0 бесконечность – Ноль умножить на бесконечность — А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность — это ноль или неопределённость? — 22 ответа

Тема 20 раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль». Раскрытие неопределенности «бесконечность на бесконечность»

КОНСПЕКТ 20

20.1 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА  

Пример 1

Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь:В данном случае получена так называемая неопределенность.

Общее правило:если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида, то для ее раскрытиянужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Разложим числитель на множители.

Пример 2

Вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: Знаменатель:,

 

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 3

Найти предел

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

20.2 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА  

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример 4

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 5

Найти предел Снова в числителе и знаменателе находимв старшей степени:Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем

наибольшеезначение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенностиделим числитель и знаменатель на. Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 6

Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (можно записать как) Для раскрытия неопределенностинеобходимо разделить числитель и знаменатель на. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

 

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получитьсяконечное число, ноль или бесконечность.

 

ПРАКТИКУМ 20

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

Решение:Если вместо переменнойпоставить значение 7, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда

 ЗАДАНИЕ N 2Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

Решение:Если вместо переменнойпоставить значение 0, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

Решение:Если вместо переменнойпоставить значение 6, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

Решение:Так какито имеет место неопределенность видаДля ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на. Тогда, зная, чтополучим:

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

Решение:Так какито имеет место неопределенность видаДля ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на. Тогда, зная, чтополучим:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

 ЗАДАНИЕ N 2Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

 ЗАДАНИЕ N 3Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"Предел функцииравен …

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

studfiles.net

Ноль умножить на бесконечность — А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность — это ноль или неопределённость? — 22 ответа



Неопределенность 0 на 0

В разделе Образование на вопрос А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность - это ноль или неопределённость? заданный автором Пособить лучший ответ это Мистер Бонд, прочтите первый том "Курса дифференциального и интегрального исчисления" Г. М. Фихтенгольца. Ноль * Бесконечность - это неопределенность. Она сводится к неопределенности типа 0 / 0 или Бесконечность / Бесконечность, которые дальше можно раскрыть, например, применяя правила Лопиталя.

Не хотите открывать Фихтенгольца - суньтесь в Яндекс. Вот ссылочка первая же по запросу "Неопределенность, Правило Лопиталя"
Успехов в решении! И не забывайте о том, что Джеймс Бонд всегда находил решения самых трудных задач.

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность - это ноль или неопределённость?

Ответ от Невропатолог[новичек]
Это неопределенность.

Ответ от Простите[гуру]
Это неопределенность. Одна сорокомиллионная - это практически ноль, а сорок миллионов - почти бесконечность,их перемножить, что получится?Если мы не знаем точно о сорока миллионах или о восьмидесяти идет речь? Неопределенность.

Ответ от Прострагивать[эксперт]
Это неопределенность типа ноль умножить на бесконечность.

Ответ от Олег Филоненко[гуру]
Нуль

Ответ от RevArt[активный]
Сколько раз ни складывай ноль с нулем, ноль никогда не сдвинется с места, даже если бесконечное число раз. Это очевидно, поэтому результат всегда равен нулю.

Другие числа могут получиться, если считать предел произведения функций, одна из которых стремится к нулю, а другая к бесконечности, в этом случае все зависит от их скоростей стремления к нулю или к бесконечности.

Ответ от Игорь[новичек]
?

Ответ от Артур Валиев[гуру]
Это вы предел не доразложили. Непонятно какой ноль и какая бесконечность.
Например:
1. Lnx/x при x стремящемся к бесконечности - 0
2. e^x/x при x стремящемся к бесконечности - бесконечность
3. sin2x/x при x стремящемся к 0 равно 2
Поэтому, прежде чем считать предел типа f(x)/g(x) при x стремящемся к x0 надо провести разложение в окрестности x0 обоих функций и после сокращения в числителе или знаменателе у вас останется константа - а далее все просто.

Ответ от Виола[гуру]
Иногда так хочется,чтоб ноль стал бесконечностью...

Ответ от Бакыр[гуру]
нуль. Нуль деленная на беск-ть=неопред-ть.

Ответ от урманчи[гуру]
не слушай троечников - неопределенность, разумеется! И может получиться любое число в результате.

Ответ от Lenore ((Little Bunny Foo-Foo))[гуру]
ноль...
т.к. если любое число из этого бесконечного ряда чисел умножать на ноль, все равно будет 0...

Ответ от Пользователь удален[гуру]
к сожалению только ноль...

Ответ от Вау-Вау Оцень[гуру]
А что у нас "ноль"? Ноль величина абстрактная и в природе не имеющая места быть вообще.

Ответ от Пользователь удален[гуру]
А это смотря как умножать...


Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Раскрытие неопределённостей на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Раскрытие неопределённостей

Рентабельность на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Рентабельность

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

8 фактов о бесконечности, которые буквально взорвут ваш мозг

Бесконечность является абстрактным понятием, используемым, чтобы описать или обозначить нечто бесконечное или безграничное. Это понятие важно для математики, астрофизики, физики, философии, логики и искусства.

Вот несколько удивительных фактов об этом комплексном понятии, которые способны взорвать мозг лбого человека, не очень близко знакомого с математикой.

Символ бесконечности

У бесконечности есть свой собственный специальный символ: ∞. Символ, или лемниската, был введен священнослужителем и математиком Джоном Уоллисом в 1655 году. Слово «лемниската» происходит от латинского слова lemniscus, что означает «лента».

Уоллис, возможно, основал символ бесконечности на римской цифре 1000, рядом с которой римляне раньше указывали «бесчисленный», в дополнение к числу. Также возможно, что символ основан на омеге (Ω или ω), последней букве греческого алфавита.

Интересный факт заклчается в том, что понятие бесконечности появилось и использовалось задолго до того, как Уоллис наградил его символом, который мы используем по сей день.

В четвертом веке до нашей эры джайнистский математический текст под названием Сурья-праджнапти-сутра разделял все числа на три категории, каждая из которых, в свою очередь, разделялась на три подкатегории. В этих категориях были указаны перечислимые, неперечислимые и бесконечные числа.

Апория Зенона

Зенон Элейский, родившийся приблизительно в пятом веке до н. э., был известен парадоксами, или апориями, включающими и понятие бесконечности.

Из всех парадоксов Зенона самым известным является «Ахиллес и Черепаха». В апории черепаха бросает вызов греческому герою Ахиллесу, приглашая его на гонку. Черепаха утверждает, что выиграет гонку, если Ахиллес даст ей преимущество в тысячу шагов. Согласно парадоксу, за то время, что Ахиллес пробежит все расстояние, черепаха сделает в ту же сторону еще сто шагов. Пока Ахиллес пробежит еще сто шагов, черепаха успеет сделать еще десять и так далее по убывающей.

В более простом изложении парадокс рассматривается так: попробуйте пересечь комнату, если каждый следующий шаг в половину меньше предыдущего. Хоть каждый шаг и приближает вас к краю комнаты, вы никогда на самом деле не доберетесь до него, или доберетесь, но на это потребуется бесконечное количество шагов.

Согласно одной из современных трактовок, этот парадокс основан на ложном представлении о бесконечной делимости времени и пространства.

Число пи – пример бесконечности

Отличным примером бесконечности является число пи. Математики используют для числа пи символ, потому что невозможно записать все число целиком. Пи состоит из бесконечного количества чисел. Оно часто округляется до 3,14 или даже 3,14159, но неважно, сколько цифр записано после запятой, ведь невозможно добраться до конца числа.

Теорема о бесконечных обезьянах

Еще один способ думать о бесконечности – рассмотреть теорему о бесконечных обезьянах. Согласно теореме, если дать обезьяне печатную машинку и бесконечное количество времени, в конечном счете у обезьяны получится напечатать «Гамлета» или любое другое произведение.

В то время как многие люди воспринимают теорему как демонстрацию веры в то, что нет ничего невозможного, математики рассматривают ее как доказательство невозможности определенного события.

Фракталы и бесконечность

Фрактал – это абстрактный математический объект, используемый в математике и искусстве, чаще всего он моделирует природные явления. Фрактал записывается как математическое уравнение. Рассматривая фрактал, можно заметить его сложную структуру на любом масштабе. Другими словами, фрактал бесконечно увеличиваем.

Снежинка Коха является интересным примером фрактала. Снежинка выглядит как равносторонний треугольник, образующий замкнутую кривую бесконечной длины. Увеличивая кривую, на ней можно увидеть все новые и новые детали. Процесс увеличения кривой может продолжаться бесконечное количество раз. Несмотря на то что у снежинки Коха есть ограниченная область, она ограниченна бесконечно длинной линией.

Бесконечность разных размеров

Бесконечность безгранична, на все же она поддается измерению, пусть и сравнительному. Положительные числа (больше 0) и отрицательные числа (меньше 0) могут похвастать бесконечными наборами чисел равных размеров. А что происходит, если объединить оба набора? Получится вдвое большой набор. Или еще пример – все четные числа (их бесконечное количество). И все равно это всего лишь половина бесконечного количества всех целых чисел. Другой пример, просто прибавьте единицу к бесконечности. Поучится число на 1 больше бесконечности.

Космология и бесконечность

Космологи изучают Вселенную, неудивительно, что понятие бесконечности играет для них важную роль. Есть ли границы у Вселенной или она бесконечна?

Этот вопрос до сих пор остается без ответа. Наша Вселенная расширяется, но куда? И где предел этого расширения? Даже если у физической Вселенной и существуют границы, у нас все еще есть теория мультивселенной, которая рассматривает существование бесконечного количества Вселенных, в которых могут быть отличные от нашей законы физики.

Деление на ноль

Деления на ноль не существует. Оно невозможно, по крайней мере, в обычной математике. В привычной нам математике единицу, поделенную на ноль, невозможно определить. Это ошибка. Однако так бывает не всегда. В расширенной теории комплексных чисел деление единицы на ноль не вызывает неминуемого коллапса и определяется некоторой формой бесконечности. Другими словами, математика бывает разной, и не вся она ограничивается правилами из учебников.

fb.ru

Ноль и бесконечность. С самого начала...

 

 

А.В.Никитин

Ноль и бесконечность.  С самого начала...

 

Сначала хочу выразить благодарность Шенягину В.П. за статью [3], и руководству АТ за решение о публикации.  От всех любителей математики. Хочу также поблагодарить В.Ю.Ипатова за участие в подготовке формул и обсуждении некоторых положений данной статьи.

Эта тема для дилетантов и любителей. Профессионалы тут и ухом не поведут…, у них есть вполне стройная теория множеств и теория пределов. Там все давно расписано.

Но, любопытство неистребимо.

Как мне кажется, почти любой начинающий математик обязательно стукнется об эти бесконечно большие и бесконечно малые…, попробует свои силы в действиях с бесконечностью.  И придет к парадоксальному выводу: бесконечность, это все равно – число, отношение или количество.  А дальше, как ни назови… 

И, значит, мы вправе делать с ним те же действия, что и с остальными числами и множествами. Это вроде никто и не запрещал.

Правда, есть неопределенности, но, можно и их попробовать разрешить…

Почему эта тема постоянно интересна?

Потому, что книг, рассказывающих о действиях с бесконечностями простым и доступным для всех языком, или мало, или нет совсем, не знаю. Но мне такие пока не попадались. А в серьезных книгах и язык изложения соответствующий…, дилетанту  не разобраться. Справочники, даже такие, как [4] и [5] помогают в этом мало.

Вот и пытаемся мы, дилетанты, дойти до понимания своим умом. Как умеем, так и доходим. 

Надо подготовиться…

Введем несколько понятий для обоснования и вывода формул.

Данные ниже определения не претендуют на точность формулировок. Для получения более полной информации можно обратиться  к [1,2]. 

Счетным множеством называют множество чисел, например, натуральных или рациональных, которое имеет  хоть и неизвестную, но счетную мощность. Любое число из счетного множества исчислимо и является счетной величиной.

Счетные величины:

 – бесконечно малое рациональное число, .

М – бесконечно большое рациональное число,

а – конечное рациональное число.

 

Несчетным множеством называются множества, которые не могут быть вычислены. Это предел, к которому стремится то или иное счетное множество. Любое число несчетного множества потенциально неисчислимо и может назваться несчетной величиной. Примеры несчетных величин – константы π и е, например. Мы знаем их давно, но точное значение этих иррациональных чисел никогда не будет вычислено…

Нас интересуют такие несчетные величины:

0 – бесконечно малое вещественное число.

∞ - бесконечно большое вещественное число.

 

Если с понятием бесконечности и несчетности величины ∞ проблем почти не возникает, то с понятием несчетной величины 0  - одни проблемы.

Есть абсолютная величина 0 = НИЧЕГО. Пустое место. Это вроде понятно. Когда мы видим пример 1-1=0, то четко понимаем, в ответе - Ничего. Пустота.

Когда мы сталкиваемся с относительным пониманием, что 0, это предельная точность измерения или предел погрешности этих измерений, то тут начинаются сложности. Где «еще не 0», а где «уже точно - 0»? 

Над этим можно бы и посмеяться, но посмотрите на электронные термометры, развешенные по улицам города для того, чтобы жители могли знать температуру воздуха. При температуре близкой к 0

оС эти термометры начинают давать интересные показания: то +0, то -0…, и почти никогда без знака (+) или (-). Так 0 или не 0? Как это понимать?

А так и понимать, что в данном случае,  0  – понятие относительное, связанное с точностью проводимых измерений.

И «0» становится неуловимым. К нему можно стремиться бесконечно.

Мы будем относиться к числу 0 в формулах несчетных величин, как относительной величине в пределе своего приближения к абсолютному значению. Да, это ноль, но все же … немножечко… не ноль. На самую малость. Она меньше чем даже бесконечно малая , но… абсолютной пустоты не дает. Вот эту малость мы и будем записывать как 0 в формулах с несчетными величинами. Вот примерно так…

Иначе переходить от счетных величин к несчетным будет трудно.

 

Теперь дадим основные соотношения и пояснения по введенным величинам.

Сначала дадим формулу для  :

(1)

 

Эта счетная бесконечно малая величина уже была введена автором статьи [3] формулой (35):

(2)

 

И дополнением к формуле (38) там же [3]:

(3)

 

Как мне кажется, совершенно справедливо и обосновано.

 

Теперь дадим формулу получения М.

Например так:

(4)

Бесконечно большое число М в своем пределе стремится к ∞.

Величины   и М мы ввели как счетные эквиваленты несчетных величин 0 и ∞ соответственно.

Число а, это любое рациональное число в диапазоне  . Как частные случаи,  мы будем рассматривать  и несколько числовых значений, например: а1=1.

Теперь можно составить шкалу размерностей:

0<;

(5)

 

Осталось одно замечание: Ниже, в тексте статьи, в каждой нумерованной строке формул слева дается формула для счетной величины, справа – для несчетной. Линии табличного формата оставлены для облегчения чтения формул.

Все подготовительные действия сделаны. Можно переходить к изложению материала.

 

Основные математические действия с предельными величинами.

Начнем  с самого простого.

Сложение.

 

 

Вычитание.

 

 

Эти действия сомнений не вызывают. Пока, во всяком случае.

 

Умножение.

 

 Если действия со счетными воспринимаются естественно, то можно предположить, что методологически допустимы и аналогичные записи математических действий с их несчетными эквивалентами.

Мы понимаем, что это только формальное допущение, а с другой стороны…. 

Вернемся к этому вопросу при рассмотрении действий деления и действий со степенями.

А пока продолжим:

Эти выражения в комментариях вроде бы не нуждаются. Сомнения возникают разве что при рассмотрении формулы (16).  Но примерно такое же мнение мы находим в [4] и [5] в параграфе о бесконечных…

 

Деление.

 

Деление величин одной размерности:

 

Здесь и делимое, и делитель, это величины одной размерности. И результат деления должен быть конечной счетной величиной.

Неопределенность результата деления несчетных величин, типа    и  , не устраняется, но формализуется введением деления их счетных эквивалентов. Формулы (18)…(20), прежде всего, отражают формальную счетность результата деления - частного, а не конкретную величина делимого и делителя.

 

Деление большего числа на меньшее:

 

Деление меньшего на большее:

Да,  в формулах (23) и (26) получилось вот так…, в соответствии с выводом автора [3] и С.Алферова.

 

Действия со степенями.

Вот тут впервые появилось первое, но не последнее, конкретное значение счетной величины а в результате. В данном случае: а=1.

Следующие четыре формулы отражают скорее философский смысл, вкладываемый в понятие бесконечно большого числа – бесконечности. Естественно, бесконечность, как несчетное множество, при а≥1 и а→М, останется таковой в любой степени этого диапазона изменения а.

Точно также и бесконечно малое число, →0, при а≥1 и а→М, останется бесконечно малым.  

Но формально формулы (23) и (26) справедливы. Мы обязаны учитывать и это. Тем более, когда речь идет о формально счетных множествах М и  . Тем более что, чаще всего, при расчетах значения М и  задаются.

В конце концов, у  равенств (29) …(31) , для 0 и ∞,  две стороны…, и их вполне возможно прочитать, как справа налево, так и слева направо.  Если мы говорим о философских понятиях и категориях. 

Что выражает так любимое математиками выражение «…множество всех подмножеств…», как не максимально возможное  из формулы (32)? Потому, что говорят они не о сумме каких-то множеств, а о предельно возможном количестве… в формально допустимой форме.

И это выражение сомнений у математиков не вызывает. А меньшая степень вызывает сомнения?

 

Мы переходим к другим диапазонам изменения счетной величины а и граничным точкам:

Граничная точка

Диапазон изменения

 

а=;

а≥;

(33)

а=1;

 

(34)

а=

а≤

(35)

 

 По сути дела мы рассматриваем окрестности точки: а=1; 

Далее, для вывода формул нам необходимо воспользоваться предельными выражениями. Посмотрим результат:

andrejnikitin.narod.ru

Математика для блондинок: Ноль и бесконечность

Если угол равен нулю или 90°, тогда двухмерный прямоугольник исчезает и остается одномерный отрезок. Отсюда вытекает смысл бесконечности: как бы мы не изменяли стороны прямоугольника, он никогда не превратится в отрезок. Единица, деленная на ноль, не равна бесконечности. Бесконечно малая величина не равна единице, деленной на бесконечность.

Ноль и бесконечность

Разница между элементами в этих неравенствах такая же, как разница между точкой, лежащей на прямой, и точкой, не лежащей на прямой.

Умножение и деление на ноль не относятся к математическим действиям с числами, они выполняются в области единиц измерения. Эти значения тригонометрических функций можно назвать нечисловыми.

В дополнение к материалам об умножении и делении на ноль, изложенным ранее, следует добавить следующее. В позиционной системе счисления ноль обозначает отсутствие числа определенного разряда. Отсутствие числа числом быть не может. Здесь ноль аналогичен знакам препинания в письменности, которые имеют графическую форму, но не произносятся при чтении.

В общем случае ноль следует понимать как отсутствие рассматриваемой единицы измерения. Например, нулевое значение угла означает, что угол отсутствует. Деление на ноль следует рассматривать как необходимость введения единицы измерения, перпендикулярной уже существующим, для дальнейшего решения задачи. Деление на ноль не означает автоматического перехода к умножению. Например, описать поворот отрезка в одномерном пространстве невозможно, для этого необходимо ввести дополнительное измерение и рассматривать задачу в двухмерном пространстве.

www.webstaratel.ru