Правило вычисления производной сложной функции: Производная сложной функции (u(v(x))’

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))' = c f ' (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' =
= f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x)

      Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

ФункцияФормула для производнойНазвание формулы

y = c ,

где  c – любое число

y' = 0Производная от постоянной функции

y = x c ,

где  c – любое число

y' = c x
c – 1
Производная степенной функции
y = e xy' = e xПроизводная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

y' = a x ln aПроизводная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0,   x > 0Производная от натурального логарифма

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

,   x > 0Производная от логарифма по основанию   a
y = sin xy' = cos xПроизводная синуса
y = cos xy' = – sin xПроизводная косинуса

y = tg x ,

, Производная тангенса

y = ctg x ,

, Производная котангенса

y = arcsin x ,

Производная арксинуса

y = arccos x ,

Производная арккосинуса
y = arctg xПроизводная арктангенса
y = arcctg xПроизводная арккотангенса
Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y' = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y' = c xc – 1

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

Функция:

y = e x

Формула для производной:

y' = e x

Производная от показательной функции с основанием   a

Функция:

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y' = a x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x ,   x > 0

Формула для производной:

,   x > 0
Производная от логарифма по основанию   a

Функция:

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

,   x > 0
Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y' = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y' = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

Формула для производной:

,
Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

Формула для производной:

,
Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x ,

Формула для производной:

Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x ,

Формула для производной:

Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, .

ФункцияФормула для производной

y = (kx + b) c ,

где  c – любое число.

y' = kc (kx + b) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

y = ekx + by = kekx + b
y = e f (x)

y = akx + b

где  a – любое положительное число, не равное 1

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0,

kx + b > 0

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0,

f (x) > 0

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

,   kx + b > 0

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

,   f (x) > 0
y = sin (kx + b)y' = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b)y' = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))

y = tg (kx + b),

где

,

y = tg ( f (x)),

где

,

y = ctg (kx + b),

где

,

y = ctg ( f (x)),

где

,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))

Функция:

y = (kx + b) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

y' = kc (kx + b) c – 1 ,

Функция:

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

Функция:

y = ekx + b

Формула для производной:

y = kekx + b

Функция:

y = e f (x)

Формула для производной:

Функция:

y = a

kx + b

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0

Формула для производной:

,   kx + b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0

Формула для производной:

,   f (x) > 0

Функция:

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

,   kx + b > 0

Функция:

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

,   f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx + b)

Формула для производной:

y' = k cos (kx + b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = cos (kx + b)

Формула для производной:

y' = – k sin (kx + b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = tg (kx + b),

где

Формула для производной:

,

Функция:

y = tg ( f (x)),

где

Формула для производной:

,

Функция:

y = ctg (kx + b),

где

Формула для производной:

,

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где

Формула для производной:

,

Функция:

y = arcsin (kx + b),

Формула для производной:

Функция:

y = arcsin ( f (x)),

Формула для производной:

Функция:

y = arccos (kx + b),

Формула для производной:

Функция:

y = arccos ( f (x)),

Формула для производной:

Функция:

y = arctg (kx + b)

Формула для производной:

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg (kx + b)

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Производная сложной функции - примеры решений

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;   ;   ;   ;   .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x. Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u.

Простые примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции
.

Решение

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 2

Найти производную
.

Решение

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Найдите производную
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение
.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Ответ

.

Пример 5

Найдите производную функции
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

.
Здесь
.

Теперь находим производную искомой функции.

.
Здесь
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Урок 11. правила дифференцирования - Алгебра и начала математического анализа - 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • разбор основных правил дифференцирования функций;
  • примеры вычисления производной линейной функции;
  • правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))'=cf ' (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) '=f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) '=f '(g(x))·g' (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x3+3x2-x.

Решение:

f(x)=8x3+3x2-x

f’(x)=(8x3)’+(3x2)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x3) '=8(x3) '=8·3x2=24x2

(3x2) '=3(x2) '=3·x=6x

(-x) '=-(x) = -1

f' (x)=(8x3) '+(3x2) '-x'=24x2+6x-1.

Ответ: f' (x)=24x2+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f' (x)=(3х-4) ' (4-5х) + (3х-4)(4-5х) '=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f' (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)2

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F' (x)=((2x-1)²) '·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F' (x)=8x-4.

Производная сложной функции. Вычисление производных сложных функций.

План

проведения открытого урока № 5

Дата:

Группа:

Дисциплина: Математика

Раздел дисциплины: Математический анализ.

Тема дисциплины 1.1 Дифференциальное исчисление.

Тема занятия: Производная сложной функции. Вычисление производных сложных

функций.

Тип учебного занятия: Комбинированное занятие.

Цели занятия:

Предметные: Обобщить и систематизировать знания о производной, отработать

навыки вычисления производной. Сформировать понятие

производной сложной функции. Закрепить

умение производить вычисления по формулам.

Метапредметные: Формировать умение воспринимать и осмысливать знания в готовом

виде, умение выделять главное. Развивать умение работать в

должном темпе, приемы запоминания.

Личностные: Формировать познавательную потребность, стремление к глубокому

усвоению материала, стремление к высокому качеству результатов

труда.

Межпредметные связи:

Обеспечивающие дисциплины: Математика.

Обеспечиваемые дисциплины: Техническая механика. Устройство автомобилей.

Методы: словесные - лекция; практические - решение упражнений по образцу;

наглядные с использованием презентации и раздаточного материала.

Демонстрационный материал:

  1. Компьютер.

  2. Оргтехника.

  3. Презентация к уроку.

Раздаточный материал:

  1. Карточки с заданиями для индивидуальной работы.

  2. Комплект заданий для устной работы.

  3. Карточки для самостоятельной работы.

ХОД ЗАНЯТИЯ:

  1. Организационно-мотивационная часть (10 минут).

  1. Приветствие.

  2. Сообщение темы занятия.

  3. Постановка цели занятия.

  4. Письменный опрос у доски (2 человека).

  5. Письменный опрос на местах (4 человека).

  6. Первый ряд пишет наизусть формулы из таблицы производных.

  7. Фронтальный опрос.

  8. Проверка домашнего задания.

  9. Сбор решенных заданий.

  1. Устная работа (задания на экране) (10 минут).

Вычислить производные функций (работает вся группа).

  1. Самостоятельная работа (10 минут).

Вычислить производные функций.

(проверка преподавателем решенных ранее заданий).

  1. Объявление результатов проверки заданий, решенных ранее. (2 минуты).

  1. Актуализация опорных знаний. (2 минуты).

  1. Изложение нового материала. (20 минут).

  1. Закрепление (32 минуты).

Мини-тренинг с использованием элементов проблемного обучения и метода мозгового штурма.

Вычислить производные сложных функций.

  1. Домашнее задание. (2 минуты).

  1. Подведение итогов занятия. (2 минуты).

ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ:

Производная сложной функции.

  1. Сложная функция.

Понятие сложной функции широко используется в математике. Со

сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов.

Пусть заданы две функции и , причем область определения функции содержит множество значений функции . Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функции и , или суперпозицией функций и .

Например, функция есть сложная функция, составленная из более простых функций и .

Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций. Например, функция может быть рассмотрена как суперпозиция следующих функций:

, , .

Пример. Для функций и составьте .

Используя определение сложной функции, получаем:

Рассмотренный пример показывает, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют, т. е. вообще говоря, если .

  1. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция , , имеет производную в точке , а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле или, опуская значение аргументов,

.

Примеры:

Найти производные следующих функций:

1. .

Решение:

Полагая и , применяя правило дифференцирования сложной функции, имеет:

2. .

Решение:

Полагая , найдем, используя соответствующие формулы:

.

3.

Решение:

Полагая , найдем:

.

4. ;

.

5. .

.

6. Найти производную функции при данном значении

аргумента:

.

7. ; ;

;

.

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ

Мозговой штурм

Мозговой штурм (мозговая атака, брейнсторминг, brainstorming) включает в себя два этапа:

  1. Группа выдвигает идеи по заданной теме. Все идеи фиксируются, в том числе на первый взгляд абсурдные. Критиковать нельзя.

  2. Оценка и развитие идей. Отбор лучших идей.

Суть метода — в отделении процесса генерации идей (первый этап) от их анализа и отбора (второй этап).

Подготовка мозгового штурма

Сформируйте группу генераторов идей (как правило, 5-10 человек). Это должны быть творческие люди, обладающие подвижным, активным умом.

Сформируйте экспертную группу, которой предстоит подвергнуть анализу все выдвинутые идеи и отобрать лучшие. На практике нередко сами генераторы, завершив выдвижение идей, выступают как эксперты. В рекламных агентствах в роли эксперта выступает креативный директор.

За день-два до штурма разошлите участникам оповещение о штурме с кратким описанием темы и задачи (бриф). Возможно, кто-то придёт с готовыми идеями.

Подготовьте всё необходимое для записи идей и демонстрации списка. Варианты:

Доска и мел

Листы бумаги на планшетах и фломастеры

Разноцветные стикеры

Ноутбук в связке с проектором

Назначьте ведущего мозгового штурма. В большинстве случаев ведущий известен изначально, он и организует брейнсторминг.

Выберите одного или двух секретерей, которые будут фиксировать все идеи.

Назначьте продолжительность первого этапа. Обычно около часа, в креативных агентствах, конечно, дольше. Ведь генерация идей — их основная работа.Участники должны знать, что время ограничено, и им необходимо выдать как можно больше идей в сжатые сроки. Это активизирует, заставляет выложиться. Чёткий тайминг — такое же обязательное условие для участников штурма, как длина дистанции для бегунов.

Поставьте задачу. Что конкретно нужно получить в результате мозговой атаки? Запишите задачу так, чтобы она всё время была на виду. Формулировка задачи и полезная информация содержатся также в брифе, который роздан в печатном виде.Участники должны чётко представлять, зачем они собрались и какую проблему собираются решить. В мозговой атаке приветствуется сумятица идей, но не сумятица задач.

Проведение мозгового штурма

1. Этап генерации идей (Фаза «мечтателя»)

Спустите фантазию с поводка! Пусть каждый выдвинет как можно больше идей. Приветствуются озарения и необузданная фантазия в альтернативных направлениях. Можно высказывать безответственные, причудливые, прикольные, нелепые идеи. Самые лучшие — это сумасшедшие идеи. В глазах современников Галилей тоже, наверное, нёс ахинею.

Каждая идея полезна уже потому, что она стимулирует другие. Стремитесь развивать, комбинировать и улучшать высказанные ранее идеи, получать от них новые ассоциативные идеи.

Создатель метода мозгового штурма Алекс Осборн (Alex F. Osborn) говорил: «Количество идей переходит в качество. В каждой идее есть рациональное зерно».

Высказывайте свои идеи без доказательств и объяснений. Излагайте идеи кратко, в нескольких словах. Тем не менее, ведущий и группа должны понять суть предложения. Если это не так, ведущий помогает автору сформулировать идею под запись.

Записываются все идеи. Нет плохих идей! Все идеи приветствуются. На первом этапе количество идей предпочтительнее качества. Осборн говорил: «Количество, количество и ещё раз количество, вот девиз дня. Чем больше попыток, тем больше вероятность попадания в цель».

Критика идей на этапе генерации абсолютно запрещена. Наложено табу на реплики: «Это глупо», «Детский лепет», «Ерунда», «Это невозможно», «Мы делали это раньше, но безрезультатно» и т. п. Критика запрещается даже в форме жестов, ироничных взглядов и скептических усмешек. Иначе у генераторов может пропасть всякая охота генерировать.

В агентстве Saatchi & Saatchi запрещалось использовать словосочетание «Да, но…». Вместо него надо было говорить «Да, и…».

Приветствуются юмор, смех. Поддерживайте и создавайте атмосферу уважительного радостного общения умных и остроумных, заинтересованных в хорошем решении людей.

Прямолинейное мышление не может обнаружить скрытые идеи, лежащие в стороне. Вместо того, чтобы напрягаться, расслабьтесь, смейтесь, и такое дурачество поможет вам двинуться в новом направлении.

Самый интересный момент штурма — наступление пика, ажиотажа, когда идеи начинают просто фонтанировать. Происходит непроизвольная генерация гипотез участниками. Этот пик был теоретически обоснован Зигмундом Фрейдом в работах о бессознательном.

Правильный сеанс мозгового штурма — особое психологическое состояние группы, когда думается без волевых усилий и принимается во внимание «всё, что придёт в голову». Такое состояние оказывается продуктивным, поскольку позволяет использовать подсознание человека — мощный ресурс творческого мышления.

После завершения активной фазы генерации участники штурма коллективно редактируют список наработанных идей. На этом этапе уже возможно полукритичное отношение к ним и расширение списка новыми идеями, возникшими в процессе редактирования.

«Сухой остаток» первого этапа — начерно отредактированный список идей, зафиксированных кратко, торопливо. Из этой «руды» предстоит извлечь бриллиант. Или несколько бриллиантов.

Перерыв.

2. Этап оценки идей (Фаза «реалиста»)

Самая лучшая идея — та, которую вы рассматриваете сейчас. Анализируйте её так, как будто других идей нет вообще. Это правило подразумевает предельное внимание к каждой записанной идее.

Хотя критика уже не возбраняется, она должна быть конструктивной. Постарайтесь найти рациональное зерно в каждой идее. Если время позволяет, на этапе оценки лучше не спешить.

Используйте метод контрольных вопросов.

Как минимум, каждую идею желательно протестировать по краткому вопроснику типа:

Решение в рамках закона?

Идея реализуема до 10 июня?

Разумны ли предполагаемые затраты?

Каким образом данная идея, если её реализовать, провалится?

Когда есть бриф, общий критерий такой: идея по брифу или не по брифу? Решающее слово в оценке идей принадлежит креативному директору.

Развивайте идеи. Группируйте их в тренды. Пытайтесь «поженить» элементы разных гипотез. Иногда самые лучшие идеи получаются в результате объединения двух менее ярких предложений. Креативность превосходно проявляет себя не только при создании новых идей, но и в работе с уже имеющимися.

Используйте морфологический метод: не поленитесь начертить таблицу по типу таблицы футбольного чемпионата, где каждой команде,.. — то есть идее — предстоит «сыграть» с каждой.

Помечайте идеи вашего списка:

+ + очень хорошая, оригинальная идея

+ неплохая идея

0 не удалось найти конструктива

Отбросьте явно банальные, тупиковые, неплодотворные идеи.

Считается, что лишь 10-15% идей оказываются приемлемыми, зато среди них встречаются весьма оригинальные. Ценно, если «выжившие» идеи выстраиваются в логичную цепь — рекламную кампанию.

Ведущий мозговой атаки:

Ведущий (фасилитатор, модератор) поочередно даёт слово генераторам идей, чтобы они не галдели все одновременно. Следит, чтобы все участники штурма имели равную возможность высказаться. Ведущий может вносить свои идеи наравне со всеми.

Корректно, но решительно пресекает критику идей, которая почти всегда непроизвольно возникает, особенно поначалу. Типичные фразы idea killers (убийц идей), и как на них нужно отвечать:

— Из этого ничего не выйдет. — «Конечно, если не развивать эту идею, из неё ничего не получится».

— Это не работает — «Но идея ведь неплохая?»

— Это чересчур — «И что?»

— Клиент никогда это не одобрит — «А что если одобрит?»

— Ну и что в этом оригинального? — «То, что это раньше никто не предлагал».

— Кто угодно может придумать такое — «Точно!»

Ведущий обеспечивает непрерывность выдвижения идей. Он всеми мерами не допускает зажима «плохих» идей, снимает боязнь участников «ляпнуть что-нибудь не то». Доброжелательность ведущего стимулирует рождение новых идей у членов группы. Но он не должен слишком хвалить даже явно удачные гипотезы, чтобы не нарушить равенство участников штурма.

Ведущий следит за регламентом. Напоминает, сколько времени осталось до конца сеанса. Тактично останавливает креатора, который высказывает свою идею дольше полуминуты. Мозговой штурм — это интенсивный, быстро протекающий творческий процесс.

Искусство ведущего мозговой атаки заключается в умении раскрепостить мышление членов творческой группы, вдохновить их на свободное самовыражение.

Что может и чего не может мозговой штурм

Метод мозгового штурма эффективен:

При решении задач, которые не имеют однозначного решения, и задач, где решения требуются нетрадиционные. Таковы все задачи по созданию рекламного креатива.

Когда необходимо быстро найти выход из критической ситуации.

Везде, где нужно получить много идей за короткое время. Методика мозгового штурма универсальна.

Несовершенство метода заключается в том, что поиск идей идёт случайным образом, наобум. Вы никогда не останетесь совсем без идей. Но нет гарантии, что среди ваших решений окажется действительно превосходное.

Метод мозгового штурма — эффективная помощь в генерации идей. Но он не замещает целиком творческий процесс.

Технология проблемного обучения

Под проблемным обучение понимается такая организация учебных занятий, которая предлагает создание под руководством преподавателя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей.

Уникальность проблемного обучения состоит в его многофункциональности, эффективном решении следующих задач:

стимулирование внутренней мотивации учения;

повышение познавательного интереса;

формирование самостоятельности;

развитие творческих способностей, воображения;

создание условия для самоопределения в профессиональной образовательной сфере;

развитие коммуникативных навыков;

прочное изучение изученного;

формирование убеждений;

овладение первичными навыками исследовательской деятельности.

Структура, состоящая из следующих элементов:

учебная проблема, вызывающая соответствующую (проблемную) ситуацию;

гипотеза или предположения по ее разрешению;

обоснование выдвинутой гипотезы, т.е. различного рода доказательства (теоретическое, экспериментально-практическое, фактическое;)

Вывод.

Этот блок элементов является основным и называется проблемно-структурированным блоком (ПСБ).

Исследовательская работа являет собой самый высокий уровень, при котором обучающиеся самостоятельно выдвигаю проблему и решают ее. Этому уровню соответствует исследовательский метод, форма реализации которого – проблемные практические и теоретические задания.

Частично-поисковый уровень предполагает выдвижение проблемы (проблемной ситуации) преподавателем, а решение предлагается найти обучающимся самостоятельно под руководством преподавателя. Это средний уровень проблемности, он может быть организован методом эвристического диалога, форма реализации которого – беседа эвристического характера.

Самый низкий уровень проблемности – проблемное изложение, в ходе которого преподаватель сам выдвигает проблему, создавая у студентов проблемную ситуацию, сам выдвигает гипотезу и сам доказывает. Метод, соответствующий этому уровню, так и называется – проблемное изложение; форма его реализации – лекция проблемного характера.

Проблемная ситуация – основная категория проблемного обучения.

Обнаружение противоречий и осознание их как трудностей в проблемной ситуации должно сопровождаться возникновением интереса.

Проблемная ситуация – это психическое состояние обучающегося, в которой он:

  1. видит противоречия, какие-либо несоответствия;

  2. осознает их как трудности, преодоление которых требует новой информации;

  3. хочет разрешить данные противоречия.

В результате возникновения проблемной ситуации в сознании обучающихся (студентов) формулируется проблема. Она, как правило, реализуется в форме вопроса, причем чем глубже сформулирована проблема, тем острее интерес к ней, а следовательно, и успешнее ее разрешение.

Этапы построения проблемного занятия:

  1. актуализация опорных знаний;

  2. анализ проблемного задания;

  3. вычленение проблемы;

  4. выдвижение всевозможных предположений;

  5. сужение поля поиска;

  6. доказательство рабочих гипотез;

  7. проверка правильности решения.

Этап 1-й, актуализация опорных знаний. Цель: вспомнить и актуализировать имеющиеся знания (что мы знаем или должны знать?).

Путь реализации: фронтальный опрос, рассказ-вступление, решение задачи, индивидуальный устный ответ с последующими необходимыми уточнениями и добавлениями.

Результат: наличие у студентов опорных знаний, необходимых для осмысленного восприятия противоречий.

Спектр изменений личности студента: формируется умение соотносить ответы с образцом, четко формулировать ответы, управлять своим вниманием, развивать стремление к взаимопомощи и оказанию поддержки.

Этап 2-й, анализ проблемного задания. Цель: понять начальные условия. (Почему это происходит?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, изложение преподавателя, постановка проблемного опыта.

Результат: понимание существования, наличия какого-то несоответствия.

Спектр изменений личности студента: формируется умение ответственно относиться к своей позиции и сопоставлять ее с позицией другого, корректировать свою точку зрения.

Этап 3-й, вычленение проблемы. Цель: выявление сути противоречия. (В чем наше затруднение? Что мы не знаем?)

Путь реализации: работа в группах («мозговой штурм»), индивидуальные суждения-выступления, коллективное обсуждение, изложение преподавателем.

Результат: вербальная формулировка проблемы.

Спектр изменений личности студента: формируется развитие логического мышления, вербализация перехода от анализа противоречия к поиску направления его разрешения, самостоятельность суждений, развитие навыков интеллектуального взаимодействия с партнерами по образовательному процессу.

Этап 4-й, выдвижение возможных предположений. Цель: выдвижение предположений по решению проблемы. (Как можно ответить на вопрос, какие могут быть гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, «мозговая атака», индивидуальные суждения, предположения, выдвинутые преподавателем (изложение).

Результат: наличие ряда гипотез.

Спектр изменений личности студента: проявляется гибкость мышления, формируется умение мысленно прослеживать путь решения, аналитико-прогностические умения.

Этап 5-й, сужение поля поиска. Цель: проработать каждое из выдвинутых предложений с целью отсева неперспективных. (Какие гипотезы неперспективны? Какие более перспективны?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, групповая работа, индивидуальные суждения, изложение-рассуждение преподавателя.

Результат: сужение поля поиска решения, определение рабочей гипотезы.

Спектр изменений личности студента: формируется умение делать эскизные проект решения проблемы, анализировать перспективность гипотез, определять недостатки и достоинства предложений, несмотря на их авторство.

Этап 6-й, доказательство рабочих гипотез. Цель: доказать рабочую гипотезу. (Какое теоретическое или практическое обоснование мы можем предложить? Как доказать справедливость выдвинутой гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, последовательное проведение доказательства несколькими студентами или представителем группы. Доказательство гипотезы самим преподавателем (мини-лекция, объяснение). Коллективное доказательство под руководством преподавателя (фронтальная беседа).

Результат: наличие стройной системы доказательство и уяснение ее сути.

Спектр изменений личности студента: формируется умение формулировать и выстраивать логику доказательства, конструировать цепочку причинно-следственных связей, выстраивать свою позицию и быть готовым к ее коррекции или замене.

Этап 7-й, проверка гипотез. Цель: осуществить рефлексию проделанной работы, сделать вывод. (Как проверить правильность решения? Или: Как доказать правильность доказательства?)

Пути реализации: задание (на поэтапную проверку правильности выполненных действий, соотнесение начальных условий с характером и содержанием решения и т.д.). Упражнения (на проверку правильности вывода путем переноса его на другие аналогичные исходной, ситуации).

Результат: убежденность в правильности полученного вывода.

Спектр изменений личности студента: формируется способность к объяснению, оценке собственных действий, убежденность.

Ранее мы указывали на существование трех уровней проблемности: 1) низкий, 2) средний, 3) высокий.

При реализации первого уровня преподаватель сам формулирует проблему, показывает противоречия, формулирует задание или вопрос, сам выдвигает гипотезу, обосновывает и доказывает ее, делает вывод.

На втором уровне преподаватель лишь формулирует проблему, создавая проблемную ситуацию, а студенты под его руководством выдвигают гипотезы, стремятся доказать их, делают вывод.

На третьем уровне преподаватель организует обучение таким образом, что студенты сами обнаруживают противоречия, сами выдвигают и доказывают гипотезы, делают выводы.

Каждому уровню соответствует свой метод. Первому соответствует метод проблемного изложения, чаще всего реализуемый в форме проблемной лекции. Второму уровню соответствует метод эвристической беседы, который чаще всего используется на семинарских и практических занятиях. Третьему – исследовательская работа, доминирующая на практических занятиях.

При чередовании этапов (преподаватель – студенты – преподаватель – студенты) можно получить второй уровень проблемности, реализуемый через беседу проблемного характера. Если же все этапы реализуются самими студентами при минимальной необходимой помощи преподавателя, то имеем третий уровень проблемности – исследовательскую работу. Если все этапы указанной выше схемы реализуются через изложение преподавателя, то получаем проблемную лекцию, соответствующую первому уровню проблемности.

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1. Омельченко В.П. «Математика», Ростов-на-Дону, «Феникс»,2005 г.

2. Дадаян А.А. «Математика», Москва, «ФОРУМ-ИНФРА-М», 2003г.

3. Богомолов Н.В. «Математика», Москва, «Дрофа», 2005г.

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». Москва,

изд. «Высшая школа», 2002г.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. « Высшая математика

в упражнениях и задачах». Москва, ОНИКС 21 век. «Мир и

образование», 2002г.

Интернет-ресурсы:

www.exponenta.ru - Образовательный математический сайт

www.math34.ru – Математический анализ.

http://www.allmath.ru- Математический портал

ПРИЛОЖЕНИЕ

Раздаточный материал для студентов.

1.

  1. Письменный опрос у доски 2 человека.

  1. при х=-2;

  2. при у=1.

  1. Письменный опрос на местах 4 человека.

Найдите частные производные функций:

1. а) ; б) при х=0;

2. а) ; б) при х=1;

3. а) , ; б) ;

4. а) б) , .

Найдите значение производной функции

при х=-2.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Найдите значение производной функции

при х=1.

Вычислить производные функций:

1.;

2. при х=0.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Вычислить производные функций:

1.;

2. при х=1.

Вычислить производные функций:

1.

2. .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вычислить производные функций:

7. Фронтальный опрос.

Содержание опроса:

а) Дайте определение производной.

б) В чем состоит физический смысл производной?

в) В чем состоит геометрический смысл производной?

г) Как называется операция нахождения производной?

д) Перечислите правила дифференцирования.

е) Как найти производную суммы или разности нескольких функций?

ж) Как найти производную произведения двух функций?

з) Как найти производную частного двух функций?

2.

Устная работа (задания на экране).

Вычислить производные функций.

3.

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

1 вариант.

Вычислить производные функций:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Самостоятельная работа

2 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. .

Самостоятельная работа

3 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Самостоятельная работа

4 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

5 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

---------------------------------------------------------------------------------------

Самостоятельная работа

6 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

7 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

---------------------------------------------------------------------------------------

Самостоятельная работа

8 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

9 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

10 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

6. Изложение нового материала

Содержание: а) Определение производной сложной функции.

б) Примеры производных сложных функций.

в) Правило вычисления производной сложной функции.

г) Методика вычисления производных сложных функций.

7. Закрепление: мини-тренинг с использованием элементов технологии мозгового

штурма:

Вычислить производные сложных функций: -33

1) ;

;

; .

8. Домашнее задание:

а) Выучить теорию.

б) Вычислить производные сложных функций:

9. Подведение итогов занятия:

Кратко обобщить информацию, сделать выводы по занятию.

Оценка работы группы в целом и отдельных студентов.

Преподаватель Е.Ю. Богина

Сложная функция. Производная сложной функции

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

Заметим, что аргумент , стоящий в правой  и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной  мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию

.

Назовем выражение  промежуточным аргументом, а функцию  - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция   определена на множестве  и  - множество значений этой функции. Пусть, множество  (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим  в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,   - внешняя функция,  - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

В этом выражении  с помощью обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

 последнее действие  - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

как 

Получим 

Ищем в таблице производных  производную показательной функции:

Получим:

    (1)

Теперь наша задача найти производную функции

Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие - возведение в квадрат, а промежуточный аргумент .

Получаем:

Смотрим в таблице производных производную синуса:

Получаем:

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

Таким образом,

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Производные математических функций. Определение, таблица основных производных, правила их вычисления

Справочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:


Правила вычисления производных


Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)


Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).


Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!


Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.


Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:


Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
Александр С.
Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

Виртуальный математический справочник.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки: Алгебра, Справочник репетитора, Ученикам

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

3.6: Цепное правило - математика LibreTexts

Цели обучения

  • Сформулируйте цепное правило для композиции двух функций. n, \ sin x, \ cos x и т. Д.2 + 1} \). В этом разделе мы изучаем правило нахождения производной композиции двух или более функций.

    Вывод правила цепочки

    Когда у нас есть функция, которая представляет собой композицию из двух или более функций, мы могли бы использовать все методы, которые мы уже изучили, чтобы различать ее. Однако использование всех этих техник для разбиения функции на более простые части, которые мы можем различать, может оказаться громоздким. Вместо этого мы используем правило цепочки , которое гласит, что производная сложной функции - это производная внешней функции, вычисленная во внутренней функции, умноженная на производную внутренней функции.3) \).

    Теперь, когда мы вывели частный случай цепного правила, мы сформулируем общий случай, а затем применим его в общей форме к другим составным функциям. Неофициальное доказательство приводится в конце раздела.

    Правило

    : правило цепочки

    Пусть \ (f \) и \ (g \) - функции. Для всех \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g \) дифференцируема в \ (x \) и \ (f \) дифференцируема в \ (g (x) \), производная сложной функции

    \ [h (x) = (f∘g) (x) = f \ big (g (x) \ big) \]

    выдается

    \ [h '(x) = f' \ big (g (x) \ big) \ cdot g '(x).\]

    В качестве альтернативы, если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

    \ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}. \]

    Стратегия решения проблем: применение правила цепочки

    1. Чтобы различать \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big) \), начните с определения \ (f (x) \) и \ (g (x) \).
    2. Найдите \ (f '(x) \) и оцените его в \ (g (x) \), чтобы получить \ (f' \ big (g (x) \ big) \).
    3. Найдите \ (g '(x). \)
    4. Запишите \ (h '(x) = f' \ big (g (x) \ big) ⋅g '(x).\)

    Примечание : применяя правило цепочки к композиции двух или более функций, имейте в виду, что мы работаем извне, функция внутри. Также полезно помнить, что производная от композиции двух функций может считаться состоящим из двух частей; производная от композиции трех функций состоит из трех частей; и так далее. Кроме того, помните, что мы никогда не оцениваем производный инструмент по производному инструменту.

    Объединение правил цепи и мощности

    Теперь мы можем применить правило цепочки к составным функциям, но обратите внимание, что нам часто нужно использовать его с другими правилами.3 \) при \ (x = −2 \).

    Подсказка

    Используйте предыдущий пример в качестве руководства.

    Ответ

    \ (у = -48x-88 \)

    Объединение правила цепочки с другими правилами

    Теперь, когда мы можем объединить цепное правило и правило мощности, мы исследуем, как объединить цепное правило с другими правилами, которые мы изучили. В частности, мы можем использовать его с формулами для производных тригонометрических функций или с правилом произведения.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование правила цепочки для функции общего косинуса

    Найти производную от \ (h (x) = \ cos \ big (g (x) \ big). \)

    Решение

    Думайте о \ (h (x) = \ cos \ big (g (x) \ big) \) как о \ (f \ big (g (x) \ big) \), где \ (f (x) = \ cos Икс\). Поскольку \ (f '(x) = - \ sin x \). у нас есть \ (f '\ big (g (x) \ big) = - \ sin \ big (g (x) \ big) \). Затем делаем следующий расчет.

    \ [\ begin {align *} h '(x) & = f' \ big (g (x) \ big) \ cdot g '(x) & & \ text {Примените правило цепочки.5 + 2x). \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

    Найти производную от \ (h (x) = \ sin (7x + 2). \)

    Подсказка

    Сначала примените цепное правило к \ (h (x) = \ sin \ big (g (x) \ big) \), а затем используйте \ (g (x) = 7x + 2 \).

    Ответ

    \ (h '(x) = 7 \ cos (7x + 2) \)

    На этом этапе мы предоставляем список производных формул, которые могут быть получены путем применения цепного правила в сочетании с формулами для производных тригонометрических функций.Их производные аналогичны тем, которые используются в приведенных выше примерах. Для удобства формулы также даны в обозначениях Лейбница, которые некоторым студентам легче запомнить. (Мы обсуждаем цепное правило, используя обозначения Лейбница в конце этого раздела.) Не обязательно запоминать их как отдельные формулы, поскольку все они являются приложениями цепного правила к ранее изученным формулам.

    Использование правила цепочки с тригонометрическими функциями

    Для всех значений \ (x \), для которых определена производная,

    \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ sin (g (x)) \ Big) = \ cos (g (x)) \ cdot g '(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ sin u \ Big) = \ cos u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
    \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cos (g (x)) \ Big) = - \ sin (g (x)) \ cdot g '(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cos u \ Big) = - \ sin u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
    \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ tan (g (x)) \ Big) = \ sec ^ 2 (g (x)) \ cdot g '(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ tan u \ Big) = \ text {sec} ^ 2u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
    \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cot (g (x)) \ Big) = - \ text {csc} ^ 2 (g (x)) \ cdot g '(x) \ ) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cot u \ Big) = - \ text {csc} ^ 2u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
    \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {sec} (g (x)) \ Big) = \ text {sec} (g (x)) \ tan (g (x)) \ cdot g '(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {sec} \, u \ Big) = \ text {sec} \, u \ tan u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
    \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {csc} (g (x)) \ Big) = - \ text {csc} (g (x)) \ cot (g (x) ) \ cdot g '(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {csc} \, u \ Big) = - \ text {csc} \, u \ cot u \ cdot \ dfrac {du} {dx}.4} \)

    Композиты из трех или более функций

    Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза. Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем создать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.

    В общем, сначала сдаем

    \ [k (x) = h \ Big (е \ big (g (x) \ big) \ Big).\ nonumber \]

    Затем, применяя цепное правило, мы получаем

    \ [k '(x) = \ dfrac {d} {dx} \ Big (h \ big (f \ big (g (x) \ big) \ big) \ Big) = h' \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) ⋅ \ dfrac {d} {dx} \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big). \ nonumber \]

    Применяя снова цепное правило, получаем

    \ [k '(x) = h' \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f '\ big (g (x) \ big) \ cdot g' (x)) . \ nonumber \]

    Правило: цепное правило для композиции из трех функций

    Решение

    Для всех значений \ (x \), для которых функция дифференцируема, если

    \ (k (x) = h \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big), \)

    , затем

    \ (k '(x) = h' \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f '\ big (g (x) \ big) \ cdot g' (x)) . 2 + 1).3) \)

    Пример \ (\ PageIndex {9} \): использование правила цепочки в задаче скорости

    Частица движется по координатной оси. Его положение в момент времени t определяется выражением \ (s (t) = \ sin (2t) + \ cos (3t) \). Какова скорость частицы в момент времени \ (t = \ dfrac {π} {6} \)?

    Решение

    Чтобы найти \ (v (t) \), скорость частицы в момент времени \ (t \), мы должны продифференцировать \ (s (t) \). Таким образом,

    \ [v (t) = s '(t) = 2 \ cos (2t) −3 \ sin (3t). \ Nonumber \]

    Правило доказательства цепочки

    Здесь мы представляем очень неформальное доказательство цепного правила.Для простоты мы игнорируем некоторые вопросы: например, мы предполагаем, что \ (g (x) ≠ g (a) \) для \ (x ≠ a \) в некотором открытом интервале, содержащем \ (a \). Начнем с применения предельного определения производной к функции \ (h (x) \), чтобы получить \ (h '(a) \):

    \ [h '(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {x − a}. \ ]

    Переписывая, получаем

    \ [h '(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a}. \]

    Хотя понятно, что

    \ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g '(a), \]

    не очевидно, что

    \ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = f '\ большой (г (а) \ большой).\]

    Чтобы убедиться в этом, сначала напомним, что, поскольку \ (g \) дифференцируема в \ (a \), \ (g \) также непрерывна в \ (a. \) Таким образом,

    \ [\ lim_ {x → a} g (x) = g (a). \]

    Затем сделайте замену \ (y = g (x) \) и \ (b = g (a) \) и используйте замену переменных в пределе, чтобы получить

    \ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = \ lim_ {y → b} \ dfrac {f (y) −f (b)} {y − b} = f '(b) = f' \ big (g (a) \ big). \]

    Наконец,

    \ [h '(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f '\ big (g (a) \ big) \ cdot g' (a).\]

    Пример \ (\ PageIndex {10} \): использование правила цепочки с функциональными значениями

    Пусть \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big). \) Если \ (g (1) = 4, g '(1) = 3 \) и \ (f' (4 ) = 7 \), найти \ (h '(1). \)

    Решение

    Используйте цепное правило, затем замените.

    \ [\ begin {align *} h '(1) & = f' \ big (g (1) \ big) \ cdot g '(1) & & \ text {Применить правило цепочки.} \\
    & = f '(4) ⋅3 & & \ text {Substitute} \; g (1) = 4 \; \ text {и} \; g '(1) = 3. \\
    & = 7⋅3 & & \ text {Substitute} \; f '(4) = 7.\\
    & = 21 & & \ text {Упростить.} \ End {align *} \]

    Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

    Дано \ (h (x) = f (g (x)) \). Если \ (g (2) = - 3, g '(2) = 4, \) и \ (f' (- 3) = 7 \), найдите \ (h '(2) \).

    Подсказка

    Следуйте примеру \ (\ PageIndex {10} \).

    Ответ

    28

    Цепное правило с использованием обозначений Лейбница

    Как и в случае с другими производными, которые мы видели, мы можем выразить цепное правило, используя обозначения Лейбница.Это обозначение цепного правила широко используется в физических приложениях.

    Для \ (h (x) = f (g (x)), \) пусть \ (u = g (x) \) и \ (y = h (x) = g (u). \) Таким образом,

    \ [h '(x) = \ dfrac {dy} {dx} \ nonumber \]

    \ [f '(g (x)) = f' (u) = \ dfrac {dy} {du} \ nonumber \]

    и

    \ [g '(x) = \ dfrac {du} {dx}. \ Nonumber \]

    Следовательно,

    \ [\ dfrac {dy} {dx} = h '(x) = f' \ big (g (x) \ big) \ cdot g '(x) = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac { du} {dx}. \ nonumber \]

    Правило: цепное правило с использованием обозначения Лейбница

    Если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

    \ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}.3). \)

    Ключевые понятия

    • Цепное правило позволяет нам различать композиции из двух или более функций. В нем говорится, что для \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big), \)

    \ (h '(x) = f' \ big (g (x) \ big) \ cdot g '(x). \)

    В обозначениях Лейбница это правило принимает форму

    \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx} \).

    • Мы можем использовать правило цепочки с другими правилами, которые мы изучили, и мы можем вывести формулы для некоторых из них.{n − 1} \ cdot g '(x) \)

      Глоссарий

      линейка
      цепное правило определяет производную сложной функции как производную внешней функции, вычисленную с помощью внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.

      Авторы и авторство

      • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax лицензирован CC-BY-SA-NC 4.0 лицензия. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

      Цепное правило - проблема 1

      Напомним, что составная функция f (g (x)) - это функция, которая имеет другую функцию «внутри». Беря производную от такой функции, мы используем цепное правило. Цепное правило гласит, что вы сначала берете производную «внешней» функции, а затем умножаете ее на производную «внутренней функции». Итак, для функции h (x) = f (g (x)) ее производная будет h '(x) = f' (g (x)) * g '(x).

      Чтобы определить, какая функция является внутренней функцией, посмотрите, какая функция «содержится» в другой функции. Например, для экспоненциальных функций посмотрите на степень возведения е. Для логарифмических функций это будет то, что находится в скобках логарифма.

      Например, пусть h (x) = e -5x 2 -6 . Функция «снаружи» - e x , а функция «внутренняя» - -5x 2 -6. Сначала возьмем производную внешней функции.Помните, что производная от e x сама по себе, e x . Итак, первая часть нашей производной: e -5x 2 -6 . Затем найдите производную внутренней функции -5x 2 -6. Из правила мощности мы знаем, что его производная равна -10x. Умножая их, получаем h '(x) = - 10xe -5x 2 -6 .

      Давайте займемся задачей, связанной с цепным правилом.Напомним, что цепное правило - это метод дифференцирования составных функций. А чтобы подчеркнуть, что такое составная функция и как ее соединять, я закодировал внутреннюю и внешнюю части цветом.

      Помните, что составная функция похожа на помещение одной функции в другую. Итак, здесь внутренняя функция - это g (x), а внешняя функция - это f (x). Когда вы различаете эти вещи, вы в первую очередь различаете внешнюю функцию. Оставьте внутреннюю функцию в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

      Одна из вещей, которые вы должны сделать при решении проблемы, - это определить внешние и внутренние функции. Здесь меня просят дифференцировать h (x), равное e, на 2x³ минус 5. Давайте определим внутреннюю и внешнюю функции.

      У нас есть экспоненциальная функция; e к x, а затем 2x³ минус 5. Одна из них - внутренняя; одна из них - внешняя функция. Я думаю, что способ определения внутренней функции - это подумать о том, вычисляли ли вы значения для этой функции.Что бы вы сделали в первую очередь? Если у вас есть значение x, например, 2, вы сначала кубите его, умножаете на 2 и вычитаете 5. Итак, ясно, что это внутренняя часть функции.

      Вы можете просто сделать внутреннюю функцию x³. Но я думаю, вы хотите сделать все это равным 2x³ минус 5, потому что тогда внешняя функция будет просто e к x, что приятно и легко отличить. Я закодирую это цветом. Внешняя функция - это e для x, я поставлю здесь круглые скобки, или e для чего-то. И тогда внутренняя функция равна 2x³ минус 5.

      Теперь он имеет цветовую кодировку, и должно быть действительно ясно, как различать h (x). Итак, h '(x) будет производной внешней функции. Производная e от x - это просто e от x. Так что я напишу e для something, а внутреннюю функцию оставим в покое. 2x³ минус 5-кратная производная внутренней функции. Вот что означает эта часть. И производная внутренней функции является производной этой. Это будет 6x².

      Вот и все, цепное правило.Сначала дифференцируйте внешнюю функцию, оставьте внутреннюю в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

      3.3 Разграничение составов функций

      Исчисление одной действительной переменной Пхенг Ким Винг
      Глава 3: Правила дифференциации Раздел 3.3. Состав функций Правило цепочки

      3.3
      Разграничение составов функций
      Правило цепочки

      Вернуться к содержанию
      Перейти к проблемам и решениям

      1. Состав функций

      Рассмотрим пример.Пусть f ( x ) = x 2 и g ( x ) = 3 x + 1. Тогда f ( g ( x )) = ( г ( x )) 2 = (3 x + 1) 2 . Получили новый
      функция, значение которой при x равно (3 x + 1) 2 . Этот новый Функция получается путем комбинирования или составления функций f и g и
      таким образом, называется составом или составной функцией , f и g .Обозначается как f o g , произносится как f circle g или
      f круглый г . Следовательно, ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x )) = (3 x + 1) 2 .

      В обозначении f ( g ( x )), f - снаружи функция и г внутренний. Чтобы вычислить ( f o g ) ( x ) = (3 x + 1) 2 , сначала мы
      вычисляем 3 x + 1 = g ( x ), затем вычисляем (3 x + 1) 2 = f ( g ( x )) = ( f o г ) ( x ).Следовательно внутренняя функция г предшествует

      Рис.1.1

      Состав функций f и g .

      внешняя функция f в порядке вычисление ( f o g ) ( x ) или f ( g ( x )).См. Рис. 1.1. Имейте в виду, что здесь у нас есть
      с тремя различными функциями : f , g и f o g . Домен f o g - это набор всех x , так что f ( g, ( x )) существует или имеет смысл.
      Таким образом, это набор всех x в домене g , так что g ( x ) находится в домене из ф .

      Определение 1.1

      Пусть f и g будут functions и D - набор всех x в dom ( g ), так что g ( x ) находится в dom ( f ). потом состав или
      составная функция , из f и g - это функция из D до диапазона ( f ), который обозначается f o g , произносится f круг
      g или f круглый g , и это определяется по:

      ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x ))

      для всех x в D .Обратите внимание, что D = dom ( f o g ).

      Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

      Мы собирается установить в следующей теореме формулу для производной от состав ф o г дифференцируемый
      функции f и g с точки зрения производные f и g .Пусть u = g ( x ) и y = f ( u ) = f ( g ( x )) = ( f o g ) ( х ). См. Рис. 2.1.
      Напомним, что интерпретация производной как скорости изменения обсуждалась. в разделе 2.3 . Предположим, du / dx = 3 и

      Фиг.2,1

      y = f ( u ) = f ( g ( x )) = ( f o g ) ( x ).

      dy / du = 2. При изменении x u изменений в 3 раза быстрее, чем x , и y изменений в 2 раза так же быстро, как u , поэтому y изменений
      2 x 3 = в 6 раз быстрее, чем x .Мы только что наблюдали интуитивно понятно, что скорость изменения y относительно x равна
      скорость изменения y относительно u , умноженная на скорость изменения u относительно x : dy / dx = ( dy / du ) ( du / dx ).
      Это то же самое, что сказать, что производная f o g относительно x равна производной f относительно г ( x )
      умноженное на производную g относительно x : ( f o g ) '( x ) = f ' ( g ( x )) g '( х ).

      Теорема 2.1 Правило цепочки

      Если u = г ( x ) дифференцируема в точке x и y = f ( u ) дифференцируема в точке g ( x ), затем y = f ( g ( x )) =
      ( f o g ) ( x ) есть дифференцируемые при x и:

      ( f o g ) '( x ) = f ' ( g ( x )) g '( x ).

      В системе обозначений Лейбница:

      Проба

      Отсюда:

      EOP

      Примечание на Доказательство

      Замечание 2.1

      В системе обозначений Лейбница:

      du кажутся вычеркнуть из числителя и знаменателя двух дробей.Обозначения dy / dx , dy / du и
      du / dx отображаются как нормальные фракции. Это полезно для запоминания формулы.

      Формула ( f o g ) '( x ) = f ' ( g ( x )) g '( x ) может быть записана как ( f ) ( g ( x ))) '= f ' ( g ( x )) g '( x ).Теперь пусть u = u ( x ) = g ( x ). Тогда
      эту последнюю формулу можно как-то упростить следующим образом: форма, которую, возможно, легче запомнить:

      ( f ( u )) '= f ' ( u ) u '( x ),

      , где ( f ( u )) '= ( d / dx ) f ( u ) (производная от f ( u ) с отражением до x ), f '( u ) = ( d / du ) f ( u ) (производная от f ( u ) по отношению к
      u ) и u '( x ) = г ' ( x ).

      Пример 2.1

      Дифференцировать г ( x ) = (3 x + 4) 2 .

      Раствор


      г '( x ) = 2 (3 x + 4) (3) = 6 (3 х + 4).
      EOS

      Мы думаем о 3 x + 4 as u ( u = 3 x + 4) и f ( u ) как u 2 ( f ( u ) = u 2 ).Тогда g ( x ) = f ( u ) и поэтому g '( x ) = ( d / dx ) f ( u ) = ( f ( u )) '=
      f ' ( u ) u '( x ) = 2 u (3) = 6 (3 x + 4). Для этой конкретной простой функции g мы можем проверить: g ( x ) = (3 x + 4) 2 = 9 x 2 + 24 x + 16;
      таким образом, g '( x ) = 18 x + 24 = 6 (3 x + 4), то же, что и по цепному правилу.

      Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

      3. Власть Правило Разграничение целых степеней функций

      в секции 3.2 Следствие 4.1 имеем, что для любого целого числа n производная от x n is nx n 1 : ( d / dx ) x n 907 907 907 9060 = 1 .Это
      производная целых степеней переменных. Теперь мы расширим это до целочисленных степеней функций.

      Следствие 3.1 Правило степени для целых показателей

      Доказательство
      Пусть y = ( u ( x )) n .Использование цепного правила получаем:

      EOP

      Пример 3.1

      Дифференцировать г ( x ) = (3 x + 4) 2 .

      Раствор


      г '( x ) = 2 (3 x + 4) (3) = 6 (3 х + 4).
      EOS

      Это та же функция g , что и в Пример 2.1 , где мы использовали цепочку Правило прямо дифференцировать г .

      Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

      4. Власть Правило Разграничение рациональных полномочий функций

      Теперь мы расширяем правило мощности на рациональные степени функций.Напомним, что рациональное число - это число что может быть
      записывается как отношение или дробь м / n , где м - целое число и n положительное целое число.

      Следствие 4.1 Правило мощности для рациональных экспонент

      Доказательство
      Существует целое число м и положительное целое число n такое, что r = m / n .Использование правила мощности для целочисленных показателей ср
      есть:


      EOP

      Посмотрим в разделе 6.3 Ур. [4.1] , что ( d / dx ) x a = ax a 1 для любого реального номер а , откуда по цепному правилу получаем
      ( d / dx ) ( u ( x )) a = a ( u ( x )) a 1 ( du / dx ) для любого real номер а , рациональный или иррациональный.

      Пример 4,1

      Решение



      EOS

      Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

      5. Дифференциация квадратного корня функций

      Таким образом, для всех x > 0 или для всех x , где u ( x )> 0:

      Замечание, что первая формула также была получено в разделе 3.2 Следствие 2.1 .

      Пример 5,1

      Решение



      EOS

      Эта функция h ( t ) также была дифференцирован в Пример 4.1 с использованием правило власти. На самом деле для квадратного корня
      Функция правила извлечения квадратного корня, как показано здесь, проще, чем правило мощности.

      Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

      6.Применение правила цепочки больше, чем Один раз за один шаг

      Пример 6.1

      Решение 1

      EOS

      В приведенном выше решении мы применяем цепное правило дважды в два разных этапа: сначала, чтобы дифференцировать 10-й мощность, а затем
      дифференцировать 15-ю степень.Мы можем и лучше применить все экземпляры цепное правило за один шаг, так как
      показано в решении 2 ниже.

      Решение 2

      EOS

      Вернуться к началу Страница

      Проблемы И Решения

      1. Различают следующие функции. Вам не нужно упрощать ответы.

      Решение

      Вернуться к началу Страница

      2. Пусть y = f ( u ) = ( u 2 + 3 u 4) 3/2 и u = g ( x ) = x 3 3.Находить ( f o g ) '(2) по:
      a. Выражение y напрямую как функцию x и дифференцируя.
      б. Использование цепного правила.

      Решение

      Вернуться к началу Страница

      3. а. Покажите, что ( d / dx ) | x | = sgn x , где sgn - это функция signum , определяемая:

      г. Найдите f '( x ), если f ( x ) = | 2 + x 3 |.

      Решение

      г. f '( x ) = (sgn (2 + x 3 )) (3 x 2 ) = 3 x 2 sgn (2 + x 3 ).

      Вернуться к началу Страница

      4. Используйте формулы ( d / dx ) sin x = cos x , ( d / dx ) cos x = sin x и ( d / dx ) ln x = 1/ x .
      а. Найдите f '( x ), если f ( x ) = sin cos sin 3 x .
      б. Найдите v ', если v = cos 2 (5 4 y 3 ).
      г. Вычислить ( d / dt ) ln ( a ln ( bt + c )).

      Решение

      а. f '( x ) = (cos cos sin 3 x ) (sin sin 3 x ) (3 (sin 2 x ) (cos x )) = 3 sin 2 x cos x cos cos sin 3 x sin sin 3 x .

      г. v '= 2 (cos (5 4 y 3 )) ( sin (5 4 y 3 )) (12 y 2 ) = 24 y 2 cos (5 4 y 3 ) sin (5 4 y 3 ).

      Вернуться к началу Страница

      5. Пусть y = ( u + 1) / u . Предположим, что u = g ( x ) и g (3) = 2, где g - дифференцируемый функция, и предположим ( dy / dx ) | x = 3 = 5.
      Найдите g '(3).

      Решение

      У нас:

      или 5 = (1/2 2 ) г '(3) = (1/4) г ' (3).Таким образом, г '(3) = 20.

      Вернуться к началу Страница

      6. Пусть f ( x ) = ( x a ) м ( x b ) n , где a 90 b7607 и м и n являются положительные целые числа. Докажите, что существует c где a < c < b
      , так что производная от f обращается в ноль по адресу c .

      Решение

      У нас:

      Используя тот факт, что a < b , m > 0, и n > 0 получаем:

      a b <0 < b a ,
      m ( a b ) <0 < n ( b a ),
      ma ma
      <0 < nb na ,
      ma mb + na na <0 < nb na + mb mb ,
      a ( m + n ) ( mb + na ) < 0 < b ( m + n ) ( mb + na ),
      a ( m + n ) < mb + na < b 907 м + n ),

      завершает доказательство.

      Вернуться к началу Страница Вернуться к содержанию

      Исчисление I - правило цепочки

      Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

      Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

      Раздел 3-9: Правило цепочки

      В течение нескольких последних разделов мы использовали множество производных финансовых инструментов.4}} \ right) \ end {array} \]

      Ни одно из наших правил не будет работать с этими функциями, и все же некоторые из этих функций ближе к производным, с которыми мы можем столкнуться, чем функции в первом наборе.

      Возьмем, к примеру, первую. Вернувшись в раздел, посвященный определению производной, мы фактически использовали это определение для вычисления этой производной. {- \ frac {1} {2}}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt {5z - 8 }}} \]

      , которая не является производной, которую мы вычислили с использованием определения.Это близко, но это не то же самое. Таким образом, одно правило мощности просто не сработает, чтобы получить здесь производную.

      Давайте продолжим смотреть на эту функцию и заметим, что если мы определим,

      \ [f \ left (z \ right) = \ sqrt z \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} g \ left (z \ right) = 5z - 8 \]

      , то мы можем записать функцию как композицию.

      \ [R \ left (z \ right) = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (z \ right) = f \ left ({g \ left (z \ right)} \ right) = \ sqrt {5z - 8} \]

      , и оказывается, что на самом деле довольно просто дифференцировать композицию функций с помощью правила цепочки .Есть две формы цепного правила. Вот они.

      Правило цепочки

      Предположим, что у нас есть две функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), и обе они дифференцируемы.

      1. Если мы определим \ (F \ left (x \ right) = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \), то производная от \ (F \ left (x \ right )\) является, \ [F '\ left (x \ right) = f' \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \, \, \, g '\ left (x \ right) \]
      2. Если мы имеем \ (y = f \ left (u \ right) \) и \ (u = g \ left (x \ right) \), то производная от \ (y \) равна, \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{dy}} {{du}} \, \, \ frac {{du}} {{dx}} \]

      У каждой из этих форм есть свое применение, однако мы будем работать в основном с первой формой в этом классе.Чтобы увидеть доказательство правила цепочки, см. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительные сведения».

      Теперь давайте вернемся и применим правило цепочки к функции, которую мы использовали, когда открывали этот раздел. {{\ mbox {производная от}} \ atop {\ mbox {external function}}} \, \ , \, \ underbrace {\, \, \, \, \ left (5 \ right) \, \, \, \,} _ {{\ mbox {производная от}} \ atop {\ mbox {внутри функции}} } \]

      В общем, именно так мы думаем о цепном правиле.Мы идентифицируем «внутреннюю функцию» и «внешнюю функцию». Затем мы дифференцируем внешнюю функцию, оставляя только внутреннюю функцию, и умножаем все это на производную внутренней функции. В общем виде это

      \ [F '\ left (x \ right) = \ underbrace {\, \, \, \, \, f' \, \, \, \, \,} _ {{\ mbox {производная от}} \ наверху {\ mbox {вне функции}}} \, \, \, \, \ underbrace {\, \, \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \, \,} _ {{\ mbox {внутри функции}} \ atop {\ mbox {left alone}}} \, \, \, \, \, \ underbrace {\, \, \, g '\ left (x \ right) \, \, \, } _ {{\ mbox {производная по разам}} \ atop {\ mbox {внутренней функции}}} \]

      Мы всегда можем определить «внешнюю функцию» в приведенных ниже примерах, задав себе вопрос, как бы мы оценили эту функцию.Например, в случае \ (R \ left (z \ right) \), если бы мы спросили себя, что такое \ (R \ left (2 \ right) \), мы сначала оценили бы материал под радикалом, а затем, наконец, возьмем квадратный корень из этого результата. Квадратный корень - это последняя операция, которую мы выполняем при оценке, и это также внешняя функция. Внешняя функция всегда будет последней операцией, которую вы бы выполнили, если бы собирались оценить функцию.

      Давайте взглянем на несколько примеров правила цепочки.2} + 9}} \) Показать решение

      Идентифицировать внешнюю функцию в предыдущих двух было довольно просто, поскольку в некотором смысле это действительно была «внешняя» функция. В этом случае нужно быть немного осторожнее. Напомним, что внешняя функция - это последняя операция, которую мы выполняем при оценке. В этом случае, если бы мы оценили эту функцию, последняя операция была бы экспоненциальной. Следовательно, внешняя функция - это экспоненциальная функция, а внутренняя функция - ее показатель.4}}} \]

      Снова не забудьте оставить внутреннюю функцию в покое при дифференцировании внешней функции. Таким образом, дифференцируя логарифм, мы получаем не 1 / \ (x \), а 1 / (внутренняя функция).


      e \ (y = \ sec \ left ({1 - 5x} \ right) \) Показать решение

      В этом случае внешняя функция - секущая, а внутренняя - \ (1 - 5x \).

      \ [\ begin {align *} y '& = \ sec \ left ({1 - 5x} \ right) \ tan \ left ({1 - 5x} \ right) \ left ({- 5} \ right) \\ & = - 5 \ сек \ left ({1 - 5x} \ right) \ tan \ left ({1 - 5x} \ right) \ end {align *} \]

      В этом случае производная внешней функции равна \ (\ sec \ left (x \ right) \ tan \ left (x \ right) \).4}} \ right) \) Показать решение

      У этой проблемы есть два момента. Во-первых, есть два термина, и каждый требует отдельного применения цепного правила. Так будет часто, поэтому не ожидайте, что при решении этих задач будет применяться только одно цепочечное правило. 4} \]

      Итак, в первом члене внешняя функция - это показатель степени 4, а внутренняя функция - это косинус.{g \ left (x \ right)}} \]

      c Внешняя функция - это логарифм, а внутренняя - \ (g \ left (x \ right) \).

      \ [f '\ left (x \ right) = \ frac {1} {{g \ left (x \ right)}} g' \ left (x \ right) = \ frac {{g '\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \]

      Формулы в этом примере на самом деле являются просто частными случаями правила цепочки, но их полезно запомнить, чтобы быстро выполнить некоторые из этих производных.

      А теперь давайте не будем забывать и о других правилах, которые у нас есть для работы с деривативами.2}}} \) Показать решение

      Прежде всего отметим, что эта проблема - это, прежде всего, проблема правил продукта. Это произведение двух функций: арктангенса и корня, поэтому первое, что нам нужно сделать при взятии производной, - это использовать правило произведения. z}} \ right] \]

      В данном случае мы еще не сделали производную от внутренней части.2}}}} \ right] \ end {align *} \]

      Как и во второй части выше, мы изначально не дифференцировали внутреннюю функцию на первом шаге, чтобы было ясно, что с этого момента это будет правило частного.

      В последнем примере было несколько точек. Во-первых, не следует забывать, что у нас все еще есть другие правила для деривативов, которые иногда могут понадобиться. Тот факт, что у нас теперь есть правило цепочки, не означает, что правило продукта и частного больше не понадобится.

      Кроме того, как показано в последнем примере, порядок, в котором они выполняются, также будет меняться. Некоторые проблемы будут связаны с правилом продукта или правилом частного, которые связаны с цепным правилом. Однако другие проблемы потребуют сначала использования правила цепочки, а в процессе этого нам нужно будет использовать правило продукта и / или частного.

      В большинстве примеров в этом разделе не используются правила продукта или частного, чтобы сделать задачи немного короче.{- 9z}}} \ right) \]

      Обратите внимание, что мы еще не сделали производную внутренней функции. Это сделано для того, чтобы мы могли заметить, что когда мы действительно дифференцируем второй член, нам снова потребуется правило цепочки. Также обратите внимание, что нам понадобится только цепное правило для экспоненты, а не для первого члена. Во многих функциях мы будем использовать правило цепочки более одного раза, поэтому не волнуйтесь, когда это произойдет.

      Давайте продолжим и закончим этот пример.{1 - t}} + 3 \ sin \ left ({6t} \ right)} \ right) \ end {align *} \]

      Для выполнения этой задачи требовалось в общей сложности 4 правила цепочки.

      Иногда это может быть довольно неприятно и требует многократного применения правила цепочки. Вначале в этих случаях обычно лучше быть осторожным, как мы это делали в предыдущем наборе примеров, и выписывать пару дополнительных шагов, а не пытаться сделать все за один шаг в уме. Как только вы научитесь лучше разбираться в цепном правиле, вы обнаружите, что можете довольно быстро делать это в уме.x} \ ln \ left (a \ right) \]

      Итак, неплохо, если вы видите трюк с переписыванием \ (a \) с использованием правила цепочки.

      Математическая сцена - Производные, урок 5

      Математическая сцена - Производные, урок 5 - Цепное правило

      2009 Rasmus ehf & Jhann sak

      Деривативы

      Урок 5

      Цепное правило


      Пример 1

      Дифференцировать f (x) = (x 3 +1) 2 .

      Только так у нас есть пока это делается путем умножения скобок, а затем дифференцируя. Если мы это сделаем, то получим

      f (x) = x 6 + 2x 3 +1 и, следовательно, f (x) = 6x 5 + 6x 2 .

      Это не проблема с простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если, например, у нас есть f (x) = (x 3 +1) 6 ?
      В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы перемножить скобки перед дифференцируя.

      Чтобы различать такие составные функции, мы используем так называемое правило цепочки. Сделаем пример 1 еще раз, чтобы увидеть, как это работает.

      f (x) является примером составная функция, как было введено в функциях 2.
      Его можно записать как f (u) = u 2 , где u = x 3 +1, u равно функция от x, то есть u (x) = x 3 +1.

      Цепное правило гласит, что мы сначала дифференцируйте f (u), рассматривая u как переменную, и получите f (u) = 2u (так же, как (x 2 ) = 2x)
      Далее дифференцируем u и получаем и (х) = 3х 2 .Наконец, мы умножаем два результата вместе и получаем
      f (x) = 2u3x 2 . Возвращая значение u, получаем f (x) = 2 (x 3 +1) 3x 2 = 6x 5 + 6x 2

      Это дает нам правило называется цепным правилом, которое гласит, что

      (f (u (x)) = f (u (x)) u (x)

      Мы только указали здесь правило, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.

      Пример 2

      Дифференцируйте композицию функция f (x) = sin 2 x.

      Обозначение грех 2 х это другой способ записи (sin x) 2 так что квадрат является внешней функцией, а sin x - внутренней функцией. Начать мы разделим это на две части, но с практикой это не будет нужно.

      f (x) = (грех х) 2 можно записать как f (u) = u 2 где u = sin x.

      f (u) = 2u и u = cos x, так что умножая вместе получаем

      f (x) = 2ucos x = 2 sin x cos x

      Цепное правило гласит, что дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножьте на производную внутренней функции.

      Пример 2 +

      Продифференцируем f (x) = sin x 2 . Это можно записать как f (u) = sin u, где u = х 2

      Итак, в этом случае синус - это внешняя функция, а квадрат внутренний функция

      ф (х) = cos x 2 2x

      Пример 3

      Мы можем использовать правила cos x = sin (/ 2 x) и sin x = cos (/ 2 x), чтобы найти производную cos x.

      cos x = f (x) = sin (/ 2 x)

      Производная синуса, внешняя функция - cos и производная от (/ 2 x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем

      ф (х) = cos (/ 2 x) (1)

      = грех х (1)

      = грех х

      Пример 4

      Найдите производную f (x) = sin 2 x 2 .

      Это можно записать как f (x) = (грех x 2 ) 2 так что у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция - квадратичная, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.

      Мы можем написать f = u 2 , где u = sinv и v = х 2 . Различение каждой функции и умножение дает 2 u cos v 2x, и, возвращая значения u и v, получаем результат:

      f (x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x

      Первая дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений.Затем мы дифференцируем синусоидальную функцию, чтобы получить cos и оставить x 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получите 2x.

      Пример 5

      a) f (x) = e 2x
      f (x) = e 2x 2

      Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее. производная 2x равна 2.

      Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная x 2 + 1 равна 2x.

      c) f (x) = e sin x
      f (x) = e sin x cos x

      Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная sin x равна cos x.

      Теперь мы хотим найти правило для дифференциации f (x) = ln x.

      Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает различение обеих сторон уравнение.

      Если f (x) = ln x, то e f (x) = х. Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее:

      e f (x) = х

      e f (x) f (x) = 1 Использование правила цепочки.

      Решая для f (x), получаем

      f (x) = 1 / e f (x)

      = 1 / х Помните, что x = e f (x) .

      Теперь мы можем найти производную от других логарифмические функции.

      Найдите производную от f (x) = log x.

      Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и отношения между бревнами с разными основаниями. Этот Правило, которое нам нужно:

      Таким образом мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм ln x.

      Логарифм ln 10 - константа, не влияющая на производная, остальное несложно.

      Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем резюмировать следующие три правила:

      Пример 6

      Продифференцируем f (x) = ln (x 2 + 1).

      Пример 7

      Продифференцируем f (x) = xln х х + 5.

      f (x) = 1lnx + x1 / x 1 = ln x

      Обобщение производных


      Производная:

      к = 0 к = постоянная Икс = 1

      (x n ) = nx n1 n может быть любым действительным числом.

      (e x ) = e x

      ( x ) = x дюймов

      (грех х) = cos x

      (соз х) = грех х

      Правила:

      (УФ) = УФ + УФ

      (е (г (х)) = е (г (х)) г (х)


      Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 5 по производным.

      шт. Запомните свой контрольный список.

      Правила исчисления - многомерные

      Правила исчисления - многомерные

      Добавленные переменные, те же методы

      В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается.Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.

      Во-первых, чтобы определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные.Обычно z является зависимой переменной (например, y в одномерных функциях), а x и y - независимые переменные (например, x в одномерных функциях):

      Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:

      Дифференциация этой функции по-прежнему означает одно и то же - мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.

      Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.

      Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.

      А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно к стороне x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении мы определяем как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.

      Формально это определение: частная производная z по to x - это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:

      Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет

      Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.Перед мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.

      Основные правила частичной дифференциации

      Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференцирования. дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое у него есть, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:

      Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,

      Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.

      Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:

      Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.

      Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:

      Снова обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», так как x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.

      Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:

      Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем "гора" или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2 разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать обратно к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.

      Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:

      Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:

      Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:

      Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:

      Не очень простые правила частичной дифференциации

      Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.

      Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.

      Когда многомерная функция принимает следующий вид:

      Тогда правило взятия производной:

      Используйте правило мощности для следующей функции, чтобы найти две частные производные:

      Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:

      Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:

      Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составных функций? По мере усложнения проблем переименование частей составной функции - лучший способ отслеживать все составляющие проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.

      Последний шаг такой же, замените u на функцию g:

      Особые случаи в функциях многих переменных

      Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.

      Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:

      Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

      Сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:

      Правило взятия частичных из экспоненциальных функций можно записать как:

      Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

      В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:

      Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные

      История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.

      Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:

      Существуют 2 прямые частные производные второго порядка, обозначенные значком следующие примеры обозначений:

      Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.

      Теперь история немного усложняется. Крестовина, f xy и f yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным. В пространственном отношении представьте, что крестовина является мерой того, как наклон (изменение in z относительно x) изменяется при изменении переменной y. Следующие примеры обозначений для кросс-партиалов:

      Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где кросс-частичные непрерывны, они будут идентичны.Для следующей функции:

      Возьмите первую и вторую частные производные.

      Теперь, начиная с первых частных производных, найдите перекрестные частные производные:

      Обратите внимание, что кросс-партиалы действительно идентичны, что будет очень пригодится нам в будущих разделах оптимизации.

      [индекс]


      Определение и свойства производной

      Функции: \ (f \), \ (g \), \ (y \), \ (u \), \ (v \)
      Аргумент (независимая переменная): \ (x \)

      Действительная постоянная: \ (k \)
      Угол: \ (\ alpha \)

      1. Производная функции \ (y = f \ left (x \ right) \) измеряет скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \).Предположим, что в некоторой точке \ (x \ in \ mathbb {R} \) аргумент непрерывной вещественной функции \ (y = f \ left (x \ right) \) имеет приращение \ (\ Delta x \). Тогда приращение функции равно
        \ (\ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) \, - \) \ (f \ left (x \ right). \)
        производная функции \ (y = f \ left (x \ right) \) в точке \ (x \) определяется как предел отношения \ (\ Delta y / \ Delta x \) как \ (\ Delta x \ to 0: \)
        \ (y '= f' \ left (x \ right) = {\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize} = \) \ ({\ large \ frac {{df \ left (x \ right)}} {{dx}} \ normalsize} = \) \ (\ lim \ limits_ {x \ to 0} {\ large \ frac {{\ Delta y}} {{ \ Delta x}} \ normalsize} = \) \ (\ lim \ limits_ {x \ to 0} {\ large \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) - f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \ normalsize}.\)
      2. С геометрической точки зрения производная функции \ (y = f \ left (x \ right) \) в точке \ (x \) равна наклону касательной к кривой \ (f \ left (x \ right) \), проведенный через эту точку:
        \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize} = \ tan \ alpha \)
      3. Производная суммы двух функций равна сумме их производных:
        \ ({\ large \ frac {{d \ left ({u + v} \ right)}} {{dx}} \ normalsize} = {\ large \ frac {{du}} {{dx}} \ normalsize} + {\ large \ frac {{dv}} {{dx}} \ normalsize} \)
      4. Производная разности двух функций равна разности их производных:
        \ ({\ large \ frac {{d \ left ({u - v} \ right)}} {{dx}} \ normalsize} = {\ large \ frac {{du}} {{dx}} \ normalsize} - {\ large \ frac {{dv}} {{dx}} \ normalsize} \)
      5. Постоянный множитель может быть взят из производной:
        \ ({\ large \ frac {{d \ left ({ku} \ right)}} {{dx}} \ normalsize} = k {\ large \ frac { {du}} {{dx}} \ normalsize} \)
      6. Производная произведения двух функций
        \ ({\ large \ frac {{d \ left ({u \ cdot v} \ right)}} {{dx}} \ normalsize} = \) \ ({\ large \ frac {{du}} {{dx}} \ normalsize} \ cdot v + u \ cdot {\ large \ frac {{dv}} {{dx}} \ normalsize} \)
      7. Производная частного двух функций
        \ ({\ large \ frac {d} {{dx}} \ normalsize} \ left ({{\ large \ frac {u} {v}} \ normalsize} \ right) = \) \ ({\ large \ frac {{\ frac {{du}} {{dx}} \ cdot v - u \ cdot \ frac {{dv}} {{dx}}}}} {{{v ^ 2) }}} \ normalsize} \)
      8. Производная сложной функции (цепное правило)
        \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right), \) \ (u = g \ left (x \ right), \) \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize} = {\ large \ frac {{dy}} {{du}} \ normalsize} \ cdot {\ large \ frac {{du}) } {{dx}} \ normalsize} \)
      9. Производная обратной функции
        \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {{dx / dy}} \ normalsize}, \)
        где \ (x \ left (y \ right) \) - функция, обратная к \ (y \ left (x \ right).

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *