Решение задач по математике на концентрацию растворов – Подготовка к ГИА: задачи на “концентрацию” веществ

Подготовка к ГИА: задачи на "концентрацию" веществ

Разделы: Математика


1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

2. Не делается  различия  между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С  (которые имеют массы соответственно а, в, с) то величина  (соответственно , ) называется концентрацией  вещества  А (соответственно В, С ).
Величина  * 100% (соответственно  * 100%, * 100%) называется процентным содержанием вещества А (соответственно В, С).           +  +  = 1.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые смешиваются ( сплавляются и т. п. ).
В задачах на составление уравнений  и неравенств полезным оказываются всевозможные таблицы, диаграммы и схемы. Это необходимо, как чертеж при решении геометрической задачи. Оформление первого этапа математического моделирования задач на «смеси и сплавы» в виде таблиц способствует  более глубокому пониманию процесса решения такого типа задач. Практически для всех  рассмотренных задач удалось составить таблицу.  Рассмотрим примеры типовых задач ГИА.

Имеется 200г 30%-го раствора  уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору,  чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?

Решение.

х г воды надо добавить к раствору.

  Процентное содержание кислоты Вес раствора, г Вес кислоты, г
Данный раствор 30% 200 200 * 0,3
Новый раствор 6% 200 + х 0,06(200 + х)

0,06(200 + х) = 60,

200 + х = 1000,
х = 800.  800г воды надо добавить.

Ответ: 800г.

Сколько г сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%.

Решение.

  Процентное содержание сахара Вес раствора, г Вес сахара, г
Сироп 25% х 0,25х
Новый раствор 5% 200 + х 0,05(200 + х)

0,25х = 0,05(200 + х),
5х = 200  х,
4х = 200,
х = 50.  50г сиропа надо добавить.

Ответ: 50г.

Сколько  г  15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.

Решение.

  Процентное содержание соли Вес раствора, г Вес соли, г
Первый раствор 15% х 0,15х
Второй раствор 60% 50 0,6 * 50
Смесь 40% х + 50 0,4(х + 50)

0,4(х + 50) = 0,15х + 30,
0,4х + 20 = 0,15х + 30,
0,25х = 10,
х = 40.                     40 г 15%-ного раствора соли надо добавить.

Ответ: 40г.

Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в каждом сосуде?

Решение.

Первая ситуация.

  Процентное содержание  кислоты Вес раствора, кг Вес кислоты, кг
Первый раствор х% 4 0,01х * 4
Второй раствор у% 6 0,01у * 6
Смесь 35% 10 0,35 * 10

0,04х + 0,06у = 3,5.

Вторая ситуация.

  Процентное содержание кислоты Вес раствора, кг Вес кислоты, кг
Первый раствор х% m 0,01 хm
Второй раствор у% m 0,01 уm
Смесь 36% 2m 0,36 * 2m

0,01хm + 0,01уm = 0,72m,
0,01х + 0,01у = 0,72.
Решая систему из составленных уравнений, получаем
х = 41       и      у = 31.                     0,41 * 4 = 1,64(кг) в первом сосуде.
0,31 * 6 = 1,86(кг) во втором сосуде.

Ответ: 1,64 кг.   1,86 кг.

В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором –  45%. В  каком  отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?

Решение.

  Процентное содержание меди Вес сплава Вес меди
Первый сплав 25% х 0,25х
Второй сплав 45% у 0.45у
Новый сплав 30% х+у 0,3(х + у)

0,25х + 0,45у = 0,3(х + у),
– 0,05х = – 0,15у,
х = 3у.          х : у = 3 : 1.

Ответ:  3 : 1.

В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите  процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

Решение.

  Вес меди Вес цинка Вес сплава
Данный сплав х у х + у
Новый сплав х + 0,4х у – 0,4у 1,2(х + у)

1,4х + 0,6у = 1,2(х + у),
0,2х = 0,6у,
х = 3у,
х : у = 3 : 1.               
100 : 4 * 3 = 75(%),
100 – 75 = 25(%).

Ответ: 25%, 75%.

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

Решение.

  Вес золота, кг Вес серебра, кг Вес сплава, кг Процентное содержание золота
Данный сплав 80 х 80 + х   * 100
Новый сплав 180 х 180 + х * 100

 –  = 20,
х = 120.

120 кг серебра в сплаве. 

Ответ: 120 кг.

Литература.

1. М.Н. Кочагина ,  В.В.Кочагин.   Математика: 9 класс: Подготовка к « малому ЕГЭ», Москва. Эксмо, 2008.

2. Л.В.Кузнецова и др.  Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации. Москва. «Просвещение». 2011.
3. Учебно-методическое  пособие под редакцией  Ф.Ф. Лысенко.  Алгебра 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации.  Ростов-на-Дону, 2010.
4. В.Н.Литвиненко,  А.Г. Мордкович.  Практикум по элементарной математике. Москва. «Просвещение». 1991.

Приложение 1

3.06.2012

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Решение задач на растворы

Разделы: Математика, Химия


Цели урока: Рассмотреть алгоритм решения задач на растворы: познакомиться с приемами решения задач в математике и химии, рассмотреть биологическое значение воды как универсального растворителя, развить практические умения решать задачи, расширить знания учащихся о значении этих веществ в природе и деятельности человека, сформировать целостную картину о взаимосвязи предметов в школе.

Ход урока

Организационный момент

Учитель математики: Здравствуйте! Сегодня мы проводим необычный урок – урок на перекрестке наук математики и химии.

Учитель химии: Здравствуйте, ребята! Мы с вами увидим, как математические методы решения задач помогают при решении задач по химии.

А чтобы сформулировать тему урока, давайте проделаем небольшой эксперимент.

(Наливаю в 2 хим. стакана воду, добавляю в оба одинаковое количество сульфата меди.) Что получилось? (Растворы). Из чего состоит раствор? (Из растворителя и растворённого вещества). А теперь добавим в один из стаканов ещё немного сульфата меди. Что стало с окраской раствора? (Он стал более насыщенным). Следовательно, чем отличаются эти растворы? (Массовой долей вещ-ва).

Учитель математики: А с математической точки зрения – разное процентное содержание вещества.

Итак, тема урока “Решение задач на растворы”.

Цель урока: Рассмотреть алгоритм решения задач на растворы, познакомить с приемами решения задач в математике и химии, расширить знания о значении этих растворов в быту, сформировать целостную картину о взаимосвязи предметов в школе.

Девиз: “Только из союза двух работающих вместе и при помощи друг друга рождаются великие вещи” Антуан де Сент-Экзюпери.

Учитель математики: Для урока необходимо повторить понятие процента.

– Что называют процентом? (1/100 часть числа).

– Выразите в виде десятичной дроби 17%, 40%, 6%.

– Выразите в виде обыкновенной дроби 25%, 30%, 7%.

– Установите соответствие:

40% 1/4
25% 0,04
80% 0,4
4% 4/5

Одним из основных действий с процентами – нахождение % от числа.

Как найти % от числа? (% записать в виде дроби, умножить число на эту дробь.)

– Найти 10% от 30 (10%=0,1 30·0,1=3).

– Вычислите:

1) 20% от 70;
2) 6% от 20;
3) х% от 7.

Учитель химии

– Что такое раствор? (Однородная система, состоящая из частиц растворенного вещества, растворителя и продуктов их взаимодействия.)

– Приведите примеры растворов, с которыми вы встречаетесь в повседневной жизни. (уксус, нашатырный спирт, раствор марганцовки, перекись водорода и др.)

– Какое вещество чаще всего используется в качестве растворителя? (Вода)

Часто понятие “раствор” мы связываем, прежде всего, с водой, с водными растворами. Есть и другие растворы: например спиртовые раствор йода, одеколона, лекарственные настойки.

Хотя именно вода является самым распространённым соединением и “растворителем” в природе.

3/4 поверхности Земли покрыто водой.

Человек на 70% состоит из воды.

В сутки человек выделяет 3 литра воды и столько же нужно ввести в организм.

Овощи – 90% воды содержат (рекордсмены - огурцы - 98%)
Рыба 80% (рекордсмен у животных – медуза 98%)
Хлеб – 40%
Молоко – 75%

– Что такое массовая доля растворенного вещества? (Отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора.)

– Вспомните формулу для вычисления массовой доли растворенного вещества и производные от нее (w = m (р.в.)/m (р-ра ) ; m (р.в.)= m (р-ра) · w ; m (р-ра) = m (р.в.)/ w )

– По какой формуле можно рассчитать массу раствора? (m(р-ра) = m (р.в.) + m (р-ля)).

Учитель химии предлагает решить учащимся задачу:

Задача №1. Перед посадкой семена томатов дезинфицируют 15%-ным раствором марганцовки. Сколько г марганцовки потребуется для приготовления 500 г такого раствора? (Ответ: 40 г.)

Учитель математики.

– Давайте посмотрим на эту задачу с точки зрения математики. Какое правило на проценты вы применили при решении этой задачи? (Правило нахождения процента от числа.)

15% от 500;

500·0,15=75 (г) – марганцовки.

Ответ: 75 г.

– Как видите, задачи, которые вы встречаете на химии, можно решать на уроках математики без применения химических формул.

Задачам на растворы в школьной программе уделяется очень мало времени, но эти задачи встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах. В этом году на экзамене в 9 классе была задача на смешивание растворов, и она оценивалась в 6 баллов.

Задача №2. При смешивании 10%-го и 30%-го раствора марганцовки получают 200 г 16%-го раствора марганцовки. Сколько граммов каждого раствора взяли?

Можно ли решить эту задачу так быстро?

О чем говорится в этой задаче? (о растворах)

Что происходит с растворами? (смешивают)

Решение:

Раствор %-е содержание Масса раствора (г) Масса вещества (г)

1 раствор
2 раствор

10% = 0,1
30% = 0,3

х
200-х

0,1х
0,3(200-х)

Смесь

16% = 0,16

200

0,16 · 200

0,1х + 0,3(200-х) = 0,16 · 200
0,1х + 60 – 0,3х = 32
-0,2х = -28
х = 140
140 (г) – 10% раствора
200 – 140 = 60 (г) - 30% раствора.

Ответ: 140 г, 60 г.

Учитель математики. Рассмотрим еще один раствор – это уксусная кислота. Водный раствор уксусной кислоты, полученный из вина (5-8%) называют винным уксусом. Разбавленный (6-10%) раствор уксусной кислоты под названием “столовый уксус” используется для приготовления майонеза, маринадов и т.д. Уксусная эссенция 80% раствор. Ее нельзя применять без разбавления для приготовления пищевых продуктов. “Столовый уксус”, используют для приготовления маринадов, майонеза, салатов и других пищевых продуктов. Очень часто при приготовлении блюд под руками оказывается уксусная эссенция. Как из нее получить столовый уксус. Поможет следующая задача.

Задача №3. Какое количество воды и 80%-го раствора уксусной кислоты следует взять для того, чтобы приготовить 200 г столового уксуса (8%-ый раствор уксусной кислоты.)

Решение:

Раствор

%-е содержание

Масса раствора (г)

Масса вещества (г)

Уксусная кислота
Вода

80%=0,8
0%=0

х
200-х

0,8х
0

Смесь

8%=0,08

200

0,08 · 200

0,8х = 0,08 · 200
0,8х = 16
х = 16 : 0,8
х = 20
20 (г) – уксусной кислоты
200 – 20 = 180 (г) – воды.

Ответ: 20 г, 180 г.

Учитель химии. А сейчас мы решим экспериментальную задачу.

Приготовить 20 г 5%-го раствора поваренной соли. (Расчётная часть). Затем выполняем практическую часть. (Напомнить правила Т-Б).

2. Экспериментальная часть (Соблюдать правила техники безопасности).

  1. Уравновесить весы.
  2. Взвесить необходимое количество соли.
  3. Отмерить мерным цилиндром воду.
  4. Смешать воду и соль в стакане.

Учитель математики. Проведем проверочную работу, в которую включили задачи из сборника для подготовке к экзаменам в 9-м классе.

Проверочная работа

При смешивании 15%-го и 8% -го раствора кислоты получают 70 г 10%-го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора взяли? При смешивании 15%-го и 60% -го раствора соли получают 90 г 40%-го раствора соли. Сколько граммов каждого раствора взяли?

15% = 0,15
х
0,15х

15%=0,15
х
0,15х

8% = 0,08
70 - х
0,08(70 - х)

60% = 0,6
90 - х
0,6(90 - х)
см
10% = 0,1
70
0,1 · 70

40% = 0,4
90
0,4 · 90
0,15х + 0,08(70 - х) = 0,1 · 70
0,15х + 5,6 - 0,08х = 7
0,07х = 7 - 5,6
0,07х = 1,4
х = 1,4:0,07
х = 20
20(г) – 15%-го раствора.
70 – 20 = 50 (г) - 8% раствора
Ответ: 20 гр., 50 г.
0,15х + 0,6(90 - х) = 0,4 · 90
0,15х + 54 - 0,6х = 36
-0,45х = 36 - 54
-0,45х =-18
х = 18 : 0,45
х = 40
40 (г) -15% раствора.
90 - 40 = 50 (г) - 60% раствора.
Ответ: 40 гр., 50 г.

Подведение итогов урока

Учитель химии.

– Посмотрите на содержание всех решенных сегодня задач. Что их объединяет? (Задачи на растворы.)

– Действительно, во всех задачах фигурируют водные растворы; расчеты связаны с массовой долей растворенного вещества; и если вы обратили внимание, задачи касаются разных сторон нашего быта.

Учитель математики.

– Посмотрите на эти задачи с точки зрения математики. Что их объединяет? (Задачи на проценты.)

При решении всех этих задач мы используем правило нахождения процента от числа.

Оценки за урок.

Домашнее задание.

Важное место в рационе питания человека, а особенно детей занимает молоко и молочные продукты. Решим такую задачу:

Задача №1. Какую массу молока 10%-й жирности и пломбира 30%-й жирности необходимо взять для приготовления 100 г 20%-го новогоднего коктейля?

Решение:

 

%-е содержание

Масса раствора (г)

Масса вещества (г)

Молоко
Пломбир

10% = 0,1
30% = 0,3

х
100 - х

0,1х
0,3(100 - х)

Коктейль

20% = 0,2

100

0,2 · 100

0,1х + 0,3(100-х) = 0,2 · 100
0,1х + 30 – 0,3х = 20
-0,2х = -10
х = 50
50(г) – молока
100 – 50 = 50(г) – пломбира.
Ответ:50 г молока, 50 г пломбира.

Задача №3. Для засола огурцов используют 7% водный раствор поваренной соли (хлорида натрия NaCl). Именно такой раствор в достаточной мере подавляет жизнедеятельность болезнетворных микроорганизмов и плесневого грибка, и в то же время не препятствует процессам молочнокислого брожения. Рассчитайте массу соли и массу воды для приготовления 1 кг такого раствора?

Рефлексия. (Синквейн)

Раствор
Разбавленный, водный
Растворять, смешивать, решать
Растворы широко встречаются в быту.
Смеси

Наш урок подошел к концу. Сейчас каждый из вас оставит на парте тот смайлик, какое настроение вы приобрели на уроке.

Спасибо за урок!

Процент

Лист к уроку

Презентация

6.01.2013

urok.1sept.ru

Задачи на концентрацию смесей и сплавов

Пусть M – масса смеси, которая содержит некоторое вещество массой m. Тогда концентрацией данного вещества в смеси называют величину C = m/M, а процентным содержанием называют величину C · 100%.

Задачи на смеси и сплавы разделяют на два вида:

а) даны две смеси с массами m1 и m2 с концентрацией в них вещества C1 и C2. Смеси сливают. Требуется определить массу этого вещества в новой смеси и его новую концентрацию.

C1m1 + C2m2 – масса данного вещества в новой смеси.

C = (C1m1 + C2m2) / (m1 + m2) – концентрация вещества в новой смеси. Заметим, что при решении такого рода задач главное не заучивание данных формул, а понимание математической сути решения.

б) изменение объема смесей с помощью долива или отлива. В таких задачах необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией.

Решим несколько задач.

Задача 1.

Имеются два раствора соли. Чтобы получить 10 %-ый  раствор, их смешивают. Причем первого раствора берут вдвое больше, чем второго. Через некоторое время из каждого раствора испарилось по 200 грамм воды на 1 килограмм смеси. Теперь на приготовление такой же смеси первого раствора требуется уже вчетверо больше, чем второго. Какова была концентрация растворов первоначально?

Решение.

1-й способ. Довольно путаное условие. Какие величины надо ввести, чтобы решить задачу? Во-первых, искомые p и q – начальные концентрации, s1 и s2 кг – массы соли, m1 и m2 – массы растворов. Тогда p1 = s1/m1, p2 = s2/m2 – начальные концентрации.

До испарения:

Возьмем 2x первого раствора и x – второго. Всего получим 3x раствора, в котором будет (2s1 + s2) соли. Концентрация соли составляет (2s1 + s2)/3x и равна 10%, т.е. (2s1 + s2)/3x = 0,1. Откуда 2s1 + s2 = 0,3x.

После испарения:

Что изменилось? Соль осталась, а общая масса раствора уменьшилась. Теперь та же доза весит 0,8x, т.к. от каждого килограмма осталось 800 грамм. Четыре дозы первого раствора и одна второго теперь весят
4 · 0,8x + 0,8x = 4x, а соли в них будет 4s1 + s2 = 0,4x.

Таким образом, мы получили четыре уравнения и пять неизвестных. Ясно, что из условия задачи массу раствора найти нельзя, ее можно исключить из уравнений. Для решения системы необходимо уменьшить число неизвестных. Для этого выразим их через искомые величины:

{2p1x + p2x = 0,3x,
{4p1x + p2x = 0,4x.

Разделив на x каждое уравнение системы, легко найти искомые величины.

2-й способ. После подробного разбора посмотрим, где можно сократить решение и какие величины можно не вводить. Так как масса дозы не влияет на ответ, ее можно взять за 1. Величины s1 и s2 так же не участвуют в решении.

Окончательное и рациональное решение выглядит так: Обозначим концентрацию соли в первом и втором растворе p и q. Это значит, что в одном килограмме первого раствора до испарения содержалось p кг соли, а во втором q кг. Возьмем 2 кг первого и 1 кг второго раствора. В этой смеси будет (2p + q) кг соли, что составляет 0,4 кг.

Получили систему

{2p + q = 0,3,
{4p + q = 0,4.

Решая систему, найдем p = 0,05 = 5 %, q = 0,2 = 20 %.

Ответ: 5 % и 20 %.

Как видим, в окончательном решении нам понадобилось всего две переменные. Однако это не означает, что все промежуточные переменные мы вводили зря: они помогли нам лучше разобраться в ситуации и экономно составить уравнения.

Заметим, что в каждом конкретном случае необходимо найти компромисс между красотой решения и усилиями, затраченными на его поиск. Например, на экзамене важно время, особенно если он проводится в тестовой форме, когда учитывается только ответ. А вот на олимпиаде жюри учитывает качество решения не меньше, чем его правильность.

Задача 2.

Первый раствор содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг серной кислоты, при этом процентное содержание кислоты в первом растворе на 10 % больше, чем во втором. Какова масса каждого из растворов, если их общая масса равна 10 кг?

Решение.

Если x кг – масса первого раствора, то (10 – x) кг – масса второго. Процентное содержание серной кислоты в растворах выражается формулами:

(0,8 · 100 %) / x и (0,6 · 100 %) / (10 – x) · 80/x – 60 / (10 – x) = 10 %. Упростив уравнение, получим x2 – 24x + 80 = 0 и найдем x = 4.

Ответ: 4 кг и 6 кг.

Задача 3. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то в новом сплаве масса меди равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.

Решение.

Пусть x, y, z – концентрация меди, олова и цинка (можно брать и процентное содержание).

По условию 20x = 20y + 2 и 30y = 30z + 9.

Имеем систему:

{10x = 10y + 1,
{10y = 10z + 3,
{x + y + z = 1.

Решая систему, получим: x = 0,5; y = 0,4; z = 0,1.

Ответ: 50 %, 40 %, 10 %.

Задачи на смеси и сплавы включены в материалы ГИА и ЕГЭ, часто встречаются на олимпиадах. Кроме того, эти задачи являются хорошим средством развития мышления, а так же имеют  большое практическое значение.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на концентрацию?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Отношение (концентрация). 6-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (514,3 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Цель: создать условия для формирования умений решать задачи на растворы на основе знаний процентов, отношений и умений работы с дробями.

Задачи:

Образовательные

  • повторить понятия проценты, отношения;
  • закрепить знания, умения и навыки решения задач на нахождение числа по его дроби и нахождение дроби от числа, работы с дробями;
  • показать практическую значимость математических знаний для решения задач на концентрацию.

Воспитательные

  • показать практическую значимость математических знаний для решения задач на концентрацию из повседневной жизни;
  • воспитание у учащихся интереса к предмету.

Развивающие

  • развивать наблюдательность, логическое мышление учащихся;
  • развивать жизненную смекалку и интуицию.

Необходимое оборудование и материалы: доска, мел, карточка с задачами, презентация.

План урока:

  1. Мотивационный момент (1 минута).
  2. Подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала (5 минут).
  3. Изучение нового материала (12 минут).
  4. Решение задач на отработку формул (3 мин).
  5. Физминутка (1 минута).
  6. Первичное закрепление нового материала (15минут).
  7. Рефлексия (1 минута).
  8. Подведение итогов. Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока

I. Мотивационный момент.

Ребята, мы с вами решали задачи, содержащие проценты. Мы также знаем, что отношения существуют и между людьми, и между числами, и между величинами. Они часто встречаются в задачах. А могут быть отношения и проценты в задачах на смеси и растворы? Ответ на этот вопрос найдем на уроке.

II. Подготовка к сознательному усвоению нового материала.

(Слайд 2)

  1. Выразить десятичной дробью, а потом обыкновенной: 25%, 10%, 50%, 75%, 125%.
  2. Указать в виде процентов: 0,7; 0,04; 1,3.
  3. Найти 15% от числа 60.
  4. Найти число, 15% которого равны 30.
  5. Из 25 семян взошло 24 семени. Найдите процент всхожести.
  6. Итак, известные нам отношения: (Слайд 3)

Всхожесть = ; .

Значения данных отношений мы представляли в виде процентов.

III. Изучение нового материала.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-нибудь водой. При этом используют слово «концентрация». Как вы понимаете это слово?

В большом энциклопедическом словаре «концентрация (от новолат. concentratio) – сосредоточение, скапливание, собирание кого-либо, чего-либо в к.-л. месте» [1].

Концентрация в химии – величина, выражающая относительное количество данного компонента (независимой составной части) в физико-химической системе (смеси, растворе, сплаве) [2].

Сейчас разберемся с этим понятием с точки зрения математики. (Слайд 4)

Нальем в стакан 150 г воды и растворим в ней 50 г сахара. Какой станет масса раствора?[3]

50+150=200 (г) – масса общая. (Слайд 5)

Раствор тщательно перемешиваем.

Найдите процентное содержание сахара в растворе.

50 : 200=1: 4 = 0,25;

0,25=25%

25% – процентное содержание сахара в данном растворе.

Число 0,25 называют концентрацией сахара в растворе. (Слайд 6)

Итак, в математике, концентрацию можно представить как отношение чистого вещества к раствору (сплаву, смеси).

Концентрация = , т.е. К=.

Как по этой формуле найти Мч.в? Мобщ?

Мч.в. = Мобщ · К

Мобщ = Мч.в: К

(Слайд 7)

IV. Решение задач на отработку формул:

(Слайд 8)

  1. В 500 г раствора содержится 100 г соли. Найдите концентрацию соли в данном растворе. Процентное содержание соли в растворе?
  2. 200 г раствора содержит 80% соли. Найдите массу соли в этом растворе.
  3. Какова масса раствора, в котором 150 г сахара составляют 25%.

Во многих текстовых задачах понятие «концентрация» может быть заменено на:[3] (Слайд 9-10)

Рис.1.

Подумайте, отношение каких величин используется в понятиях «жирность, соленость, проба».

Встречая эти слова в текстах задач, вы должны понимать, что речь идет о «концентрации» того или другого чистого вещества в растворах или сплавах или смесях.

V. Физминутка.

(Слайд 11)

Следите глазами за движениями черепашек.

VI. Первичное закрепление нового материала.

Решим несколько задач на «концентрацию».

(Задачи 1-4 заранее распечатаны на листочке. (Приложение 1) Данные условий задач вносим в таблицу, обсуждаем ход решения. Отвечаем на вопросы к действиям.

Задача 1. В одну банку мама налила 480 г воды и насыпала 120 г сахара, в другую – 840 г воды и 160 г сахара. В какой банке вода слаще? [4] (Слайд 12-13)

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти концентрации сахара в растворах каждой банки и сравнить их.

Решение:

  1. Какова масса раствора в первой банке?
    480+120 = 600 (г)

  2. Какова концентрация сахара в растворе первой банки?
    120:600 = 0,2; 0,2=20%

  3. Какова масса раствора во второй банке?
    840+160 = 1000(г)

  4. Какова концентрация сахара в растворе второй банки?
    160:1000 = 0,16; 0,16=16%

  5. В какой банке вода слаще?
    20% > 16%

Ответ: в первой банке вода слаще.

Задача 2. Смешивают 200 г 80%-го раствора соли и 700 г 20%-го раствора той же соли. Сколько соли в полученном растворе? (Слайд 14-15)

Решение:

80% – это процентное содержание соли в 200г раствора (концентрация 0,8)

  1. Сколько г соли в этом растворе?
    0,8 ·200=160(г)

20% – это содержание соли в 700 г раствора (концентрация соли 0,2)

  1. Сколько г соли во втором растворе?
    0,2·700=140 (г)
  2. Сколько г соли в полученном растворе?
    160+140=300 (г)

Ответ: 300 г.

Задача 3. Какой раствор получится при смешивании 200 г 50% раствора соли и раствора, в котором 150 г соли составляют 25%? (Слайд 16-17)

Решение:

50% – процентное содержание соли в 200 г растворе (концентрация 0,5).

  1. Сколько г соли в этом растворе?
    0,5·200=100 (г)
    Что мы знаем про второй раствор? – Знаем количество соли (150г) и его процентное содержание25% (значит, концентрация соли 0,25)

  2. Какова масса второго раствора?
    150:0,25= 600 (г)
    Чтобы найти концентрацию соли в новом растворе, что надо знать? – Массу соли и массу всего раствора.

  3. Какова масса соли в двух растворах?
    100+150=250 (г)

  4. Какова масса нового раствора?
    200+600 =800 (г)

  5. Какова концентрация соли в новом растворе?
    250:800=0,3125; 0,3125 = 31,25%

Ответ: 31,25%.

Задача для самостоятельного решения (дома).

Задача 4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?[5]

Решение:

  1. Сколько кг соли в морской воде?
    0,05·30=1,5 (кг)
    Пресная вода содержит соль? – Нет. – Значит, масса соли и в новом растворе будет 1,5 кг, но ее концентрация составит уже 0,015.

  2. Какова масса нового раствора (с добавлением пресной воды)?
    1,5: 0,015= 100 (кг)

  3. Сколько пресной воды нужно добавить?
    100 – 30 = 70 (кг)

Ответ: 70 кг.

VII. Этап рефлексии.

(Слайд 18)

Ответ на листочке:

  • Сегодня я узнал….
  • У меня получилось…
  • Было трудно….
  • Было интересно….
  • Теперь я умею…

VIII. Итог урока. Домашнее задание.

(Слайд 19)

№754, 755, подготовить библиографическую справку о Магницком Л.Ф.; о его схеме решения задач на смеси, растворы.

Используемая литература:

  1. Большой энциклопедический словарь. -2-е изд., перераб.и доп. – М.:Большая Российская энциклопедия, 1998. - 1456 с.: ил.
  2. slovari. yandex.ru
  3. festival.1september.ru/articles/520040
  4. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ [Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006. – 302 с. :ил.
  5. Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). В 2-х кн. Кн. 1. Алгебра: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш.шк., 1994. - 528 с.: ил.

26.05.2012

urok.1sept.ru

Урок алгебры в 9-м классе по теме "Решение задач на концентрацию"

Разделы: Математика


Цель урока: развивать у учащихся навыки решения и оформления задач на концентрацию; сформировать общие подходы к решению задач на концентрацию.

Задачи, которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам математики. Они охватывают большой круг ситуаций: жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла. Когда-то они имели исключительно практическое значение. В настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.

Мы рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить алгебраическим способом.

Для успешной работы нам понадобится повторить основные понятия этой темы.

Ход урока

Приложение

I. Фронтальная работа с классом.

1.

Сформулируйте определение концентрации.

(Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси) Нахождение части от целого. В химии вы называли эту величину массовой долей вещества.

Концентрация вещества может быть указана и числом и %.

2

. Объясните значение высказываний:

а)

Концентрация раствора 23 %;

(В 100 г раствора содержится 23 г вещества).

б)

Молоко имеет 1,8 % жирности;

(В100 г молока содержится 1,8 г жира).

в) Сколько сахара содержится в 200 г 10%– го сахарного сиропа?

Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.

3.

К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

(1: 5 ·100 = 20 %)

4.

Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?

(1 : 10 ·100 = 10%)

II. Решение задач

Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующие задачи мы решим с вами с помощью уравнения.

Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

№ 199 Сколько граммов воды надо добавить к 80 % раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 12 % раствор?

Наименование веществ, смесей Масса раствора, г % содержание (доля) вещества Масса соли, г
I раствор 80 15% = 0, 15 0, 15*80 = 12
вода х 0% 0
Новый раствор (80 + х) 12% = 0,12 0,12*(80 + х)

0,12*(80 + х) = 12

(80 + х) = 100

Х = 100 – 80

Х = 20 (г) Ответ: надо добавить 20 г воды.

№ 200 Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20 %?

Наименование веществ, смесей Масса раствора, г % содержание (доля) вещества Масса сахара, г
I сироп 180 25% = 0, 25 0, 25*180 = 45
вода х 0% 0
Новый сироп (180 + х) 20% = 0,2 0,2*(180 + х)

Составим уравнение, используя данные четвертого столбца

0,2*(180 + х) = 45

36 + 0,2х = 45

0,2х = 45 – 36

0,2х = 9

Х = 9:0,2

Х = 45 (г) Ответ: надо добавить 45 г воды.

№ 204 Сколько граммов 30 %-ного раствора надо добавить к 80 г 12 %-ного раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-ный раствор соли?

Наименование веществ, смесей Масса раствора, г % содержание (доля) вещества Масса соли, г
I раствор х 30% = 0, 3 0,3х
I I раствор 80 12% = 0,12 0,12*80 = 9,6
Новый раствор (80 + х) 20% = 0,2 0,2*(80 + х)

Составим уравнение, используя данные четвертого столбца

0,3х + 9,6 = 0,2*(80 + х)

0,3х + 9,6 = 16 + 0,2х

0,3х – 0,2х =16 – 9,6

0,1х = 6,4

Х = 64(г) Ответ: надо добавить 64 г 30 %-ного раствора соли.

№ 205 Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой – 65 %, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?

Наименование веществ, сплава Масса раствора, г % содержание (доля) вещества Масса серебра, г
I слиток х 35% = 0, 35 0,35х
I I слиток (20 – х) 65% = 0,65 0,65(20 – х)
Новый сплав 20 47% = 0,47 0,47*20 = 9,4

Анализируя таблицу, составляем уравнение

0,35х + 0,65(20 – х) = 9,4

0,35х + 13 – 0,65х = 9,4

– 0,3х = 9,4 –13

– 0,3х = – 3,6

Х = – 3,6 : (– 0,3)

Х = 12 (г) 35 %-ного раствора

20 – 12 = 8 (г) 65 %-ного раствора.

Ответ: 12 (г) 35 %-ного раствора; 8 (г) 65 %-ного раствора.

Подведем итог урока. Сегодня мы познакомились с алгебраическим способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним. Дома еще раз осмыслить способ решения и я думаю, что на уроках в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.

3.06.2010

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Задачи на концентрацию

Рассмотрим задачи на концентрацию, в которых речь идет о процентном содержании вещества в сплаве или растворе. В этом случае

В 8-9 классах задачи на концентрацию решаются чаще всего с помощью дробных рациональных уравнений. В качестве примера рассмотрим две задачи на концентрацию.

1) Водно-солевой раствор содержал 8 граммов соли. Спустя некоторое время 20 граммов воды испарилось, и концентрация соли в растворе увеличилась на 2%. Сколько граммов воды содержал первоначальный  раствор?

Решение:

Пусть х граммов воды содержал первоначальный раствор.

Составим и решим уравнение:

   

Обе части уравнения разделим на 2:

   

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как масса не может быть отрицательным числом. Значит, первоначальный раствор содержал 92 грамма воды.

Ответ: 92 г.

2) Кусок меди и цинка, содержащий 9 килограммов цинка, сплавили с 3 килограммами меди. В новом сплаве содержание меди на 10% больше, чем в первоначальном. Сколько килограммов меди было в первоначальном сплаве?

Решение:

Пусть х килограммов меди было в первоначальном сплаве.

Составим и решим уравнение:

   

Обе части уравнения делим на 10:

   

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как масса не может быть отрицательным числом. Значит, в первоначальном сплаве было 6 кг меди.

Ответ: 6 кг.

Задачи на концентрацию, как и задачи на смеси и сплавы, — задачи из курса химии.

www.uznateshe.ru

Интегрированный урок математики и химии по теме "Решение задач на процентную концентрацию, сплавы и растворы"

Разделы: Математика, Химия


Цели урока:

1. Обобщить и закрепить теоретический материал из курса математики и химии:

А) выражение процентов в виде десятичных дробей;
Б) выражение десятичных дробей в процентах;
В) понятия: растворы, примесь, сплав, а также концентрация растворов (процентное содержание растворенного вещества в растворителе).

2. Показать и раскрыть суть способа решения задач на “Конверт Пирсона”, закрепить навыки решения расчетных задач по математике и по химии.

3. Развивать познавательный интерес, реализуя межпредметные связи курсов математики и химии.

Тип урока: Интегрированный урок с химией.

Оборудование урока:

  • карточки с заданиями для самостоятельной работы;
  • карточки с дифференцированными домашними заданиями.

Учителя:

  • математики – Яковлева Н.С.
  • химии – Семенова А.П.

Ход урока

I. Организационный момент:

- сообщение темы, цели урока

- ознакомить учащихся с планом урока.

II. Повторение основных понятий (устно)

  1. Выразить проценты в виде десятичных дробей;
  2. Запишите в процентах десятичные дроби;
  3. Назовите целую и дробные части числа.

III.Фронтальная письменная работа

Учитель химии:

Задача №1:

К 60 г. соли добавили 100 г. воды. Определите содержание соли в растворе (содержимость соли в %).

Решение:

- найдем массу всего раствора: 60+100=160 (г)

- отсюда находим содержание соли в %: 150 г. -100%

60 г. – х

х=60*100/150=40%

Ответ: в растворе 40% соли

Задача №2

К 200г. 20% раствору соли добавили 60г. соли. Найдите концентрацию раствора.

Решение:

1) Находим массу соли в первом растворе:

200г. – 100%

х – 20%

х= 200*20/100 = 40г. соли

2) Найдем всю массу соли: 40+60=100г. соли во всем растворе

3) Находим массу нового раствора: 200+60=260г.

4) Найдем % концентрацию соли в конечном растворе:

260 – 100%

100 – у

у=100*100/260=38,46%

Ответ: в новом растворе содержимость соли будет 38,46%.

Учитель химии:

Ребята, давайте вспомним алгоритм решения задач на “примеси”, “сплавы”, “растворы”.

  1. Если дана масса примеси в условии задачи, то отнимем массу или объем примеси от всей массы (объема) вещества, содержащего примесь.
  2. По необходимости составляет уравнение реакции.
  3. Далее решаем как обычную задачу на составление пропорции.

Для решения задач на смеси растворов применяется метод называемый “конверт Пирсона”.

Сущность этого приема состоит в том, что по диагоналям из большей величины массовой доли растворенного вещества (в %) вычитают меньшую:

где а – большая массовая доля I раствора,

в - меньшая массовая доля II раствора,

с - искомая массовая доля (%) растворенного вещества в растворе.

Задача №3.

Смешали 30% и 10% растворы соленой кислоты и получили 600г. 15% раствора. Сколько граммов каждого вещества взяли?

Решение: (учитель химии) “Конверт Пирсона”:

30%   5%   3 – 450г.
600г. 15%   5  
10%   15%   1 – 150г.

600 : (1+3) = 150г. - 10% раствор.

150*3 = 450г. - 30% раствор.

(учитель математики) Алгебраический:

I раствор – х (г) - 30% кислота - 0,3х

II раствор – у (г) - 10% кислота - 0,1у

Смесь: 600(г) – 15% кислота = > 0,15*600=90(г)

0,15*600=90(г) – кислоты содержит смесь

тогда:

0,3х+0,1у=90

х+у=600

у=450

х=150

Ответ: 150(г) и 450(г)

Задача №4.

(Половина класса решают алгебраическим, другая – применяя “Конверт Пирсона”).

Как приготовить 630 г. 36% раствор из 9% и 72% растворов?

Решение: “Конверт Пирсона”

9%   36   4-360(г)
630(г) 36%   9  
72%   27   3-270(г)

1) 36-9=27, 72-36=36.

2) НОД (36;27) = 9.

3) 36:9=4 (массовой части 9% раствора),

27:9=3 (массовой части 72% раствора).

4) 630:(3+4)=90(г) раствора с соответственно на одну массовую часть раствора

5) 90*4=360(г) – 9% раствор,

90*3=270(г) – 72% раствор.

Алгебраический:

I раствор – х(г) – 9% - 0,9х

II раствор – у(г) – 72% - 0,72у

630(г)-36% -- 0,36*630=226,80 (г)

х+у=630 => у=630-х

0,09х+0,72у=226,80

0,09х+0,72(630-х)=226,80

0,09х+453,6-0,72х=226,80

453,6-226,80=0,72х-0,09х

226,8=0,63х

х=360(г) – 9% раствор

630-360=270(г) – 72% раствор

Ответ:

1 раствор- 9% и весит 360 г,

11 раствор - 72% - 270 г.

Задача №5. (учитель математики)

Имеется два сплава золота и серебра. В одном количества этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение: (Удобно составлять следующую таблицу).

  Взято (кг) Отношение золота к серебру Отношения веса золота к весу сплава Взяли золота (кг)
1 сплав Х 2:3 2:5 2/3 Х
2 сплав 8 – Х 3:7 3:10 3/10 (8 – Х)
новый 8 5:11 5:16 2/3 Х+3/10 (8 – Х)

(2/3 Х+3/10 (8 – 10)) : 8=5/16

Отсюда находим, что х=1

1кг. взяли из 1сплава, 7кг. – 2 сплав.

Ответ: 1 (кг) и 7 (кг).

IV. Самостоятельная работа (Раздаются карточки)

Задача №1

Найдите концентрацию всего раствора, если к 200(г) 40% раствору добавили 300(г) 50% раствора этого вещества.

Решение: (удобно решать алгебраическим способом).

1. Найдем массу соли в каждом растворе:

I раствор – 200(г) – 40% -- 200*0,40=80(г) соли .

II раствор – 300(г) – 50% - 300*0,50=150(г) соли.

Смесь: 500(г) - ? -

2. Найдем концентрацию всего раствора:

500(г) – 100%

230(г) - х-?

х=230*100:500=46% - соли содержится в новом растворе

Ответ: 46%

Задача №2.

Нужно приготовить 25% раствор серной кислоты, смешав 76% и 15% растворы. Сколько надо взять каждого раствора?

Решение: “Конверт Пирсона”:

76%   10 част. 76% раст.
  25%    
15%   51 част. 15% раст.

Ответ:

10 частей – 76% раствора

15 частей - 15% раствора.

Задача №3.

Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 6/7, содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально?

Решение:

Было: х(г) цинка ----------------- Осталось: 1- 0,6 = 0,4 части цинка,
х + 640 г меди ------------- 1 - 6/7 = 1/7 часть меди.

Сплав: 2

00 = 0,4 х + 1/7(х + 640)

Отсюда х = 200.

Значит, первоначально, было 200(г) цинка, 840 (г) меди, а масса сплава равна 200 + 840 = 1 кг 40 г.

Ответ: Сплав весил 1 кг 40 г.

Проверка:

(Открывается задняя сторона доски, ребята проверяют результаты работы своих соседей, совместно с учителями выставляют оценки)

V. Раздаются карточки с заданиями для самостоятельного решения на дом:

(задание дифференцированное, учащиеся сами выбирают, первые 3 задачи легкие, последние 4 - посложнее)

1. К раствору, содержащему 40г. Соли, добавили 200г. воды, в результате чего концентрация уменьшилось на 10%. Сколько воды содержал раствор и каково его процентное содержание?

Ответ: 160 г. воды и 20%

2. Имеется 2 слитка серебра с оловом. В первом слитке имеется 360г. серебра и 40г. олова. Во втором слитке – 450г. серебра и 150г. олова. Сколько взяли от каждого, если масса нового слитка 200г. и содержится в нем 81% серебра?

Ответ: 80 г. и 120г.

3. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали, содержащей 30% никеля?

Ответ: 1 сорт – 40(т) и 2 сорт – 100(т)

4. Имеется два раствора 30% и 3% перекиси водорода, нужно смешать их, чтобы получилось 12% раствор. Как их нужно взять в массовом отношении?

Ответ: 3% раствор нужно взять в 2 раза больше.

5. Имеется 2 слитка сплава золота и меди. В первом слитке содержится 230г. золота и 20г. меди, а во втором – 240г. золота и 60г. меди. От каждого слитка взяли по кусочку, сплавили их и получилось 300г. сплава, в которых 84% золота. Определить массу кусочка, взятого от первого слитка.

Ответ: от 1 слитка взяли 100 (г) золота.

6. Если смешать 6 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получается 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс, тех же растворов, получается 15% раствор. Определить первоначальную концентрацию каждого раствора.

Ответ: 10% и 20%.ъ

7. Два куска латуни имеют массу 30 кг, первый кусок содержит 5кг чистой меди, а второй – 4кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок, если второй содержит меди на 15% больше, чем первый?

VI. Подведение итогов урока.

VII. Выставление оценок.

VIII. Домашнее задание.

Учитель математики:

На следующем уроке сдача зачета №5 и защита домашней работы.

2.04.2008

urok.1sept.ru


Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о