Решение задач по математике на концентрацию растворов – Подготовка к ГИА: задачи на “концентрацию” веществ
- Комментариев к записи Решение задач по математике на концентрацию растворов – Подготовка к ГИА: задачи на “концентрацию” веществ нет
- Разное
- Подготовка к ГИА: задачи на “концентрацию” веществ
- Решение задач на растворы
- Задачи на концентрацию смесей и сплавов
- Отношение (концентрация). 6-й класс
- Урок алгебры в 9-м классе по теме “Решение задач на концентрацию”
- Задачи на концентрацию
- Интегрированный урок математики и химии по теме “Решение задач на процентную концентрацию, сплавы и растворы”
Подготовка к ГИА: задачи на “концентрацию” веществ
Разделы: Математика
1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.
2. Не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.
Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из
веществ А, В, С (которые имеют массы
соответственно а, в, с) то величина (соответственно , ) называется концентрацией
вещества А (соответственно В, С ).
Величина *
100% (соответственно * 100%, * 100%) называется процентным содержанием
вещества А (соответственно В,
С). + + =
1.
При составлении уравнения обычно прослеживают
содержание какого-нибудь одного вещества из тех,
которые смешиваются ( сплавляются и т. п. ).
В задачах на составление уравнений и
неравенств полезным оказываются всевозможные
таблицы, диаграммы и схемы. Это необходимо, как
чертеж при решении геометрической задачи.
Оформление первого этапа математического
моделирования задач на «смеси и сплавы» в виде
таблиц способствует более глубокому
пониманию процесса решения такого типа задач.
Практически для всех рассмотренных задач
удалось составить таблицу. Рассмотрим
примеры типовых задач ГИА.
Имеется 200г 30%-го раствора уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?
Решение.
х г воды надо добавить к раствору.
Процентное содержание кислоты | Вес раствора, г | Вес кислоты, г | |
Данный раствор | 30% | 200 | 200 * 0,3 |
Новый раствор | 6% | 200 + х | 0,06(200 + х) |
0,06(200 + х) = 60,
200 + х = 1000,
х = 800. 800г воды надо добавить.
Ответ: 800г.
Сколько г сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%.
Решение.
Процентное содержание сахара | Вес раствора, г | Вес сахара, г | |
Сироп | 25% | х | 0,25х |
Новый раствор | 5% | 200 + х | 0,05(200 + х) |
0,25х = 0,05(200 + х),
5х = 200 х,
4х = 200,
х = 50. 50г сиропа надо добавить.
Ответ: 50г.
Сколько г 15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.
Решение.
Процентное содержание соли | Вес раствора, г | Вес соли, г | |
Первый раствор | 15% | х | 0,15х |
Второй раствор | 60% | 50 | 0,6 * 50 |
Смесь | 40% | х + 50 | 0,4(х + 50) |
0,4(х + 50) = 0,15х + 30,
0,4х + 20 = 0,15х + 30,
0,25х = 10,
х = 40. 40 г 15%-ного раствора соли надо добавить.
Ответ: 40г.
Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в каждом сосуде?
Решение.
Первая ситуация.
Процентное содержание кислоты | Вес раствора, кг | Вес кислоты, кг | |
Первый раствор | х% | 4 | 0,01х * 4 |
Второй раствор | у% | 6 | 0,01у * 6 |
Смесь | 35% | 10 | 0,35 * 10 |
0,04х + 0,06у = 3,5.
Вторая ситуация.
Процентное содержание кислоты | Вес раствора, кг | Вес кислоты, кг | |
Первый раствор | х% | m | 0,01 хm |
Второй раствор | у% | m | 0,01 уm |
Смесь | 36% | 2m | 0,36 * 2m |
0,01хm + 0,01уm = 0,72m,
0,01х + 0,01у = 0,72.
Решая систему из составленных уравнений, получаем
х = 41 и у = 31. 0,41 * 4 = 1,64(кг) в первом сосуде.
0,31 * 6 = 1,86(кг) во втором сосуде.
Ответ: 1,64 кг. 1,86 кг.
В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором – 45%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?
Решение.
Процентное содержание меди | Вес сплава | Вес меди | |
Первый сплав | 25% | х | 0,25х |
Второй сплав | 45% | у | 0.45у |
Новый сплав | 30% | х+у | 0,3(х + у) |
0,25х + 0,45у = 0,3(х + у),
– 0,05х = – 0,15у,
х = 3у. х : у = 3 : 1.
Ответ: 3 : 1.
В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.
Решение.
Вес меди | Вес цинка | Вес сплава | |
Данный сплав | х | у | х + у |
Новый сплав | х + 0,4х | у – 0,4у | 1,2(х + у) |
1,4х + 0,6у = 1,2(х + у),
0,2х = 0,6у,
х = 3у,
х : у = 3 : 1.
100 : 4 * 3 = 75(%),
100 – 75 = 25(%).
Ответ: 25%, 75%.
Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?
Решение.
Вес золота, кг | Вес серебра, кг | Вес сплава, кг | Процентное содержание золота | |
Данный сплав | 80 | х | 80 + х | * 100 |
Новый сплав | 180 | х | 180 + х | * 100 |
– = 20,
х = 120.120 кг серебра в сплаве.
Ответ: 120 кг.
Литература.
1. М.Н. Кочагина , В.В.Кочагин.
Математика: 9 класс: Подготовка к « малому
ЕГЭ», Москва. Эксмо, 2008.
2. Л.В.Кузнецова и др. Алгебра: сборник
заданий для подготовки к государственной
итоговой аттестации. Москва. «Просвещение». 2011.
3. Учебно-методическое пособие под редакцией
Ф.Ф. Лысенко. Алгебра 9 класс. Подготовка к
итоговой аттестации. Ростов-на-Дону, 2010.
Приложение 1
3.06.2012
Поделиться страницей:urok.1sept.ru
Решение задач на растворы
Разделы: Математика, Химия
Цели урока: Рассмотреть алгоритм решения задач на растворы: познакомиться с приемами решения задач в математике и химии, рассмотреть биологическое значение воды как универсального растворителя, развить практические умения решать задачи, расширить знания учащихся о значении этих веществ в природе и деятельности человека, сформировать целостную картину о взаимосвязи предметов в школе.
Ход урока
Организационный момент
Учитель математики: Здравствуйте! Сегодня мы проводим необычный урок – урок на перекрестке наук математики и химии.
Учитель химии: Здравствуйте, ребята! Мы с вами увидим, как математические методы решения задач помогают при решении задач по химии.
А чтобы сформулировать тему урока, давайте проделаем небольшой эксперимент.
(Наливаю в 2 хим. стакана воду, добавляю в оба одинаковое количество сульфата меди.) Что получилось? (Растворы). Из чего состоит раствор? (Из растворителя и растворённого вещества). А теперь добавим в один из стаканов ещё немного сульфата меди. Что стало с окраской раствора? (Он стал более насыщенным). Следовательно, чем отличаются эти растворы? (Массовой долей вещ-ва).
Учитель математики: А с математической точки зрения – разное процентное содержание вещества.
Итак, тема урока “Решение задач на растворы”.
Цель урока: Рассмотреть алгоритм решения задач на растворы, познакомить с приемами решения задач в математике и химии, расширить знания о значении этих растворов в быту, сформировать целостную картину о взаимосвязи предметов в школе.
Девиз: “Только из союза двух работающих вместе и при помощи друг друга рождаются великие вещи” Антуан де Сент-Экзюпери.
Учитель математики: Для урока необходимо повторить понятие процента.
– Что называют процентом? (1/100 часть числа).
– Выразите в виде десятичной дроби 17%, 40%, 6%.
– Выразите в виде обыкновенной дроби 25%, 30%, 7%.
– Установите соответствие:
40% | 1/4 |
25% | 0,04 |
80% | 0,4 |
4% | 4/5 |
Одним из основных действий с процентами – нахождение % от числа.
Как найти % от числа? (% записать в виде дроби, умножить число на эту дробь.)
– Найти 10% от 30 (10%=0,1 30·0,1=3).
– Вычислите:
1) 20% от 70;
2) 6% от 20;
3) х% от 7.
Учитель химии
– Что такое раствор? (Однородная система, состоящая из частиц растворенного вещества, растворителя и продуктов их взаимодействия.)
– Приведите примеры растворов, с которыми вы встречаетесь в повседневной жизни. (уксус, нашатырный спирт, раствор марганцовки, перекись водорода и др.)
– Какое вещество чаще всего используется в качестве растворителя? (Вода)
Часто понятие “раствор” мы связываем, прежде всего, с водой, с водными растворами. Есть и другие растворы: например спиртовые раствор йода, одеколона, лекарственные настойки.
Хотя именно вода является самым распространённым соединением и “растворителем” в природе.
3/4 поверхности Земли покрыто водой.
Человек на 70% состоит из воды.
В сутки человек выделяет 3 литра воды и столько же нужно ввести в организм.
Овощи – 90% воды содержат (рекордсмены – огурцы - 98%)
Рыба 80% (рекордсмен у животных – медуза 98%)
Хлеб – 40%
Молоко – 75%
– Что такое массовая доля растворенного вещества? (Отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора.)
– Вспомните формулу для вычисления массовой доли растворенного вещества и производные от нее (w = m (р.в.)/m (р-ра ) ; m (р.в.)= m (р-ра) · w ; m (р-ра) = m (р.в.)/ w )
– По какой формуле можно рассчитать массу раствора? (m(р-ра) = m (р.в.) + m (р-ля)).
Учитель химии предлагает решить учащимся задачу:
Задача №1. Перед посадкой семена томатов дезинфицируют 15%-ным раствором марганцовки. Сколько г марганцовки потребуется для приготовления 500 г такого раствора? (Ответ: 40 г.)
Учитель математики.
– Давайте посмотрим на эту задачу с точки зрения математики. Какое правило на проценты вы применили при решении этой задачи? (Правило нахождения процента от числа.)
15% от 500;
500·0,15=75 (г) – марганцовки.
Ответ: 75 г.
– Как видите, задачи, которые вы встречаете на химии, можно решать на уроках математики без применения химических формул.
Задачам на растворы в школьной программе уделяется очень мало времени, но эти задачи встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах. В этом году на экзамене в 9 классе была задача на смешивание растворов, и она оценивалась в 6 баллов.
Задача №2. При смешивании 10%-го и 30%-го раствора марганцовки получают 200 г 16%-го раствора марганцовки. Сколько граммов каждого раствора взяли?
Можно ли решить эту задачу так быстро?
О чем говорится в этой задаче? (о растворах)
Что происходит с растворами? (смешивают)
Решение:
Раствор | %-е содержание | Масса раствора (г) | Масса вещества (г) |
1 раствор |
10% = 0,1 |
х |
0,1х |
Смесь |
16% = 0,16 |
200 |
0,16 · 200 |
0,1х + 0,3(200-х) = 0,16 · 200
0,1х + 60 – 0,3х = 32
-0,2х = -28
х = 140
140 (г) – 10% раствора
200 – 140 = 60 (г) – 30% раствора.
Ответ: 140 г, 60 г.
Учитель математики. Рассмотрим еще один раствор – это уксусная кислота. Водный раствор уксусной кислоты, полученный из вина (5-8%) называют винным уксусом. Разбавленный (6-10%) раствор уксусной кислоты под названием “столовый уксус” используется для приготовления майонеза, маринадов и т.д. Уксусная эссенция 80% раствор. Ее нельзя применять без разбавления для приготовления пищевых продуктов. “Столовый уксус”, используют для приготовления маринадов, майонеза, салатов и других пищевых продуктов. Очень часто при приготовлении блюд под руками оказывается уксусная эссенция. Как из нее получить столовый уксус. Поможет следующая задача.
Задача №3. Какое количество воды и 80%-го раствора уксусной кислоты следует взять для того, чтобы приготовить 200 г столового уксуса (8%-ый раствор уксусной кислоты.)
Решение:
Раствор |
%-е содержание |
Масса раствора (г) |
Масса вещества (г) |
Уксусная кислота |
80%=0,8 |
х |
0,8х |
Смесь |
8%=0,08 |
200 |
0,08 · 200 |
0,8х = 0,08 · 200
0,8х = 16
х = 16 : 0,8
х = 20
20 (г) – уксусной кислоты
200 – 20 = 180 (г) – воды.
Ответ: 20 г, 180 г.
Учитель химии. А сейчас мы решим экспериментальную задачу.
Приготовить 20 г 5%-го раствора поваренной соли. (Расчётная часть). Затем выполняем практическую часть. (Напомнить правила Т-Б).
2. Экспериментальная часть (Соблюдать правила техники безопасности).
- Уравновесить весы.
- Взвесить необходимое количество соли.
- Отмерить мерным цилиндром воду.
- Смешать воду и соль в стакане.
Учитель математики. Проведем проверочную работу, в которую включили задачи из сборника для подготовке к экзаменам в 9-м классе.
Проверочная работа
При смешивании 15%-го и 8% -го раствора кислоты получают 70 г 10%-го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора взяли? | При смешивании 15%-го и 60% -го раствора соли получают 90 г 40%-го раствора соли. Сколько граммов каждого раствора взяли? |
1р 15% = 0,15 х 0,15х |
1р 15%=0,15 х 0,15х |
2р 8% = 0,08 70 – х 0,08(70 – х) |
2р 60% = 0,6 90 – х 0,6(90 – х) |
см 10% = 0,1 70 0,1 · 70 |
3р 40% = 0,4 90 0,4 · 90 |
0,15х + 0,08(70 – х) = 0,1 · 70 0,15х + 5,6 – 0,08х = 7 0,07х = 7 – 5,6 0,07х = 1,4 х = 1,4:0,07 х = 20 20(г) – 15%-го раствора. 70 – 20 = 50 (г) – 8% раствора Ответ: 20 гр., 50 г. |
0,15х + 0,6(90 – х) = 0,4 · 90 0,15х + 54 – 0,6х = 36 -0,45х = 36 – 54 -0,45х =-18 х = 18 : 0,45 х = 40 40 (г) -15% раствора. 90 – 40 = 50 (г) – 60% раствора. Ответ: 40 гр., 50 г. |
Подведение итогов урока
Учитель химии.
– Посмотрите на содержание всех решенных сегодня задач. Что их объединяет? (Задачи на растворы.)
– Действительно, во всех задачах фигурируют водные растворы; расчеты связаны с массовой долей растворенного вещества; и если вы обратили внимание, задачи касаются разных сторон нашего быта.
Учитель математики.
– Посмотрите на эти задачи с точки зрения математики. Что их объединяет? (Задачи на проценты.)
При решении всех этих задач мы используем правило нахождения процента от числа.
Оценки за урок.
Домашнее задание.
Важное место в рационе питания человека, а особенно детей занимает молоко и молочные продукты. Решим такую задачу:
Задача №1. Какую массу молока 10%-й жирности и пломбира 30%-й жирности необходимо взять для приготовления 100 г 20%-го новогоднего коктейля?
Решение:
%-е содержание |
Масса раствора (г) |
Масса вещества (г) |
|
Молоко |
10% = 0,1 |
х |
0,1х |
Коктейль |
20% = 0,2 |
100 |
0,2 · 100 |
0,1х + 0,3(100-х) = 0,2 · 100
0,1х + 30 – 0,3х = 20
-0,2х = -10
х = 50
50(г) – молока
100 – 50 = 50(г) – пломбира.
Ответ:50 г молока, 50 г пломбира.
Задача №3. Для засола огурцов используют 7% водный раствор поваренной соли (хлорида натрия NaCl). Именно такой раствор в достаточной мере подавляет жизнедеятельность болезнетворных микроорганизмов и плесневого грибка, и в то же время не препятствует процессам молочнокислого брожения. Рассчитайте массу соли и массу воды для приготовления 1 кг такого раствора?
Рефлексия. (Синквейн)
Раствор
Разбавленный, водный
Растворять, смешивать, решать
Растворы широко встречаются в быту.
Смеси
Наш урок подошел к концу. Сейчас каждый из вас оставит на парте тот смайлик, какое настроение вы приобрели на уроке.
Спасибо за урок!
Процент
Лист к уроку
Презентация
6.01.2013
urok.1sept.ru
Задачи на концентрацию смесей и сплавов
Пусть M – масса смеси, которая содержит некоторое вещество массой m. Тогда концентрацией данного вещества в смеси называют величину C = m/M, а процентным содержанием называют величину C · 100%.
Задачи на смеси и сплавы разделяют на два вида:
а) даны две смеси с массами m1 и m2 с концентрацией в них вещества C1 и C2. Смеси сливают. Требуется определить массу этого вещества в новой смеси и его новую концентрацию.
C1m1 + C2m2 – масса данного вещества в новой смеси.
C = (C1m1 + C2m2) / (m1 + m2) – концентрация вещества в новой смеси. Заметим, что при решении такого рода задач главное не заучивание данных формул, а понимание математической сути решения.
б) изменение объема смесей с помощью долива или отлива. В таких задачах необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией.
Решим несколько задач.
Задача 1.
Имеются два раствора соли. Чтобы получить 10 %-ый раствор, их смешивают. Причем первого раствора берут вдвое больше, чем второго. Через некоторое время из каждого раствора испарилось по 200 грамм воды на 1 килограмм смеси. Теперь на приготовление такой же смеси первого раствора требуется уже вчетверо больше, чем второго. Какова была концентрация растворов первоначально?
Решение.
1-й способ. Довольно путаное условие. Какие величины надо ввести, чтобы решить задачу? Во-первых, искомые p и q – начальные концентрации, s1 и s2 кг – массы соли, m1 и m2 – массы растворов. Тогда p1 = s1/m1, p2 = s2/m2 – начальные концентрации.
До испарения:
Возьмем 2x первого раствора и x – второго. Всего получим 3x раствора, в котором будет (2s1 + s2) соли. Концентрация соли составляет (2s1 + s2)/3x и равна 10%, т.е. (2s1 + s2)/3x = 0,1. Откуда 2s1 + s2 = 0,3x.
После испарения:
Что изменилось? Соль осталась, а общая масса раствора уменьшилась. Теперь та же доза весит 0,8x, т.к. от каждого килограмма осталось 800 грамм. Четыре дозы первого раствора и одна второго теперь весят
4 · 0,8x + 0,8x = 4x, а соли в них будет 4s1 + s2 = 0,4x.
Таким образом, мы получили четыре уравнения и пять неизвестных. Ясно, что из условия задачи массу раствора найти нельзя, ее можно исключить из уравнений. Для решения системы необходимо уменьшить число неизвестных. Для этого выразим их через искомые величины:
{2p1x + p2x = 0,3x,
{4p1x + p2x = 0,4x.
Разделив на x каждое уравнение системы, легко найти искомые величины.
2-й способ. После подробного разбора посмотрим, где можно сократить решение и какие величины можно не вводить. Так как масса дозы не влияет на ответ, ее можно взять за 1. Величины s1 и s2 так же не участвуют в решении.
Окончательное и рациональное решение выглядит так: Обозначим концентрацию соли в первом и втором растворе p и q. Это значит, что в одном килограмме первого раствора до испарения содержалось p кг соли, а во втором q кг. Возьмем 2 кг первого и 1 кг второго раствора. В этой смеси будет (2p + q) кг соли, что составляет 0,4 кг.
Получили систему
{2p + q = 0,3,
{4p + q = 0,4.
Решая систему, найдем p = 0,05 = 5 %, q = 0,2 = 20 %.
Ответ: 5 % и 20 %.
Как видим, в окончательном решении нам понадобилось всего две переменные. Однако это не означает, что все промежуточные переменные мы вводили зря: они помогли нам лучше разобраться в ситуации и экономно составить уравнения.
Заметим, что в каждом конкретном случае необходимо найти компромисс между красотой решения и усилиями, затраченными на его поиск. Например, на экзамене важно время, особенно если он проводится в тестовой форме, когда учитывается только ответ. А вот на олимпиаде жюри учитывает качество решения не меньше, чем его правильность.
Задача 2.
Первый раствор содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг серной кислоты, при этом процентное содержание кислоты в первом растворе на 10 % больше, чем во втором. Какова масса каждого из растворов, если их общая масса равна 10 кг?
Решение.
Если x кг – масса первого раствора, то (10 – x) кг – масса второго. Процентное содержание серной кислоты в растворах выражается формулами:
(0,8 · 100 %) / x и (0,6 · 100 %) / (10 – x) · 80/x – 60 / (10 – x) = 10 %. Упростив уравнение, получим x2 – 24x + 80 = 0 и найдем x = 4.
Ответ: 4 кг и 6 кг.
Задача 3. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то в новом сплаве масса меди равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.
Решение.
Пусть x, y, z – концентрация меди, олова и цинка (можно брать и процентное содержание).
По условию 20x = 20y + 2 и 30y = 30z + 9.
Имеем систему:
{10x = 10y + 1,
{10y = 10z + 3,
{x + y + z = 1.
Решая систему, получим: x = 0,5; y = 0,4; z = 0,1.
Ответ: 50 %, 40 %, 10 %.
Задачи на смеси и сплавы включены в материалы ГИА и ЕГЭ, часто встречаются на олимпиадах. Кроме того, эти задачи являются хорошим средством развития мышления, а так же имеют большое практическое значение.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на концентрацию?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Отношение (концентрация). 6-й класс
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (514,3 кБ)
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель: создать условия для формирования умений решать задачи на растворы на основе знаний процентов, отношений и умений работы с дробями.
Задачи:
Образовательные
- повторить понятия проценты, отношения;
- закрепить знания, умения и навыки решения задач на нахождение числа по его дроби и нахождение дроби от числа, работы с дробями;
- показать практическую значимость математических знаний для решения задач на концентрацию.
Воспитательные
- показать практическую значимость математических знаний для решения задач на концентрацию из повседневной жизни;
- воспитание у учащихся интереса к предмету.
Развивающие
- развивать наблюдательность, логическое мышление учащихся;
- развивать жизненную смекалку и интуицию.
Необходимое оборудование и материалы: доска, мел, карточка с задачами, презентация.
План урока:
- Мотивационный момент (1 минута).
- Подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала (5 минут).
- Изучение нового материала (12 минут).
- Решение задач на отработку формул (3 мин).
- Физминутка (1 минута).
- Первичное закрепление нового материала (15минут).
- Рефлексия (1 минута).
- Подведение итогов. Домашнее задание (2 минуты).
Ход урока
I. Мотивационный момент.
Ребята, мы с вами решали задачи, содержащие проценты. Мы также знаем, что отношения существуют и между людьми, и между числами, и между величинами. Они часто встречаются в задачах. А могут быть отношения и проценты в задачах на смеси и растворы? Ответ на этот вопрос найдем на уроке.
II. Подготовка к сознательному усвоению нового материала.
(Слайд 2)
- Выразить десятичной дробью, а потом обыкновенной: 25%, 10%, 50%, 75%, 125%.
- Указать в виде процентов: 0,7; 0,04; 1,3.
- Найти 15% от числа 60.
- Найти число, 15% которого равны 30.
- Из 25 семян взошло 24 семени. Найдите процент всхожести.
- Итак, известные нам отношения: (Слайд 3)
Всхожесть = ; .
Значения данных отношений мы представляли в виде процентов.
III. Изучение нового материала.
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-нибудь водой. При этом используют слово «концентрация». Как вы понимаете это слово?
В большом энциклопедическом словаре «концентрация (от новолат. concentratio) – сосредоточение, скапливание, собирание кого-либо, чего-либо в к.-л. месте» [1].
Концентрация в химии – величина, выражающая относительное количество данного компонента (независимой составной части) в физико-химической системе (смеси, растворе, сплаве) [2].
Сейчас разберемся с этим понятием с точки зрения математики. (Слайд 4)
Нальем в стакан 150 г воды и растворим в ней 50 г сахара. Какой станет масса раствора?[3]
50+150=200 (г) – масса общая. (Слайд 5)
Раствор тщательно перемешиваем.
Найдите процентное содержание сахара в растворе.
50 : 200=1: 4 = 0,25;
0,25=25%
25% – процентное содержание сахара в данном растворе.
Число 0,25 называют концентрацией сахара в растворе. (Слайд 6)
Итак, в математике, концентрацию можно представить как отношение чистого вещества к раствору (сплаву, смеси).
Концентрация = , т.е. К=.
Как по этой формуле найти Мч.в? Мобщ?
Мч.в. = Мобщ · К
Мобщ = Мч.в: К
(Слайд 7)
IV. Решение задач на отработку формул:
(Слайд 8)
- В 500 г раствора содержится 100 г соли. Найдите концентрацию соли в данном растворе. Процентное содержание соли в растворе?
- 200 г раствора содержит 80% соли. Найдите массу соли в этом растворе.
- Какова масса раствора, в котором 150 г сахара составляют 25%.
Во многих текстовых задачах понятие «концентрация» может быть заменено на:[3] (Слайд 9-10)
Рис.1.
Подумайте, отношение каких величин используется в понятиях «жирность, соленость, проба».
Встречая эти слова в текстах задач, вы должны понимать, что речь идет о «концентрации» того или другого чистого вещества в растворах или сплавах или смесях.
V. Физминутка.
(Слайд 11)
Следите глазами за движениями черепашек.
VI. Первичное закрепление нового материала.
Решим несколько задач на «концентрацию».
(Задачи 1-4 заранее распечатаны на листочке. (Приложение 1) Данные условий задач вносим в таблицу, обсуждаем ход решения. Отвечаем на вопросы к действиям.
Задача 1. В одну банку мама налила 480 г воды и насыпала 120 г сахара, в другую – 840 г воды и 160 г сахара. В какой банке вода слаще? [4] (Слайд 12-13)
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти концентрации сахара в растворах каждой банки и сравнить их.
Решение:
-
Какова масса раствора в первой банке?
480+120 = 600 (г) -
Какова концентрация сахара в растворе первой банки?
120:600 = 0,2; 0,2=20% -
Какова масса раствора во второй банке?
840+160 = 1000(г) -
Какова концентрация сахара в растворе второй банки?
160:1000 = 0,16; 0,16=16% -
В какой банке вода слаще?
20% > 16%
Ответ: в первой банке вода слаще.
Задача 2. Смешивают 200 г 80%-го раствора соли и 700 г 20%-го раствора той же соли. Сколько соли в полученном растворе? (Слайд 14-15)
Решение:
80% – это процентное содержание соли в 200г раствора (концентрация 0,8)
- Сколько г соли в этом растворе?
0,8 ·200=160(г)
20% – это содержание соли в 700 г раствора (концентрация соли 0,2)
- Сколько г соли во втором растворе?
0,2·700=140 (г) - Сколько г соли в полученном растворе?
160+140=300 (г)
Ответ: 300 г.
Задача 3. Какой раствор получится при смешивании 200 г 50% раствора соли и раствора, в котором 150 г соли составляют 25%? (Слайд 16-17)
Решение:
50% – процентное содержание соли в 200 г растворе (концентрация 0,5).
-
Сколько г соли в этом растворе?
0,5·200=100 (г)
Что мы знаем про второй раствор? – Знаем количество соли (150г) и его процентное содержание25% (значит, концентрация соли 0,25) -
Какова масса второго раствора?
150:0,25= 600 (г)
Чтобы найти концентрацию соли в новом растворе, что надо знать? – Массу соли и массу всего раствора. -
Какова масса соли в двух растворах?
100+150=250 (г) -
Какова масса нового раствора?
200+600 =800 (г) -
Какова концентрация соли в новом растворе?
250:800=0,3125; 0,3125 = 31,25%
Ответ: 31,25%.
Задача для самостоятельного решения (дома).
Задача 4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?[5]
Решение:
-
Сколько кг соли в морской воде?
0,05·30=1,5 (кг)
Пресная вода содержит соль? – Нет. – Значит, масса соли и в новом растворе будет 1,5 кг, но ее концентрация составит уже 0,015. -
Какова масса нового раствора (с добавлением пресной воды)?
1,5: 0,015= 100 (кг) -
Сколько пресной воды нужно добавить?
100 – 30 = 70 (кг)
Ответ: 70 кг.
VII. Этап рефлексии.
(Слайд 18)
Ответ на листочке:
- Сегодня я узнал….
- У меня получилось…
- Было трудно….
- Было интересно….
- Теперь я умею…
VIII. Итог урока. Домашнее задание.
(Слайд 19)
№754, 755, подготовить библиографическую справку о Магницком Л.Ф.; о его схеме решения задач на смеси, растворы.
Используемая литература:
- Большой энциклопедический словарь. -2-е изд., перераб.и доп. – М.:Большая Российская энциклопедия, 1998. – 1456 с.: ил.
- slovari. yandex.ru
- festival.1september.ru/articles/520040
- Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ [Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006. – 302 с. :ил.
- Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). В 2-х кн. Кн. 1. Алгебра: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш.шк., 1994. – 528 с.: ил.
26.05.2012
urok.1sept.ru
Урок алгебры в 9-м классе по теме “Решение задач на концентрацию”
Разделы: Математика
Цель урока: развивать у учащихся навыки решения и оформления задач на концентрацию; сформировать общие подходы к решению задач на концентрацию.
Задачи, которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам математики. Они охватывают большой круг ситуаций: жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла. Когда-то они имели исключительно практическое значение. В настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.
Мы рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить алгебраическим способом.
Для успешной работы нам понадобится повторить основные понятия этой темы.
Ход урока
Приложение
I. Фронтальная работа с классом.
1.
Сформулируйте определение концентрации.(Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси) Нахождение части от целого. В химии вы называли эту величину массовой долей вещества.
Концентрация вещества может быть указана и числом и %.
2
. Объясните значение высказываний:а)
Концентрация раствора 23 %;(В 100 г раствора содержится 23 г вещества).
б)
Молоко имеет 1,8 % жирности;(В100 г молока содержится 1,8 г жира).
в) Сколько сахара содержится в 200 г 10%– го сахарного сиропа?
Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.
3.
К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?(1: 5 ·100 = 20 %)
4.
Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?(1 : 10 ·100 = 10%)
II. Решение задач
Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующие задачи мы решим с вами с помощью уравнения.
Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
№ 199 Сколько граммов воды надо добавить к 80 % раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 12 % раствор?
Наименование веществ, смесей | Масса раствора, г | % содержание (доля) вещества | Масса соли, г |
I раствор | 80 | 15% = 0, 15 | 0, 15*80 = 12 |
вода | х | 0% | 0 |
Новый раствор | (80 + х) | 12% = 0,12 | 0,12*(80 + х) |
0,12*(80 + х) = 12
(80 + х) = 100
Х = 100 – 80
Х = 20 (г) Ответ: надо добавить 20 г воды.
№ 200 Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20 %?
Наименование веществ, смесей | Масса раствора, г | % содержание (доля) вещества | Масса сахара, г |
I сироп | 180 | 25% = 0, 25 | 0, 25*180 = 45 |
вода | х | 0% | 0 |
Новый сироп | (180 + х) | 20% = 0,2 | 0,2*(180 + х) |
Составим уравнение, используя данные четвертого столбца
0,2*(180 + х) = 45
36 + 0,2х = 45
0,2х = 45 – 36
0,2х = 9
Х = 9:0,2
Х = 45 (г) Ответ: надо добавить 45 г воды.
№ 204 Сколько граммов 30 %-ного раствора надо добавить к 80 г 12 %-ного раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-ный раствор соли?
Наименование веществ, смесей | Масса раствора, г | % содержание (доля) вещества | Масса соли, г |
I раствор | х | 30% = 0, 3 | 0,3х |
I I раствор | 80 | 12% = 0,12 | 0,12*80 = 9,6 |
Новый раствор | (80 + х) | 20% = 0,2 | 0,2*(80 + х) |
Составим уравнение, используя данные четвертого столбца
0,3х + 9,6 = 0,2*(80 + х)
0,3х + 9,6 = 16 + 0,2х
0,3х – 0,2х =16 – 9,6
0,1х = 6,4
Х = 64(г) Ответ: надо добавить 64 г 30 %-ного раствора соли.
№ 205 Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой – 65 %, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?
Наименование веществ, сплава | Масса раствора, г | % содержание (доля) вещества | Масса серебра, г |
I слиток | х | 35% = 0, 35 | 0,35х |
I I слиток | (20 – х) | 65% = 0,65 | 0,65(20 – х) |
Новый сплав | 20 | 47% = 0,47 | 0,47*20 = 9,4 |
Анализируя таблицу, составляем уравнение
0,35х + 0,65(20 – х) = 9,4
0,35х + 13 – 0,65х = 9,4
– 0,3х = 9,4 –13
– 0,3х = – 3,6
Х = – 3,6 : (– 0,3)
Х = 12 (г) 35 %-ного раствора
20 – 12 = 8 (г) 65 %-ного раствора.
Ответ: 12 (г) 35 %-ного раствора; 8 (г) 65 %-ного раствора.
Подведем итог урока. Сегодня мы познакомились с алгебраическим способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним. Дома еще раз осмыслить способ решения и я думаю, что на уроках в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.
3.06.2010
Поделиться страницей:urok.1sept.ru
Задачи на концентрацию
Рассмотрим задачи на концентрацию, в которых речь идет о процентном содержании вещества в сплаве или растворе. В этом случае
В 8-9 классах задачи на концентрацию решаются чаще всего с помощью дробных рациональных уравнений. В качестве примера рассмотрим две задачи на концентрацию.
1) Водно-солевой раствор содержал 8 граммов соли. Спустя некоторое время 20 граммов воды испарилось, и концентрация соли в растворе увеличилась на 2%. Сколько граммов воды содержал первоначальный раствор?
Решение:
Пусть х граммов воды содержал первоначальный раствор.
Составим и решим уравнение:
Обе части уравнения разделим на 2:
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как масса не может быть отрицательным числом. Значит, первоначальный раствор содержал 92 грамма воды.
Ответ: 92 г.
2) Кусок меди и цинка, содержащий 9 килограммов цинка, сплавили с 3 килограммами меди. В новом сплаве содержание меди на 10% больше, чем в первоначальном. Сколько килограммов меди было в первоначальном сплаве?
Решение:
Пусть х килограммов меди было в первоначальном сплаве.
Составим и решим уравнение:
Обе части уравнения делим на 10:
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как масса не может быть отрицательным числом. Значит, в первоначальном сплаве было 6 кг меди.
Ответ: 6 кг.
Задачи на концентрацию, как и задачи на смеси и сплавы, — задачи из курса химии.
www.uznateshe.ru
Интегрированный урок математики и химии по теме “Решение задач на процентную концентрацию, сплавы и растворы”
Разделы: Математика, Химия
Цели урока:
1. Обобщить и закрепить теоретический материал из курса математики и химии:
А) выражение процентов в виде десятичных дробей;
Б) выражение десятичных дробей в процентах;
В) понятия: растворы, примесь, сплав, а также концентрация растворов (процентное содержание растворенного вещества в растворителе).
2. Показать и раскрыть суть способа решения задач на “Конверт Пирсона”, закрепить навыки решения расчетных задач по математике и по химии.
3. Развивать познавательный интерес, реализуя межпредметные связи курсов математики и химии.
Тип урока: Интегрированный урок с химией.
Оборудование урока:
- карточки с заданиями для самостоятельной работы;
- карточки с дифференцированными домашними заданиями.
Учителя:
- математики – Яковлева Н.С.
- химии – Семенова А.П.
Ход урока
I. Организационный момент:
– сообщение темы, цели урока
– ознакомить учащихся с планом урока.
II. Повторение основных понятий (устно)
- Выразить проценты в виде десятичных дробей;
- Запишите в процентах десятичные дроби;
- Назовите целую и дробные части числа.
III.Фронтальная письменная работа
Учитель химии:
Задача №1:
К 60 г. соли добавили 100 г. воды. Определите содержание соли в растворе (содержимость соли в %).
Решение:
– найдем массу всего раствора: 60+100=160 (г)
– отсюда находим содержание соли в %: 150 г. -100%
60 г. – х
х=60*100/150=40%
Ответ: в растворе 40% соли
Задача №2
К 200г. 20% раствору соли добавили 60г. соли. Найдите концентрацию раствора.
Решение:
1) Находим массу соли в первом растворе:
200г. – 100%
х – 20%
х= 200*20/100 = 40г. соли
2) Найдем всю массу соли: 40+60=100г. соли во всем растворе
3) Находим массу нового раствора: 200+60=260г.
4) Найдем % концентрацию соли в конечном растворе:
260 – 100%
100 – у
у=100*100/260=38,46%
Ответ: в новом растворе содержимость соли будет 38,46%.
Учитель химии:
Ребята, давайте вспомним алгоритм решения задач на “примеси”, “сплавы”, “растворы”.
- Если дана масса примеси в условии задачи, то отнимем массу или объем примеси от всей массы (объема) вещества, содержащего примесь.
- По необходимости составляет уравнение реакции.
- Далее решаем как обычную задачу на составление пропорции.
Для решения задач на смеси растворов применяется метод называемый “конверт Пирсона”.
Сущность этого приема состоит в том, что по диагоналям из большей величины массовой доли растворенного вещества (в %) вычитают меньшую:
где а – большая массовая доля I раствора,
в – меньшая массовая доля II раствора,
с – искомая массовая доля (%) растворенного вещества в растворе.
Задача №3.
Смешали 30% и 10% растворы соленой кислоты и получили 600г. 15% раствора. Сколько граммов каждого вещества взяли?
Решение: (учитель химии) “Конверт Пирсона”:
30% | 5% | 3 – 450г. | ||
600г. | 15% | 5 | ||
10% | 15% | 1 – 150г. |
600 : (1+3) = 150г. – 10% раствор.
150*3 = 450г. – 30% раствор.
(учитель математики) Алгебраический:
I раствор – х (г) – 30% кислота – 0,3х
II раствор – у (г) – 10% кислота – 0,1у
Смесь: 600(г) – 15% кислота = > 0,15*600=90(г)
0,15*600=90(г) – кислоты содержит смесь
тогда:
0,3х+0,1у=90
х+у=600
у=450
х=150
Ответ: 150(г) и 450(г)
Задача №4.
(Половина класса решают алгебраическим, другая – применяя “Конверт Пирсона”).
Как приготовить 630 г. 36% раствор из 9% и 72% растворов?
Решение: “Конверт Пирсона”
9% 36 4-360(г) 630(г) 36% 9 72% 27 3-270(г)
1) 36-9=27, 72-36=36.
2) НОД (36;27) = 9.
3) 36:9=4 (массовой части 9% раствора),
27:9=3 (массовой части 72% раствора).
4) 630:(3+4)=90(г) раствора с соответственно на одну массовую часть раствора
5) 90*4=360(г) – 9% раствор,
90*3=270(г) – 72% раствор.
Алгебраический:
I раствор – х(г) – 9% – 0,9х
II раствор – у(г) – 72% – 0,72у
630(г)-36% — 0,36*630=226,80 (г)
х+у=630 => у=630-х
0,09х+0,72у=226,80
0,09х+0,72(630-х)=226,80
0,09х+453,6-0,72х=226,80
453,6-226,80=0,72х-0,09х
226,8=0,63х
х=360(г) – 9% раствор
630-360=270(г) – 72% раствор
Ответ:
1 раствор- 9% и весит 360 г,
11 раствор – 72% – 270 г.
Задача №5. (учитель математики)
Имеется два сплава золота и серебра. В одном количества этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
Решение: (Удобно составлять следующую таблицу).
Взято (кг) | Отношение золота к серебру | Отношения веса золота к весу сплава | Взяли золота (кг) | |
1 сплав | Х | 2:3 | 2:5 | 2/3 Х |
2 сплав | 8 – Х | 3:7 | 3:10 | 3/10 (8 – Х) |
новый | 8 | 5:11 | 5:16 | 2/3 Х+3/10 (8 – Х) |
(2/3 Х+3/10 (8 – 10)) : 8=5/16
Отсюда находим, что х=1
1кг. взяли из 1сплава, 7кг. – 2 сплав.
Ответ: 1 (кг) и 7 (кг).
IV. Самостоятельная работа (Раздаются карточки)
Задача №1
Найдите концентрацию всего раствора, если к 200(г) 40% раствору добавили 300(г) 50% раствора этого вещества.
Решение: (удобно решать алгебраическим способом).
1. Найдем массу соли в каждом растворе:
I раствор – 200(г) – 40% — 200*0,40=80(г) соли .
II раствор – 300(г) – 50% – 300*0,50=150(г) соли.
Смесь: 500(г) – ? –
2. Найдем концентрацию всего раствора:
500(г) – 100%
230(г) – х-?
х=230*100:500=46% – соли содержится в новом растворе
Ответ: 46%
Задача №2.
Нужно приготовить 25% раствор серной кислоты, смешав 76% и 15% растворы. Сколько надо взять каждого раствора?
Решение: “Конверт Пирсона”:
76% 10 част. 76% раст. 25% 15% 51 част. 15% раст.
Ответ:
10 частей – 76% раствора
15 частей – 15% раствора.
Задача №3.
Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 6/7, содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально?
Решение:
Было: | х(г) цинка —————– | Осталось: 1- 0,6 = 0,4 части цинка, |
х + 640 г меди ————- | 1 – 6/7 = 1/7 часть меди. |
Сплав: 2
00 = 0,4 х + 1/7(х + 640)
Отсюда х = 200.
Значит, первоначально, было 200(г) цинка, 840 (г) меди, а масса сплава равна 200 + 840 = 1 кг 40 г.
Ответ: Сплав весил 1 кг 40 г.
Проверка:
(Открывается задняя сторона доски, ребята проверяют результаты работы своих соседей, совместно с учителями выставляют оценки)
V. Раздаются карточки с заданиями для самостоятельного решения на дом:
(задание дифференцированное, учащиеся сами выбирают, первые 3 задачи легкие, последние 4 - посложнее)
1. К раствору, содержащему 40г. Соли, добавили 200г. воды, в результате чего концентрация уменьшилось на 10%. Сколько воды содержал раствор и каково его процентное содержание?
Ответ: 160 г. воды и 20%
2. Имеется 2 слитка серебра с оловом. В первом слитке имеется 360г. серебра и 40г. олова. Во втором слитке – 450г. серебра и 150г. олова. Сколько взяли от каждого, если масса нового слитка 200г. и содержится в нем 81% серебра?
Ответ: 80 г. и 120г.
3. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали, содержащей 30% никеля?
Ответ: 1 сорт – 40(т) и 2 сорт – 100(т)
4. Имеется два раствора 30% и 3% перекиси водорода, нужно смешать их, чтобы получилось 12% раствор. Как их нужно взять в массовом отношении?
Ответ: 3% раствор нужно взять в 2 раза больше.
5. Имеется 2 слитка сплава золота и меди. В первом слитке содержится 230г. золота и 20г. меди, а во втором – 240г. золота и 60г. меди. От каждого слитка взяли по кусочку, сплавили их и получилось 300г. сплава, в которых 84% золота. Определить массу кусочка, взятого от первого слитка.
Ответ: от 1 слитка взяли 100 (г) золота.
6. Если смешать 6 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получается 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс, тех же растворов, получается 15% раствор. Определить первоначальную концентрацию каждого раствора.
Ответ: 10% и 20%.ъ
7. Два куска латуни имеют массу 30 кг, первый кусок содержит 5кг чистой меди, а второй – 4кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок, если второй содержит меди на 15% больше, чем первый?
VI. Подведение итогов урока.
VII. Выставление оценок.
VIII. Домашнее задание.
Учитель математики:
На следующем уроке сдача зачета №5 и защита домашней работы.
2.04.2008
urok.1sept.ru