, 0, 'right') 

Так как предел слева не равен пределу от справа двусторонний предел не существует. В случае неопределенного пределы, MATLAB ® возвращает NaN (не число).Например,

 syms x
limit (x / abs (x), x, 0) 

возвращает

Обратите внимание, что случай по умолчанию limit (f) совпадает с предел (f, x, 0) . Изучите параметры команды limit в этой таблице, где f – функция символического объекта х .

Математическая операция

Команда MATLAB

limx → 0f (x)

9000 f25 902 лимит af (x)

limit (f, x, a) или

limit (f, a)

limx → a − f (x)

limit ( f, x, a, 'left')

limx → a + f (x)

предел (f, x, a, 'right')

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.