Предел 1 0: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред? : Чулан (М)
- Комментариев к записи Предел 1 0: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред? : Чулан (М) нет
- Разное
Что такое предел функции как его найти
При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.
А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.
Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.
Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.
Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть .
Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:
Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.
Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется “доопределить функцию”, с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы “Предел”). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:
С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину – последовательность сумм их диаметров:
Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника.
Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.
Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.
Предел функции при
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :
(1)
сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
(2)
и можно ставить вопрос о существовании её предела.
Пример 1. Найти предел функции при .
Решение.
Подставляем вместо x значение 0. Получаем:
.
Итак, предел данной функции при равен 1.
Предел функции при , при и при
Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: .
Определение 3. Число A называется пределом функции f(x)
при (),
если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы
которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: ().
Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.
Пример 2. Найти предел функции при .
Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:
.
Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.
(3)
2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
(4)
3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.
(5)
Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.
Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Пример 3. Найти предел:
Решение.
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 4. Найти предел:
Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:
Таким образом, формула (5) применима и, значит,
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Теорема 3 (о пределе сложной функции).
Если существует конечный предел
а функция f(u) непрерывна в точ
ке , то
Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.
Пример 5. Найти предел:
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как
Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим
где
корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда).
При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида – самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Освоим эти приёмы на примерах.
Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Неопределённость вида
Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или “супермалому числу”.
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем “икс” под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо “икса”.
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Неопределённость вида
Пример 14.
Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе – разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
.
В знаменателе – квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и
сократим на x +1.
Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Продолжение темы “Предел”
Поделиться с друзьями
| 1 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata – d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 5 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata – d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata – d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x относительно x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 относительно x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x относительно x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 16 | Trovare la Derivata – d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata – d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 относительно x | |
| 20 | Trovare la Derivata – d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata – d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 25 | Trovare la Derivata – d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata – d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x относительно x | |
| 30 | Trovare la Derivata – d/dx | ( натуральный логарифм x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata – d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) относительно x | |
| 34 | Trovare la Derivata – d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata – d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata – d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata – d/dx | y=16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata – d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) относительно x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) относительно x | |
| 42 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/( квадратный корень x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) относительно x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata – d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata – d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 относительно x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 относительно x | |
| 51 | Trovare la Derivata – d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata – d/dx | x натуральный логарифм x | |
| 53 | Trovare la Derivata – d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata – d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata – d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) относительно x | |
| 59 | Trovare la Derivata – d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x относительно x | |
| 61 | Trovare la Derivata – d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata – d/dx | квадратный корень x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) относительно x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata – d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata – d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) относительно x | |
| 69 | Trovare la Derivata – d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 72 | Trovare la Derivata – d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata – d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata – d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata – d/[email protected] | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata – d/dx | кубический корень x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) относительно x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) относительно x | |
| 82 | Trovare la Derivata – d/[email protected] | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata – d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata – d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata – d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 относительно x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x относительно x | |
| 92 | Trovare la Derivata – d/dx | 16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata – d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x | |
| 96 | Trovare la Derivata – d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) относительно x | |
| 98 | Trovare la Derivata – d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм x^2 |
Преобразователь давления ПДТВХ-1-02; верхний предел 1,0 МПа; выходной сигнал 4-20 мА; погрешность 0,25 %
Описание
Как правильно подобрать и купить преобразователь давления?
Работа любой автоматизированной системы контроля и управления, а также систем автоматического учета энергоресурсов основывается на полученной информации об измеряемых параметрах — температуре, давлении и других необходимых сведениях.
Информацию получают с помощью специальных датчиков, преобразующие полученные данные в сигналы, которые могут обрабатываться и учитываться устройствами сбора и передачи данных, входящими в систему. Для съема показаний о состоянии давления в системе и преобразования их в аналоговый сигнал применяются специальные датчики преобразователи давления. Устройства подходят для измерения давления в различных жидкостях и газообразных средах.
К основным сферам, где используются датчики ПДТВХ, относятся:
- системы учета водо- и теплоснабжения;
- оборудование систем автоматического учета;
- управляющие системы.
Датчик-преобразователь давления «Пульсар»
Датчики «Пульсар», используемые в системах тепло- и водоснабжения, автоматизированных системах учета, разработаны и производятся компанией НПП «Тепловодохран». Датчик преобразователь давления — измерительный прибор, позволяющий не только контролировать уровень давления, но и преобразовывать получаемые данные в сигнал, который затем передается в другие устройства системы для дальнейшей обработки.
Конструктивное исполнение датчика ПДТВХ представляет собой металлический цилиндр, оснащенный специальным присоединительным разъемом. В зависимости от сферы применения, выпускаются различные модификации датчиков с несколькими присоединительными размерами и различными пределами измерений.
Преимущества датчиков ПДТВХ «Пульсар»:
- неограниченная гарантия производителя, говорящая о высокой надежности и качестве преобразователей избыточного давления;
- обязательная техническая проверка прибора один раз в 4 года;
- высокая степень защиты датчиков, в том числе от гидроударов, пыли, влаги, механических повреждений.
- минимальная погрешность проводимых измерений.
| Измеряемая среда | газ, жидкость, пар |
| Верхние пределы измерений, МПа | 0,1; 0,25; 0,4; 0,6; 1,0; 1,6; 2,5; 4,0; 6,0; 10,0; 16,0; 25,0; 40,0; 60,0 |
| Пределы допускаемой основной погрешности, % | 0,25; 0,5 |
| Диапазон температур измеряемой среды, 0С | от минус 45 до плюс 125 (при превышении этой температуры следует использовать радиатор) |
| Диапазон изменения выходного сигнала | |
| постоянного тока, мА | 4. .20 |
| постоянного напряжения, В | 0..5; 0..10 |
| Электрическое питание преобразователей, В постоянного тока | 9…36 |
| Температура окружающей среды, 0С | от минус 40 до плюс 80 |
| Степень защиты | IP65, IP68 |
| Масса, г, не более | 200 |
| Габаритные размеры датчика давления | |
| диаметр, мм, не более, | 38 |
| длина, мм, не более | 150 |
| Подсоединение проводов | разъем по DIN 43650C, разъем PC4, специальный разъем для крепления металлорукава |
| Межповерочный интервал преобразователя давления | 4 года |
| Маркировка по взрывозащите | 0ExiallCT5 |
| Присоединение к системе | М20х1,5 |
Мановакуумметр общетехнический d=100мм МВП3-У, Предел измерения -1-0; -1+0,6; -1+1,5; -1+3; -1+5; -1+9; -1+15; -1+24
Цена: 420.
00 р.
Мановакуумметр общетехнический d=100мм МВП3-УМ, Предел измерения -1-0; -1+0,6; -1+1,5; -1+3; -1+5; -1+9; -1+15; -1+24
Назначение:
Мановакуумметр предназначен для измерения избыточного давления неагрессивных по отношению к сталям и медным сплавам некристаллизующихся жидкостей, паров, газов, в том числе ацетилена и хладонов.
Технические данные
Марка прибора – МВП3-УМ
Диаметр корпуса, мм – 100
Класс точности – 1,5 (1,0 на пределы 4-600 кгс/см2)
Степень защиты – IP 40
Виброзащищенность – Группа L3 по ГОСТ 12997-84
Резьба присоединительного штуцера – М20?1,5 или G1/2
Средний срок службы, лет – 10
Масса не более, кг – 0,5
Материал корпуса – Сталь
Стекло – Техническое
Штуцер, трубчатая пружина – Бронза, латунь
Трибко-секторный механизм – Бронза, латунь
Температура окружающей среды, °С – -50°С+60°С
Устойчивость к климатическим воздействиям – У2 по ГОСТ 15150-69
Стандартное исполнение – Радиальный штуцер без фланца
Циферблат – Алюминиевый сплав, окрашенный в белый цвет
Рабочие диапазоны:
постоянная нагрузка – 3/4 шкалы
переменная нагрузка – 2/3 шкалы
кратковременная нагрузка – 110% шкалы
Варианты исполнения:
- радиальный штуцер с фланцем
- осевой штуцер без фланца
- осевой штуцер с передним фланцем
- демпфер
ГОСТ 2405-88
ТУ ТУ 4212-002-68387217-2012
Сертификат об утверждении типа средств измерений RU.
C.30.004.A №46626
Стандартный ряд давлений
Обозначение Диапазон показаний, (кгс/см2)
МПВ3-УМ -1+0,6; -1+1.5; -1+3; -1+5; -1+9; -1+15; -1+24
Первый и второй замечательный предел
Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.
Формула первого замечательного пределаСледствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы.
Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.
Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)
Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7
Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал.
Также, если есть обратный вид функции – это также первый замечательный предел. А все потому, что замечательный предел равен единице
Это же правило касается и следствий 1 замечательного предела.
2
Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу
При этом предел преобразится к понятному виду
Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.
Пример 4. Найти предел
Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y
Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.
Пример 5. Вычислить предел
Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле
После этого получим нужную неопределенность 0/0.
Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса
Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.
Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти.
В вычислениях Вам понадобятся пределы – следствия второго замечательного предела:
1. 2. 3. 4.
Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени
Начнем для ознакомления с простых примеров.
Пример 6. Найти предел функции
Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках
Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути – вывода 2 формулы следствия предела.
(x-2)
Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо “икс” подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции
Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу
Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой “погоды” не вносят – об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели – “Почему не превращаете показатель?” (Для этого примера в x-3), то скажите что “Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!”.
Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.
Пример 9. Найти предел
Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую.
Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела
Пример 10. Найти предел функции
Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель
Далее показатель запишем как степень в степени
В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.
Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования
Далее без труда предел примет значение
Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел.
Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.
Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам – сможем помочь и Вам!
примеры нахождения, задачи и подробные решения
Первый замечательный предел выглядит следующим образом: limx→0sin xx=1.
В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: limx→0sink·xk·x=1, где k – некоторый коэффициент.
Поясним: limx→0sin(k·x)k·x=пусть t=k·xиз x→0 следует t→0 =limt→0sin(t)t=1.
Следствия первого замечательного предела:
- limx→0xsin x=limx→0=1sin xx=11=1
- limx→0k·xsin k·x=limx→01sin (k·x)k·x=11=1
Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.
Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.
Пример 1Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: limx→0sin(3x)2x.
Решение
Подставим значение:
limx→0sin(3x)2x=00
Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3x и получим:
limx→0sin(3x)2x=00=limx→03x·sin(3x)3x·(2x)=limx→0sin (3x)3x·3x2x==limx→032·sin (3x)3x
Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: limx→0sin (3x)3x=1.
Тогда приходим к результату:
limx→032·sin (3x)3x=32·1=32
Ответ: limx→0sin (3x)3x=32.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание Пример 2Необходимо найти предел limx→01-cos(2x)3×2.
Решение
Подставим значения и получим:
limx→01-cos(2x)3×2=1-cos (2·0)3·02=1-10=00
Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:
limx→01-cos(2x)3×2=00=limx→02sin2(x)3×2
Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:
limx→02sin2(x)3×2=limx→023·sin xx·sin xx=23·1·1=23
Ответ: limx→01-cos (2x)3×2=23.
Пример 3Необходимо произвести вычисление предела limx→0arcsin(4x)3x.
Решение
Подставим значение:
limx→0arcsin(4x)3x=arcsin(4·0)3·0=00
Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:
пусть
arcsin (4x)=t⇒sin (arcsin(4x))=sin (t)4x=sin (t)⇒x=14sin (t)limx→0(arcsin(4x))=arcsin(4·0)=0, значит t→0 при x→0.
В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:
limx→0arcsin(4x)3x=00=limt→0t3·14sin(t)==limt→043·tsin t=43·1=43
Ответ: limx→0arcsin(4x)3x=43.
Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
неопределенных форм – я узнал, что 1/0 – это бесконечность, почему не минус бесконечность?
Поскольку у вас возникла эта путаница, я думаю, что полезно рассмотреть концепции нуля, бесконечности и «неопределенности».
В самом общем смысле деление противоположно умножению. Таким образом, тот факт, что 2 x 3 = 6, означает, что 6/3 = 2.
1 x 0 = 0. Применяя вышеуказанную логику, 0/0 = 1. Однако 2 x 0 = 0, поэтому 0/0 также должно быть 2. Фактически, похоже, что 0/0 может быть любым числом! Очевидно, что в этом нет никакого смысла – мы говорим, что 0/0 – это «undefined», потому что на самом деле ответа нет.
Точно так же 1/0 на самом деле не бесконечность. Бесконечность на самом деле не число, это скорее концепция. Если вы подумаете о том, как в школах часто описывается разделение, например, количество сладостей, распределяемых между несколькими людьми, вы увидите путаницу. Если я обойду нескольких людей, давая им по 0 конфет, сколько людей мне нужно будет обойти, пока я не раздам свою 1 конфету? Бесконечное число? Отчасти потому, что я могу продолжать бесконечно. Тем не менее, я никогда не отдавал этот сладкий .Вот почему люди говорят, что 1/0 «стремится к» бесконечности – мы не можем использовать бесконечность как число, мы можем только представить, к чему мы приближаемся, когда мы движемся в направлении бесконечности. Однако в этом случае количество сладостей, которые у меня есть, никогда не меняется, так что я никуда не приближаюсь. Даже эта логика не работает.
Короче говоря, 1/0 не имеет смысла для вычисления. Когда мы действительно используем понятие бесконечности, мы склонны использовать положительную бесконечность там, где это не имеет значения чисто по соглашению.Однако, если вы думаете об этом слишком сильно, вы начинаете вникать в философию и тому подобное, например, “что на самом деле есть бесконечность?” и “подождите, что такое номер “?
Люди говорят о разных способах использования чисел, поэтому на самом деле они не считаются. Например, в тривиальном кольце есть только одно число, которое работает как 0 (добавьте его ко всему, и вы получите это) и 1 (умножьте его на что угодно, и вы снова получите то же самое) и имеет смысл, потому что вы можете только добавить его или умножить на себя, чтобы получить себя.На самом деле это довольно скучно, но в этом случае это одно число – назовем его x – равно 0 и 1, поэтому 1/0 = x / x = x, потому что все, что равно x. Как видите, это немного обман, потому что у нас даже недостаточно чисел, чтобы иметь представление о 1/0 в том смысле, в котором вы его думаете.
Calculus – Нормально ли предел функции -1/0?
исчисление – Предел функции -1/0 в порядке? – Обмен стеками математикиСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange- 0
- +0
- Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 8к раз
$ \ begingroup $Быстрый вопрос, определяю лимит этой функции:
$$ \ lim_ {x → 1} \ frac {x ^ 2 – 2x} {x ^ 2 -2x +1} $$
Когда я делю числитель и знаменатель на $ x ^ 2 $ и подставляю $ 1 $, я получаю $ -1 / 0 $. + \; $ (что означает: приближается к нулю с положительной стороны), поэтому ваш предел – отрицательная бесконечность.
Кто-то может определить это как «предел не существует», но я думаю, что правильнее сказать «предел не существует бесконечно» и / или «предел существует в широком смысле слова», » функция расходится к $ \; – \ infty \; $ “или чему-то подобному.
Создан 04 мар.
ДонАнтониоДонАнтонио202k1717 золотых знаков115115 серебряных знаков266266 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $Нет ничего незаконного в форме. 2-2x + 1} _ {\ to 0 +}} = \ color {red} { – \ infty} $$
Создан 04 марта ’16 в 15: 592016-03-04 15:59
3САТ 3САТ7,38222 золотых знака2121 серебряный знак4040 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScriptВаша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
Исчисление I – Определение предела
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметкиПохоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2-10: Определение предела
В этом разделе мы собираемся взглянуть на точное математическое определение трех видов ограничений, которые мы рассмотрели в этой главе.Мы рассмотрим точное определение пределов в конечных точках с конечными значениями, пределов бесконечности и пределов бесконечности. Мы также дадим точное математическое определение непрерывности.
Давайте начнем этот раздел с определения предела в конечной точке, которая имеет конечное значение.
Определение 1
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \), за исключением, возможно, точки \ (x = a \). Затем мы говорим, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L \], если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что
\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо |Вау.Это полный рот. Теперь, когда это записано, что это значит?
Давайте взглянем на следующий график и предположим, что предел действительно существует.
Определение говорит нам, что для любого числа \ (\ varepsilon> 0 \), которое мы выберем, мы можем перейти к нашему графику и нарисовать две горизонтальные линии в точках \ (L + \ varepsilon \) и \ (L – \ varepsilon \), как показано на графике выше. Тогда где-то там в мире есть другое число \ (\ delta> 0 \), которое нам нужно будет определить, что позволит нам добавить две вертикальные линии к нашему графику в \ (a + \ delta \) и \ (а – \ дельта \).
Если мы возьмем любой \ (x \) в розовой области, , т.е. между \ (a + \ delta \) и \ (a – \ delta \), то это \ (x \) будет ближе к \ ( a \), чем любое из \ (a + \ delta \) и \ (a – \ delta \). Или
\ [\ left | {x – a} \ right |Если мы теперь определим точку на графике, которую дает наш выбор \ (x \), то эта точка на графике будет лежать на пересечении розовой и желтой областей. Это означает, что это значение функции \ (f \ left (x \ right) \) будет ближе к \ (L \), чем любое из \ (L + \ varepsilon \) и \ (L – \ varepsilon \).Или
\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо |Если мы возьмем любое значение \ (x \) в розовой области, то график для этих значений \ (x \) будет лежать в желтой области.
Обратите внимание, что на самом деле существует бесконечное количество возможных \ (\ delta \), которые мы можем выбрать. Фактически, если мы вернемся и посмотрим на график выше, похоже, что мы могли бы взять немного больший \ (\ delta \) и все же получить график из этой розовой области, чтобы он полностью содержался в желтой области.
Также обратите внимание, что, как указано в определении, нам нужно только убедиться, что функция определена в некотором интервале около \ (x = a \), но нам все равно, определена ли она в \ (x = a \ ). Помните, что ограничения не заботятся о том, что происходит в данной точке, их волнует только то, что происходит вокруг рассматриваемой точки. 2}} \ right |
Проверка – это практически та же работа, которую мы проделали, чтобы получить наше предположение.2} = 0 \]
Это может быть немного сложно в первые пару раз. Особенно, когда кажется, что нам нужно проделать работу дважды. В предыдущем примере мы сделали некоторые упрощения в левом неравенстве, чтобы получить наше предположение для \ (\ delta \), а затем, казалось бы, проделали точно такую же работу, чтобы затем доказать, что наше предположение было правильным. Часто это работает так, хотя мы вскоре увидим пример, когда все работает не так хорошо.
Итак, сказав это, давайте взглянем на немного более сложный предел, хотя он все равно будет в значительной степени похож на первый пример.
Пример 2 Используйте определение предела, чтобы доказать следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} 5x – 4 = 6 \] Показать решениеМы начнем с этого так же, как и с первым. Однако мы не будем приводить столько же объяснений.
Давайте начнем с того, что пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, тогда нам нужно найти число \ (\ delta> 0 \), чтобы следующее было верным.
\ [\ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right |Мы начнем с упрощения левого неравенства, чтобы попытаться угадать \ (\ delta \). Это дает
\ [\ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right | = \ left | {5x – 10} \ right | = 5 \ осталось | {x – 2} \ right |Итак, как и в первом примере, похоже, что если мы сделаем достаточное упрощение в левом неравенстве, мы получим что-то, что очень похоже на правое неравенство, и это заставляет нас выбрать \ (\ delta = \ frac {\ varepsilon} { 5} \).
Давайте теперь проверим это предположение. Итак, снова позвольте \ (\ varepsilon> 0 \) быть любым числом, а затем выберите \ (\ delta = \ frac {\ varepsilon} {5} \). Затем предположим, что \ (0 <\ left | {x - 2} \ right | <\ delta = \ frac {\ varepsilon} {5} \), и мы получим следующее:
\ [\ begin {align *} \ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right | & = \ left | {5x – 10} \ right | & & \ hspace {0.25in} {\ mbox {немного упростим}} \\ & = 5 \ left | {x – 2} \ right | & & \ hspace {0.225in} {\ mbox {подробнее}} …. \\ &Итак, мы показали, что
\ [\ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right |, поэтому по нашему определению
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} 5x – 4 = 6 \]Хорошо, и снова процесс, кажется, предполагает, что мы должны по существу повторить всю нашу работу дважды, один раз, чтобы сделать предположение для \ (\ delta \), а затем в другой раз, чтобы подтвердить нашу догадку. Приведем пример, который не так хорош.2} + x – 11} \ right) – 9} \ right | <\ varepsilon \) эквивалентно \ (\ left | {x + 5} \ right | \ left | {x - 4} \ right | <\ varepsilon \). Однако, в отличие от двух предыдущих примеров, здесь есть дополнительный член, который не отображается в правильном неравенстве выше. Если у нас есть хоть какая-то надежда продолжить здесь, нам нужно будет найти способ справиться с \ (\ left | {x + 5} \ right | \).
Для этого отметим, что если по какой-то случайности мы сможем показать, что \ (\ left | {x + 5} \ right | Если теперь предположить, что мы действительно хотим показать \ (K \ left | {x – 4} \ right | <\ varepsilon \) вместо \ (\ left | {x + 5} \ right | \ left | {x - 4} \ right | <\ varepsilon \) получаем следующее: Это начинает казаться знакомым, не так ли? Однако вся эта работа основана на предположении, что мы можем показать, что \ (\ left | {x + 5} \ right | Давайте сначала вспомним, что мы работаем над пределом здесь, и давайте также помнить, что ограничения действительно связаны только с тем, что происходит вокруг рассматриваемой точки, в данном случае \ (x = 4 \). Таким образом, можно с уверенностью предположить, что чем бы ни было \ (x \), оно должно быть близко к \ (x = 4 \). Это означает, что мы можем с уверенностью предположить, что чем бы ни было \ (x \), оно находится на расстоянии, скажем, одного из \ (x = 4 \). Или, используя неравенство, можно считать, что Почему выбирают 1 здесь? Нет никакой другой причины, кроме того, что это хорошее число для работы.Мы могли просто выбрать 2, 5 или \ ({\ textstyle {1 \ over 3}} \). Единственное различие, которое будет иметь наш выбор, – это фактическое значение \ (K \), которое мы получим. Возможно, вы захотите пройти этот процесс с другим выбором \ (K \) и посмотреть, сможете ли вы это сделать. Итак, давайте начнем с \ (\ left | {x – 4} \ right | <1 \) и избавимся от столбцов абсолютных значений, и это решит результирующее неравенство для \ (x \) следующим образом: Если мы теперь добавим 5 ко всем частям этого неравенства, мы получим Теперь, поскольку \ (x + 5> 8> 0 \) (здесь важна положительная часть), мы можем сказать, что при условии \ (\ left | {x – 4} \ right | <1 \) мы знайте, что \ (x + 5 = \ left | {x + 5} \ right | \).Или, если взять двойное неравенство выше, мы имеем Итак, при условии \ (\ left | {x – 4} \ right | <1 \) мы можем видеть, что \ (\ left | {x + 5} \ right | <10 \), что, в свою очередь, дает нам , Итак, до сих пор мы делаем два предположения относительно \ (\ left | {x – 4} \ right | \). Мы предположили, что, Может показаться, что это не так, но теперь мы готовы выбрать \ (\ delta \). В предыдущих примерах у нас было только одно предположение, и мы использовали его, чтобы получить \ (\ delta \).В данном случае у нас есть два, и они ОБЯЗАТЕЛЬНО должны быть правдой. Итак, пусть \ (\ delta \) будет меньшим из двух предположений, 1 и \ (\ frac {\ varepsilon} {{10}} \). Математически это записывается как Таким образом, мы можем гарантировать, что Теперь, когда мы сделали выбор для \ (\ delta \), нам нужно его проверить.2} + x – 11 = 9 \]
Хорошо, это было намного больше работы, чем первые два примера, и, к сожалению, это было не так уж и сложно. Что ж, может быть, нам следует сказать, что по сравнению с некоторыми другими ограничениями мы могли бы попытаться доказать, что это не так уж и сложно. Когда впервые сталкиваешься с доказательствами такого рода с использованием точного определения предела, все они могут показаться довольно сложными. Не расстраивайтесь, если не получите это сразу. Очень часто не понять этого сразу и приходится немного потрудиться, чтобы полностью начать понимать, как работают такие виды доказательств определения пределов.-}} f \ left (x \ right) = L \]
, если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что Обратите внимание, что с обоими этими определениями есть два способа справиться с ограничением на \ (x \), и тот, который указан в скобках, вероятно, проще в использовании, хотя основной, данный более близко, соответствует определению нормального предела, приведенному выше. . Давайте быстро рассмотрим один из них, хотя, как вы увидите, они работают почти так же, как и обычные задачи с ограничениями.+}} \ sqrt x = 0 \]
Показать решение
Пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, тогда нам нужно найти число \ (\ delta> 0 \), чтобы следующее было верно. Или, после небольшого упрощения, нужно показать, Как и в случае с предыдущими задачами, давайте начнем с левого неравенства и посмотрим, не сможем ли мы использовать это, чтобы получить предположение для \ (\ delta \). Единственное упрощение, которое нам действительно нужно сделать, – это возвести обе стороны в квадрат.+}} \ sqrt x = 0 \]
А теперь перейдем к определению бесконечных пределов. Вот два определения, которые нам нужны, чтобы охватить обе возможности: пределы положительной бесконечности и пределы отрицательной бесконечности. , если для каждого числа \ (M> 0 \) существует некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что , если для каждого числа \ (N <0 \) есть некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что В этих двух определениях обратите внимание, что \ (M \) должно быть положительным числом, а \ (N \) должно быть отрицательным числом.Это различие легко упустить, если вы не уделяете должного внимания. Также обратите внимание, что мы могли бы также записать определения односторонних пределов, которые равны бесконечности, если бы захотели. Если хотите, оставим это вам. Вот краткий набросок, иллюстрирующий Определение 4. Определение 4 говорит нам, что независимо от того, насколько большим мы выбираем \ (M \), мы всегда можем найти интервал вокруг \ (x = a \), задаваемый как \ (0 <\ left | {x - a } \ right | <\ delta \) для некоторого числа \ (\ delta \), так что пока мы остаемся в пределах этого интервала, график функции будет выше линии \ (y = M \), как показано на график выше.Также обратите внимание, что нам не нужно, чтобы функция действительно существовала в \ (x = a \), чтобы определение выполнялось. Это также показано на графике выше. Также обратите внимание, что чем больше \ (M \), тем меньше нам, вероятно, потребуется сделать \ (\ delta \). Чтобы увидеть иллюстрацию определения 5, отразите приведенный выше график относительно оси \ (x \) – и вы увидите эскиз определения 5. Давайте быстро рассмотрим один из них, чтобы увидеть, чем они отличаются от предыдущих примеров.2} Итак, похоже, мы можем выбрать \ (\ delta = \ frac {1} {{\ sqrt M}} \). Все, что нам нужно сделать сейчас, это проверить это предположение. Пусть \ (M> 0 \) будет любым числом, выберите \ (\ delta = \ frac {1} {{\ sqrt M}} \) и предположите, что \ (0 <\ left | x \ right | <\ frac {1} {{\ sqrt M}} \). В предыдущих примерах мы пытались показать, что наши предположения удовлетворяют левому неравенству, работая с ним напрямую. Однако в этом случае функция и наше предположение о \ (x \), которые мы получили, упростят начало с предположения о \ (x \) и покажут, что из этого можно получить левое неравенство.2}}} = \ infty \]
Для следующего набора определений пределов давайте взглянем на два определения пределов на бесконечности. Опять же, нам нужен один для ограничения на плюс бесконечности и другой для отрицательной бесконечности. , если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (M> 0 \) такое, что , если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (N <0 \) такое, что Чтобы увидеть, что говорят нам эти определения, вот краткий набросок, иллюстрирующий Определение 6.Определение 6 говорит нам, что независимо от того, насколько близко к \ (L \) мы хотим получить, математически это определяется как \ (\ left | {f \ left (x \ right) – L} \ right | <\ varepsilon \ ) для любого выбранного \ (\ varepsilon \), мы можем найти другое число \ (M \) такое, что при условии, что мы возьмем любое \ (x \) больше, чем \ (M \), тогда график функции для этого \ ( x \) будет ближе к \ (L \), чем к \ (L - \ varepsilon \) и \ (L + \ varepsilon \). Или, другими словами, график будет в заштрихованной области, как показано на рисунке ниже. Наконец, обратите внимание, что чем меньше мы сделаем \ (\ varepsilon \), тем больше нам, вероятно, потребуется сделать \ (M \). Вот краткий пример одного из этих ограничений. Пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, и нам нужно будет выбрать \ (N <0 \) так, чтобы, Угадать \ (N \) здесь не так уж и плохо. Поскольку мы движемся в сторону отрицательной бесконечности, похоже, мы можем выбрать \ (N = – \ frac {1} {\ varepsilon} \). Обратите внимание, что нам нужен «-», чтобы убедиться, что \ (N \) отрицательно (напомним, что \ (\ varepsilon> 0 \)). Давайте проверим, сработает ли наша догадка. Пусть \ (\ varepsilon> 0 \), выберите \ (N = – \ frac {1} {\ varepsilon} \) и предположите, что \ (x <- \ frac {1} {\ varepsilon} \).Как и в предыдущем примере, функция, с которой мы здесь работаем, предполагает, что будет легче начать с этого предположения и показать, что из этого можно получить левое неравенство. Обратите внимание, что когда мы взяли абсолютное значение обеих сторон, мы изменили обе стороны с отрицательных чисел на положительные, и поэтому нам также пришлось изменить направление неравенства. Итак, мы показали, что и, следовательно, по определению предела, который мы имеем, Для нашего окончательного определения предела давайте посмотрим на пределы на бесконечности, которые также имеют бесконечное значение. Здесь можно определить четыре возможных предела. Мы сделаем одно из них, а остальные три оставим вам, чтобы вы записали, если хотите. , если для каждого числа \ (N> 0 \) существует некоторое число \ (M> 0 \) такое, что Остальные три определения почти идентичны. Единственные отличия заключаются в знаках \ (M \) и / или \ (N \) и соответствующих направлениях неравенства. В качестве окончательного определения в этом разделе напомним, что ранее мы говорили, что функция является непрерывной, если, Итак, поскольку непрерывность, как мы ее ранее определили, определяется в терминах предела, мы также можем дать более точное определение непрерывности. Вот она,
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \).Тогда мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \), если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (\ delta> 0 \) такой, что
\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – е \ влево (а \ вправо)} \ вправо | <\ varepsilon \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {when}} \ hspace {0,5 дюйма} 0 <\ left | {x - a} \ right | <\ delta \]
Это определение очень похоже на первое определение в этом разделе и, конечно, должно иметь некоторый смысл, поскольку это именно тот вид ограничения, который мы делаем, чтобы показать, что функция непрерывна.Единственная реальная разница заключается в том, что здесь нам нужно убедиться, что функция действительно определена в \ (x = a \), в то время как нам не нужно было беспокоиться об этом для первого определения, поскольку ограничения на самом деле не заботятся о том, что происходит в точке. 2
Предел – это определенное значение, к которому приближается функция.Поиск предела обычно означает определение значения y, когда x приближается к определенному числу. Вы бы обычно выражали это как что-то вроде «предел функции f (x) равен 7, когда x приближается к бесконечности. Например, представьте себе такую кривую, когда x приближается к бесконечности, эта кривая приближается к y = 0, в то время как никогда на самом деле добраться туда. Итак, как мы алгебраически найти этот предел? Один из способов найти предел – использовать метод подстановки . Например, предел следующего графика равен 0, когда x приближается к бесконечности, что хорошо видно, когда график приближается к 0, вот так: Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, где мы можем найти предел реальных функций: Найдите предел \ (f (x) = 4x \), когда x стремится к 3.2-7x} {x} = \ frac {x (6x-7)} {x} = 6x-7 $$
Мы отменили множитель x в числителе и знаменателе, оставив нам простой предел: Теперь мы можем заменить x на 0, чтобы найти предел -7: Примечание. Несмотря на то, что мы смогли упростить функцию в примере C с помощью факторинга, мы не можем делать вид, что этого не произошло. Помните, что мы находили предел, когда x приближался к 0, а не пытались оценить функцию AT x = 0.Функция все еще не определена при x = 0. Однако у него есть предел. Только упрощенная версия имеет решение при x = 0. Только после факторинга, в некоторых случаях, мы можем применить замену, чтобы найти предел. Предоставлено г-ном Feliz М. Борна При изучении исчисления нас интересует, что происходит со значением функции
поскольку независимая переменная очень близка к определенному значению. Мы столкнулись с этой концепцией во введении, где увеличили масштаб кривой, чтобы получить приблизительное значение наклона этой кривой. Иногда определение предельного значения выражения означает
просто подставив число. Найдите предел, когда t приближается к `10`
выражения `P = 3t + 7`. Ответ Мы запишем это, используя обозначение предела , как: `lim_ (trarr10) (3t + 7)` В этом примере нет никаких сложностей – мы просто
подставить и написать Нет никаких сложностей, потому что f (t) = 3t + 7 – непрерывная функция. Но есть случаи, когда мы не можем просто так заменить. Мы знаем, что x не может равняться «3» в следующем выражении (потому что у нас не может быть знаменателя, равного нулю): `f (x) = (x ^ 2-2x-3) / (x-3)` Каково значение функции, когда x приближается к `3`? Ответ Мы видим, что функция приближается к определенному
значение x приближается к `3` слева: Продолжая, мы приближаемся к `x = 3`: Аналогично, приближение к `x = 3` справа дает
то же предельное значение: `= lim_ (xrarr3) ((x + 1) (x-3)) / (x-3)` `= lim_ (xrarr3) (x + 1)` `= 4` ВНИМАНИЕ: Процесс факторизации возможен только в этом примере, потому что мы имеем: x ≠ 3. Это типичная проблема при изучении вводных ограничений. Это кажется немного глупым, поскольку мы могли бы его разложить на множители, отменить и заменить x = 3, как мы только что видели. Но пример важен для концепции, что нет фактического значения функции, когда `x = 3`, но если мы действительно, очень близко к` 3`, значение функции действительно близко к некоторому значению (`4` , в таком случае). Мы должны помнить, что мы не можем делить на ноль – это
неопределенный. Но есть некоторые интересные и важные ограничения, в которых
существует предельное значение, так как x приближается к «0» и где, по-видимому, у нас есть знаменатель «0». Найдите предел, когда x приближается к `0` из` (sin \ x) / x` Ответ Обратите внимание, что мы не можем просто подставить 0, потому что `(sin \ 0) / 0` не определено. Нет никакого алгебраического процесса, чтобы найти этот предел. Мы можем подставить значения x , которые все ближе и ближе к `0` (как с левой, так и с правой стороны), и заключить, что `lim_ (xrarr0) (sin \ x) / x = 1.` Способ проверить это – построить график и увидеть, что предел приближения x к «0» действительно равен «1»: Мы указали, что есть “дыра” в точке x = 0 на нашем графике, используя открытый кружок. Рассмотрим дробь «5 / x».Что происходит как `x -> oo`? Ответ Очевидно, что если мы возьмем все большие и большие значения x ,
значение дроби становится все меньше и меньше, пока не станет
очень близко к `0`. Мы говорим, что «предел« 5 / x »при приближении x к бесконечности равен« 0 ». Мы запишем это в математической записи как: `lim_ (x-> oo) (5 / x) = 0`. Вот график y = 5 / x (для положительного x), показывающий, что значение y приближается к 0 по мере увеличения x: Всего: И аналогично Мы используем эти пределы при оценке пределов функций и
особенно полезен при построении кривых. Найдите предел `lim_ (x-> oo) ((5-3x) / (6x + 1)).` Ответ На этот раз не так очевидно, каково предельное значение. Мы
можно было бы заменить все большие и большие значения x , пока мы
мог видеть, что происходит (попробуйте `100`, затем` 1 \ 000`, затем `1 \ 000 \ 000`
и так далее). Или мы могли бы изменить выражение и использовать тот факт, что , чтобы найти предельное значение. Делим
на x , чтобы получить выражение в форме, в которой мы
можете оценить это. `lim_ (x-> oo) ((5-3x) / (6x + 1))` `= lim_ (x-> oo) ((5 / x-3) / (6 + 1 / x))` `= (0-3) / (6 + 0)` `= -1 / 2` Обратите внимание, что мы не можем подставить ∞ в дробь `((5 / x-3) / (6 + 1))`, потому что это не делает
математический смысл. Пожалуйста, не пишите `((5-3 (oo)) / (6 (oo) +1))`. Это очень расстраивает математиков.2)) ` `= -1 / 8` Объяснив студенту ограничения, я привел ему следующий пример: Я попытался проверить, действительно ли он это понял, поэтому привел ему другой пример. Его ответ был: В этой главе мы будем дифференцировать многочлены. Но позже мы столкнемся с более сложными функциями, и порой мы не сможем их различить.2-x) ` не определен для` x = 0` и `x = 1`. В этих точках он прерывистый. Следовательно, мы не можем дифференцировать функцию для этих значений. Мы встречали функции разделения раньше в главе «Функции и графики».
Функция разделения дифференцируема для всех x , если она непрерывна для всех x .
Мы встречали этот пример в предыдущей главе.2 + 2, текст (для) \ x> = 1):} ` Эта функция имеет разрыв при x = 1, но на самом деле она определена для `x = 1` (и имеет значение` 1`). Он дифференцируемый для всех значений x , кроме «x = 1», поскольку он не является непрерывным при «x = 1». Все наши функции, описанные в предыдущих главах, посвященных дифференциации и интеграции, будут непрерывными . В следующих главах мы увидим прерывные функции, особенно функции разделения.(см. Ряд Фурье и преобразования Лапласа) Теперь мы переходим к рассмотрению того, как ограничения применяются к проблеме нахождения скорости изменения функции из первых принципов. Это то же самое, что найти наклон касательной.
Поведение функций sin (1 / x) и x sin (1 / x), когда x близок к нулю
стоит отметить.
Ниже приведены графики sin (1 / x) для малых положительных x.
Мы видим, что по мере приближения x к нулю функция сохраняет
колебание (или колебание ) назад и вперед между -1 и 1.
Фактически, sin (1 / x) колеблется между -1 и 1 бесконечное количество раз.
от 0 до любого положительного значения x , независимо от его размера.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что sin (x) равен нулю при каждом кратном пи,
и колеблется между 0 и 1 или -1 между каждым кратным.
Следовательно, sin (1 / x) будет равен нулю при каждом x = 1 / (pi k ), где k – это
положительное число.Между каждой последовательной парой этих значений sin (1 / x)
колеблется от 0 до -1, до 1 и обратно до 0.
Мы можем заключить, что поскольку x приближается к 0 справа, функция
sin (1 / x) не устанавливается ни на какое значение L , поэтому предел как
x приближается к 0 справа не существует.
А вот функция x sin (1 / x) – это несколько другая история.
Поскольку x приближается к нулю, а x приближается к нулю,
умножение sin (1 / x) на него приведет к другой величине, которая приближается к нулю.
Ниже приведены некоторые наглядные доказательства. Желтые линии – это y = x и y = -x, в то время как
синяя кривая – это x sin (1 / x):
Это пример так называемой теоремы о сэндвиче.
Теорема о сэндвиче гласит, что
В этом случае мы знаем, что, поскольку -1 ≤ sin (1 / x) ≤ 1,
мы можем сделать вывод, что
-x ≤ x sin (1 / x) ≤ x для положительных значений x.
Затем, поскольку x и -x оба стремятся к 0, когда x приближается к 0 справа,
так должен x sin (1 / x).
Вы можете привести аналогичный аргумент слева и заключить, что
предел при приближении x к 0 из x sin (1/ x ) равен 0.
Определение 4
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \), за исключением, возможно, точки \ (x = a \). Затем мы говорим,
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ infty \]
Определение 5
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \), за исключением, возможно, точки \ (x = a \). Затем мы говорим,
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = – \ infty \]
Определение 6
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) – функция, определенная на \ (x> K \) для некоторого \ (K \). Затем мы говорим,
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} f \ left (x \ right) = L \]
Определение 7
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на \ (x Определение 8
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) – функция, определенная на \ (x> K \) для некоторого \ (K \). Затем мы говорим,
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} f \ left (x \ right) = \ infty \]
Определение 9
Поиск предела – бесплатная справка по математике
Что такое предел?
Пример A
1. Пределы и дифференциация
Чтобы понять, что на самом деле происходит в дифференциальном исчислении, нам сначала нужно понять пределы . Пределы
Пример 1
`lim_ (trarr10) (3t + 7) = 37`
Пример 2
x
2.5
2,6
2,7
2,8
2,9
f ( x )
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
x
2,9
2,92
2,94
2.96
2,97
2,98
2,99
f ( x )
3,9
3,92
3,94
3,96
3,97
3,98
3,99
x
3,5
3.2-2х-3) / (х-3) `
Пределы при приближении
x 0
Пример 3
Пределы при приближении
x к бесконечности
Пример 4
Пределы, когда переменная находится в знаменателе
`lim_ (x -> + – oo) (1 / (x)) = 0`
`lim_ (x -> + – oo) (1 / (x ^ 2)) = 0`
Пример 5
`lim_ (x-> oo) (1 / x) = 0`
Шутка
Преемственность и дифференциация
Функции разделения и дифференциация
Пример 7
Непрерывные функции
Далее …
sin (1 / x) и x sin (1 / x)
примеры пределов sin (1 / x) и x sin (1 / x)
Существует бесконечное количество этих пар, и все они находятся в диапазоне от 0 до 1 / пи.
Более того, существует только конечное число между любым положительным значением x и
1 / pi, поэтому между x и 0 должно быть бесконечно много.
, если g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), и
g (x) и h (x) оба приближаются к L, когда x приближается к a ,
, тогда f (x) должен также приближайтесь к L, когда x приближается к a .
