Уравнения физические: Уравнения и формулы математической физики

2} = 0$.

Подобная постановка состоит из формул (интегральных, дифференциальных, алгебраических или интегро-дифференциальных), которые удовлетворяют величины, более тщательно характеризующие физический процесс.

Содержание

Уравнения математической физики

Уравнения с частными производными первого порядка включают в себя: нелинейные уравнения с производными первого порядка; квазилинейные уравнения с производными первого порядка.

Линейные уравнения МФ:

  • линейные задачи МФ для уравнений параболического типа;
  • некоторые формулы, определения, решения и методы;
  • линейные задачи МФ для уравнений эллиптического типа;
  • линейные задачи МФ для уравнений гиперболического типа.

Нелинейные уравнения МФ:

  • преобразования уравнений МФ;
  • автомодельные решения и решения типа бегущей волны;
  • метод подобия;
  • метод функционального разделения переменных МФ;
  • метод обобщенного разделения переменных МФ;
  • классический метод исследования симметрий уравнений МФ;
  • решение дифференциальных уравнений при помощи инвариантов;
  • метод дифференциальных связей.

В целом, обобщённые функции в математической физике обладают рядом важных свойств, расширяющих возможности классического анализа.

Пример 1

Любая целостная функция оказывается бесконечно дифференцируемой и сходится в ряды из обобщённых понятий, которые возможно по отдельности дифференцировать бесконечное количество раз. Преобразование этого процесса всегда существует, поэтому применение техники комплексных функций существенно расширяет круг исследуемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Влияние математической физики на науку

Воздействие математической физики на разные разделы математики проявляется в том, что общее развитие математической физики, которая отражает в своих идеях требования естественных наук и часто меняющееся запросы практики, автоматически влечет за собой переориентацию направленности научных исследований в сложившихся разделах математики. Правильная постановка задач изучаемого течения в науке напрямую связана с разработкой новых моделей реальных физических процессов, и привела к кардинальному изменению главной проблематики гипотезы дифференциальных формул в стабильных производных.

В результате появилась теория краевых задач, которая позволила ученым связать интегральные уравнения и вариационные методы, а также дифференциальные уравнения в частных производных.

Исследование математических моделей физики различными способами не только позволяет получить основные характеристики физических явлений, а еще и рассчитать с максимальной точностью ход реальных процессов, которые глубоко проникают в самую суть скрытых закономерностей, предсказания уникальных эффектов.

Стремление к более детализированному изучению физических явлений приводит физиков ко все большему усложнению математических моделей, которые способны описать происходящие процессы с помощью применения аналитических методов построения этих моделей. Это возможно объяснить еще и тем, что модели реальных физических процессов являются нелинейными. Для проведения точного исследования таких концепций успешно используются прямые количественные способы с применением компьютеров. Для типичных физических задач изучение численных методов сводится к частичной замене уравнений математической физики для обобщенных функций непрерывного аргумента посредством сеточных показателей, заданных на дискретном множестве точек. 2w}{dxdy}=F (x,y,w dw/dx)$

Для получения общего и правильного решения уравнения исследователи рассматривают характеристическую концепцию обыкновенных дифференциальных уравнений: $\LARGE \frac {dx}{a} = \frac {dy}{b} = \frac {du}{c}$.

Если с=0, то система сводится к одному уравнению $\LARGE \frac {dх}{a}=\frac {dy}{b}$. Если $\LARGE f (х, у)=C$ общий интеграл уравнения, тогда $\LARGE u=w (f (х, у))$ – общее решение.

Сама дифференциальная формула содержит в себе только самую общую информацию об исследуемом процессе. Необходимо заранее получить задание граничных и начальных условий, для общей конкретизации.

На сегодняшний день ученые выделяют три основных типа дифференциальных уравнений, для которых поиск решения имеет существенные различия: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.

Большое количество физических процессов и явлений можно описать посредством дифференциальных уравнений в исследуемых частных производных. Это непосредственно связано с тем, что фундаментальные законы современной физики – принципы сохранения – записываются в определениях вторых производных.

Способы решения задач математической физики зависят от конкретного типа, которому принадлежит само рассматриваемое уравнение.

Создание уравнений и формул – Служба поддержки Office

Для набора новой формулы с нуля нажмите Alt += на клавиатуре.

Или

Выберите Вставка > Формула и выберите Вставить новую формулу в нижней части встроенной коллекции формул. Вставится заполнитель, в котором можно ввести формулу.

Вставка флажка или другого символа

Добавление формулы в коллекцию

  1. Выделите формулу, которую нужно добавить.

  2. Щелкните стрелку вниз и выберите Сохранить как новую формулу… .

  3. В диалоговом окне Создание нового стандартного блока

    введите имя формулы.

  4. В списке коллекции выберите пункт Формулы.

  5. Нажмите кнопку ОК.

Для изменения или правки созданных ранее формул:

  1. Выберите формулу для открытия вкладки Работа с формулами в ленте.

  2. Выберите Конструктор, чтобы увидеть инструменты для добавления в формулу различных элементов. Можно добавить или изменить следующие элементы формулы.

    • В группе Символы находятся математические символы. Чтобы увидеть все символы, нажмите кнопку

      Еще. чтобы увидеть другие наборы символов, щелкните стрелку в правом верхнем углу коллекции.

    • В группе Структуры представлены структуры, которые можно вставить. Просто выберите элемент, а затем замените заполнители в структуре (штрихпунктирные прямоугольники) нужными значениями.

    • Параметр Профессиональный отображает формулу в профессиональном формате, оптимизированном для отображения. Параметр Линейный отображает формулу как исходный текст, который при необходимости можно использовать для внесения изменений в формулу. Параметр «Линейный» отображает формулу в формате UnicodeMath или в формате LaTeX, который можно выбрать в блоке «Преобразования». 

    • Преобразовать в формат «Профессиональный» или «Линейный» можно все формулы в документе или только одну, если выбрать математическую зону или навести курсор на формулу.   

На устройствах с поддержкой сенсорного ввода и пера можно писать формулы пером или пальцем. Для рукописного ввода формулы

  1. Выберите Рисование > Преобразовать рукописный фрагмент в математические символы, а затем выберите Рукописное уравнение в нижней части встроенной галереи.

  2. С помощью пера или пальца введите математическую формулу от руки. Если у устройства нет сенсорного экрана, напишите уравнение с помощью мыши. Вы можете выделять части формулы и редактировать их по мере ввода, а затем с помощью окна предварительного просмотра проверять, правильно ли Word распознает то, что вы написали.

  3. Завершив ввод, щелкните Вставить, чтобы преобразовать текст, который вы только что написали, в формулу.

Дифференциальные уравнения физических систем

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Дифференциальные уравнения, описывающие динамику физической системы, получают­ся на основании фундаментальных физических законов. Этот метод в равной степени при­меним к механическим, электрическим, гидравлическим и термодинамическим системам. Рассмотрим крутящуюся систему пружина масса, изображенную на рис. 2.1, к которой приложен момент TJJ). Предположим также, что упругий элемент (пружина) обладает пренебрежимо малой массой по сравнению с диском. Допустим, что нам необходимо изме­рить момент Ts(t), передаваемый массе т. Поскольку согласно допущению пружина не об­ладает массой, то сумма действующих на нее моментов должна равняться нулю, т. е.

Та (О – Т, (0 = О,

откуда имеем Ts (t) = Ти (/). Мы видим, что внешний момент Ta(t), приложенный к концу пружины, передается сквозь этот упругий элемент. По этой причине мы будем называть момент сквозной переменной. Аналогичным образом, разность угловых скоростей кон­цов упругого элемента равна

ю(0 = ы,(Г) – ша(0-

Эта разность характеризует угловую скорость одного конца упругого элемента относите­льно другого, поэтому мы будем называть ее относительной переменной. Подобные рас­суждения можно сделать и в отношении большинства известных физических переменных (таких как сила, ток, объем, поток и т. п.). В табл. 2.1 приведены сводные данные о сквоз­ных и относительных переменных динамических систем. Информацию относительно Международной системы единиц СИ, применяемой ко многим переменным в этом разде – Л. ле, можно найти на Web-сайте MCS (Modem Control Systems). Например, темпера-

тура в системе СИ измеряется в градусах Кельвина, а длина — в метрах. На этом же Web-сайте приведена таблица соответствий между английской системой единиц и системой СИ. Дифференциальные уравнения линейных динамических элементов с сосре­доточенными параметрами приведены в табл. 2.2. Заметим, что эти уравнения являются идеализированным описанием динамики элементов, т. е. представляют собой всего лишь аппроксимацию их реального поведения (например, когда элемент с распределенными па­раметрами аппроксимируется линейной моделью с сосредоточенными параметрами).

Рис. 2.1

(а) Крутящаяся система пружина-масса;

(б) Упругий элемент

Обозначения:

Сквозные переменные: F— сила, Т — момент, / — ток, Q — объемный расход жидкости, q — тепловой поток.

Относительные переменные: v — поступательная скорость, ш — угловая скорость, и — напряжение, Р — давление, Т— температура.

Индуктивные накопители: L — индуктивность, l/k — обратный коэффициент жесткости, 1 — инертность жидкости.

Емкостные накопители: С — емкость, М—масса, J—момент инерции, С/ —жидкост­ная емкость, С, — тепловая емкость.

Рассеиватели энергии: R — сопротивление, b — вязкое трение, Л— гидравлическое со­противление, R, — тепловое сопротивление.

Таблица 2. 1. Сквозные и относительные переменные физических систем

Система

Сквозная

переменная

Интеграл от сквозной переменной

Относительная

переменная

Интеграл от относительной переменной

Электрическая

Ток, і

Заряд, q

Разность напряжений. V21

Потокосцепление.

} Л [

Механическая

Сила. F

Поступательный

Разность

Разность

с поступательным

момент силы, Р

СКОрОСТеЙ. V2I

перемещений. >’21

движением

Механическая

Момент, Т

Угловой момент.

Разность угловых

Разность угловых

с вращательным

h

скоростей. C02I

перемещений, 021

движением

Г идравлическая

Объемный

Объём, V

Разность

Момент

расход

давлений, /’21

давления, 721

жидкости, О

Тепловая

Тепловой

Тепловая энергия.

Разность

поток, q

Н

температур, У~р,

Обозначение v(t) используется как для напряжения в электрических цепях, так и для скорости поступательного движения в механических системах, поэтому смысл этой пере­менной следует понимать в контексте каждого дифференциального уравнения. Для опи­сания механических систем используются законы Ньютона, а для электрических сис­тем — законы Кирхгофа. ~ Rj

Схематическое изображение динамики массы М показано на рис. 2.2(6). В этом при­мере мы будем считать, что трение груза о стенки является вязким, т. е. сила трения ли­нейно зависит от скорости движения груза. В действительности сила трения может опи­сываться более сложной зависимостью. Например, трение о стенки может быть кулоно – вым. Сила кулонова, или сухого, трения является нелинейной функцией скорости груза, которая имеет разрывный характер вблизи нулевой скорости. Для хорошо смазанной гладкой поверхности наиболее адекватным является вязкое трение, поэтому в данном и всех последующих примерах, где рассматривается механическая система, состоящая из

Электрическое

сопротивление

Амортизатор

линейного

действия

Вращающийся

амортизатор

Г идравлическое сопротивление

Тепловое

сопротивление

v2 ->b

Т-*°—j| СОт J

Рассеиватели

мощности

массы и пружины, будет использоваться именно вязкое трение. + bv{t)+k v(t)dt = r(t). (2.5)

dt о

Сразу же можно отметить эквивалентность уравнений (2.5) и (2.2), только в одном из них переменная v(t) обозначает скорость, а в другом — напряжение. Поэтому данные переменные обычно называют переменными-аналогами, а соответствующие систе­мы — подобными системами. Следовательно, закон изменения скорости будет также иметь вид (2.4), которому соответствует кривая на рис. 2.4. Понятие подобия систем яв­ляется очень полезным и эффективным методом при моделировании. Аналогия между напряжением и скоростью, часто называемая аналогией сила-ток, вполне естественна, поскольку она характеризует связь между подобными сквозными и относительными пе­ременными электрических и механических систем. Однако часто используется и другая аналогия, называемая аналогией сила-напряжение, при которой рассматривается подо­бие скорости и тока.

Подобные системы с одинаковыми решениями можно обнаружить среди электриче­ских, механических, тепловых и гидравлических систем. Наличие таких систем позволяет исследователю распространить решение, полученное для одной системы, на все подоб­ные системы, описываемые аналогичными дифференциальными уравнениями. Следова­тельно, результаты, полученные, скажем, при анализе и синтезе электрических систем, сразу можно применить для представления о поведении гидравлических, тепловых и ме­ханических систем.

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Факультет математики и компьютерных наук » Уравнения в частных производных и математическая физика

Математическая физика представляет собой раздел математики, занимающийся анализом корректности моделей физических явлений. Большинство законов природы описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Изучение математической корректности различных задач для уравнений в частных производных подразумевает исследование вопросов существования и единственности решений, а также получение по возможности максимально полной информации о качественных свойствах решений. Современная теория уравнений в частных производных использует широчайший спектр методов и активно взаимодействует со многими другими областями математики, среди которых можно отметить классический и функциональный анализ, дифференциальную геометрию, теорию динамических систем и многие другие разделы математики.

Теория регулярности

Теория регулярности исследует гладкость (то есть наличие или отсутствие особенностей) решений нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных. Типичной ситуацией для скалярных уравнений эллиптического и параболического типа при гладких данных является отсутствие особенностей как таковых (решения таких уравнений являются гладкими функциями — этот вопрос в свое время был сформулирован Гильбертом в качестве одной из 23 его знаменитых проблем). В случае систем это уже не так, и решения нелинейных эллиптических систем могут оказаться негладкими даже при гладких данных задачи. Другой пример возникновения особенностей у решений — формирование ударных волн в законах сохранения, а также распространение особенностей начальных данных гиперболических уравнений вдоль характеристик. Наличие или отсутствие у решения сингулярных точек является важной характеристикой решений и, как правило, так или иначе связано с интереснейшими физическими явлениями.

В данном направлении работают Н. Д. Филонов и Т.Н. Шилкин.

Эволюционные уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных эволюционного типа можно интерпретировать как динамические системы для функций, принимающих значения в некотором бесконечномерном (банаховом) пространстве. Поэтому при изучении таких уравнений трудности классической теории динамических систем тесно переплетаются с содержательными вопросами топологии и функционального анализа. Основными вопросами, подлежащими изучению, являются вопросы существования и единственности решений при тех или иных условиях на начальные данные, а также устойчивость решений и их поведение при больших временах. В абстрактной форме теория эволюционных уравнений может рассматриваться как раздел функционального анализа (теория полугрупп), однако учет конкретной специфики тех или иных эволюционных задач, возникающих в математической физике, оказывается чрезвычайно важным и позволяет существенно «продвинуть» теорию (в частности, потому, что конкретные модели математической физики, как правило, обладают дополнительными свойствами — законами сохранений, группами симметрий итд). К задачам эволюционного типа относится широкий круг моделей, начиная с классических волнового уравнения и уравнения теплопроводности и заканчивая одной из наиболее знаменитых моделей современной теории уравнений в частных производных — системой уравнений Навье-Стокса.

В данном направлении работают Н.Д. Филонов и Т.Н. Шилкин.

Спектральная теория

Спектральная теория дифференциальных операторов рассматривает параметрическое семейство дифференциальных операторов и исследует, при каких значениях параметра соответствующее уравнение имеет «особенное» решение, то есть решение, обладающее теми или иными «нестандартными» свойствами. (Таким свойствми могут быть: быстрое убывание на бесконечности, ограниченность итд). В конечномерном случае спектром линейного оператора является конечный набор собственных значений оператора. В бесконечномерном случае (то есть для дифференциальных операторов) картина становится значительно сложнее и интереснее — помимо точечного спектра у оператора может появиться т. н. непрерывный и остаточный спектры. Спектр линейного оператора является важнейшей характеристикой, позволяющей судить о свойствах самого оператора. Это оказывается крайне важным для приложений, поскольку во многих практических задачах наблюдатель располагает информацией именно o спектре оператора, но не о самом операторе. Спектральная теория дифференциальных операторов теснейшим образом связана с такими разделами математической физики как квантовая механика и квантовая теория поля.

В данном направлении работает Н.Д. Филонов.

2.1 Основные уравнения гидродинамики в акустическом приближении

Уравнение неразрывности

 

Рассмотрим для простоты плоскую звуковую волну в трубе постоянного сечения S. Выделим в трубе малый элемент среды длиной dx (от x до x+dx).

 

 

В произвольный момент времени t сечение х сместится в результате колебаний на расстояние ξ(х), а сечение х + dx – на ξ(х + dx)

При равновесии масса газа в выделенном элементе:

 

.                                          

 

При смещении элемента:

 

Так как масса выделенного элемента остается неизменной,

 

.

Отсюда получаем:

 

.

 

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

 

Уравнение движения

 

Запишем теперь уравнение движения элемента среды, заключенного между плоскостями x  и  x + dx.

Сила, которая действует на этот элемент, равна:

 

.

 

Масса данного элемента равна , а ускорение – .

Согласно второму закону Ньютона получаем:

 

                      

                       

Это уравнение называется уравнением Эйлера.

 

Уравнение состояния

 

Запишем теперь уравнение состояния идеального газа, заключенного между сечениями x и x + dx

Мы уже говорили о том, что процессы сжатия и разряжения в звуковой волне являются адиабатическими. Это связано с тем, что вследствие низкой теплопроводности воздуха и быстроты изменения давления и плотности при звуковых колебаниях тепловая энергия не успевает уйти из сжатого элемента газа за время сжатия ().

Уравнение адиабатического процесса имеет вид:

 

,                                       

где   – коэффициент Пуассона. Для воздуха  .

 

Если продифференцировать это уравнение, получим:

 

.

 

Элемент газа в трубе между плоскостями x и x + dx имеет объем Sdx, а изменение его объема будет равно .

 

Постоянное давление – Р0, а звуковое – p.

Таким образом, уравнение адиабатического сжатия (разрежения) воздуха в звуковой волне имеет вид:

 

  

или

 .                                       

 

С учетом уравнения неразрывности получаем:

 

 

 

 < Предыдущая                     Оглавление                      Следующая >

О подчиненности коэффициентов нелинейных дифференциальных уравнений переноса структуре уравнений

О подчиненности коэффициентов нелинейных дифференциальных уравнений переноса структуре уравнений

Уварова Л. А.

ФГБОУ ВО “Московский Государственный Технологический Университет “СТАНКИН”, Москва,Вадковский пер., 3а

1  стр. (принято к публикации)

Как известно, в настоящее время изучается большое число нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы переноса в различных системах. В связи с этим встаёт вопрос об адекватности рассматриваемых нелинейных моделей реальным процессам. Такая проблема обсуждалась ранее, например, в работе [1]. Будем полагать, что нелинейное уравнение переноса имеет тот же порядок, что и соответствующее линейное уравнение. В настоящей работе мы рассматриваем уравнения гидродинамики, описывающие изотермическое вязкое течение жидкости в узкой трубе. Предполагается, что вязкость зависит от давления, причем заранее эта зависимость неизвестна. Рассматривая дополнительно то или иное реальное физическое условие или уравнение, позволяющее выразить один из коэффициентов (для ньютоновских жидкостей – это уравнение Тайта, для неньютоновских жидкостей, наножидкостей – соответствующие уравнения состояний), из уравнения движения жидкости найдём новое уравнение в частных производных. Структура последнего приводит к решению, которое хорошо описывает течение жидкости, а также позволяет определить зависимость от давления другого коэффициента переноса – вязкость, величина которой хорошо согласуется с экспериментом. Таким образом, дифференциальное уравнение (система) в частных производных, нелинейность которого обусловлена зависимостью той или иной характеристики от функции (одной из функций) совместно с дополнительным условием, связывающим входящие в уравнение физические величины, позволяет получить информацию о другой характеристике, входящей в данное уравнение, или непосредственно эту зависимость и, возможно, решение уравнения. Соответственно, неизвестная заранее зависимость коэффициента от функции (одной из функций) подчиняется структуре рассматриваемого уравнения переноса.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках выполнения государственного задания в сфере научной деятельности (задание № 2014/105, проект № 1441).

Литература

1. Аниконов Д.С. Единственность совместного определения двух коэффициентов уравнения переноса //ДАН СССР, 1984, т. 277, № 4. С. 777-779.


Специальные символы – гипертекст по физике

Это условные обозначения, используемые в этой книге.

Период Вязкость Плотность заряда) Трансфинитное число
Пространство и время
символ количество символ шт.
r , r положение, разделение, радиус, радиус кривизны кв.м метр
с , с перемещение, расстояние кв.м метр
θ , φ , θ, φ угол, угловое перемещение, угловое разделение, угол поворота рад радиан
x , y , z декартовы координаты кв.м метр
до , ĵ , k̂ декартовых единичных векторов безразмерный
r , θ, φ сферические координаты м, рад метр, радиан
r̂, θ̂, φ̂ сферические единичные векторы безразмерный
ρ, φ, z цилиндрические координаты м, рад метр, радиан
ρ̂, φ̂, ẑ цилиндрические единичные векторы безразмерный
№ нормальный единичный вектор безразмерный
т тангенциальный единичный вектор безразмерный
ч высота, глубина кв. м метр
ℓ, л длина кв.м метр
г расстояние, отрыв, толщина кв.м метр
т толщина кв.м метр
Д диаметр кв.м метр
К окружность кв.м метр
А , А площадь, площадь поперечного сечения, площадь проекции, площадь поверхности м 2 квадратных метров
В том м 3 куб.м.
т раз, продолжительность с второй
т , периодическое время с второй
τ постоянная времени с второй
f частота Гц герц
ω угловая частота рад / с радиан в секунду
 Механика
символ количество символ шт.
в , в скорость, скорость м / с метр в секунду
а , а разгон м / с 2 метр в секунду в квадрате
a c , a c центростремительное ускорение, центробежное ускорение м / с 2 метр в секунду в квадрате
г , г гравитационное поле, ускорение свободного падения м / с 2 метр в секунду в квадрате
м масса кг килограмм
F , F сила N ньютон
F г , Вт , Вт сила тяжести, вес N ньютон
F n , N , N нормальная сила, нормальная N ньютон
F f , f s , f k Сила трения (статическая, кинетическая) N ньютон
μ с , μ k коэффициент трения (статический, кинетический) безразмерный
p , p импульс кг м / с килограмм-метр в секунду
Дж , Дж импульс Н с ньютон секунда
Вт работа Дж джоуль
E энергия, общая энергия Дж джоуль
K , K t , K r кинетическая энергия (поступательная, вращательная) Дж джоуль
U , U g , U s потенциальная энергия (гравитационная, пружинная) Дж джоуль
V г гравитационный потенциал Дж / кг джоуль на килограмм
η КПД безразмерный
п. мощность Вт ватт
ω , ω скорость вращения, частота вращения рад / с радиан в секунду
α , α ускорение вращения рад / с 2 радиан на секунду в квадрате
τ , τ крутящий момент Н м Ньютон-метр
I момент инерции кг м 2 килограмм метр в квадрате
л , л Угловой момент кг · м 2 / с килограмм-метр в секунду
H , H угловой импульс Н м ньютон-метр секунда
к жесткость пружины Н / м ньютон на метр
п. давление Па паскаль
σ нормальное напряжение Па паскаль
τ напряжение сдвига Па паскаль
ρ плотность, объемно-массовая плотность кг / м 3 килограмм на кубический метр
σ удельная масса поверхности, поверхностная плотность массы кг / м 2 килограмм на квадратный метр
λ линейная массовая плотность кг / м килограмм на метр
F B , B , B Плавучесть, подъемная сила N ньютон
q м массовый расход кг / с килограмм в секунду
q V объемный расход м 3 / с кубометров в секунду
F D , R , R лобовое сопротивление, аэродинамическое сопротивление, сопротивление воздуха N ньютон
C , C D Коэффициент аэродинамического сопротивления, коэффициент аэродинамического сопротивления безразмерный
η, динамическая вязкость Па · с паскаль секунды
ν кинематическая вязкость м 2 / с квадратных метров в секунду
млн лет Машинный номер безразмерный
Re число Рейнольдса безразмерный
Fr номер безразмерный
E Модуль Юнга, модуль упругости Па паскаль
G Модуль сдвига, модуль жесткости Па паскаль
К Модуль объемной упругости, модуль сжатия Па паскаль
ε линейная деформация безразмерный
γ деформация сдвига безразмерный
θ объемная деформация безразмерный
γ поверхностное натяжение Н / м ньютон на метр
 Теплофизика
символ количество символ шт.
т температура К кельвин
α линейное расширение, коэффициент линейного теплового расширения К -1 обратный кельвин
β объемное расширение, коэффициент объемного теплового расширения К -1 обратный кельвин
Q тепло Дж джоуль
c удельная теплоемкость, удельная теплоемкость Дж / кг K джоуль на килограмм кельвина
л скрытая теплота, удельная скрытая теплота Дж / кг джоуль на килограмм
n количество вещества моль
N количество частиц безразмерный
п. тепловой поток Вт ватт
к теплопроводность Вт / м K ватт на метр кельвина
ε излучательная способность безразмерный
U внутренняя энергия Дж джоуль
S энтропия Дж / К джоуль на кельвин
w путей, количество одинаковых микросостояний безразмерный
COP коэффициент полезного действия безразмерный
 Электричество и магнетизм
символ количество символ шт.
q , Q заряд, электрический заряд С кулон
ρ, объемная плотность заряда С / м 3 кулонов на кубический метр
σ поверхностная плотность заряда, поверхностная плотность заряда С / м 2 кулонов на квадратный метр
λ линейная плотность заряда С / м кулонов на метр
F E , F E электрическая сила, электростатическая сила N ньютон
E , E электрическое поле Н / К, В / м ньютон на кулон, вольт на метр
Φ E электрический поток Н · м 2 / C, В · м Ньютон-метр в квадрате на кулон, вольт-метр
U , U E потенциальная энергия, электрическая потенциальная энергия Дж джоуль
В, В E напряжение, потенциал, электрический потенциал В вольт
ℰ Электродвижущая сила, ЭДС В вольт
К емкость F фарад
κ диэлектрическая проницаемость безразмерный
I ток, электрический ток А ампер
R , R сопротивление, электрическое сопротивление, внутреннее сопротивление Ом Ом
ρ удельное сопротивление Ом · м омметр
G проводимость S сименс
σ проводимость См / м сименс на метр
F B , F B магнитная сила N ньютон
B , B магнитное поле т тесла
Φ B магнитный поток Вт Вебер
N количество витков безразмерный
n витков на единицу длины, плотность витков м −1 обратный счетчик
η плотность энергии Дж / м 3 джоуль на кубический метр
S , S вектор пойнтинга, интенсивность Вт / м 2 ватт на квадратный метр
 Математические обозначения и обозначения
символ описание
+ плюс, сложение, плюс
– минус, вычесть, минус
± неопределенность, погрешность, плюс-минус
· умножение, точка, скалярное произведение, скалярное произведение
× умножение, крест, векторное произведение, векторное произведение
÷, / делить
x 2 квадрат
x 3 куб
√ корень квадратный, корень, корень
∛ кубический корень
1 x , x −1 обратное, обратное
= равно, равенство
≈ примерно равно
∝ пропорционально
≠ не равно, неравенство
~ на заказ, тильда
< менее
> больше
≤ меньше или равно
≥ больше или равно
⇒, логическое следствие
⇔ логическая эквивалентность
… и так далее, многоточие
∴ следовательно
f ( x ) (функция
грех синус
cos косинус
желто-коричневый касательная
синх гиперболический синус
cosh гиперболический косинус
танх гиперболический тангенс
x̂ единичный вектор, шляпа, циркумфлекс
∥ параллельно
⟂ перпендикуляр
x среднее, среднее, античастица, черта, черта
x медиана, суперсимметричная частица, тильда
⟨⟩ среднее по времени, среднее по ансамблю, брекет
p ( x ) Распределение вероятностей, функция плотности вероятности
∆ приращение, изменение, дельта
г дифференциал, d
∂ частичный дифференциал, d частичный
∇ градиент, дель
· расхождение, деление, точка
∇ × локон, дель-крест
∇ 2 лапласиан, дель-квадрат
∑ суммирование, сигма
∫ интегральный
∬ двойной интеграл
∭ тройной интеграл
∮ контур интегральный
∯ поверхность интегральная
∰ интегральный объем
∞ бесконечность
ℵ 0 , алеф ноль

Десять важнейших уравнений физики

Эти уравнения были введены в простом виде, но впоследствии они имели огромные последствия и нашли применение в науке, обществе и технологиях. Давайте взглянем на десять самых влиятельных формул в физике (в произвольном порядке), которые изменили ход истории.

Важно понимать, что самое известное уравнение Эйнштейна не является его основной работой. Формула так хорошо известна из-за ее связи с атомной бомбой. Сам Эйнштейн сказал: «Если бы я предвидел Хиросиму и Нагасаки, я бы разорвал свою формулу в 1905 году», несмотря на то, что он играл незначительную роль в Манхэттенском проекте.

Принцип неопределенности

Принцип неопределенности, сформулированный Вернером Гейзенбергом в 1927 году, является одним из краеугольных камней квантовой механики.Уравнение в одиночку положило конец классическому детерминизму, означая, что в сфере бесконечно малых атомов случай имеет свою игру, и драма существования не является абсолютно предопределенной по своему характеру.
В наиболее знакомой форме он говорит, что чем точнее измерение положения, тем неточнее измерение импульса, и наоборот. Таким образом, невозможно узнать с полной точностью оба этих двух важных фактора, которые определяют движение одной из мельчайших частиц, ее положение и скорость в один и тот же момент.
Принцип неопределенности был немедленно отвергнут ведущими физиками того времени, в том числе Альбертом Эйнштейном. Там Нильс Бор изо всех сил старался убедить Эйнштейна в том, что соотношение неопределенностей является фундаментальным законом физики. Эйнштейн все же отказался, и они согласились не соглашаться. К 1933 году политическая ситуация в Германии значительно ухудшилась, и Эйнштейн переехал в США.

В 1954 году Гейзенберг посетил дом Эйнштейна в Принстоне. Они говорили только о физике, но принципиальная позиция Эйнштейна не изменилась.В 1955 году Эйнштейн скончался, оставив Вернера Гейзенберга разочарованным из-за того, что ему не удалось заручиться поддержкой Эйнштейна его соотношения неопределенностей.


Хотя Эйнштейн и другие возражали против взглядов Гейзенберга и Бора, даже Эйнштейн должен был признать, что они действительно были логическим следствием квантовой механики. Но для Эйнштейна чего-то все еще не хватало, и квантовая механика была неполной. «Я убежден, что бог не бросает кости», – образно утверждал он.

Гейзенберг, поддержанный Бором, Паули, Шредингером и другими, до своей смерти утверждал, что квантовая неопределенность не является неточностью измерения, она присуща квантовым явлениям.Это приводит к вероятностным, а не детерминированным результатам.

Уравнение Максвелла-Фарадея

В 1831 году, как обычно рассказывают, премьер-министру или другому высокопоставленному политику Фарадей продемонстрировал электромагнитную индукцию. Когда его спросили: «Что в этом хорошего?» Фарадей ответил: «Что хорошего в новорожденном ребенке?» Прошло пятьдесят лет, прежде чем электроэнергия действительно стала популярной, как это предполагал Фарадей.
И в генераторах, и в двигателях используется закон Фарадея. Уравнение Максвелла стало основой для выработки электроэнергии, что сделало Фарадея отцом электричества.Максвелл сказал о Фарадея: «Он был и всегда должен оставаться отцом этой расширенной науки электромагнетизма».

Уравнение Дирака


Симметрия – ключевое слово физики, и Дирак прекрасно использовал ее в 1928 году. Он разработал уравнение, объясняющее число спинов как следствие объединения квантовой механики и специальной теории относительности. Уравнение также предсказывало существование антивещества, о котором раньше не подозревали и не наблюдали, и которое было экспериментально обнаружено в 1932 году.
Это достижение было описано наравне с работами Ньютона, Максвелла и Эйнштейна до него.Дирак даже предположил, что может существовать и зеркальная вселенная античастиц, что стало источником вдохновения для писателей-фантастов. Дирак также был известен своим вкладом в квантовую электродинамику, в котором описывалось, как электрические и магнитные силы будут работать в масштабах меньших, чем атомы.

Закон энтропии


Известное неравенство, которое гласит, что когда энергия переходит из одной формы в другую или когда материя движется свободно, беспорядок в замкнутой системе увеличивается.По словам известного астронома Артура Эддингтона, «закон, согласно которому энтропия всегда увеличивается, занимает, я думаю, высшую позицию среди законов природы».
Концепция второго закона термодинамики применима не только к двигателям внутреннего сгорания, используемым в наших автомобилях, мотоциклах, кораблях и самолетах, но и для объяснения процессов жизни, если рассматривать их с точки зрения циклических процессов.

Второй закон также имеет серьезные последствия для Вселенной в больших масштабах. Представьте, что вам показывают видеоклип, в котором чашка падает и разбивается.По потоку энтропии вы точно сможете определить, воспроизводится ли видео вперед или назад.

Точно так же, если фильм о нашей вселенной воспроизводится в обратном направлении, вселенная будет становиться все более и более упорядоченной, как чашка, а при воспроизведении вперед мы ожидаем, что она будет беспорядочной, как осколки разбитой чашки.

Уравнения поля Эйнштейна



Уравнения Эйнштейна привели к слиянию трех измерений пространства и одного измерения времени в единое четырехмерное пространство-время.Выражение в левой части уравнения представляет кривизну пространства-времени. Выражение справа – это плотность энергии пространства-времени. Уравнение определяет, как энергия определяет кривизну пространства и времени.

Космологический постоянный член (Λ) был введен Эйнштейном, чтобы учесть, что Вселенная не расширяется и не сжимается. Эта попытка не увенчалась успехом, потому что в 1929 году астроном Эдвин Хаббл обнаружил доказательства расширения Вселенной. Хаббл пригласил Эйнштейна лично убедиться, что Вселенная действительно меняется.


В результате Эйнштейн отказался от космологической постоянной в уравнении, назвав это самой большой ошибкой, которую он когда-либо делал. Таким образом, с 1930-х до конца 1990-х годов большинство физиков полагали космологическую постоянную равной нулю. Но недавно усовершенствованные астрономические методы обнаружили, что расширение Вселенной ускоряется, что подразумевает ненулевое значение постоянной.


Почему уравнения поля Эйнштейна важны в физике? Во-первых, потому, что они объединяют две концепции пространства и времени, которые ранее считались отдельными из-за ограничений нашей интуиции, в одно пространство-время. Точно так же, как Максвелл объединил электричество и магнетизм в электромагнетизм в 19 веке.

Во-вторых, они описывают не силу, а фундаментальное «взаимодействие» гравитации в результате искривления пространства-времени под действием энергии (масса также является энергией из эквивалентности энергии и массы Эйнштейна).

Хотя Ньютон действительно дал формулу для вычисления величины гравитационной силы между любыми двумя массами, разделенными расстоянием, он не совсем объяснил причину гравитации.

Волновое уравнение



Одномерное волновое уравнение имеет скалярную функцию (u) одной пространственной переменной и одной временной переменной, поскольку волны распространяются в пространстве, а также во времени. Это уравнение было впервые написано французским математиком Жаном ле Рондом Даламбером, поэтому его иногда также называют уравнением Даламбера. Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер написал его в трех измерениях в 1707 году.

Мы постоянно окружены волнами, независимо от того, заметны они нам или нет, они всегда там. Например, когда вы играете на гитаре или бросаете камень в пруд. Волновое уравнение не так элегантно, как другие в этом списке, но оно является новаторским, поскольку оно применяется к звуковым волнам (и инструментам), волнам в жидкостях, волнам при землетрясениях, световых волнах, квантовой механике и общей теории относительности.

Уравнение Планка


Эта формула положила начало квантовой механике, а также телевидению и солнечным элементам. Ведущий немецкий физик того времени Макс Планк в 1900 году постулировал, что энергия квантована и может излучаться или поглощаться только в целых кратных величинах небольшой единицы, которую он назвал «квантом энергии».
Эйнштейн расширил идею Планка в 1905 году, когда он ввел понятие «световой квант», частица света или фотон. Таким образом, по предположению Эйнштейна, электромагнитное излучение не было непрерывным, как волна, а было изолировано в пакетах света.

Планк просто ввел это уравнение как уловку для решения проблемы с излучением черного тела, но Эйнштейн предполагал, что это будет нечто большее. В 1887 году экспериментатор Генрих Герц впервые наткнулся на фотоэффект; испускание электронов при попадании света определенной частоты на материал.


Явление фотоэлектрического эффекта оставалось в значительной степени необъяснимым, даже с помощью волновой теории света, до появления соотношения Планка-Эйнштейна в 1905 году. Эйнштейн описал его в терминах взаимодействия частица-частица между фотоном и электроном. Он сказал: «… ниже некоторой критической частоты ни один фотон не обладает достаточной энергией, чтобы выбить электрон».

Это означает, что если светочувствительный материал требует, чтобы фотоны синего света испускали электроны, что является характеристикой материала, то фотоны зеленого или желтого света не смогут выбить электроны из материала.


Характеристическая энергия или работа выхода материала поглощается, чтобы ослабить связи, а затем остаток энергии наблюдается как кинетическая энергия свободного электрона. Разъяснение Эйнштейна соответствовало закону сохранения энергии. Он был удостоен Нобелевской премии по физике за объяснение фотоэлектрического эффекта (а не за соотношение энергии и массы или теорию относительности).

Планк сказал, что его введение «кванта» в 1900 году было актом отчаяния, но когда Эйнштейн принял его и придал смысл, начались совершенно новые дебаты, и старые законы были отменены в течение примерно десяти лет.Эйнштейн, который сам несет ответственность за это, отказался одобрить новую квантовую революцию.

Открытие Планка и Эйнштейна стало основой всей физики двадцатого века, без которой было бы невозможно создать работоспособную теорию молекул и атомов и энергетических процессов, управляющих их превращениями.

Уравнение Шредингера

В своей докторской диссертации 1924 года французский физик Луи де Бройль предположил, что так же, как свет имеет как волновые, так и частичные свойства, электроны также должны обладать волнообразными свойствами, чтобы поддерживать симметрию энергии и вещества.Два года спустя, в 1926 году, австрийский ученый Эрвин Шредингер опубликовал уравнение, описывающее, как материальная волна должна развиваться в пространстве и во времени.

Точно так же, как уравнения Ньютона используются для расчета поведения футбольного мяча при ударе ногой, вы используете уравнение Шредингера для расчета поведения электрона на орбите атома. В более общем плане он используется для многих вычислений в квантовой механике, а также является фундаментальным для большей части современных технологий, от лазеров до транзисторов, а также для будущего развития квантовых компьютеров.

Семь уравнений, управляющих вашим миром

Ян Стюарт

Видео: уравнения, управляющие миром

Пифагорейцы выяснили, почему струны звучат гармонично

(Изображение: Nils Jorgensen / Rex Features)

Звонит будильник. Вы смотрите на часы. Время 6.30 утра. Вы даже не вставали с постели, и уже как минимум шесть математических уравнений повлияли на вашу жизнь.Микросхема памяти, которая хранит время в ваших часах, не могла бы быть создана без ключевого уравнения квантовой механики. Его время было установлено с помощью радиосигнала, который мы никогда бы не смогли изобрести, если бы не четыре уравнения электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла. А сам сигнал распространяется согласно так называемому волновому уравнению.

Мы плывем в скрытом океане уравнений. Они работают в сфере транспорта, финансовой системы, здравоохранения, предупреждения и выявления преступлений, связи, питания, водоснабжения, отопления и освещения.Шагните в душ и воспользуйтесь уравнениями, используемыми для регулирования подачи воды. Сухие завтраки получаются из культур, выращенных с помощью статистических уравнений. Поездка на работу и аэродинамический дизайн вашего автомобиля частично объясняются уравнениями Навье-Стокса, которые описывают, как воздух течет над и вокруг него. Включение спутниковой навигации снова включает в себя квантовую физику, а также законы движения и гравитации Ньютона, которые помогли запустить спутники геолокации и установить их орбиты. Он также использует уравнения генератора случайных чисел для сигналов синхронизации, тригонометрические уравнения для вычисления местоположения, а также специальную и общую теорию относительности для точного отслеживания движения спутников под действием силы тяжести Земли.

«Мы плывем в скрытом океане уравнений. Они работают в сфере транспорта, здравоохранения, связи, питания, водоснабжения, отопления и освещения »

Без уравнений большая часть наших технологий никогда не была бы изобретена. Конечно, такие важные изобретения, как огонь и колесо, произошли без каких-либо математических знаний. Однако без уравнений мы бы застряли в средневековом мире.

Уравнения выходят далеко за рамки технологий. Без них у нас не было бы понимания физики, которая управляет приливами, волнами, разбивающимися о берег, постоянно меняющейся погодой, движением планет, ядерными топками звезд, спиралями галактик – необъятностью просторов. Вселенная и наше место в ней.

Есть тысячи важных уравнений. Семь, на которых я сосредоточусь здесь – волновое уравнение, четыре уравнения Максвелла, преобразование Фурье и уравнение Шредингера – иллюстрируют, как эмпирические наблюдения привели к уравнениям, которые мы используем как в науке, так и в повседневной жизни.

Графика и двоеточие; См. Семь уравнений

Во-первых, волновое уравнение. Мы живем в мире волн. Наши уши воспринимают волны сжатия в воздухе как звук, а глаза – световые волны.Когда землетрясение поражает город, разрушение вызвано сейсмическими волнами, проходящими через Землю.

Математики и ученые не могли не думать о волнах, но их отправной точкой были искусства & Colon; как скрипичная струна создает звук? Этот вопрос восходит к древнегреческому культу пифагорейцев, которые обнаружили, что если две струны одного типа и натяжения имеют длину в простом соотношении, например, 2 & двоеточие; 1 или 3 & двоеточие; 2, они производят ноты, которые вместе звучат необычайно гармонично.Более сложные соотношения дискордантны и неприятны для слуха. Разобраться в этих наблюдениях начал швейцарский математик Иоганн Бернулли. В 1727 году он смоделировал струну скрипки как большое количество близко расположенных точечных масс, связанных друг с другом пружинами. Он использовал законы Ньютона, чтобы записать уравнения движения системы, и решил их. Из решений он пришел к выводу, что простейшая форма колеблющейся струны – это синусоида. Существуют и другие режимы вибрации – синусоидальные кривые, в которых более одной волны укладывается в длину струны, известные музыкантам как гармоники.

От волн к беспроводной сети

Почти 20 лет спустя Жан Ле Ронд д’Аламбер применил аналогичную процедуру, но сосредоточился на упрощении уравнений движения, а не их решений. В результате получилось элегантное уравнение, описывающее, как форма струны меняется со временем. Это волновое уравнение, в котором говорится, что ускорение любого небольшого сегмента струны пропорционально действующему на него натяжению. Это означает, что волны, частоты которых не находятся в простых соотношениях, производят неприятный жужжащий шум, известный как «биения».Это одна из причин, по которой простые числовые соотношения дают звуки гармонично.

Волновое уравнение может быть изменено для работы с более сложными и беспорядочными явлениями, такими как землетрясения. Сложные версии волнового уравнения позволяют сейсмологам определять, что происходит за сотни миль под нашими ногами. Они могут наносить на карту тектонические плиты Земли, когда одна скользит под другой, вызывая землетрясения и извержения вулканов. Самым большим призом в этой области будет надежный способ прогнозирования землетрясений и извержений вулканов, и многие из исследуемых методов основаны на волновом уравнении.

Но наиболее важный вывод из волнового уравнения возник в результате изучения уравнений электромагнетизма Максвелла. В 1820 году большинство людей освещали свои дома свечами и фонарями. Если вы хотели отправить сообщение, вы писали письмо и помещали его в карету, запряженную лошадьми; для срочных сообщений вы пропустили каретку. В течение 100 лет в домах и улицах было электрическое освещение, телеграфия означала, что сообщения могут передаваться через континенты, и люди даже начали разговаривать друг с другом по телефону.Радиосвязь была продемонстрирована в лабораториях, и один предприниматель построил фабрику по продаже «беспроводных телефонов» населению.

Эта социальная и технологическая революция была вызвана открытиями двух ученых. Примерно в 1830 году Майкл Фарадей установил основы физики электромагнетизма. Тридцать лет спустя Джеймс Клерк Максвелл приступил к поискам математической основы для экспериментов и теорий Фарадея.

В то время большинство физиков, занимавшихся электричеством и магнетизмом, искали аналогии с гравитацией, которую они рассматривали как силу, действующую между телами на расстоянии.У Фарадея была другая идея & двоеточие; Чтобы объяснить серию экспериментов, которые он провел с электричеством и магнетизмом, он постулировал, что оба явления представляют собой поля, которые пронизывают пространство, изменяются со временем и могут быть обнаружены силами, которые они создают. Фарадей сформулировал свои теории в терминах геометрических структур, таких как магнитные силовые линии.

Максвелл переформулировал эти идеи по аналогии с математикой потока жидкости. Он рассуждал, что силовые линии аналогичны путям, по которым движутся молекулы жидкости, и что сила электрического или магнитного поля аналогична скорости жидкости. К 1864 году Максвелл написал четыре уравнения для основных взаимодействий между электрическим и магнитным полями. Два говорят нам, что электричество и магнетизм не могут просочиться. Два других говорят нам, что когда область электрического поля вращается в маленьком круге, она создает магнитное поле, а область вращения магнитного поля создает электрическое поле.

Но то, что Максвелл сделал следующим, поразительно. Выполнив несколько простых манипуляций со своими уравнениями, ему удалось вывести волновое уравнение и сделать вывод, что свет должен быть электромагнитной волной.Одно это было потрясающей новостью, поскольку никто не мог представить себе такую ​​фундаментальную связь между светом, электричеством и магнетизмом. И было еще кое-что. Свет бывает разных цветов, соответствующих разным длинам волн. Длины волн, которые мы видим, ограничены химическим составом светочувствительных пигментов глаза. Уравнения Максвелла привели к драматическому предсказанию – должны существовать электромагнитные волны всех длин волн. Некоторые из них с гораздо более длинными волнами, чем мы можем видеть, преобразили бы мир & col; радиоволны.

«Уравнения Максвелла привели к драматическому предсказанию, что должны существовать электромагнитные волны всех длин волн. Радиоволны изменили мир »

В 1887 году Генрих Герц экспериментально продемонстрировал радиоволны, но ему не удалось оценить их самое революционное применение. Если бы вы могли передать сигнал на такой волне, вы могли бы поговорить с миром. Никола Тесла, Гульельмо Маркони и другие воплотили мечту в реальность, и все современные средства связи, от радио и телевидения до радаров и микроволновых каналов для мобильных телефонов, последовали за ними.И все это произошло из четырех уравнений и пары коротких вычислений. Уравнения Максвелла не просто изменили мир. Открыли новую.

Не менее важно то, что уравнения Максвелла описывают. Хотя уравнения показали, что свет представляет собой волну, физики вскоре обнаружили, что его поведение иногда противоречит этой точке зрения. Посветите свету на металл, и он создаст электричество – явление, называемое фотоэлектрическим эффектом. Это имело смысл только в том случае, если свет вел себя как частица.Итак, был ли свет волной или частицей? Собственно, и того, и другого. Материя состояла из квантовых волн, и тесно связанный пучок волн действовал как частица.

Живой или мертвый

В 1927 году Эрвин Шредингер написал уравнение для квантовых волн. Он прекрасно вписывался в эксперименты, создавая картину очень странного мира, в котором элементарные частицы, такие как электрон, являются не четко определенными объектами, а облаками вероятности. Вращение электрона похоже на монету, которая может быть наполовину решкой и наполовину решкой, пока не упадет на стол.Вскоре теоретиков беспокоили всевозможные квантовые странности, такие как кошки, которые одновременно живы и мертвые, и параллельные вселенные, в которых Адольф Гитлер выиграл вторую мировую войну.

Квантовая механика не ограничивается такими философскими загадками. Почти все современные гаджеты – компьютеры, мобильные телефоны, игровые приставки, автомобили, холодильники, духовки – содержат микросхемы памяти на основе транзисторов, работа которых основана на квантовой механике полупроводников. Новые применения квантовой механики появляются почти еженедельно.Квантовые точки – крошечные кусочки полупроводника – могут излучать свет любого цвета и используются для получения биологических изображений, где они заменяют традиционные, часто токсичные, красители. Инженеры и физики пытаются изобрести квантовый компьютер, который может параллельно выполнять множество различных вычислений, точно так же, как кошка, которая одновременно жива и мертва.

Лазеры – еще одно приложение квантовой механики. Мы используем их для считывания информации с крошечных ямок или меток на CD, DVD и Blu-ray дисках. Астрономы используют лазеры для измерения расстояния от Земли до Луны.Возможно, даже удастся запустить космические аппараты с Земли за счет мощного лазерного луча.

Последняя глава этой истории основана на уравнении, которое помогает нам разобраться в волнах. Все началось в 1807 году, когда Джозеф Фурье разработал уравнение для теплового потока. Он представил доклад об этом во Французскую академию наук, но он был отклонен. В 1812 году академия стала горячей темой своей ежегодной премии. Фурье представил более длинный, исправленный документ – и выиграл.

Самым интригующим аспектом отмеченной премией статьи Фурье было не уравнение, а то, как он его решил.Типичная проблема заключалась в том, чтобы найти, как температура вдоль тонкого стержня изменяется с течением времени, учитывая начальный профиль температуры. Фурье мог бы легко решить это уравнение, если бы температура изменялась как синусоида по длине. Поэтому он представил более сложный профиль как комбинацию синусоидальных кривых с разными длинами волн, решил уравнение для каждой составляющей синусоидальной кривой и сложил эти решения вместе. Фурье утверждал, что этот метод работает для любого профиля, даже если температура внезапно подскакивает. Все, что вам нужно было сделать, это сложить бесконечное количество вкладов синусоидальных кривых со все большим и большим количеством колебаний.

Тем не менее, новую статью Фурье раскритиковали за недостаточную строгость, и французская академия снова отказалась ее опубликовать. В 1822 году Фурье проигнорировал возражения и опубликовал свою теорию в виде книги. Два года спустя его назначили секретарем академии, он проигнорировал своих критиков и опубликовал свою оригинальную статью в академическом журнале. Однако критики были правы.Математики начали понимать, что бесконечные серии – опасные твари; они не всегда вели себя как хорошие конечные суммы. Решение этих проблем оказалось явно трудным, но окончательный вердикт заключался в том, что идею Фурье можно сделать строгой, исключив крайне неправильные профили. Результатом является преобразование Фурье, уравнение, которое обрабатывает изменяющийся во времени сигнал как сумму ряда составляющих синусоидальных кривых и вычисляет их амплитуды и частоты.

Сегодня преобразование Фурье влияет на нашу жизнь множеством способов.Например, мы можем использовать его для анализа вибрационного сигнала, производимого землетрясением, и для расчета частот, на которых энергия, передаваемая сотрясениями земли, является наибольшей. Разумный шаг к сейсмостойкости здания – убедиться, что предпочтительные частоты здания отличаются от частот землетрясения.

«Сегодня преобразование Фурье влияет на нашу жизнь множеством способов, от поиска структур в ДНК до сжатия цифровых фотографий»

Другие приложения включают удаление шума из старых звукозаписей, определение структуры ДНК с помощью рентгеновских изображений, улучшение радиоприема и предотвращение нежелательных вибраций в автомобилях.Плюс есть один, которым большинство из нас невольно пользуется каждый раз, когда мы делаем цифровую фотографию.

Если вы определите, сколько информации требуется для представления цвета и яркости каждого пикселя в цифровом изображении, вы обнаружите, что цифровая камера, кажется, втискивает на карту памяти примерно в 10 раз больше данных, чем карта может вместить. . Камеры делают это с помощью сжатия данных JPEG, которое объединяет пять различных этапов сжатия. Один из них – это цифровая версия преобразования Фурье, которая работает с сигналом, который изменяется не во времени, а по всему изображению.Математика практически идентична. Остальные четыре шага уменьшают данные еще больше, примерно до одной десятой первоначальной суммы.

Это всего лишь семь из множества уравнений, с которыми мы сталкиваемся каждый день, даже не осознавая их наличия. Но влияние уравнений на историю идет гораздо дальше. Поистине революционное уравнение может иметь большее влияние на человеческое существование, чем все короли и королевы, чьи махинации заполняют наши учебники истории.

Существует (или может быть) одно уравнение, прежде всего, которое физики и космологи очень хотели бы получить в свои руки & Colon; теория всего, что объединяет квантовую механику и относительность.Самым известным из многих кандидатов является теория суперструн. Но насколько нам известно, наши уравнения для физического мира могут быть просто упрощенными моделями, не отражающими глубинную структуру реальности. Даже если природа подчиняется универсальным законам, их нельзя выразить уравнениями.

Некоторые ученые думают, что пора полностью отказаться от традиционных уравнений в пользу алгоритмов – более общих рецептов для вычислений, требующих принятия решений. Но до тех пор, пока не наступит этот день, если когда-либо, наши величайшие познания в законах природы будут по-прежнему принимать форму уравнений, и мы должны научиться понимать их и ценить их.Уравнения имеют послужной список. Они действительно изменили мир, и они изменят его снова.

Происхождение уравнений

Древние вавилоняне и греки знали об уравнениях, хотя при написании их использовали слова и картинки. В течение последних 500 лет математики и ученые использовали символы, важнейшим из которых был знак равенства. Как ни странно, мы знаем, кто это придумал и почему. Это был Роберт Рекорд, который в 1557 году написал в своем трактате Точильный камень Витте & colon; «Чтобы избежать утомительного повторения этих хлопот и двоеточия; равно & двоеточие; Я буду располагать, как я часто делаю это в работе, пару параллелей или гемовидные линии одной длины & двоеточие; bicause noe. 2. Тинжес, может быть равным ».

Теоремы и теории

Некоторые уравнения представляют собой логические отношения между математическими величинами, и задача математиков – доказать, что они верны. Другие предоставляют информацию о неизвестном количестве; здесь задача состоит в том, чтобы решить уравнение и сделать неизвестное известным. Уравнения в чистой математике обычно относятся к первому виду & двоеточие; они раскрывают закономерности и закономерности в самой математике. Теорема Пифагора, уравнение, выраженное на языке геометрии, является примером.Учитывая основные геометрические предположения Евклида, теорема Пифагора верна.

Уравнения в прикладной математике и математической физике обычно относятся ко второму виду. Они выражают свойства Вселенной, которые в принципе могли бы быть другими. Например, закон всемирного тяготения Ньютона говорит нам, как рассчитать силу притяжения между двумя телами. Решение полученных уравнений говорит нам, как планеты вращаются вокруг Солнца или как построить траекторию для космического зонда. Но закон Ньютона – это не математическая теорема; закон всемирного тяготения мог быть другим.В самом деле, это другое & двоеточие; Общая теория относительности Эйнштейна улучшает Ньютона. И даже эта теория может быть не последним словом.

Наш выбор уравнений Максвелла

В этой истории и в своей последней книге 17 уравнений, изменивших мир Ян Стюарт использует уравнение Максвелла для электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме. В сопроводительном видео мы используем более длинную версию уравнения, которая не зависит от волн, движущихся в вакууме.

Еще по этим темам:

11 самых красивых математических уравнений

Введение

(Изображение предоставлено Shutterstock / R.2, завоевавшие большую часть общественной славы, многие менее известные формулы имеют своих чемпионов среди ученых. LiveScience попросил физиков, астрономов и математиков рассказать об их любимых уравнениях; вот что мы обнаружили:

Общая теория относительности

(Изображение предоставлено: Shutterstock / RT Wohlstadter)

Приведенное выше уравнение было сформулировано Эйнштейном в 1915 году в рамках его новаторской общей теории относительности. сила как искривление ткани пространства и времени.

«Меня все еще удивляет, что одно такое математическое уравнение может описать, что такое пространство-время», – сказал астрофизик Института космического телескопа Марио Ливио, который назвал это уравнение своим любимым. «В этом уравнении воплощен весь истинный гений Эйнштейна». [Викторина Эйнштейна: проверьте свои знания о гении]

«Правая часть этого уравнения описывает энергетический состав нашей Вселенной (включая« темную энергию », которая движет текущим космическим ускорением)», – объяснил Ливио.«Левая часть описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна масса и энергия определяют геометрию и, соответственно, кривизну, которая является проявлением того, что мы называем гравитацией». [6 странных фактов о гравитации]

«Это очень элегантное уравнение», – сказал Кайл Кранмер, физик из Нью-Йоркского университета, добавив, что уравнение показывает взаимосвязь между пространством-временем, материей и энергией. «Это уравнение говорит вам, как они связаны – как присутствие Солнца искажает пространство-время, так что Земля движется вокруг него по орбите и т. Д.В нем также рассказывается, как эволюционировала Вселенная после Большого взрыва, и предсказывается, что там должны быть черные дыры ».

Стандартная модель

(Изображение предоставлено Shutterstock / RT Wohlstadter)

Еще одна господствующая теория физики, стандартная модель описывает совокупность элементарных частиц, из которых в настоящее время считается наша Вселенная.

Теория может быть заключена в основное уравнение, называемое стандартным модельным лагранжианом (названное в честь французского математика и астронома 18-го века Жозефа Луи Лагранжа), которое было выбрано физик-теоретик Лэнс Диксон из Национальной ускорительной лаборатории SLAC в Калифорнии в качестве своей любимой формулы.

«Он успешно описал все элементарные частицы и силы, которые мы наблюдали в лаборатории на сегодняшний день, за исключением гравитации», – сказал Диксон LiveScience. «Сюда входит, конечно, недавно открытый (подобный) бозон Хиггса, фи в формуле. Это полностью самосогласовано с квантовой механикой и специальной теорией относительности».

Однако стандартная теория моделей еще не объединена с общей теорией относительности, поэтому она не может описывать гравитацию. [Инфографика: объяснение стандартной модели]

Calculus

(Изображение предоставлено Shutterstock / agsandrew)

В то время как первые два уравнения описывают определенные аспекты нашей Вселенной, другое любимое уравнение можно применить ко всем ситуациям.Фундаментальная теорема исчисления составляет основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две его основные идеи: понятие интеграла и понятие производной.

“Простыми словами, [он] говорит, что чистое изменение плавной и непрерывной величины, такой как пройденное расстояние, за данный интервал времени (т. Е. Разница в значениях величины в конечные моменты времени интервал) равен интегралу скорости изменения этой величины, т. е.е. интеграл скорости “, – сказала Мелкана Бракалова-Тревитик, заведующая математическим факультетом Фордхэмского университета, которая выбрала это уравнение в качестве своего любимого.” Фундаментальная теорема исчисления (FTC) позволяет нам определить чистое изменение за интервал на основе от скорости изменения в течение всего интервала ».

Зародыши исчисления зародились в древние времена, но большая часть их была собрана в 17 веке Исааком Ньютоном, который использовал расчеты для описания движения планет вокруг Солнца. .

Теорема Пифагора

(Изображение предоставлено Shutterstock / igor.stevanovic)

Уравнение «старое, но хорошее» – это знаменитая теорема Пифагора, которую изучает каждый начинающий изучающий геометрию.

Эта формула описывает, как для любого прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы c (самая длинная сторона прямоугольного треугольника) равен сумме квадратов длин двух других сторон. ( a и b ). 2

«Самым первым математическим фактом, который меня поразил, была теорема Пифагора, – сказала математик Дайна Таймина из Корнельского университета.«Я тогда был ребенком, и мне казалось таким удивительным, что это работает с геометрией и с числами!» [5 серьезных математических фактов]

1 = 0,999999999….

(Изображение предоставлено: Shutterstock / Tursunbaev Ruslan)

Это простое уравнение, которое утверждает, что величина 0,999, за которой следует бесконечная цепочка девяток, эквивалентна единице, является фаворитом математика Стивена Строгаца из Корнельского университета.

«Мне нравится, насколько это просто – все понимают, что в нем говорится, – но насколько это провокационно», – сказал Строгац.«Многие люди не верят, что это может быть правдой. Это также прекрасно сбалансировано. Левая сторона представляет собой начало математики; правая часть представляет тайны бесконечности».

Специальная теория относительности

(Изображение предоставлено: Shutterstock / optimarc)

Эйнштейн снова попадает в список со своими формулами специальной теории относительности, которые описывают, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее являются относительными в зависимости от скорости движения. наблюдатель. Приведенное выше уравнение показывает, как время расширяется или замедляется по мере того, как человек движется в любом направлении.

«Дело в том, что это действительно очень просто», – сказал Билл Мюррей, физик элементарных частиц из лаборатории CERN в Женеве. «В нем нет ничего, что не мог бы сделать ученик A-level, никаких сложных производных и алгебр следов. Но то, что он воплощает, – это совершенно новый взгляд на мир, целостное отношение к реальности и наше отношение к ней. неизменный космос сметается и заменяется личным миром, связанным с тем, что вы наблюдаете.Вы переходите от того, чтобы быть вне вселенной, глядя вниз, к одному из компонентов внутри нее.Но концепции и математику может усвоить любой, кто хочет ».

Мюррей сказал, что предпочитает специальные уравнения относительности более сложным формулам более поздней теории Эйнштейна.« Я никогда не смогу следовать математике общей теории относительности », – сказал он. .

Уравнение Эйлера

(Изображение предоставлено: Shutterstock / Jezper)

Эта простая формула инкапсулирует нечто чистое о природе сфер:

«Это говорит о том, что если вы разрежете поверхность сферы на грани, края и вершины и пусть F будет числом граней, E числом ребер и V числом вершин, вы всегда получите V – E + F = 2 “, – сказал Колин Адамс, математик из колледжа Уильямс в Массачусетсе.

«Возьмем, к примеру, тетраэдр, состоящий из четырех треугольников, шести ребер и четырех вершин», – пояснил Адамс. «Если вы сильно дунете в тетраэдр с гибкими гранями, вы можете округлить его до сферы, так что в этом смысле сферу можно разрезать на четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. И мы видим, что V – E + F = 2. То же самое верно для пирамиды с пятью гранями – четырьмя треугольными и одним квадратом – восемью гранями и пятью вершинами »и любой другой комбинацией граней, ребер и вершин.

«Очень крутой факт! Комбинаторика вершин, ребер и граней улавливает кое-что очень фундаментальное о форме сферы», – сказал Адамс.

Уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Нётер

(Изображение предоставлено Shutterstock / Марк Пинтер)

«Это довольно абстрактные, но удивительно мощные», – сказал Кранмер из Нью-Йоркского университета. «Круто то, что этот способ мышления о физике пережил несколько крупных революций в физике, таких как квантовая механика, теория относительности и т. Д.«

Здесь L обозначает лагранжиан, который является мерой энергии в физической системе, такой как пружины, рычаги или фундаментальные частицы.« Решение этого уравнения говорит вам, как система будет развиваться со временем », – сказал Кранмер.

Побочный результат уравнения Лагранжа называется теоремой Нётер в честь немецкого математика 20 века Эмми Нётер. «Эта теорема действительно фундаментальна для физики и роли симметрии», – сказал Кранмер. «Неофициально, теорема состоит в том, что если ваша система обладает симметрией, то существует соответствующий закон сохранения.Например, идея о том, что фундаментальные законы физики сегодня такие же, как и завтра (временная симметрия), подразумевает сохранение энергии. Идея о том, что законы физики здесь такие же, как и в космическом пространстве, подразумевает, что импульс сохраняется. Симметрия, возможно, является движущей концепцией фундаментальной физики, в первую очередь благодаря вкладу [Нётер] ».

Уравнение Каллана-Симанзика

(Изображение предоставлено: Shutterstock / RT Wohlstadter)

« Уравнение Каллана-Симанзика является жизненно важным первым. “Уравнение принципов 1970 года, необходимое для описания того, как наивные ожидания терпят неудачу в квантовом мире”, – сказал физик-теоретик Мэтт Страсслер из Университета Рутгерса.

Уравнение имеет множество приложений, в том числе позволяет физикам оценивать массу и размер протона и нейтрона, составляющих ядра атомов.

Основы физики говорят нам, что гравитационная сила и электрическая сила между двумя объектами пропорциональны обратному квадрату расстояния между ними. На простом уровне то же самое верно и для сильного ядерного взаимодействия, которое связывает протоны и нейтроны вместе, чтобы сформировать ядра атомов, и которое связывает кварки вместе, чтобы сформировать протоны и нейтроны.Однако крошечные квантовые флуктуации могут немного изменить зависимость силы от расстояния, что имеет драматические последствия для сильного ядерного взаимодействия.

«Это предотвращает уменьшение этой силы на больших расстояниях, заставляет ее захватывать кварки и объединять их, чтобы сформировать протоны и нейтроны нашего мира», – сказал Штрасслер. «Уравнение Каллана-Симанзика связывает этот драматический и трудно поддающийся расчету эффект, важный, когда [расстояние] примерно равно размеру протона, с более тонкими, но более простыми для расчета эффектами, которые можно измерить, когда [ расстояние] намного меньше протона.«

Уравнение минимальной поверхности

(Изображение предоставлено Shutterstock / MarcelClemens)

« Уравнение минимальной поверхности каким-то образом кодирует красивые мыльные пленки, которые образуются на границах проводов, когда вы погружаете их в мыльную воду », – сказал математик Фрэнк Морган из Williams. Колледж. “Тот факт, что уравнение является” нелинейным “, включая степени и произведения производных, является закодированным математическим намеком на удивительное поведение мыльных пленок. Это контрастирует с более знакомыми линейными уравнениями в частных производных, такими как уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Шредингера квантовой физики.«

Уравнения реакций – Chemistry LibreTexts

Ключевые слова

  • Энергия, экзотермическая реакция, эндотермическая реакция
  • Физические реакции, химические реакции, фазовые переходы
  • Реактивы, продукты
  • Стехиометрия реакции

Навыки для развития

  • Чтобы отличать химические изменения от физических изменений.
  • Написать химические уравнения для описания химической реакции.
  • Для уравновешивания химических уравнений.
  • Для расчета необходимых количеств реагентов или количеств, образующихся в химической реакции.

Изменения в материале или системе называются реакциями , и они делятся на химические и физические реакции. Энергия является движущей силой всех изменений, как физических, так и химических реакций. В этих реакциях всегда участвует энергия. Если система более устойчива за счет потери некоторой энергии, происходит реакция с высвобождением энергии.Такая реакция называется экзотермической . Подача энергии в систему также вызывает реакцию. Реакции поглощения энергии называются эндотермическими реакциями . Иногда количество энергии, участвующей в реакции, может быть настолько малым, что изменение энергии незаметно.

Уравнение может использоваться для описания физической реакции , которая включает изменение состояний. Например, плавление, сублимация, испарение и конденсация могут быть представлены следующим образом.В этих уравнениях (s) обозначает твердое тело, (l) – жидкость (l) и (g) – газ.

  • плавление: \ (\ mathrm {H_2O (s) \ rightarrow H_2O (l)} \)
  • сублимация: \ (\ mathrm {H_2O (s) \ rightarrow H_2O (g)} \)
  • испарение: \ (\ mathrm {C_2H_5OH (l) \ rightarrow C_2H_5OH (g)} \)
  • конденсация: \ (\ mathrm {NH_3 (g) \ rightarrow NH_3 (l)} \)

При этих изменениях химические связи не разрываются и не образуются, а молекулярная идентичность веществ не изменилась.

Является ли фазовый переход между графитом и алмазом химической или физической реакцией?

\ (\ mathrm {C (графит) \ rightarrow C (алмаз)} \).

Кристаллическая структура алмаза и графита очень различается, и связь между атомами углерода также различается в двух твердых состояниях. Поскольку химические связи разрываются и образуются новые связи, фазовый переход алмаза и графита является химической реакцией.

Химические вещества или вещества изменяются, превращаясь в одно или несколько других веществ, и эти изменения называются химическими реакциями .На молекулярном уровне атомы или группы атомов перестраиваются, что приводит к разрыву и образованию некоторых химических связей в химической реакции. Вещества, претерпевающие изменения, называются реагентами , а вновь образованные вещества называются продуктами . Внешний вид продуктов часто отличается от реагентов. Химические реакции часто сопровождаются появлением газа, огня, осадка, цвета, света, звука или запаха. Эти явления связаны с энергией и свойствами реагентов и продуктов.Например, при окислении пропана выделяется тепло и свет, а быстрая реакция – взрыв,

\ (\ mathrm {C_3H_8 + 5 O_2 \ rightarrow 3 CO_2 + 4 H_2O} \)

Сбалансированное уравнение также показывает макроскопическую количественную зависимость. Это сбалансированное уравнение реакции показывает, что пять моль кислорода реагируют с одним моль пропана, образуя три моля диоксида углерода и четыре моля воды, всего 7 моль продуктов реакции сгорания.

На молекулярном уровне это уравнение показывает, что для каждой молекулы пропана требуется 5 молекул кислорода.Три атома углерода превращаются в три молекулы диоксида углерода, тогда как 8 атомов водорода в пропане окисляются до 4 молекул воды. Количество атомов \ (\ ce {H} \), \ (\ ce {C} \) и \ (\ ce {O} \) одинаково в обеих частях уравнения.

Мы изучаем свойства веществ, чтобы знать, как их использовать. Склонность вещества реагировать сама по себе или с другими веществами является важным химическим свойством. Под свойствами мы понимаем химические реакции, которые лучше всего изучать путем экспериментов и наблюдений.Проведя множество экспериментов, вы можете обобщить определенные правила и факты. Знание этих правил и фактов позволяет вам решать проблемы, с которыми вы еще не сталкивались.

Самый важный аспект химической реакции – это знать, каковы реагенты и каковы продукты. Для этого лучше всего описать реакцию написать уравнение реакции. Уравнение химической реакции дает реагенты и продукты, а сбалансированное уравнение химической реакции показывает мольные отношения реагентов и продуктов. Часто указывается количество энергии, участвующей в реакции. Изучение количественного аспекта химических реакций называется стехиометрией реакции .

Например, при нагревании раскладушек \ (\ ce {CaCO3} \) будет выделяться газ \ (\ ce {CO2} \), в результате чего останется белый порошок (твердый \ (\ ce {CaO} \) ) за. Уравнение реакции записывается как:

\ [\ mathrm {CaCO_3 \ rightarrow CaO + CO_2} \]

Уравнение показывает, что один моль \ (\ ce {CaCO3} \) дает по одному моль каждого из \ (\ ce {CaO} \) и \ (\ ce {CO2} \).Количества веществ, представленные химическими формулами, были введены на двух предыдущих страницах, и эти концепции должны помочь выяснить стехиометрию реакций, когда дано уравнение реакции.

Пример 1

Когда 10,0 г чистого карбоната кальция нагревают и превращают в твердый оксид кальция \ (\ ce {CaO} \), сколько оксида кальция должно быть получено? Если получено только 5,0 грамма \ (\ ce {CaO} \), каков фактический выход?

СОВЕТ

В идеальных условиях количество вещества в уравнении реакции указано ниже:

\ (\ begin {alignat} {2}
\ ce {& CaCO_3 \ rightarrow && CaO + && CO_2} \\
& \: 100. 0 && \: \: 56 && \: 44 \: \: \: \ mathrm {г / моль \: (формула \: веса)}
\ end {alignat} \)

\ [\ mathrm {10.0 \: g \: CaCO_3 \ times \ dfrac {1 \: mol \: CaCO_3} {100 \: g \: CaCO_3} \ times \ dfrac {1 \: mol \: CaO} {1 \: mol \: CaCO_3} \ times \ dfrac {56 \: g \: CaO} {1 \: mol \: CaO} = 5.6 \: g \: CaO} \]

ОБСУЖДЕНИЕ

Здесь приводится неэффективное преобразование, но метод показывает детали рассмотрения. Если полученное количество \ (\ ce {CaO} \) не составляет 5,6 г, можно сделать вывод, что образец не может быть чистым.

Пример 2

Когда 10,0 г чистого карбоната кальция нагревают и превращают в твердый оксид кальция \ (\ ce {CaO} \), сколько \ (\ ce {CO2} \) выделяется при стандартных условиях?

СОВЕТ

\ [\ mathrm {CaCO_3 \ rightarrow CaO + CO_2} \]

\ [\ mathrm {10.0 \: g \: CaCO_3 \ times \ dfrac {1 \: mol \: CO_2} {100 \: g \: CaCO_3} \ times \ dfrac {22. 4 \: L \: CO_2} {1 \: моль \: CO_2} = 2,24 \: L \: CO_2} \]

ОБСУЖДЕНИЕ

Мы сделали более короткий путь в этой рецептуре по сравнению с примером 1.Примеры 1 и 2 иллюстрируют оценку количеств в граммах и л.

Написание уравнений для химических реакций

Уравнения химических реакций действительно отражают изменения материалов. Для многих реакций мы можем написать уравнения только для общих реакций. Например, здравый смысл подсказывает нам, что когда сахар полностью окисляется, конечными продуктами являются углекислый газ и вода. Реакция окисления такая же, как реакция горения. Таким образом, мы пишем

\ [\ ce {C12h32O11 + 12 O2 \ rightarrow 12 CO2 + 11 h3O} \]

Это иллюстрирует методы, используемые для написания уравнений сбалансированной реакции:

  1. Определите реагенты и продукты : В этом случае продуктами являются \ (\ ce {CO2} \) и \ (\ ce {h3O} \), определенные здравым смыслом. Мы знаем это.
  2. Примените фундаментальный принцип сохранения атомов. Число атомов каждого сорта должно быть одинаковым до и после реакции.
  3. Сбалансируйте один тип атомов в момент времени : Для начала мы можем использовать \ (\ ce {H} \) или \ (\ ce {C} \). Поскольку слева находится 12 атомов \ (\ ce {C} \), коэффициент для \ (\ ce {CO2} \) равен 12. Точно так же 22 \ (\ ce {H} \) атома производят 11 \ (\ ce {h3O} \) молекул.
  4. Сбалансируйте атомы кислорода с обеих сторон: Всего 35 атомов \ (\ ce {O} \) справа, а коэффициент для \ (\ ce {O2} \) должен быть 11.

Пример 3

Соединение \ (\ ce {N2O5} \) неустойчиво при комнатной температуре. Он разлагается с образованием коричневого газа \ (\ ce {NO2} \) и кислорода. Напишите сбалансированное уравнение химической реакции его разложения.

СОВЕТ

Первый шаг – написать несбалансированное уравнение, указывающее только реагент и продукты:

\ [\ ce {N2O5 \ rightarrow NO2 + O2} \]

Молекула \ (\ ce {N2O5} \) распадается на две молекулы \ (\ ce {NO2} \) и половину \ (\ ce {O2} \).

\ [\ ce {N2O5 \ rightarrow 2 NO2 + \ dfrac {1} {2} O2} \]

Чтобы дать уравнению целое число стехиометрических коэффициентов , мы умножаем все стехиометрические коэффициенты на 2.

\ [\ ce {2 N2O5 \ rightarrow 4 NO2 + O2} \]

ОБСУЖДЕНИЕ

Этот пример иллюстрирует шаги, используемые для написания сбалансированного уравнения химической реакции. Это сбалансированное уравнение не говорит нам, как распадается молекула \ (\ ce {N2O5} \), оно только иллюстрирует общую реакцию.

Пример 4

При смешивании растворов \ (\ ce {CaCl2} \) и \ (\ ce {AgNO3} \) образуется белый осадок. Такой же осадок наблюдается при смешивании раствора \ (\ ce {NaCl} \) с раствором \ (\ ce {AgCh4CO2} \). Напишите сбалансированное уравнение реакции между \ (\ ce {CaCl2} \) и \ (\ ce {AgNO3} \).

СОВЕТ

Общие ионы между \ (\ ce {NaCl} \) и \ (\ ce {CaCl2} \) являются ионами \ (\ ce {Cl -} \), а ионы \ (\ ce {Ag +} \) являются общими между двумя серебросодержащими соединениями. 2 +} \) и \ (\ ce {NO3 -} \) – ионов-наблюдателей.

Химические реакции

Одной из важнейших тем в химии является химическая реакция . На этой странице мы сосредоточимся только на стехиометрии, выраженной уравнениями реакции. Другие темы, связанные с химическими реакциями:

  • Избыточные и ограничивающие реагенты или реагенты, оставшиеся или использованные
  • Особенности химических реакций или классификация реакций
  • Химическая кинетика или скорости реакции
  • Механизм реакции или как на самом деле протекает реакция

Балансировка окислительно-восстановительных реакций

Уравновешивание уравнений реакции окисления и восстановления немного сложнее, чем то, что мы обсуждали здесь.Вы должны уметь определять степени окисления, объяснять окисление и восстановление с точки зрения изменения степени окисления и писать уравнения половинных реакций. Тогда вы сможете сбалансировать окислительно-восстановительные реакции. Все это описано в следующем модуле по химическим реакциям.

Проблемы развития навыков

  1. Какие продукты содержат углерод, когда метан, \ (\ ce {Ch5} \) , сжигается на воздухе?

Подсказка: \ (\ ce {CO2} \)

Обобщение:
Сжигание \ (\ ce {C} \) – содержащих соединений превращает все \ (\ ce {C} \) в \ (\ ce {CO2} \).

  1. Воспользуйтесь методом здравого смысла, чтобы найти молекулярную формулу сероводорода, молекулярная масса которого составляет 34,1. (Атомный вес, \ (\ ce {H} \) , 1,008; \ (\ ce {S} \) , 32,066)

Подсказка: \ (\ ce {h3S} \)
Обобщение:
Сера и кислород являются элементами группы 6 и образуют \ (\ ce {h3O} \) и \ (\ ce {h3S} \).

  1. Когда 30,0 г \ (\ ce {Al} \) (атомный вес 27,0) нагревают в кислороде (атомная масса 16. 0) образуется оксид алюминия \ (\ ce {Al2O3} \) . Сколько оксида должно быть получено?

Подсказка: 56,7 г
Вариант A:
Сколько (в г) кислорода требуется?

  1. При нагревании \ (\ ce {KClO3} \) он разлагается с образованием твердого вещества \ (\ ce {KCl} \) и газообразного кислорода. Если собрать 0,500 моль \ (\ ce {O2} \) , сколько граммов \ (\ ce {KCl} \) должно получиться? (Атомный вес: \ (\ ce {K} \) , 39.098; \ (\ ce {Cl} \) , 35.453)

Подсказка: 24,9 г
Предлагаемый метод:
Для реакции: \ (\ ce {2 KClO3 \ ​​rightarrow 2 KCl + 3 O2} \)

, предлагаемая рецептура:

\ (\ mathrm {0.50 \: mol \: O_2 \ times \ dfrac {2 \: mol \: KCl} {3 \: mol \: O_2} \ times \ dfrac {74.6 \: g \: KCl} {1 \: моль \: KCl} = \: ??. -} \).-} {1 \: mol \: BaSO_4} = 0,113 \: mol} \)

  1. На электростанции сжигается уголь, и этот процесс эквивалентен сжиганию 999 кг серы в день. Сколько кг \ (\ ce {SO2} \) выбрасывается в день, если на электростанции нет устройств контроля загрязнения для извлечения серы? Атомный вес: \ (\ ce {C} \) , 12,00; \ (\ ce {O} \) , 16,00; \ (\ ce {S} \) , 32.06.

Подсказка: 1998 кг
Дальнейшее рассмотрение:
Молекулярная масса \ (\ ce {SO2} \) примерно в два раза больше атомной массы \ (\ ce {S} \).Таким образом, вес \ (\ ce {SO2} \) вдвое больше веса \ (\ ce {S} \).
Варианты: Сколько (в молях и литрах) \ (\ ce {SO2} \) вырабатывается за день?
Если весь \ (\ ce {SO2} \) преобразовать в \ (\ ce {h3SO4} \), сколько (в моль и кг) серной кислоты образуется? (3055 кг)

  1. Сколько молей воды образуется, когда один моль пропана \ (\ ce {C3H8} \) сгорает в избыточном количестве воздуха?

Намек: 4 моля; \ (\ ce {C3H8 + 5 O2 \ rightarrow 3 CO2 + 4 h3O} \)
Skill:
Составьте уравнение реакции.
Варианты:
Сколько граммов воды будет произведено?
Сколько молей \ (\ ce {CO2} \) будет произведено?

  1. Смесь, содержащая \ (\ ce {Na2SO4} \) , но не содержащий других сульфатов, анализируют путем осаждения с помощью \ (\ ce {BaCl2} \) . Образец смеси 2,37 г дает 2,57 г осадка \ (\ ce {BaSO4} \) . Какое процентное содержание \ (\ ce {Na2SO4} \) в смеси?

Подсказка: 66.0%
Навык:
Задача иллюстрирует стратегию химического анализа.

  1. Предположим, что 2,33 г смеси \ (\ ce {CaCl2} \) и \ (\ ce {Ca (NO3) 2} \) дает 2,22 г \ (\ ce {AgCl} \) когда \ (\ ce {Ag (NO3)} \) используется в качестве реагента для осаждения ионов хлорида \ (\ ce {Cl -} \) . Какое процентное содержание \ (\ ce {CaCl2} \) в смеси?

Подсказка: 36. 9%

Атомный вес: \ (\ ce {N} \) , 14,0; \ (\ ce {O} \) , 16,0; \ (\ ce {Cl} \) , 35.5; \ (\ ce {Ca} \) , 40,1; \ (\ ce {Ag} \) , 107.9.

Skill:
Эта проблема также иллюстрирует стратегию химического анализа.

Авторы и ссылки

Уравнения математической физики – EqWorld

EqWorld

Мир математических уравнений

Образование> Уравнения в частных производных (уравнения математической физики)

Уравнения в частных производных (уравнения математической физики)

  • Полянин, А. Д., Шиссер В. Э., Журов А. I. Уравнения в частных производных (2008), Scholarpedia, 3 (10): 4605.
  • Кудряшов Н. А., Семь распространенных ошибок при нахождении точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, Commun. Нелинейные науки. Нумер. Симулятор, 2009
  • Лекции М.Дж. Хэнкока по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными (MIT OpenCourseWare)
  • Лекции А.Д. Полянина по методам решения уравнений нелинейной математической физики
  • Метод линий (численное решение дифференциальных уравнений в частных производных) по С.Хамди, W.E. Шиссер и Г. Гриффитс
  • Клен и стоячие волны И. Шингарева и К. Лизаррага Селая, 2006.
Методы решения нелинейных уравнений математической Физика. Избранные разделы учебника А.Д. Полянина, В.Ф. Зайцев, А.И. Журов (Физматлит, М., 2005):

На веб-сайте EqWorld представлена ​​обширная информация о решениях для различные классы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные уравнения (уравнения математической физики), интегральные уравнения, функциональные уравнения, и другие математические уравнения.

Copyright © 2004-2017 Андрей Д. Полянин

Физическая химия: уравнения и важные факты

Атомы, молекулы и квантовая механика
  • Число Авогадро = 6,022 × 10 23
  • Катионы меньше исходных ионов; анионы больше, чем исходные ионы
  • Пять периодических тенденций
    • Энергия ионизации, сродство к электрону и электроотрицательность увеличиваются слева направо, снизу вверх
    • Атомный радиус и металлический символ увеличиваются справа налево, сверху вниз
  • Процентный выход = 100 × (фактический / теоретический)
  • Квантовые числа
    • Главное квантовое число n обозначает уровень оболочки
    • Азимутальное квантовое число, l, обозначает подоболочку
    • Магнитное квантовое число, м l , обозначает точную орбиталь данной подоболочки
    • Квантовое число спина электрона, m s , обозначает число спина (½ и -½)
  • Принцип исключения Паули гласит, что никакие два электрона в одном атоме не могут иметь одинаковые четыре квантовых числа
  • Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что существует неотъемлемая неопределенность в произведении положения частицы и ее импульса; Δx Δp ○ h
  • Принцип Ауфбау гласит, что с каждым новым протоном, добавляемым для создания нового элемента, также добавляется новый электрон на орбитали с наименьшей энергией, доступной
  • Правило Хунда гласит, что электроны не будут заполнять орбитали в одной подоболочке до тех пор, пока все орбитали в этой подоболочке не будут содержать хотя бы один электрон, а неспаренные электроны будут иметь параллельные спины
  • Квантовая теория Планка: ΔE = hf, E фотон = hf, постоянная Планка = h = 6. 63 × 10 -34 Дж с

Газы, кинетика и химическое равновесие
  • Стандартные температура и давление, стандартное рабочее давление 0 ° C или 273 K и 1 атм.
  • Средняя длина свободного пробега – это расстояние, которое проходит молекула газа между столкновениями.
  • Кинетическая молекулярная теория, характеристики идеального газа
    • Молекулы газа имеют нулевой объем
    • Молекулы газа не проявляют никаких сил, кроме сил отталкивания из-за столкновений
    • Молекулы газа совершают полностью упругие столкновения
    • Средняя кинетическая энергия молекул газа прямо пропорциональна температуре газа
  • Закон идеального газа: PV = nRT, универсальная газовая постоянная = R = 0.08206 л атм / К моль = 8,314 Дж / К моль
  • В STP один моль газа, который ведет себя идеально, занимает стандартный молярный объем 22,4 литра
  • Парциальное давление: P a = X a P всего
  • Закон Дальтона: P итого = P 1 + P 2 + P 3 +…
  • KE в среднем = 3/2 RT
  • Закон Грэма: v 1 / v 2 = √m 2 / √m 1
  • Вытекание – это распространение газа от высокого до очень низкого давления через точечное отверстие (отверстие намного меньше среднего расстояния между молекулами газа.
    • Вытекание: скорость излияния 1 / скорость излияния 2 = √M 2 / √M 1
  • Диффузия – это распространение одного газа в другой газ или в пустое пространство; можно рассчитать так же, как скорость излияния
  • Реальные газы отклоняются от идеального поведения, когда их молекулы находятся близко друг к другу
    • Высокое давление, низкие температуры вызывают больше отклонений; обычно отклоняются при давлениях выше десяти атмосфер и температурах, близких к их точкам кипения
    • V real > V ideal , где PV ideal = nRT
    • P реальный

      идеальный , где P идеальный V = nRT

  • Два требования для данного столкновения для создания новых молекул в реакции
    • Относительная кинетическая энергия сталкивающихся молекул должна достигать определенной энергии активации
    • Молекулы должны иметь правильную пространственную ориентацию
  • Скорость реакции увеличивается с повышением температуры, главным образом потому, что каждую секунду происходит больше столкновений с достаточной энергией
  • Элементарные реакции – это реакции, протекающие за одну стадию
  • Промежуточные продукты – это вещества, которые являются продуктами одной реакции и реагентами более поздней реакции в цепочке
  • Сбалансированное уравнение: aA + bB → cC + dD
    • Закон скорости: скорость вперед = k f [A] α [B] β , где α и β – порядки каждого соответствующего реагента, а сумма α + β – общий порядок реакции
    • Если реакция элементарная, α = a и β = b
  • Необратимая реакция первого порядка: A → продукты, скорость = k f [A]
    • График ln [A] и времени t дает прямую линию с наклоном -k f
  • Необратимая реакция второго порядка 2A → продукты, скорость = k f [A] 2
    • График 1 / [A] и времени t дает прямую линию с наклоном k f
  • Реакция второго порядка A + B → продукты, скорость = k f [A] [B]
    • Не имеет того же графика, что и другие реакции второго порядка
  • Необратимая реакция третьего порядка 3A → продукты, скорость = k f [A] 3
    • График 1/2 [A] 2 и времени t дает прямую линию с наклоном k f
  • В любой многоступенчатой ​​реакции медленный шаг определяет скорость
  • Катализатор увеличивает скорость реакции без израсходования или постоянного изменения; большинство работают за счет снижения энергии активации
  • Константа равновесия = K c = [продукты] коэффициенты / [реагенты] коэффициенты
  • K p = K c (RT) Δn , где Δn – сумма коэффициентов произведения минус сумма коэффициентов реагентов
  • Коэффициент реакции = Q = [продукты] коэффициенты / [реагенты] коэффициенты
    • Если Q равно K, то реакция находится в равновесии
    • Если Q больше, чем K, происходит сдвиг влево в сторону реагентов
    • Если Q меньше K, происходит сдвиг вправо в сторону продуктов
  • Принцип Ле Шателье гласит, что когда система в состоянии равновесия подвергается стрессу, система сдвигается в направлении, которое уменьшит это напряжение.
    • Добавление или удаление продукта или реагента: добавление продукта или удаление реагента благоприятствует стороне реагента, и наоборот
    • Изменение давления в системе: повышенное давление способствует меньшему количеству молей и наоборот
    • Обогрев или охлаждение системы: обогрев благоприятен для стороны без тепла и наоборот

Термодинамика
  • Система представляет собой исследуемое макроскопическое тело, а окружение – все остальное
  • Три типа систем
    • Открытые системы обмениваются массой и энергией
    • Замкнутые системы обмениваются энергией, но не массой
    • Изолированные системы не обмениваются энергией или массой
  • Обширные свойства пропорциональны размеру системы
  • Интенсивные свойства не зависят от размера системы
  • Разделите одну обширную собственность на другую, чтобы получить интенсивную собственность
  • Функции состояния не зависят от пути и описывают состояние системы
  • Два способа передачи энергии между системами: тепло q и работа w
  • Тепло имеет три формы
    • Проводимость – это передача тепловой энергии посредством столкновений молекул; теплопроводность: Q / t = kA T ч – T c / л; тепловой поток постоянен через любое количество плит между двумя тепловыми резервуарами в установившейся системе
    • Конвекция – это передача тепловой энергии посредством движений жидкости
    • Радиация – это передача тепловой энергии посредством электромагнитных волн; Закон Стефана-Больцмана: P = σεAT 4 , постоянная Стефана-Больцмана = σ = 5. 67 × 10 -8 Вт / м 2 K 4 , ε – коэффициент излучения между 0 и 1
  • PV работа – работа, выполненная при постоянном давлении, w = PΔV
  • Работа зависит от пути
  • Первый закон термодинамики гласит, что энергия системы и окружающей среды всегда сохраняется.
    • Изменение энергии = ΔE = q + w, w = работа, выполненная в системе
  • Второй закон термодинамики гласит, что тепло не может быть полностью превращено в работу в циклическом процессе.
    • Тепловые двигатели преобразуют тепло в работу, реверсивный тепловой двигатель – это холодильник, требующий работы
    • Двигатели Карно представляют собой наиболее эффективные из возможных двигателей с КПД = e = 1 – T C / T H
  • Семь государственных функций
    • Внутренняя энергия = U
    • Температура = T
    • Давление = P
    • Объем = V
    • Энтальпия = H
    • Энтропия = S
    • Свободная энергия Гиббса = G
  • Внутренняя энергия – это все возможные формы энергии, которые можно вообразить в молекулярном масштабе
  • В закрытой системе в состоянии покоя без электрических или магнитных полей единственное изменение энергии будет во внутренней энергии, ΔU = q + w; это становится ΔU = q, если нет изменения объема и никакой работы
  • Нулевой закон термодинамики гласит, что две системы, находящиеся в тепловом равновесии с третьей системой, находятся в тепловом равновесии друг с другом; заданная температура
  • Средняя кинетическая энергия молекулы в жидкости: KE avg = 3/2 kT, постоянная Больцмана = k = 1. 38 × 10 -23 Дж / К
  • Энтальпия – это искусственное свойство, которое учитывает дополнительную мощность в системе в состоянии покоя для выполнения фотоэлектрической работы.
    • H ≡ U + PV
    • ΔH = ΔU + PΔV, при постоянном давлении
  • Для чистой жидкости или твердого вещества стандартным состоянием является эталонная форма системы при любой выбранной температуре T и давлении 1 бар или около 750 торр.
  • Элемент в стандартном состоянии при 25 ° C или 298 K имеет значение энтальпии 0 Дж / моль
  • Стандартная энтальпия образования, ΔH ° f , представляет собой изменение энтальпии для реакции, в результате которой образуется один моль этого соединения из его исходных элементов в их стандартном состоянии
  • Для реакций без изменения давления ΔH = q
  • Теплота реакции: ΔH ° реакция = ΔH f ° продукты – ΔH f ° реагенты
  • Закон Гесса гласит, что сумма изменений энтальпии для каждого шага равна полному изменению энтальпии независимо от выбранного пути
  • Если ΔH положительный, реакция эндотермическая; если ΔH отрицательное, реакция экзотермическая
  • Энтропия – это склонность природы к беспорядку, и ее склонность создавать наиболее вероятные ситуации возникают в системе
  • Второй закон термодинамики также гласит, что энтропия изолированной системы никогда не уменьшится
  • ΔS система + ΔS окружение = ΔS вселенная ≥ 0
  • Третий закон термодинамики условно приписывает значение энтропии 0 Дж / К любому чистому веществу при абсолютном нуле и во внутреннем равновесии
  • ΔS = dq изм. / T
  • Свободная энергия Гиббса – это обширное свойство, которое представляет максимальную не-PV работу, доступную в результате реакции.
    • Если ΔG отрицательное, реакция спонтанная, и наоборот
  • ΔG = ΔH – TΔS
    • Положительный ΔH и отрицательный ΔS всегда приводят к положительному ΔG, и наоборот
    • Положительные ΔH и ΔS приводят к отрицательным ΔG при более высоких температурах и наоборот
    • Отрицательные ΔH и ΔS приводят к положительным ΔG при более высоких температурах и наоборот

Решения
  • Раствор представляет собой гомогенную смесь двух или более соединений в одной фазе
  • Соединение, которого больше, называется растворителем, а соединение, которого меньше, называется растворенным веществом
  • Идеальное решение – это растворы из компаундов со схожими свойствами
  • В идеале разбавленные растворы – это растворы, в которых молекулы растворенного вещества полностью разделены молекулами растворителя, так что они не взаимодействуют друг с другом
  • Неидеальные растворы нарушают условия как идеальных, так и идеально разбавленных растворов
  • Частицы крупнее небольших молекул могут со временем образовывать смеси; если они не оседают под действием силы тяжести с течением времени, эту смесь называют коллоидной системой или коллоидом.
    • Эффект Тиндаля заставляет коллоидные суспензии рассеивать свет
    • Коллоиды можно разделить путем коагуляции с последующей фильтрацией или с помощью полупроницаемой мембраны в процессе, называемом диализом
  • Подобные растворенные вещества растворяются в аналогичных растворах, так что неполярные растворители растворяют неполярные растворенные вещества, а полярные растворители растворяют полярные растворенные вещества
  • Водородные связи и диполь-дипольные взаимодействия удерживают полярные молекулы вместе
  • Лондонские дисперсионные силы удерживают неполярные молекулы вместе с помощью мгновенных дипольных моментов
  • Сольватация – это процесс, при котором ионные соединения распадаются на катионы и анионы в растворе и окружаются противоположно заряженными концами полярного растворителя, который называется гидратацией, когда растворителем является вода.
  • Что-то гидратированное находится в водной фазе
  • Электролиты – это соединения, образующие ионы в водном растворе; сильные электролиты хорошо проводят электричество и наоборот
  • Молярность = M = моль растворенного вещества / объем раствора
  • Моляльность = m = моль растворенного вещества / килограммы растворителя
  • Мольная доля = X = моль растворенного вещества / общее количество моль всех растворенных веществ и растворителя
  • Массовый процент = массовый% = (масса растворенного вещества / общая масса раствора) × 100
  • частей на миллион = ppm = (масса растворенного вещества / общая масса раствора) × 10 6
  • Нормальность измеряет количество эквивалентов в растворе
  • Формирование решения
    • Нарушение межмолекулярных сил между молекулами растворенных веществ
    • Нарушение межмолекулярных сил между молекулами растворителя
    • Образование межмолекулярных связей между молекулами растворителя и растворенного вещества
  • ΔH sol = ΔH 1 + ΔH 2 + ΔH 3 , где первые две стадии являются эндотермическими и положительными, а третья стадия является экзотермической и отрицательной; отрицательное значение ΔH sol приводит к более прочным межмолекулярным связям, и наоборот
  • Образование раствора имеет положительную энтропию
  • Давление пара – это давление, создаваемое молекулами, которые выходят из жидкой фазы в открытое пространство внутри закрытого контейнера.
    • Давление пара увеличивается с повышением температуры
    • Кипение происходит, когда давление пара жидкости равно атмосферному давлению
    • Плавление происходит, когда давление пара твердой фазы равно давлению пара жидкой фазы
  • Закон Рауля: P v = X a P a , применимый к нелетучим растворенным веществам, которые не имеют давления пара
  • Модифицированный закон Рауля: P v = X a P a + X b P b , применимый к летучему растворенному веществу, имеющему давление пара
  • Отрицательные теплоты раствора образуют более прочную связь и более низкое давление пара, и наоборот, для неидеальных растворов
  • Растворимость – это склонность растворенного вещества растворяться в растворе
  • Обратная реакция растворения называется осаждением.
    • Когда скорости растворения и осаждения равны, раствор считается насыщенным и находится в динамическом равновесии
  • Произведение растворимости = K sp = [продукты] коэффициенты / [реагенты] коэффициенты , где реагенты и продукты должны быть водными или газообразными.
    • Произведение растворимости изменяется только при изменении температуры
  • Некоторые рекомендации по растворимости
    • Практически все соединения, содержащие нитрат (NO 3 – ), аммоний (NH 4 + ) и щелочные металлы (Li + , Na + , K + ,…), являются растворимый
    • Ионные соединения, содержащие галогены (Cl – , Br – , I – ), растворимы, за исключением серебра (Ag + ), ртути (Hg 2 2+ ) и свинца (Pb 2+ )
    • Сульфатные соединения (SO 4 2-) растворимы, за исключением ртути (Hg 2 2+ ), свинца (Pb 2+ ) и более тяжелых щелочноземельных металлов (Ca 2+ , Sr 2+ , Ba 2+ )
    • Соединения, содержащие более тяжелые щелочноземельные металлы (Ca 2+ , Sr 2+ , Ba 2+ ), растворимы в сочетании с сульфидами (S 2-) и гидроксидами (OH –)
    • Карбонаты (CO 3 2-), фосфаты (PO 4 3-), сульфиды (S 2-) и гидроксиды (OH –) обычно нерастворимы, за исключением упомянутых случаев выше

Теплоемкость, фазовые переходы и коллигативные свойства
  • Теплоемкость C – это мера изменения энергии, необходимой для изменения температуры вещества.
  • Производительность при постоянном давлении C P больше, чем при постоянном объеме C V
  • q = CΔT
  • Удельная теплоемкость: q = mcΔT, c = удельная теплоемкость вещества.
  • Калориметр кофейной чашки является примером калориметра постоянного давления, поскольку он измеряет изменение энергии при атмосферном давлении, а также измеряет теплоту реакции
  • Бомбовый калориметр измеряет изменение энергии при постоянном объеме
  • Нормальная температура плавления и нормальная температура кипения возникают, когда данное вещество меняет фазу при 1 атм.
  • Теплота плавления – это теплота, связанная с плавлением, теплота парообразования связана с кипением
  • Фазовая диаграмма показывает фазы вещества при различных температурах и давлениях.
    • Есть единственная точка, в которой существуют все три фазы, называемая тройной точкой
    • Критическая температура – это температура, выше которой вещество не может сжижаться независимо от приложенного давления
    • Давление, необходимое для сжижения при критической температуре, называется критическим давлением
    • Критическое давление и критическая температура определяют критическую точку
  • Коллигативные свойства – это те свойства, которые зависят исключительно от количества частиц, независимо от типа
  • Повышение точки кипения: ΔT = k b миль, фактор Вант-Гоффа = i = количество частиц, на которые одна частица растворенного вещества будет диссоциировать в растворе
  • Депрессия точки замерзания: ΔT = k f mi
  • Осмотическое давление: Π = iMRT

Кислоты и основания
  • Кислота Аррениуса – это все, что производит ионы водорода в водном растворе, а основание Аррениуса – это все, что производит ионы гидроксида в водных растворах
  • Кислота Бренстеда-Лоури – это все, что отдает протон, а основание Бренстеда-Лоури – это все, что принимает протон
  • Кислота Льюиса – это все, что принимает электронную пару, а основание Льюиса – это все, что отдает электронную пару
  • pH = -log [H + ]
  • Конъюгаты кислоты и основания в реакции соответствуют, соответственно, исходному основанию и кислоте
  • Чем сильнее кислота, тем слабее ее сопряженное основание, и наоборот
  • K w = K a K b , K w = 10 -14
  • Амфотерные вещества – это вещества, которые могут действовать как кислоты или основания, в зависимости от окружающей среды.
  • Сильные кислоты включают иодистоводородную кислоту (HI), бромистоводородную кислоту (HBr), соляную кислоту (HCl), азотную кислоту (HNO 3 ), хлорную кислоту (HClO 4 ), хлорноватую кислоту (HClO 3 ) и серная кислота (H 2 SO 4 )
  • Сильные основания включают гидроксид натрия (NaOH), гидроксид калия (KOH), амид-ион (NH 2 –), гидрид-ион (H –), гидроксид кальция (Ca (OH) 2 ), натрий. оксид (Na 2 O), оксид кальция (CaO)
  • Полипротонные кислоты – это кислоты, которые отдают более одного протона
    • Как правило, если значения протонов K a отличаются более чем на 10 3 , второй протон можно игнорировать
  • Диссоциация кислоты уменьшается с концентрацией кислоты, но сила кислоты увеличивается, потому что, хотя относительный процент диссоциации уменьшается, абсолютное количество диссоциированных ионов увеличивается
  • Факторы молекулярной структуры, определяющие, какие водородсодержащие соединения действуют как кислоты
    • Сила связи, удерживающей водород с молекулой
    • Полярность скрепления
    • Стабильность сопряженного основания
  • В ряду оксикислот больше кислорода означает более сильную кислоту
  • Повышение кислотности гидридов по таблице Менделеева слева направо и сверху вниз
  • Автоионизация воды представлена ​​H 2 O + H 2 O → H 3 O + + OH –
  • pH + pOH = pK w , pH + pOH = 14 при 25 ° C
  • Константа диссоциации кислоты K a – константа равновесия кислоты в воде.
    • Для HA + H 2 O → H 3 O + + A – , K a = [H + ] [A – ] / [HA]
  • Константа диссоциации основания K b – константа равновесия соответствующего сопряженного основания в воде.
    • Для A – + H 2 O → OH – + HA, K b = [OH – ] [HA] / [A – ]
  • Соли – ионные соединения, диссоциирующие в воде.
    • Все катионы, кроме катионов щелочных металлов и более тяжелых щелочноземельных металлов, действуют как слабые кислоты Льюиса в водных растворах
  • Титрование – это капельное смешивание кислоты и основания
  • Точка эквивалентности для монопротоновой кислоты – это точка титрования, когда в растворе присутствуют равные эквиваленты кислоты и основания
  • Точка полуэквивалентности – это когда ровно половина кислоты нейтрализована основанием.
    • Концентрация кислоты равна концентрации ее сопряженного основания
    • Показывает точку титрования, в которой раствор лучше всего забуферен.
    • Здесь pH раствора равен pK a кислоты
  • Уравнение Хендерсона-Хассельбаха: pH = pK a + log [A – ] / [HA]
  • Индикаторы изменения pH в конце титрования

Электрохимия
  • В окислительно-восстановительной реакции электроны передаются от одного атома к другому
    • Атом, теряющий электроны, окисляется, а атом, получающий электроны, восстанавливается
  • Степени окисления
    • Атомы в элементарном состоянии имеют степень окисления 0
    • Фтор имеет степень окисления -1
    • Водород обычно имеет степень окисления +1, -1 при связывании с металлом
    • Кислород обычно имеет степень окисления -2, за исключением пероксидов, таких как H 2 O 2
    • Элементы группы 1, щелочные металлы, имеют степень окисления +1
    • Элементы 2 группы, щелочноземельные металлы, имеют степень окисления +2
    • Элементы группы 15, семейство азота, имеют степень окисления -3
    • Элементы группы 16, семейство кислорода, имеют степень окисления -2
    • Элементы группы 17, галогены, имеют степень окисления -1
  • Восстанавливаемый атом также является окислителем, и наоборот
  • Существует электрический потенциал E, связанный с любой окислительно-восстановительной реакцией.
    • Компоненты окисления и восстановления по отдельности называются половинными реакциями
    • Каждая полуреакция может иметь только один электрический потенциал и обычно указывается в таблице как потенциалы окисления или восстановления; знаки этих значений можно поменять местами, чтобы найти значение для противоположной полуреакции
    • 2H + + 2e – → H 2 , E ° = 0.00 В
    • Восстановительные потенциалы – это интенсивные свойства, поэтому половинные потенциалы реакции не умножаются на количество раз, когда они возникают
  • Гальванические или гальванические элементы используются для преобразования химической энергии в электрическую.
    • Два электрода называются катодом и анодом, где происходит восстановление и окисление соответственно; Кроме того, катод положительный, а анод отрицательный
    • Ток движется в направлении, противоположном электронам, движущимся через нагрузку от анода к катоду
    • В некоторых типах гальванических элементов используется солевой мостик для минимизации разности потенциалов и предотвращения смешивания растворов и короткого замыкания элемента
  • ΔG = -nFE max , постоянная Фарадея = F = 96486 Кл / моль, n = число молей электронов, перенесенных в сбалансированной окислительно-восстановительной реакции
  • Положительный потенциал клетки указывает на отрицательную ΔG и спонтанную реакцию
  • ΔG = ΔG ° + RT ln (Q)
    • Также обозначается как ΔG = ΔG ° + 2. 3RT журнал (Q)
  • ΔG ° = -RT ln (К)
    • Если K = 1, то ΔG ° = 0
    • Если K> 1, то ΔG ° <0
    • Если K <1, то ΔG °> 0
  • Уравнение Нернста: E = E ° – RT / nF ln (Q)
  • В данной ячейке концентрации ток будет течь от более концентрированной стороны к менее концентрированной стороне, чтобы создать больше энтропии
  • В электролитической ячейке катод отрицательный, а анод положительный
    • Эти ячейки используются для металлизации

Помогите нам исправить его улыбку своими старыми эссе, это займет секунды!

-Мы ищем предыдущие эссе, лабораторные работы и задания, которые вы выполнили!
-Мы рассмотрим и разместим их на нашем сайте.
– Доход от рекламы используется для поддержки детей в развивающихся странах.
-Мы помогаем оплатить операции по восстановлению расщелины неба через операцию «Улыбка и поезд улыбки».
Автор: Уильям Андерсон (Редакционная группа Schoolworkhelper)
https://schoolworkhelper.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *