Предел 1 0: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред? : Чулан (М)

Содержание

Что такое предел функции как его найти

При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.

А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.

Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется "доопределить функцию", с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы "Предел"). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину - последовательность сумм их диаметров:

Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

Предел функции при

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

   (1)

сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

   (2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Пример 1. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: ().

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Пример 2. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

.

Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.


А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.


Теорема 2. Если функции

f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.


Пример 3. Найти предел:

Решение.

 

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.


Пример 4. Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.


Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.


Пример 5. Найти предел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где

 

корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:


При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений

квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Освоим эти приёмы на примерах.

Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Неопределённость вида

Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо

n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Неопределённость вида

Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

.

В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Проверить решение задачи на пределы можно на

калькуляторе пределов онлайн.

Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Продолжение темы "Предел"

Поделиться с друзьями

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata - d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata - d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata - d/dx x^2
7 Trovare la Derivata - d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata - d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata - d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata - d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata - d/dx x^3
17 Trovare la Derivata - d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata - d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata - d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata - d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata - d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata - d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata - d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata - d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata - d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata - d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata - d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata - d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata - d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata - d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata - d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata - d/dx x/2
46 Trovare la Derivata - d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata - d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata - d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata - d/dx x^x
52 Trovare la Derivata - d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata - d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata - d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata - d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata - d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata - d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata - d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata - d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata - d/dx e^2
67 Trovare la Derivata - d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata - d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata - d/dx x^5
73 Trovare la Derivata - d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata - d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata - d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata - d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata - d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata - d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata - d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata - d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata - d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata - d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata - d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata - d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata - d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata - d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata - d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм x^2

Преобразователь давления ПДТВХ-1-02; верхний предел 1,0 МПа; выходной сигнал 4-20 мА; погрешность 0,25 %

Описание

Как правильно подобрать и купить преобразователь давления?

Работа любой автоматизированной системы контроля и управления, а также систем автоматического учета энергоресурсов основывается на полученной информации об измеряемых параметрах — температуре, давлении и других необходимых сведениях.

Информацию получают с помощью специальных датчиков, преобразующие полученные данные в сигналы, которые могут обрабатываться и учитываться устройствами сбора и передачи данных, входящими в систему. Для съема показаний о состоянии давления в системе и преобразования их в аналоговый сигнал применяются специальные датчики преобразователи давления. Устройства подходят для измерения давления в различных жидкостях и газообразных средах.

К основным сферам, где используются датчики ПДТВХ, относятся:
  • системы учета водо- и теплоснабжения;
  • оборудование систем автоматического учета;
  • управляющие системы.

Датчик-преобразователь давления «Пульсар»

Датчики «Пульсар», используемые в системах тепло- и водоснабжения, автоматизированных системах учета, разработаны и производятся компанией НПП «Тепловодохран». Датчик преобразователь давления — измерительный прибор, позволяющий не только контролировать уровень давления, но и преобразовывать получаемые данные в сигнал, который затем передается в другие устройства системы для дальнейшей обработки.

Конструктивное исполнение датчика ПДТВХ представляет собой металлический цилиндр, оснащенный специальным присоединительным разъемом. В зависимости от сферы применения, выпускаются различные модификации датчиков с несколькими присоединительными размерами и различными пределами измерений.

Преимущества датчиков ПДТВХ «Пульсар»:

  • неограниченная гарантия производителя, говорящая о высокой надежности и качестве преобразователей избыточного давления;
  • обязательная техническая проверка прибора один раз в 4 года;
  • высокая степень защиты датчиков, в том числе от гидроударов, пыли, влаги, механических повреждений.
  • минимальная погрешность проводимых измерений.
Измеряемая среда газ, жидкость, пар
Верхние пределы измерений, МПа 0,1; 0,25; 0,4; 0,6; 1,0; 1,6; 2,5; 4,0; 6,0; 10,0; 16,0; 25,0; 40,0; 60,0
Пределы допускаемой основной погрешности, % 0,25; 0,5
Диапазон температур измеряемой среды, 0С от минус 45 до плюс 125 (при превышении этой температуры следует использовать радиатор)
Диапазон изменения выходного сигнала
постоянного тока, мА 4. .20
постоянного напряжения, В 0..5; 0..10
Электрическое питание преобразователей, В постоянного тока 9…36
Температура окружающей среды, 0С от минус 40 до плюс 80
Степень защиты IP65, IP68
Масса, г, не более 200
Габаритные размеры датчика давления
диаметр, мм, не более, 38
длина, мм, не более 150
Подсоединение проводов разъем по DIN 43650C, разъем PC4, специальный разъем для крепления металлорукава
Межповерочный интервал преобразователя давления 4 года
Маркировка по взрывозащите 0ExiallCT5
Присоединение к системе М20х1,5

Мановакуумметр общетехнический d=100мм МВП3-У, Предел измерения -1-0; -1+0,6; -1+1,5; -1+3; -1+5; -1+9; -1+15; -1+24

Цена: 420. 00 р.

Мановакуумметр общетехнический d=100мм МВП3-УМ, Предел измерения -1-0; -1+0,6; -1+1,5; -1+3; -1+5; -1+9; -1+15; -1+24

Назначение:

Мановакуумметр предназначен для измерения избыточного давления неагрессивных по отношению к сталям и медным сплавам некристаллизующихся жидкостей, паров, газов, в том числе ацетилена и хладонов.

Технические данные
 

Марка прибора - МВП3-УМ

Диаметр корпуса, мм - 100

Класс точности - 1,5 (1,0 на пределы 4-600 кгс/см2)

Степень защиты - IP 40

Виброзащищенность - Группа L3 по ГОСТ 12997-84

Резьба присоединительного штуцера - М20?1,5 или G1/2

Средний срок службы, лет - 10

Масса не более, кг - 0,5

Материал корпуса - Сталь

Стекло - Техническое

Штуцер, трубчатая пружина - Бронза, латунь

Трибко-секторный механизм - Бронза, латунь

Температура окружающей среды, °С - -50°С+60°С

Устойчивость к климатическим воздействиям - У2 по ГОСТ 15150-69

Стандартное исполнение - Радиальный штуцер без фланца

Циферблат - Алюминиевый сплав, окрашенный в белый цвет

Рабочие диапазоны:

постоянная нагрузка – 3/4 шкалы

переменная нагрузка – 2/3 шкалы

кратковременная нагрузка – 110% шкалы

Варианты исполнения:

  • радиальный штуцер с фланцем
  • осевой штуцер без фланца
  • осевой штуцер с передним фланцем
  • демпфер

ГОСТ 2405-88

ТУ ТУ 4212-002-68387217-2012

Сертификат об утверждении типа средств измерений RU. C.30.004.A №46626

Стандартный ряд давлений

Обозначение Диапазон показаний, (кгс/см2)

МПВ3-УМ -1+0,6; -1+1.5; -1+3; -1+5; -1+9; -1+15; -1+24

Первый и второй замечательный предел

Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.

Формула первого замечательного предела

Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.

Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)
Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7

Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал.
Также, если есть обратный вид функции - это также первый замечательный предел. А все потому, что замечательный предел равен единице

Это же правило касается и следствий 1 замечательного предела. 2
Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу

При этом предел преобразится к понятному виду

Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.

Пример 4. Найти предел
Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y

Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.

Пример 5. Вычислить предел
Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле

После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса

Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.

Второй замечательный предел равен экспоненте

Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти.
В вычислениях Вам понадобятся пределы - следствия второго замечательного предела:
1. 2. 3. 4.
Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени

Начнем для ознакомления с простых примеров.

Пример 6. Найти предел функции
Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках

Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути - вывода 2 формулы следствия предела. (x-2)
Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо "икс" подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции

Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу

Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой "погоды" не вносят - об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели - "Почему не превращаете показатель?" (Для этого примера в x-3), то скажите что "Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!".
Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.

Пример 9. Найти предел
Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела

Пример 10. Найти предел функции
Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель

Далее показатель запишем как степень в степени

В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.

Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования

Далее без труда предел примет значение

Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел. Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.
Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам - сможем помочь и Вам!

примеры нахождения, задачи и подробные решения

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: limx→0sin xx=1.

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: limx→0sink·xk·x=1, где k – некоторый коэффициент.

Поясним: limx→0sin(k·x)k·x=пусть t=k·xиз x→0 следует t→0  =limt→0sin(t)t=1.

Следствия первого замечательного предела:

  1. limx→0xsin x=limx→0=1sin xx=11=1
  1.  limx→0k·xsin k·x=limx→01sin (k·x)k·x=11=1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Пример 1

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: limx→0sin(3x)2x.

Решение

Подставим значение:

limx→0sin(3x)2x=00

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3x и получим:

limx→0sin(3x)2x=00=limx→03x·sin(3x)3x·(2x)=limx→0sin (3x)3x·3x2x==limx→032·sin (3x)3x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: limx→0sin (3x)3x=1.

Тогда приходим к результату:

limx→032·sin (3x)3x=32·1=32

Ответ: limx→0sin (3x)3x=32.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 2

Необходимо найти предел limx→01-cos(2x)3x2.

Решение

Подставим значения и получим:

limx→01-cos(2x)3x2=1-cos (2·0)3·02=1-10=00

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

limx→01-cos(2x)3x2=00=limx→02sin2(x)3x2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

limx→02sin2(x)3x2=limx→023·sin xx·sin xx=23·1·1=23

Ответ: limx→01-cos (2x)3x2=23.

Пример 3

Необходимо произвести вычисление предела limx→0arcsin(4x)3x.

Решение

Подставим значение:

limx→0arcsin(4x)3x=arcsin(4·0)3·0=00

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

пусть

 arcsin (4x)=t⇒sin (arcsin(4x))=sin (t)4x=sin (t)⇒x=14sin (t)limx→0(arcsin(4x))=arcsin(4·0)=0, значит t→0 при x→0.

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

limx→0arcsin(4x)3x=00=limt→0t3·14sin(t)==limt→043·tsin t=43·1=43

Ответ: limx→0arcsin(4x)3x=43.

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

неопределенных форм - я узнал, что 1/0 - это бесконечность, почему не минус бесконечность?

Поскольку у вас возникла эта путаница, я думаю, что полезно рассмотреть концепции нуля, бесконечности и «неопределенности».

В самом общем смысле деление противоположно умножению. Таким образом, тот факт, что 2 x 3 = 6, означает, что 6/3 = 2.

1 x 0 = 0. Применяя вышеуказанную логику, 0/0 = 1. Однако 2 x 0 = 0, поэтому 0/0 также должно быть 2. Фактически, похоже, что 0/0 может быть любым числом! Очевидно, что в этом нет никакого смысла - мы говорим, что 0/0 - это «undefined», потому что на самом деле ответа нет.

Точно так же 1/0 на самом деле не бесконечность. Бесконечность на самом деле не число, это скорее концепция. Если вы подумаете о том, как в школах часто описывается разделение, например, количество сладостей, распределяемых между несколькими людьми, вы увидите путаницу. Если я обойду нескольких людей, давая им по 0 конфет, сколько людей мне нужно будет обойти, пока я не раздам ​​свою 1 конфету? Бесконечное число? Отчасти потому, что я могу продолжать бесконечно. Тем не менее, я никогда не отдавал этот сладкий .Вот почему люди говорят, что 1/0 «стремится к» бесконечности - мы не можем использовать бесконечность как число, мы можем только представить, к чему мы приближаемся, когда мы движемся в направлении бесконечности. Однако в этом случае количество сладостей, которые у меня есть, никогда не меняется, так что я никуда не приближаюсь. Даже эта логика не работает.

Короче говоря, 1/0 не имеет смысла для вычисления. Когда мы действительно используем понятие бесконечности, мы склонны использовать положительную бесконечность там, где это не имеет значения чисто по соглашению.Однако, если вы думаете об этом слишком сильно, вы начинаете вникать в философию и тому подобное, например, "что на самом деле есть бесконечность?" и "подождите, что такое номер "?

Люди говорят о разных способах использования чисел, поэтому на самом деле они не считаются. Например, в тривиальном кольце есть только одно число, которое работает как 0 (добавьте его ко всему, и вы получите это) и 1 (умножьте его на что угодно, и вы снова получите то же самое) и имеет смысл, потому что вы можете только добавить его или умножить на себя, чтобы получить себя.На самом деле это довольно скучно, но в этом случае это одно число - назовем его x - равно 0 и 1, поэтому 1/0 = x / x = x, потому что все, что равно x. Как видите, это немного обман, потому что у нас даже недостаточно чисел, чтобы иметь представление о 1/0 в том смысле, в котором вы его думаете.

Calculus - Нормально ли предел функции -1/0?

исчисление - Предел функции -1/0 в порядке? - Обмен стеками математики
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange - это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 8к раз

$ \ begingroup $

Быстрый вопрос, определяю лимит этой функции:

$$ \ lim_ {x → 1} \ frac {x ^ 2 - 2x} {x ^ 2 -2x +1} $$

Когда я делю числитель и знаменатель на $ x ^ 2 $ и подставляю $ 1 $, я получаю $ -1 / 0 $. + \; $ (что означает: приближается к нулю с положительной стороны), поэтому ваш предел - отрицательная бесконечность.

Кто-то может определить это как «предел не существует», но я думаю, что правильнее сказать «предел не существует бесконечно» и / или «предел существует в широком смысле слова», » функция расходится к $ \; - \ infty \; $ "или чему-то подобному.