Предел математика – как понять, вычислить, подробное объяснение с решением
- Комментариев к записи Предел математика – как понять, вычислить, подробное объяснение с решением нет
- Разное
Высшая математика. Первый семестр/Пределы — Викиучебник
Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Пусть задана некоторая меняющаяся величина y{\displaystyle y}, зависящая от переменного x{\displaystyle x}. Предположим, что это переменное x{\displaystyle x} можно менять так, что выполняется некоторое условие B{\displaystyle {\mathcal {B}}}: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина y{\displaystyle y} каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу L{\displaystyle L}. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины y{\displaystyle y} при данном условии B{\displaystyle {\mathcal {B}}} для x{\displaystyle x} и обозначается
limBy.{\displaystyle \displaystyle \lim _{\mathcal {B}}y.}
Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.
Предел (математика) — Википедия. Что такое Предел (математика)
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
История
- Основной источник: [1]
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
Предел последовательности
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.
Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…}
∀{\displaystyle \forall } ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ϵ){\displaystyle N(\epsilon )} , ∀{\displaystyle \forall } n>N(ϵ){\displaystyle n>N(\epsilon )}: |xn−a|<ϵ{\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }.
Предел последовательности обозначается limn→+∞xn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}. Куда именно стремится n{\displaystyle n}, можно не указывать, поскольку n{\displaystyle n} ∈N{\displaystyle \in \mathbb {N} }, оно может стремиться только к +∞{\displaystyle +\infty }.
Свойства:
Предел функции
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L{\displaystyle L}.Функция f(x){\displaystyle f(x)} имеет предел A{\displaystyle A} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x{\displaystyle x}, достаточно близких к x0{\displaystyle x_{0}}, значение f(x){\displaystyle f(x)} близко к A{\displaystyle A}.
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ϵ>0{\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ>0{\displaystyle \delta >0}, такое что ∀x,0<|x−a|<δ{\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется |f(x)−b|<ϵ{\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon }.
Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, limx→x0(f(x)+g(x))=limx→x0f(x)+limx→x0g(x){\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}, если все члены существуют.
Обобщенное понятие предела последовательности
Пусть X{\displaystyle X} — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U{\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть xi∈X{\displaystyle x_{i}\in X} — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x∈X{\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x{\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀U(x)∃n∀i>nxi∈U(x){\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}
См. также
Примечания
- ↑ А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».
wiki.sc
Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов.
Понятие пределов рассмотрим на показательных примерах.
Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу х, принадлежащему Х, поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определена функция, и записывают у = f(x).
Множество Х в данном случае – плоскость, состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Для примера изобразим функцию у = х2. Оси 0X и 0Y образуют Х – область ее изменения. На рисунке прекрасно видно, как ведет себя функция. В таком случае говорят, что на множестве Х определена функция у = х 2.
Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений f(x). Другими словами, множество значений – это промежуток по оси 0Y, где определена функция. Изображенная парабола явно показывает, что f(x) > 0 , т.к. x2 > 0. Поэтому область значений будет [0; +]. Множество значений смотрим по 0Y.
Совокупность всех х называется областью определения f(x). Множество определений смотрим по 0X и в нашем случае областью допустимых значений является [-; +].
Точка а (а принадлежит или Х) называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а.
Пришла пора понять – что же такое предел функции?
Чисто b, к которому стремится функция при стремлении х к числу а, называется пределом функции. Записывается это следующим образом:
Например, f(x) = х2. Нам надо узнать, к чему стремится (не равна) функция при х 2. Сначала запишем предел:
Посмотрим на график.
Проведем параллельно оси 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересечет наш график в точке (2;4). Опустим из этой точки на ось 0Y перпендикуляр – и попадем в точку 4. Вот к чему стремится наша функция при х 2. Если теперь подставить в функцию f(x) значение 2, то ответ будет таким же.
Теперь прежде чем перейти к вычислению пределов, введем базовые определения.
Понятие пределов введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.
Допустим, функция f(x) определена на некотором интервале, в котором содержится точка x = A, однако совсем не обязательно, чтобы значение f(А) было определено.
Тогда, согласно определению Коши, пределом функции
f(x) будет некое число B при x, стремящимся к А, если для каждого C > 0 найдется число D > 0, при которомТ.е. если функция f(x) при x А ограничена пределом В, это записывается в виде
.
Пределом последовательности называется некое число А, если для любого сколь угодно малого положительного числа В > 0 найдется такое число N, при котором все значения в случае n > N удовлетворяют неравенству
Такой предел имеет вид .
Последовательность, у которой есть предел, будем называть сходящейся, если нет – расходящейся.
Как Вы уже заметили, пределы обозначаются значком lim, под которым записывается некоторое условие для переменной, и далее уже записывается сама функция. Такой набор будет читаться, как «предел функции при условии…». Например:
– предел функции при х, стремящимся к 1.
Выражение «стремящимся к 1» означает, что х последовательно принимает такие значения, которые бесконечно близко приближаются к 1.
Теперь становится ясно, что для вычисления данного предела достаточно подставить вместо х значение 1:
Ответ: -3.
Кроме конкретного числового значения х может стремиться и к бесконечности. Например:
Выражение х означает, что х постоянно возрастает и неограниченно близко приближается к бесконечности. Поэтому подставив вместо х бесконечность станет очевидно, что функция 1- х будет стремиться к , но с обратным знаком:
Таким образом, вычисление пределов сводится к нахождению его конкретного значения либо определенной области, в которую попадает функция, ограниченная пределом.
Исходя из вышеизложенного следует, что при вычислении пределов важно пользоваться несколькими правилами:
- Сперва попытаемся подставить в функцию число. Результат вычисление и будет ответом.
- Если х стремиться не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, т.к число деленное на бесконечность всегда дает ноль, а деленное на 0 всегда бесконечность. Если у вас затруднено понимание понятий бесконечность и 0 в пределах, то вы можете подставлять вместо бесконечности – бесконечно большое число – например 1000 000, или вместо 0 – бесконечно малое – к примеру 0,000001 и прикинуть к чему будет стремиться ответ.
- Есть еще одна интересная группа пределов, где мы и в числите и в знаменателе при подстановке получаем или 0 или бесконечность. Так называемые пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные. Их мы рассматриваем отдельно в статьях “Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью” и “Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел”.
Понимая
Заметка: Юриспруденция – наука о законах, помогающее в конфлитных и других жизненных трудностях.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Предел (математика) — Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
История
- Основной источник: [1]
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
Видео по теме
Предел последовательности
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.
Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если
∀{\displaystyle \forall } ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ϵ){\displaystyle N(\epsilon )} , ∀{\displaystyle \forall } n>N(ϵ){\displaystyle n>N(\epsilon )}: |xn−a|<ϵ{\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }.
Предел последовательности обозначается limn→+∞xn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}. Куда именно стремится n{\displaystyle n}, можно не указывать, поскольку n{\displaystyle n} ∈N{\displaystyle \in \mathbb {N} }, оно может стремиться только к +∞{\displaystyle +\infty }.
Свойства:
Предел функции
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L{\displaystyle L}.Функция f(x){\displaystyle f(x)} имеет предел A{\displaystyle A} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x{\displaystyle x}, достаточно близких к x0{\displaystyle x_{0}}, значение f(x){\displaystyle f(x)} близко к A{\displaystyle A}.
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ϵ>0{\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ>0{\displaystyle \delta >0}, такое что ∀x,0<|x−a|<δ{\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется |f(x)−b|<ϵ{\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon }.
Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, limx→x0(f(x)+g(x))=limx→x0f(x)+limx→x0g(x){\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}, если все члены существуют.
Обобщенное понятие предела последовательности
Пусть X{\displaystyle X} — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U{\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть xi∈X{\displaystyle x_{i}\in X} — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x∈X{\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x{\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀U(x)∃n∀i>nxi∈U(x){\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}
См. также
Примечания
- ↑ А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».
wiki2.red
Предел (математика) Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
История[ | ]
Основной источник: [1]Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
Предел последовательности[ | ]
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.
Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если
∀{\displaystyle \forall } ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ε){\displaystyle N(\varepsilon )}
ru-wiki.ru
Предел (математика) Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
История
Основной источник: [1]Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
Предел последовательности
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.
Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если
∀{\displaystyle \forall } ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ε){\displaystyle N(\varepsilon )} , ∀{\displaystyle \forall } n>N(ε){\displaystyle n>N(\varepsilon )}: |xn−a|<ε{\displaystyle |x_{n}-a|<\varepsilon }.
Предел последовательности обозначается limn→+∞xn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}. Куда именно стремится n{\displaystyle n}, можно не указывать, поскольку n{\displaystyle n} ∈N{\displaystyle \in \mathbb {N} }, оно может стремиться только к +∞{\displaystyle +\infty }.
Свойства:
Предел функции
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L{\displaystyle L}.Функция f(x){\displaystyle f(x)} имеет предел A{\displaystyle A} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x{\displaystyle x}, достаточно близких к x0{\displaystyle x_{0}}, значение f(x){\displaystyle f(x)} близко к A{\displaystyle A}.
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ε>0{\displaystyle \forall \varepsilon >0} существует δ>0{\displaystyle \delta >0}, такое что ∀x,0<|x−a|<δ{\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется |f(x)−b|<ε{\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }.
Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, limx→x0(f(x)+g(x))=limx→x0f(x)+limx→x0g(x){\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}, если все члены существуют.
Обобщенное понятие предела последовательности
Пусть X{\displaystyle X} — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U{\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть xi∈X{\displaystyle x_{i}\in X} — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x∈X{\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x{\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀U(x)∃n∀i>nxi∈U(x){\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}
См. также
Примечания
- ↑ А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».
wikiredia.ru