Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Вычисление производной

Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…

Правила дифференцирования

1) производная суммы:

2) производная произведения:

3) производная частного:

4) производная сложной функции равна произведению производных:

Таблица производных

Производная степенной функции:

Производная показательной функции:

Производная экспонециальной функции:

Производная логарифмической функции:

Производные тригонометрических функций:
,
,
,

Производные обратных тригонометрических функций:
,
,
,

Производные гиперболических функций:

Тест 1 производная правила дифференцирования вариант 1

Тест 1

Производная

Правила дифференцирования

Вариант 1

А1. Найдите производную функции .

1) 12х² 2) 12х 3) 4х² 4) 12х³

А2. Найдите производную функции .

1) -5 2) 11 3) 6 4) 6х

А3. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А5. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите значение производной функции в точке х_о=2.

1) 10 2) 12 3) 8 4) 6

А7. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А8. Вычислите значение производной функции в точке х_о= 4.

1) 21 2) 24 3) 0 4) 3,5

А9. Вычислите значение производной функции

в точке . 1) 2 2) 3) 4 4)

А10. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

В1. Вычислите значение производной функции в точке х_о= 26.

В2. Найдите значение х, при которых производная функции равна 0.

Тест 1

Производная

Правила дифференцирования

Вариант 2

А1. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А2. Найдите производную функции .

1) 7 2) 12 3) -5 4) -5х

А3. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А5. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите значение производной функции в точке х_о=2.

1) 13 2) 3 3) 8 4) 27

А7. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

А8. Вычислите значение производной функции в точке .

1) -47 2) -49 3) 47 4) 11,5

А9. Вычислите значение производной функции

в точке . 1) 2 2) -1 3) -2 4)

А10. Найдите производную функции .

1) 2) 3) 4)

В1. Вычислите значение производной функции в точке х_о= -7.

В2. Найдите значение х, при которых производная функции равна 0.

Ответы:

Задача 7 — геометрический смысл производной

15 марта 2011

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x₀,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).
2. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l₁ = − 6 − (−8) = 2;
l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

Смотрите также:

1. Задача 7: касательная к графику функции
2. Задача 7: касательная к графику функции — 2
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
5. Так сокращать дроби нельзя!
6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

AC Производная функции в точке

Мгновенная скорость изменения функции – это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости, измеряющее, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта. В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки.Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.

Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Аналогичным образом мы даем следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)

Определение 1.3.1.

Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {.} \ end {уравнение *}

Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.

Предварительный просмотр деятельности 1.3.1.

Предположим, что \ (f \) – функция, заданная приведенным ниже графиком, и что \ (a \) и \ (a + h \) – входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.

1. Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.

2. Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Каковы длины соответствующих катетов этого треугольника?

3. Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)

4. Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.

Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке

Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах.Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)

Определение 1.3.3.

Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную в \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) по формуле

\ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}

при условии, что этот предел существует.

Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) – простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = a \ text {.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.

Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.

Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Мы можем рассматривать одну конечную точку интервала как «скользящую по направлению» к другой. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс принятия ограничения является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. . Один из вариантов – это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. В качестве полезного набора примеров рассмотрим работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно актуальный пример.Для апплетов, созданных в Geogebra ¹ , см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.

На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \) Эти линии (показанные на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text {.} \) Секущая линия кривой – это просто линия, проходящая через две точки на кривой. Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) – f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. Мы можем видеть на диаграмме, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {.} \) Если существует предел наклона секущих линий, мы говорим, что результирующее значение – это наклон касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(а) \ text {.} \)

Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график of \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) На рис. 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рис. 1.3.5 в один слева и увеличиваем масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная линия расположена относительно кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую рядом с \ (x = a \ text {. } \)

Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.

Мероприятие 1.3.2.

Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)

1. Какой знакомый тип функции – \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
2. Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
3. Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
4. Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?

Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.

1. Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.

   Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
3. Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \). Покажите свой используйте правильные обозначения, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
4. На своем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.

   1. Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.

      Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
   2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
   3. Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел трудно точно оценить.
   4. Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
   5. На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенную скорость изменения. \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
   6. В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)

   Wolfram | Примеры альфа: производные

   ---

   Производные

   Дифференцировать выражение по заданной переменной.

   Вычислить производную функции:

   Другие примеры

   ---

   Производные высшего порядка

   Вычислить производные высшего порядка.

   Вычислить производные высшего порядка:

   Другие примеры

   ---

   Неявная дифференциация

   Дифференцируйте функции, неявно определяемые уравнениями.

   Продифференцируйте уравнение:

   Вычислить производную, используя неявное дифференцирование:

   Другие примеры

   ---

   Частные производные

   Найдите частную производную по одной переменной или вычислите смешанные частные производные.

   Вычислить частные производные:

   Вычислить частные производные высшего порядка:

   Другие примеры

   ---

   Направленные производные

   Вычислить производную многомерной функции в заданном направлении.

   Вычислить производную по направлению:

   Другие примеры

   ---

   Производные абстрактных функций

   Найдите производную произвольной функции.

   Вычислить производные с использованием абстрактных функций:

   Вычислить частные производные абстрактных функций:

   Другие примеры

   ---

   Дифференцируемость

   Проверить, дифференцируемы ли функции над полем действительных чисел.

   Проверить дифференцируемость функции:

   Другие примеры

   ---

   Производные приложения

   Изучите множество приложений деривативов.

   Найдите интервалы монотонности:

   Изучите примечательные точки кривых:

   Вычислить экстремальные значения одномерных и многомерных функций:

   Вычислить касательную к уравнению в заданной точке:

   Другие примеры

   Вычислить значение производной в начале координат

   Вычислить значение производной в начале координат – Mathematics Stack Exchange

   Сеть обмена стеков

   Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

   Посетить Stack Exchange
   2. 0
   3. +0
   6. Авторизоваться Зарегистрироваться

   Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

   Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

   Кто угодно может задать вопрос

   Кто угодно может ответить

   Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

   Спросил 5 лет, 7 месяцев назад

   Просмотрено 812 раз

   $ \ begingroup $

   У меня в курсе следующий вопрос:

   Пример логистической функции определяется $$ \ varphi (v) = \ frac {1} {1 + e ^ {- av}} $$ чьи предельные значения равны $ 0 $ и $ 1 $.Покажите, что производная $ \ varphi (v) $ по $ v $ определяется выражением $$ \ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} v} = a \ varphi (v) [1- \ varphi (v)] $$ Какова стоимость этой производной в начале координат?

   Первая часть решена, но я не мог понять вторую (каково значение этой производной в начале координат?).

   Кто-нибудь может мне помочь? Заранее спасибо.

   BLAZE

   8,7961313 золотых знаков3838 серебряных знаков8484 бронзовых знака

   Создан 18 окт.

   $ \ endgroup $ 6 $ \ begingroup $

   Поскольку ваша функция $$ \ varphi (v) = \ frac {1} {1 + e ^ {- av}} $$ является функцией только одной переменной (которая равна $ v $), значение производной в начале координат задается установкой $ v = 0 $ в вашем уравнении для $$ \ frac {\ mathrm {d} \ varphi } {\ mathrm {d} v} = \ frac {a} {1 + e ^ {- av}} \ left [1- \ frac {1} {1 + e ^ {- av}} \ right] = \ frac {a} {1 + e ^ {- a \ cdot 0}} \ left [1- \ frac {1} {1 + e ^ {- a \ cdot 0}} \ right] = \ frac {a} { 1 + 1} \ left [1- \ frac {1} {1 + 1} \ right] = \ frac {a} {4} $$

   Создан 18 окт. 2} = \ frac {a} {4} $$

   Создан 18 окт.

   $ \ endgroup $ $ \ begingroup $

   Предельные значения – это пределы приближения функции к положительной или отрицательной бесконечности.Изобразите функцию с любым $ \ alpha $, и вы увидите результат.

   Создан 18 окт.

   $ \ endgroup $

   Не тот ответ, который вы ищете? Просмотрите другие вопросы с метками производные или задайте свой вопрос.

   Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

   Ваша конфиденциальность

   Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

   Принимать все файлы cookie Настроить параметры

   исчисление – вычислить первую производную без функции?

   Один известный мне способ требует предположения, что функция достаточно хороша, т.е.{(k)} = 0 $ для $ k \ ge n $. Однако матрично-векторное уравнение намного проще в использовании (по крайней мере, на мой взгляд).

   3.2 Производная как функция – Объем исчисления 1

   Цели обучения

   • Определите производную функцию заданной функции.
   • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
   • Укажите связь между производными финансовыми инструментами и непрерывностью.
   • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
   • Объясните значение производной высшего порядка.

   Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным.В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

   Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

   Определение

   Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, – это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

   .

   Говорят, что функция дифференцируема на , если
   существует. В более общем смысле говорят, что функция дифференцируема на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция – это функция, которая существует в своей области.

   В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

   Нахождение производной функции квадратного корня

   Найдите производную от.

   Решение

   Начните непосредственно с определения производной функции.Используйте (рисунок).

   Нахождение производной квадратичной функции

   Найдите производную функции.

   Решение

   Выполните здесь ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

   Найдите производную от.

   Решение

   Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или.Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

   .

   Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где – разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)).Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

   . Рисунок 1. Производная выражается как.

   Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

   На (рис.) Мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение.Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

   Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

   На (рис.) Мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

   Построение производной с помощью функции

   Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

   Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

   Решение

   Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке.Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

   Проба

   Если дифференцируем в, то существует и

   .

   Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это. Таким образом,

   Следовательно, поскольку определено и, заключаем, что непрерывно в точке.

   Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость.Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

   .

   Этот предел не существует, потому что

   .

   См. (Рисунок).

   Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

   Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема.Рассмотрим функцию:

   .

   Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

   Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

   У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

   .

   Этот предел не существует, главным образом потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

   Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

   Итого:

   1. Мы видим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
   2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к резкому углу на графике функции в 0.Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
   3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
   4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

   Кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой

   Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной.Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

   .

   Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

   Нахождение второй производной

   Для, найдите.

   В поисках ускорения

   Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах). Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

   • Производная функция
     

   В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.

   1.

   2.

   3.

   4.

   Решение

   5.

   6.

   Решение

   7.

   8.

   Решение

   9.

   10.

   Решение

   Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

   11. 12.

   Решение

   13. 14.

   Решение

   Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в. Найти и .

   15.

   16.

   Решение

   17.

   18.

   Решение

   19.

   20.

   Решение

   Для следующих функций:

   1. набросок графика и
   2. использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

   21.

   23.

   Для следующих графиков

   1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, а
   2. определяет, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой в.
   25.

   Для следующих функций используйте, чтобы найти.

   28.

   29.

   30.

   Решение

   Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

   31. [Т]

   33. [Т]

   35. [Т]

   Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций.Обязательно укажите единицы измерения.

   37. обозначает население города во времени в годах.

   38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на концессии клиентами в парке развлечений.

   Решение

   а. Средняя ставка, с которой клиенты тратят на уступки, в тысячах на одного покупателя.
   г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

   39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

   40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту с учетом часов обучения.

   Решение

   а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
   г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

   41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

   42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

   Решение

   а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
   г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

   Решение

   а.Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
   г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0,1 градуса на фут.

   Решение

   а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
   г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

   Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

   Время (секунды)	Высота (метры)
   0	0
   1	2
   2	4
   3	13
   4	25
   5	32

   47. В чем физический смысл? Какие единицы?

   48.[T] Создайте таблицу значений для обоих графиков и на одном графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените и левый предел, и правый предел и усредните их.)

   Решение

   Пример 19 Найдите производную функции \ (y = {\ large \ frac {1} {x} \ normalsize} + {\ large \ frac {1} {{\ sqrt x}} \ normalsize} + {\ large \ frac { 1} {{\ sqrt [3] {x}}} \ normalsize}. \)

   Пример 20

   Вычислить производную функции \ (y = {\ large \ frac {2} {{\ sqrt x}} \ normalsize} + 3 \ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {x}. \)

   Пример 21

   Найти производную функции \ (y = \ sqrt x – \ sqrt [3] {x}. \)

   Пример 22

   Найдите производную иррациональной функции \ (y = \ sqrt {x \ sqrt x}.3}}}.} \]

   деривативов по TI-83/84

   деривативов по TI-83/84

   Авторские права 20012020 Стэн Браун

   Резюме: Ваш TI-83 или TI-84 не может различать символы, но он можно найти производную в любой точке , используя числовой процесс . Это может быть вам большим подспорьем при проверке свою работу, и на этой странице показаны два способа сделать это.

   TI-83/84 помогает проверять вашу работу, но сначала вы должны всегда находить производную по методы исчисления .(См. Текст вашего исчисления.) ТИ-83/84 иногда находит производную там, где ее нет (например, производная от | x | в 0), и если вы не нашли производную вас могут обмануть.

   Функция f ( x ) = – x +9 x −14 является график слева. Как TI-83/84 может сказать нам f ′ (6), что производная этой функции в точке, где х = 6?

   Метод 1:

   nDeriv

   Перейти на главный экран.	Нажмите [ 2nd MODE делает QUIT ].
   Вставьте функцию nDeriv .	Нажмите [ MATH ] [ ▲ ] [ ▲ ] [ ▲ ] для выбора nDeriv . Нажмите [ ВВЕДИТЕ ].
   Первый аргумент: функция – х +9 х −14	[ (-) ] [ x, T, θ, n ] [ x ] [ + ] 9 [ x, T, θ, n ] [ - ] 14
   Второй аргумент: имя переменной x	[, ] [ x, T, θ, n ]
   Третий аргумент: значение x где вы хотите производную: 6	[, ] 6 [) ] [ ENTER ]. Появляется ответ −3.

   Метод 2: построение графиков

   Вы также можете получить приблизительную производную, пока график отображается функция.

   Постройте график функции.	Нажмите [ Y = ], убедитесь, что нет других графиков или графиков. выделен, и войдите в функцию. Нажмите [ ZOOM ] [ 6 ], чтобы начать отображение большинства функций, или [ ZOOM ] [ 7 ] для большинства триггерных функций.
   Значение x , в котором должна быть производная экран.	При необходимости нажмите [ ОКНО ] и отрегулируйте Xmin и Xmax . Затем нажмите [ ГРАФИК ]. Если ваши Xmin и Xmax подходят, но вы не видите график, отрегулируйте Ymin и Ymax , или попробуйте [ ZOOM ] [ 0 ], чтобы сообщить калькулятор для их настройки.
   Выберите числовое дифференцирование.	[ 2nd F4 делает CALC ] [ 6 ] выбирает dy / dx и повторно отобразит график. Введите желаемое значение x , например 6. Нажмите [ ENTER ]. Калькулятор отображает производную внизу экран.
   При необходимости вы можете получить производную в других точках.	Снова нажмите [ 2nd F4 значит CALC ] [ 6 ], введите новое значение x , и нажмите [ ENTER ].

   Что нового

   • 7 ноября 2020 г. : преобразовано из HTML 4.01 в HTML5, и выделенные курсивом имена переменных.
   • (промежуточные изменения подавлены)
   • 29 апр 2006 : Новая статья.
   .

   ---