Сопромат косой изгиб – Косой (сложный) изгиб | ПроСопромат.ру
Косой (сложный) изгиб | ПроСопромат.ру
Косым изгибом называется такой случай изгиба, при котором плоскость действия нагрузки не совпадает ни с одной из главных осей инерции сечения. Рассмотрим случай, когда к сечению бруса под некоторым углом приложена сила P.
При решении таких задач силу Р раскладывают на составляющие Рх и Ру и затем пользуются принципом независимости действия сил:
Изгибающие моменты в сечении 1-1:
Нормальные напряжения в общем случае:
(1)
Очевидно, что можно найти такую линию, на которой суммарные напряжения равны нулю. Такая линия называется нейтральной (или нулевой), текущие координаты x и y:
(2)
Так как (3)
Из этих формул следует, что нейтральная линия в сечении, в общем случае, не перпендикулярна следу плоскости действия в том же сечении результирующего изгибающего момента. Эти линии будут перпендикулярны при условии равенства углов α и φ. А это возможно в следующих случаях:
,т.е.когда – угол между силовой и нулевой линией прямой, а это значит, что любая центральная ось сечения является главной осью ,значит ,изгиб будет прямым.
Для таких сечений, у которых центральные оси главные (квадрат ,круг и т.п.), косой изгиб невозможен.
Нейтральная линия делит поперечное сечение на две области: растянутую и сжатую. Проводя линии, параллельные нейтральной и касательной к контуру
поперечного сечения, находим в той и другой области наиболее удалённые от нейтральной линии точки О1 и О2 с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями:
Определим напряжение в одной из точек
(4)
Определим прогибы при косом изгибе. Прогибы определяются отдельно от составляющих Рх и Ру, затем определяется общее перемещение:
(5)
Определим направление суммарного перемещения:
(6)
Если проанализировать формулы (6) и (3), то можно отметить ,что направление прогибов перпендикулярно к нулевой линии и вместе с тем направление прогибов не совпадает с направлением действующей силы. Если нагрузка представляет плоскую систему сил, то
В случае действия пространственной системы сил ось изогнутого стержня представляет пространственную кривую.
prosopromat.ru
Задача на косой (сложный) изгиб
Дано: a=2 м, q=10 кН/м, F=10 кН, М=30 кНм, допускаемое напряжение 160 МПа. Проверить прочность балки. Сечение — двутавр №60.
1.На заданной схеме обозначим оси – ось у направляем вертикально, ось х направляем перпендикулярно либо от наблюдателя (как в нашем случае) либо к наблюдателю. Воспользуемся принципом независимости действия сил – отдельно покажем нагрузку в плоскости у и построим от ее действия эпюру изгибающих моментов Mx. Поскольку балка с жесткой заделкой, опорные реакции можно не определять, идя от свободного конца балки. Определение изгибающих моментов в характерных точках приводить не будем, покажем значения на эпюре (построена на сжатых волокнах). Затем отдельно покажем нагрузку в плоскости х и построим от ее действия эпюру изгибающих моментов Mу.
2. Проверим прочность сечения по формуле:
где: Мх, Му – максимальные значения моментов на соответствующих эпюрах,
Wx, Wy – моменты сопротивления сечения относительно осей Ох и Оу
Для двутавра №60:
а по заданию
Как видим, прочность балки не обеспечена
prosopromat.ru
Косой изгиб | ПроСопромат.ру
Задача:
Проверить прочность балки и найти положение нулевой линии (нейтральной оси) в опасном сечении.
Из двух сечений (С и D) опасным является то, где возникает наибольшее по величине напряжение. Так, в сечении С, где Мx=16кНм, а Му=2кНм:
а в сечении D:
Из сравнения заключаем, что опасным сечением балки является сечение D, где
Проверка прочности:
Условие прочности не выполняется, имеется перенапряжение 9%. Тем не менеенайдем положение нулевой линии в сечении D: положение силовой плоскости (то есть плоскости действия изгибающего момента определяется углом γ:
а положение нулевой линии:
Угол наклона нулевой линии к оси х
Знак «минус» говорит о том, что нулевая линия и силовая плоскость располагаются в противоположных по знаку квадрантах (четвертях).
Вид на сечение D при взгляде справа:
В точках сечения D, расположенных левее нулевой линии, имеет место сжатие, а в точках правее от нулевой линии – растяжение.
prosopromat.ru
Косой изгиб | ПроСопромат.ру
Задача: Требуется подобрать размеры сечения прямоугольной формы при
деревянной консольной балки, если [σ]=10МПа.
Опасное сечение располагается в заделке, где Мx=2,5 кНм, а Му=10кНм.
В условии прочности при косом изгибе: в данном случае неизвестными являются моменты сопротивления
Перепишем условие прочности, вынося за скобку первое слагаемое в левой части:
При заданном соотношении условие прочности принимает вид:
Используя то же соотношение , выразим Wx через один из размеров сечения,
например, b:
и тогда h=2b=2∙15=30см.
Таким образом, требуемые по условию прочности размеры составляют b=15см и h=30см.
Запись опубликована автором admin в рубрике Задачи на сложное сопротивление. prosopromat.ru
косой изгиб — сопротивление материалов
Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения длиной l, нагруженную вертикальной силой P (рис. 9.1). Главная центральная ось балки (ось симметрии) y составляет некоторый малый угол с направлением действия нагрузки (наличие технологического брака).
Разложим силу P на составляющие: .
Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим отдельно действие каждой составляющей.
Нагрузки и вызывают в поперечном сечении, расположенном на некотором расстоянии z от правого конца балки, изгибающие моменты:
Оба изгибающих момента будут наибольшими в жесткой заделке:
Формула суммарных нормальных напряжений при косом изгибе в произвольном поперечном сечении балки для некоторой точки с координатами x и y:
,
где – главные моменты инерции; h – высота, а b – ширина поперечного сечения балки. Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки подставляются в формуле нормальных напряжений при косом изгибе по абсолютному значению, а знак каждого из слагаемых определяется по физическому смыслу.
Наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе возникнут в поперечном сечении, расположенном в жесткой заделке, в наиболее удаленных от соответствующих нейтральных осей точках 1 и 2:
.
В точке 1 напряжения будут растягивающими: ,
а в точке 2 – точно такими же по величине, но сжимающими: .
В формулах максимальных нормальных напряжений при косом изгибе – осевые моменты сопротивления балки относительно главных центральных осей инерции.
sopromato.ru
Сложное сопротивление Сложный и косой изгиб
Сложное сопротивление • Сложный и косой изгиб • Внецентренное растяжение (сжатие)
Вопросы для самопроверки 1. Какой изгиб называется косым? 2. Может ли балка круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб? 3. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб? 4. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса при косом изгибе? 5. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе? 6. Какое сложное сопротивление называется внецентренным растяжением или сжатием?
Вопросы для самопроверки 7. Какой брус называется жестким при внецентренном растяжении или сжатии? 8. Какой брус называется гибким при внецентренном растяжении или сжатии? 9. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении (сжатии)? 10. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении (сжатии)? 11. Вывод формулы для определения положения нейтральной оси при внецентренном растяжении (сжатии) 12. Что называется ядром сечения?
Вопросы для самопроверки 13. Как строится ядро сечения? 14. Построить ядро сечения для прямоугольника 15. Построить ядро сечения для круга
Сложное сопротивление Сложным называется изгиб, вызванный силами или моментами, расположенными в двух и более плоскостях, проходящих через ось балки. Эти плоскости могут, как совпадать, так и не совпадать с главными плоскостями инерции Под сложным сопротивлением подразумевают деформации бруса возникающие в результате комбинации, в различных сочетаниях, простых видов деформаций: растяжения (сжатия), среза, кручения и изгиба. В большинстве случаев в опасной точке поперечного сечения бруса касательные напряжения, либо равны нулю, либо весьма малы по сравнению с нормальными напряжениями, поэтому расчеты на прочность ведут с учетом только нормальных напряжений.
Сложный и косой изгиб Под косым изгибом понимают такой, при котором нагрузки, действующие на балку, расположены в одной плоскости, которая не совпадает не с одной из главных плоскостей инерции. Для сечений, у которых моменты инерции относительно обеих ортогональных осей одинаковы, косой изгиб не возможен. У этих сечений все оси главные. Это сечения типа круг, труба, квадрат и т. д. Сложный изгиб Косой изгиб F 3 l y F 2 F 3 Fx F 3 M 1 x R 1 F 1 Вертикальная силовая плоскость Горизонтальная силовая симметрии F Fy
Сложный и косой изгиб Напряжения при сложном изгибе Напряжения при косом изгибе здесь: MX, MY – составляющие изгибающего момента; M – полный изгибающий момент в сечении; – угол между осью y и следом плоскости действия полного момента; x и у координаты точки, в которой определяют напряжения; Ix и Iy – моменты инерции поперечного сечения. При определении знака нормального напряжения необходимо придерживаться правила, по которому момент, вызывающий деформацию растяжения в первой четверти поперечного сечения считается положительным, тогда знак напряжения определяется знаком координат точки, в которой определяется напряжение. Условие прочности при сложном изгибе Условие прочности при косом изгибе
Сложный и косой изгиб Полный изгибающий момент связан с его составляющими зависимостями: где α – угол между осью y и плоскостью действия полного момента При косом изгибе нормальные напряжения в центре тяжести поперечного сечения равны нулю Следовательно, нейтральная ось при косом изгибе, так же как и прямом изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения
Сложный и косой изгиб Нейтральная линия поперечного сечения при сложном и косом изгибе проходит через центр тяжести сечения с угловым коэффициентом: Нейтральная линия всегда располагается не в тех четвертях, через которые проходит силовая плоскость. В отличие от плоского изгиба при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии. Силовая плоскость 2 Условие жесткости при сложном и косом изгибе Нейтральная линия Направление прогиба Суммарный прогиб происходит в направлении перпендикулярном нейтральной линии сечения. 1
Внецентренное растяжение (сжатие) Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная растягивающая или сжимающая сила и изгибающий момент. Точка, где приложена внешняя сила F, называется полюсом давления e F Полюс давления A ey ex Нейтральная линия Координаты ex и ey точки приложения силы F называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции.
Внецентренное растяжение (сжатие) Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных сил на прогибы, называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, гибким Нормальные напряжения в произвольной точке сечения равно сумме напряжений от продольной силы и изгибающих моментов или : (1) Продольная сила N и изгибающие моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы F=N (2) Получим Подставим в формулу (1) выражения: (3)
Внецентренное растяжение (сжатие) Формулу (3) можно представить в следующем виде (4) где радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции Для определения положения нейтральной линии приравняем нулю выражение (4): (5) Выражение (5) представляет собой выражение нейтральной оси Выражение (5) является уравнением прямой, т. к. координаты x и y входят в него в первой степени
Внецентренное растяжение (сжатие) Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В , используя выражение (5) Откуда Аналогично получим (6) Из этих следует: выражений 1. Нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения и пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположному тому, в котором находится точка приложения силы. 2. Положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы F 3. Нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат 4. Чем дальше от начала координат расположен полюс, тем ближе к сечению проходит нейтральная ось
Внецентренное растяжение (сжатие) 5. Если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна к этой оси При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения Ядром сечения называется некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сжимающая сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса сжимающие напряжения, т. е. напряжения одного знака
Ядро сечения Если сила приложена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают и сжимающие, и растягивающие напряжения Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в месте касания нормальные напряжения равны нулю) При расчете внецентренно сжатых элементов по эксцентриситету сжимающей силы, не вычисляя величин напряжений, устанавливать возникнут ли в поперечном сечении растягивающие напряжения или нет Порядок построения ядра сечения 1. Определение положения центра тяжести сечения и главных центральных осей 2. Определение главных моментов инерции и квадратов радиусов инерции 3. Если сечение имеет вид многоугольника, то вершины его углов последовательно рассматривать как полюсы и для каждого такого полюса определять положение нулевой линии (контур, ограниченный нулевыми линиями, образует ядро сечения) 4. Если многоугольное сечение имеет внутренние углы, то эти углы при обходе вершин не рассматривают как полюсы
Ядро сечения Построим ядро сечения для прямоугольника Примем в качестве полюса вершину А 1 По формулам (6) найдем отрезки, отсекаемые соответствующей этому полюсу нулевой линией a 1 на осях координат: По значениям этих отрезков построена нулевая линия a 1 Учитывая симметрию прямоугольного сечения относительно координатных осей строим остальные нулевые линии при соответствующих полюсах Построенные нулевые линии образуют заштрихованное ядро сечения
Ядро сечения При построении ядра для сечения в виде круга достаточно определить положение нулевой линии, соответствующее одному положению полюса При полюсе в точке А 1 определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией координат: a 1 на осях Из симметрии сечения относительно его центра тяжести следует, что при других положениях полюса на окружности нулевые линии касаются концентрического с ней круга с меньшим диаметром, представляющего ядро сечения круга диаметром d
present5.com
MYsopromat.ru: Косой (двойной) изгиб
Если плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб.
Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса силой, приложенной к плоскости торцового сечения под некоторым углом α к его оси симметрии (рис. 10.1). Косой изгиб является плоским, то есть изогнутая ось балки остается после деформации плоской кривой, но характеризуется тем, что в отличие от прямого изгиба, силовая плоскость и плоскость, в которой расположена изогнутая ось (плоскость изгиба), не совпадают.
Косой изгиб можно представить, как сочетание двух прямых изгибов, если разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки не два составляющих момента My и Mz.
Проведем сечение на расстоянии x (рис. 10.1) от правого конца бруса и рассмотрим равновесие отсеченной правой его части.
Изображая изгибающий момент в левом сечении (при взгляде на это сечение со стороны внешней нормали) по правилам механики в виде вектора, нормального к плоскости действия этого момента (рис. 10.2), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям y и z, получаем
,
где M=Px – изгибающий момент в данном поперечном сечении.
Рис. 10.1.
Рис. 10.2.
На основании принципа независимости действия сил косой изгиб рассматривается как результат действия на брус двух прямых изгибов, действующих в главных плоскостях. Этот принцип применим, если напряжения от отдельного действия изгибающих моментов, а также суммарное напряжение, не превышают предела пропорциональности. Нормальное напряжение σ в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных в той же точке моментами My и Mz:
|
. |
(10.1) |
Здесь y и z – координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещенных с главными центральными осями инерции сечения. Эпюра нормальных напряжений для прямоугольного сечения показана на рисунке 10.3.
Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой – сжимающие напряжения. Уравнение нейтральной линии найдем, приравнивая правую часть равенства (10.1) нулю:
|
. |
(10.2) |
После преобразований получаем:
|
, |
(10.3) |
где угловой коэффициент уравнения нейтральной линии равен
|
. |
(10.4) |
Таким образом, нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Зная положение нейтральной линии нетрудно определить положение опасных точек сечения. Опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. Для сечения произвольной формы (рис. 10.4) необходимо провести касательные к контуру поперечного сечения параллельно нейтральной линии. Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то опасной будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии (на рис. 10.4 это точка A). Для хрупких материалов необходимо проверить две точки A и B при условии, что в наиболее удаленной точке действуют сжимающие напряжения.
Рис. 10.3.
Рис. 10.4.
Рис. 10.5.
Для сечений, имеющих оси симметрии и выступающие углы (см. рис. 10.2), опасными будут угловые точки, в которых напряжения от обоих изгибающих моментов имеют одинаковый знак.
Напряжения в опасных точках определяются по формуле (10.1) путем подстановки в нее координат этих точек. Условие прочности при косом изгибе запишется так:
|
, |
(10.5) |
где yA, zA – координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения бруса; [σ] – допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.
Из формулы (10.3) следует, что нейтральная линия наклонена к оси z под углом β:
|
. |
(10.6) |
В то же время тангенс угла наклона вектора к оси z равен:
|
. |
(10.7) |
Таким образом, в общем случае между углами α и β существует следующее соотношение:
|
. |
(10.8) |
Так как Iy≠Iz, то угол α не равен углу β. Следовательно, при косом изгибе, в отличие от прямого изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол φ=|β–α| (см. рис. 10.2).
Если Iy=Iz, то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изгибающего момента; при этом любая центральная ось является главной и имеет место не косой, а прямой изгиб.
Полное перемещение δ центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности (см. рис. 10.2), то есть:
|
. |
(10.9) |
Перемещения δy и δz в главных плоскостях определяются способом Мора или другими, рассмотренными выше методами. При этом в общем случае справедливы следующие равенства:
|
, |
(10.10) |
|
, |
(10.11) |
где функция f(x) определяется условиями нагружения и закрепления концов бруса. Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y:
|
. |
(10.12) |
Следовательно β=γ. Это означает, что при косом изгибе смещение центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента, а в направлении нормали к нейтральной линии (см. рис. 10.2).
При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изгиба не совпадает с плоскостью действия нагрузки.
Если внешние силы и пары, изгибающие брус, будут располагаться в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса будет пространственной кривой.
mysopromat.ru
