Задачи пределы с ответами – . : 4. . »

Задания

Задание 1.1Вычислить предел числовой последовательности

Ответы:1.,2.,3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17..

2. Предел функции.

Приведем два определения предела функции:

Определение 4 (по Коши). Числоназывается пределом функциипри, если для любого сколь угодно малогонайдется такое, что для всехудовлетворяющих неравенствувыполняется:

. (14)

Определение 5 (по Гейне).Числоназывается пределом функции, при стремлениик, если какую бы последовательностьс пределом, извлеченную из множества, ни пробегала независимая переменная, соответствующая последовательность значений функции,... всегда имеет предел.

Обозначают этот факт так:

. (15)

Из определения предела функции по Гейне следует, что все теоремы о пределах последовательности можно обобщить на случай предела функции.

Далее приведем несколько примеров вычисления предела функции.

Пример 8

Вычислить предел функции

Решение:

При подстановке в числитель и знаменатель мы получаем неопределенность типа.

Выделяем критический множитель , разложив на множители квадратный трехчлен в знаменателе и воспользовавшись формулой разности кубов в числителе. Затем сократим полученное выражение на.

Ответ:

Пример 9

Вычислить предел функции

Решение:

При подстановке в предел мы получаем неопределенность типа. Числитель разложим на множители:; далее знаменатель и числитель нашей дроби умножим на величину сопряженную знаменателю, т.е.

Ответ:

Задания

Задание 2.1Вычислить предел функции

Ответы:18.,19.,20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.

31.32.33.34., 35..

2.1 Первый замечательный предел.

Первым замечательным пределом называют предел вида:

. (16)

Следствия первого замечательного предела.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Для пределов, содержащих , справедливы свойства, аналогичные 4 – 7.

Определение 6. Функцияназывается бесконечно малой при, если

(17)

Определение 7.Если отношение бесконечно малыхстремится к единице при:

, (18)

то бесконечно малые иназываются эквивалентными бесконечно малыми,и пишут

при.

На основании приведенных определений и первого замечательного предела (16) можно записать следующие соотношения эквивалентности при :

(19)

(20)

(21)

(22)

Пример 10

Вычислить предел функции

Решение:

При подстановке имеем неопределенность типа.

Здесь мы воспользовались эквивалентностью (19) ~при.

Ответ:

Пример 11

Вычислить предел функции

Решение:

При подстановке имеем неопределенность типа.

Ответ:

Пример 12

Вычислить предел функции

Решение:

При подстановке имеем неопределенность типа.

В данном примере мы не можем применить первый замечательный предел, так как , в подобных случаях необходимо сделать замену переменной. Причем, новая переменная должна стремиться к нулю.

Ответ:

studfiles.net

Решение задач. Вычисление пределов функций.


ТОП 10:

Краткая теория темы.

Опр. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки «а». Число В называется пределом функции f(x) в точке «а» (или при x стремящемся к «а»), если для каждого найдется такое число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут: .

Некоторые предельные равенства.

1. ,где с=const (т.е. некоторое постоянное число).

2. .

Теорема № 1:Для предела функции в точке верны следующие свойства:

1. .

2. .

3. .

4.

Правило № 1:Для раскрытия неопределенности надо разложить и числитель и знаменатель на множители и сократить на общий множитель, который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби.

Пример: Вычислить предел:

1.

Здесь применили последовательно свойства из теоремы № 1, № 3 и №2, а также использовали № 2 и № 1.

2.

Здесь имеется неопределенность , т.к. при подстановке вместо х числа 2 и в числителе, и в знаменателе получается ноль. Избавимся от этой неопределенности, используя правило, т.е. разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения по теореме Виетта: . Получили, что и в числителе, и в знаменателе имеется множитель , сократим на него дробь. Далее применяем первое свойство теоремы № 1 и первое и второе предельные равенства.

Опр. Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при , если для каждого найдется такое , что для х, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . В этом случае пишут .

Опр.Функция f(x) называется бесконечно большой при ,если соответственно . Функция f(x) называется бесконечно малой при , если соответственно .

Пример: 1. Функция является бесконечно большой при и бесконечно малой при .

2. Функция является бесконечно большой при и бесконечно малой при .

Теорема № 2: Для предела функции на бесконечности выполняются следующие свойства:

1. .

2. .

3.

Правило №2:Для раскрытия неопределенности надо и числитель и знаменатель дроби разделить на х в старшей степени.

Пример: Вычислить предел:

1.

Здесь имеется неопределенность ,т.к. при и числитель, и знаменатель представляют собой бесконечно большие функции, предел которых равен бесконечности. Избавимся от этой неопределенности, используя правило №2, т.е. разделим и числитель, и знаменатель дроби на наивысшую степень х, в данном случае степень х равна 3 (т.е. делим на ). Далее применяем одновременно третье и первое свойство теоремы № 2, а также определение бесконечно малой функции.

Задания для решения.

1.Вычислить предел функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18т) .

Дополнительные задания.

1.Вычислить предел функции:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6 ) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Варианты заданий

Выбор варианта осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке журнала. Выполняются два примера задания.

  0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
0. 1,12 3,4 6,9 4,9 8,10 5,8 8,12 2,10 1,10 9,5
1. 2,3 1,11 3,5 6,7 3,10 7,8 2.9 1,9 7,3 4,12
2. 3,7 2,4 11,4 3,6 6,10 2,8 1,8 5,6 4,6 5,10
3. 6,8 3,8 2,11 1,5 2,7 11,7 4,2 4,7 7,9 5,7
4. 4,10 5,9 3,12 2,6 1,6 9,10 4,8 7,10 5,6 7,4

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение предела функции в точке.

2.Назовите основные предельные равенства.

3.Назовите правило раскрытия неопределенности .

4.Сформулируйте определение предела функции на бесконечности.

5.Назовите правило раскрытия неопределенности .

6.Сформулируйте основные свойства предела функции в точке и на бесконечности.

 

Инструкционная карта № 3.

Практическое занятие № 3 по теме «Производная».

Тема: Вычисление производных.

Краткая теория темы.

Опр.Производной функции по аргументу называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: . Часто для обозначения производной используется символ (читается «де эф по де икс»), т.е.

Таблица производных функций.

Теорема №1: Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке . В этом случае имеет место следующая формула:

Пример: 1. Вычислить производную функции

Для вычисления производной данной функции последовательно воспользуемся формулами № 20, 1, 4, 7, 8, 13,11 таблицы, получим:

2. Вычислить производную сложной функции

Для вычисления производной сложной функции обозначим выражение, стоящее в скобках, другой переменной, например, t. Получим

.

По теореме №1 найдём производную функции по переменной , как произведение производных функций по переменной и функции по переменной :

Здесь использовали формулу № 22 из таблицы производных – производная частного.

Задания для решения.

1.Вычислить производную функции:

1) ;2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

2.Найти производную сложной функции:

1) ; 2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

 

13) ; 14) ; 15) .

Дополнительные задания.

1.Вычислить производную функции:

1) ;2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

2.Найти производную сложной функции:

1) ; 2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

Варианты заданий

Выбор варианта осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке журнала. Первая цифра относится к первому заданию, а вторая – ко второму.

  0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
0.   11,7 3,6 9,9 6,5 14,8 8,7 13,7 2,7 4,1
1. 2,4 3,8 1,4 15,7 7,8 8,12 9,3 1,3 12,3 3,2
2. 14,7 5,2 6,7 7,3 8,10 9,2 10,3 12,5 3,9 4,4
3. 5,6 6,4 7,9 8,5 9,7 1,2 2,6 13,5 4,6 15,3
4. 6,5 10,2 4,5 5,11 6,10 9,5 7,7 5,10 8,4 10,10

Контрольные вопросы

1.Дайте определение производной.

2.Сформулируйте теорему о нахождении производной сложной функции.

Инструкционная карта № 4.

Практическое занятие № 4 по теме «Интеграл».




infopedia.su

Методическая разработка по теме: Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЖУКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИКУМ ИМЕНИ В.А. КАЗАКОВА»

        

Рассмотрено на заседании

предметной (цикловой) комиссии «Общеобразовательных, естественно-научных и гуманитарных дисциплин»

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по учебной части

                                 / М.А.Фофанова /

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности

 160108 «Производство летательных аппаратов»        

Разработал преподаватель                                                Шарова Ж.В.

Жуковский, 2013 г.


Содержание

1. Пояснительная записка        

2. Принцип построения программы        

3. Методические рекомендации        

4. Тематическое планирование        

5. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»        

7. Заключение        


  1. Пояснительная записка

Необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной  подготовки. Всё больше специальностей связаны с непосредственным применением математики (физика, химия, биология, экономика, информатика и др.) и ее подразделов, в частности, математический анализ.

Предел функции является одним из базовых понятий математического анализа. Важно дать студентам представление об основных определениях и свойствах пределов, а также методах решения задач, связанных с вычислением пределов функций. Успешное усвоение данной темы позволит упростить в дальнейшем  изучение дифференциального и интегрального исчислений.

На занятиях можно повторить теорию по данному вопросу, рассмотреть основные термины и понятия пределов, отработать навыки решения типовых задач. Предлагаемые задачи должны различаться по уровню сложности: от простейших упражнений на применение формул до достаточно сложных расчетов.

 Каждое занятие предполагает: изучение теоретических основ, решение задач с преподавателем, самостоятельная работа, домашнее задание.

  1. Принцип построения программы

         Содержание программы составляют специально подобранные задачи для развития математического мышления.

 Цели курса: 

  • формирование у студентов интереса к математике;
  • выявление и развитие математических способностей;
  • овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике математического анализа;
  • интеллектуальное развитие студентов;
  • формирование понимания основ математического анализа.

Задачи:

  • дать необходимые знания о сущности пределов;
  • сформировать умение производить вычисление пределов;
  • научить вычислять пределы функции с различными видами неопределенностей.

Ожидаемые результаты.

В результате обучения студенты должны:

  • понимать смысл термина «предел»;
  • понимать смысл терминов «бесконечно малые» и «бесконечно большие величины»;
  • знать виды неопределенностей;
  • знать свойства предела;
  • уметь преобразовывать алгебраические выражения для упрощения вычисления пределов;
  • уметь использовать в своих вычислениях «первый и второй замечательные пределы».

  1. Методические рекомендации

При объяснении студентам теоретического вопроса, необходимо доступно изложить определение предела на примере числовой последовательности.

 Обязательным является повторение различных способов преобразования алгебраических дробей для упрощения выражений. Вспомнить такие способы, как вынесение общего множителя за скобку, приведение дроби к общему знаменателю, разложение квадратного трехчлена на множители, домножение на сопряженное значение. Необходимо уделить большое внимание повторению формул сокращенного умножения.

Важно предоставить студентам возможность овладеть  способами преобразования выражений для решения пределов сложных функций, прежде чем перейти к изучению «первого» и «второго замечательного пределов». Устный счет является обязательной составляющей каждого занятия, так как приучает к рационализации вычислений и  аналитической оценке результатов, что имеет значение для более рационального вычисления не только пределов, но и других поставленных задач математического анализа.

 При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно практиковать самостоятельную работу студентов.

 Домашние задания в разумных пределах являются обязательными для более успешного освоения материала.


  1. Тематическое планирование

Наименование разделов, тем, занятий

Кол-во занятий

1

Бесконечная числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

2

2

Вычисление предела функции.

2

3

Вычисление предела функции. Упражнения.

2

4

Первый замечательный предел.

2

5

Второй замечательный предел.

2

6

Подготовка к контрольной работе. Решение задач.

2

7

Контрольная работа «Вычисление пределов функции»

2

  1. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»

Цели и задачи урока:

Понять термин «предел», изучить его свойства и приобрести навыки его вычисления.

Объяснение нового материала:

На примере числовой последовательности с общим членом  () объяснить определение предела.

Предел числовой последовательности ()- объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера.

Перейти к пределу функции.

Объяснить значение бесконечно малой величины и бесконечно большой и изложить свойства предела:

  • предел отношения конечной величины к бесконечно малой величине равен бесконечно большой величине;
  • предел отношения конечной величины к бесконечно большой равен бесконечно малой величине;
  • предел суммы функций равен сумме пределов;
  • предел произведения функций равен произведению пределов;
  • предел степени с натуральным показателем равен степени предела с таким же показателем;
  • постоянный множитель перед функцией можно вынести перед пределом.

Рассказать про основные виды неопределенностей, которые наиболее часто встречаются в поставленных задачах: ( и показать примеры вычисления пределов простых и сложных функций.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

В дальнейшем предоставить студентам возможность решать самостоятельно под контролем учителя.

Примеры:

1.

2.

3.

4. (один из видов неопределенности, поэтому необходимо преобразование выражения для вычисления данного предела)

5.

6.  (для того, чтобы вычислить данный предел необходимо квадратный трехчлен числителя и знаменателя разложить на множители)

7.

8.

9. 

Для решения данного примера, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.

 

10.

В этом случае, числитель домножаем на сопряженное, для того чтобы использовать формулу «разность квадратов» , соответственно на это же выражение домножаем знаменатель и таким образом вычисляем предел.

11.

12.


Постановка домашнего задания:

  1. Повторить определение предела и его свойства.
  2. Решить примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


Первый замечательный предел

1.

2.

3.

4.

5.

Второй замечательный предел

1.

2.


6. Закрепление материала.

Примеры для самостоятельного решения.

1.

2.

3.  

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.


7. Заключение

Решение задач по теме «Пределы функции» позволяет освоить и закрепить практические навыки работы с различными видами пределов для выражений и функций. По данной теме рассматриваются вычисления пределов для выражений рациональных дробей, тригонометрических и степенных функций. Такой подход позволяет студентам упорядочить базовые знания о пределах, понять свойства замечательных пределов. Опыт, полученный при работе над темой «Пределы функции», послужит в дальнейшем одним из базовых элементов в изучении дифференциального и интегрального исчисления.

nsportal.ru

Тест по алгебре (11 класс) на тему: Задания для практических занятий с вариантами ответов по теме "Вычисление пределов функции"

Задание: Вычислить пределы функции.

Задание 1. Вычислить предел функции

Д

3

П

6

И

4

И

0

Н

Р

4

О

Т

2

Ф

-1

Э

Е

5

И

0

З

0

Р

1

Г

Е

1

В

Р

0

О

1

Р

0

А

М

5

Л

0

Д

Ь

Н

0

С

0,6

А

0,125

О

0

И

1

М

0

Е

Я

-0,75

Критерии оценок:

Количество баллов

Оценка

11

5 «отлично»

8-10

4 «хорошо»

6-7

3 «удовлетворительно»

менее 6

2 «неудовлетворительно»

Задание 2. Вычислить предел функции

К

Я

-1

М

-1

Р

2

У

О

1,5

А

2

Б

А

Ш

2

В

Н

4

С

7

П

4

Е

0

А

Т

Р

-1

Л

М

2

У

-5

Е

И

0

О

2

В

7

Т

Р

-2

Л

А

С

З

0

П

0,4

Д

0,5

Л

-2

К

Б

И

5

Л

0

К

А

-5

Я

Ё

9

Е

0

Р

А

Л

0

К

Г

2

В

-0,5

Б

Г

9

Д

0

С

Т

9

Р

0

У

4,5

Ю

1

У

7

Я

А

3

Х

0

Ш

Щ

2

Ц

3,5

О

2,5

А

У

3

Ы

0

К

-8

Л

4,5

М

0

Н

Е

Ж

0

З

-1

Д

-3

Е

2

О

К

0

И

5

Н

5

М

0

П

2

Р

Ф

2

Х

5

У

Ц

0

Я

Ё

-20

И

9

А

-4

В

6

Д

-0,5

Ж

К

0

Л

Р

0

Т

6

Ф

5

Задание 3. Вычислить предел функции

ПРИМЕР

Вычислить .

РЕШЕНИЕ:

Пределы числителя и знаменателя при  равны нулю, т.е. имеем неопределённость вида .  Для вычисления предела этой функции нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённый знаменателю множитель  и затем, сократив дробь на х, получим

Задания для самостоятельного решения

К

0,5

П

0,5

Л

2

Г

У

О

32

Б

0

А

-32

Ч

0

А

Л

108

Ф

18

У

2

Е

-1

Н

М

1

Г

4/9

К

-2

В

О

2/3

А

М

1

Г

1/8

С

1/3

К

-2

О

0,5

Р

-1/2

У

2

Р

1

С

-1

И

2

Е

1/2

О

-1

Р

1/5

А

1

Й

1/3

Н

-1/3

В

1/3

Я

3

Е

-3

Во время Великой Отечественной войны этот выдающийся математик, используя свои работы по теории вероятностей, разработал теорию наивыгоднейшего рассеивания артиллерийских снарядов.

Полученные им результаты помогли повысить меткость стрельбы и тем самым увеличить эффективность действия артиллерии, которую заслуженно называли богом войны.

nsportal.ru

задачи по пределам

Пределы

Задача 1. Доказать, что (указать ).

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Задача 7. Доказать (найти ), что:

Задача 8. Доказать, что функция непрерывна в точке(найти).

Задача 9. Вычислить пределы функций.

Задача 10.(3.20 МАДИ) Вычислить пределы функций.

Задача 11. Вычислить пределы функций.

Задача 12. Вычислить пределы функций.

Задача 13.15 Вычислить пределы функций.

Задача 14. Вычислить пределы функций.

Задача 15. Вычислить пределы функций.

Задача 16. Вычислить пределы функций.

Задача 17. Вычислить пределы функций.

Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.

 

 

 

 

studfiles.net


Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о