Что такое пределы – Предел (математика) – это… Что такое Предел (математика)?

предел — Викисловарь

Материал из Викисловаря

Перейти к навигации Перейти к поиску
В Википедии есть страница «предел».
Слово дня 11 мая 2017.

Содержание

  • 1 Русский
    • 1.1 Морфологические и синтаксические свойства
    • 1.2 Произношение
    • 1.3 Семантические свойства
      • 1.3.1 Значение
      • 1.3.2 Синонимы
      • 1.3.3 Антонимы
      • 1.3.4 Гиперонимы
      • 1.3.5 Гипонимы
    • 1.4 Родственные слова
    • 1.5 Этимология
    • 1.6 Фразеологизмы и устойчивые сочетания
    • 1.7 Перевод
    • 1.8 Библиография

Морфологические и синтаксические свойства[править]

падежед. ч.мн. ч.
Им.преде́л
преде́лы
Р.преде́лапреде́лов
Д.преде́лупреде́лам

ru.wiktionary.org

Понятие предела функции, свойства пределов

В экономических, социологических и математических прогнозах, имеющих связь с непрерывными процессами, при вычислении финансовой ренты, банковских процентов, построении асимптот для разнообразных графиков при исследовании их свойств нередко требуются знания о том, что такое предел функции. Понятие это на уровне интуитивного восприятия использовалось, начиная с конца XVII века, многими знаменитыми учеными, математиками, механиками, физиками, астрономами, в их замечательных исследованиях. Новатором в данном вопросе являлся еще Исаак Ньютон. Его примеру последовали вскоре знаменитые Эйлер, Лагранж и другие гениальные научные деятели. Но первые конкретные определения в данной области в XIX веке дали чешский ученый Больцано и математик из Франции Луи Коши (его портрет представлен ниже).

Числовые ряды

Понятия предела последовательности и предела функции тесно связаны между собой. И это вполне естественно. Действительно, ведь если некоторая функция строится из определенного ряда, значения которого находятся при возрастании натуральных чисел от 1 до ∞, это и есть числовая последовательность.

Приведем конкретный пример. Пусть некоторый ряд чисел задан выражением:

an = (n2 + n + 1) / (n + 2).

Выясним первые пять составляющих этой последовательности. Ими оказываются числа: 1; 7/4; 13/5; 21/6; 31/7. Можно продолжить этот ряд. И нетрудно понять, что любое последующее число окажется больше предыдущего, а значение каждого из них будет приближаться к бесконечности. Она-то и станет пределом этой последовательности.

Ниже представлен портрет Бернарда Больцано, внесшего большой вклад в исследование множеств и их пределов, автора научного труда «Парадоксы бесконечного».

Предел числового ряда

Последовательности типа, о которой говорилось выше, принято именовать бесконечно большими. Это и значит, что предел их равен ∞. Но числовой ряд, задаваемый обратной формулой, то есть 1/an, в математике называется бесконечно малым, потому что значения каждого из последующих чисел становятся все меньше, стремясь к нулю.

Существуют и другие типы последовательностей. К примеру, ряд, заданный выражением an = 105 – 7n, приближается по значению членов не к нулю, а к бесконечности, только отрицательной. И начиная с n = 16, составляющие числового ряда обретают минусовые значения, поэтому он не считается возрастающим, как в первом случае, и называется убывающим.

Ряд, определяемый выражением an = 1 / 2n, является бесконечно малым. Но в данном случае последовательность, заданная обратной формулой, будет, напротив, бесконечно большой.

Числовые ряды могут стремиться не только к 0 и ∞, а к какому-то определенному числу. Можно указать сколько угодно таких последовательностей. К примеру, предел an = 5n / (n + 1) равен 5.

Возможно, что последовательность и вовсе не имеет предела, тогда ее именуют расходящейся.

Понятие предела функции

Из приведенного определения несложно понять, что аналогично последовательностям рассматривается вопрос, а также когда дело касается функций. Хотя здесь есть свои особенности. Если аргумент (то есть значение переменной х) стремится к некоему определенному числу или к бесконечности, то значение функции тоже может стремиться к какой-то определенной величине. И в случае, когда таковая существует, она-то и считается пределом. Но лучше и удобнее рассмотреть этот процесс наглядно на графике, тем самым выяснив понятие предела функции и его геометрический смысл.

Вполне допустимы случаи, когда функция и вовсе не определена в той самой точке своего предела или значение ее не является эквивалентным ему. Тем не менее предел все равно считается существующим и равным А.

Фантастический пример для разъяснения

Рассмотрим немаловажный вопрос: а может ли у функции в выбранной точке быть два предела? Нет, это никак невозможно. Если он существует, то обязательно является единственным.

По сути предел является некоей величиной, к которой стремится приблизиться функция. Значения ее подходят к ней сколько угодно невероятно близко, но не в состоянии этой величины достигнуть, и находятся постоянно лишь только в какой-то “окрестности” числа, выражающего ее значение.

Для наглядности пояснения понятия предела функции можно рассмотреть некоторую фантастическую ситуацию. Допустим, бегун, стремясь достигнуть финиша, по велению всемогущего волшебника постоянно уменьшается, поэтому делает все более мелкие шаги (величина их стремится к нулю). По причине такого колдовства, все упорней продвигаясь к заветной цели, этот рекордсмен, тем не менее, не станет победителем, потому что не в состоянии пересечь финишную черту.

Обозначения и свойства

Пределы принято указывать буквами lim. Стрелочка ниже их дает представление о величине, к которой стремится аргумент. Справа от символа предела пишут саму функцию. Далее обычно следует знак равенства и указывается числовое значение предельной величины. Такие обозначения используются во всем мире. Для уяснения понятия предела функции свойства пределов знать просто необходимо. Они приведены ниже.

Такие свойства означают, что при сложении функций, имеющих предел, для нахождения общего lim необходимо сложить пределы каждой из них. То же самое касается произведения и частного двух функций. Последнее же приведенное свойство гласит, что за знак предела можно вынести общий множитель, что не нарушает равенство в выражениях с пределами.

Примеры

Рассмотрим некоторые задачи нахождения предела функции в точке и на бесконечности. Понятия, описанные выше, тогда станут гораздо ясней.

Предел в первых двух примерах считается равным бесконечности ввиду того, что при стремлении аргумента к указанной величине знаменатель в обоих случаях превращается в нечто бесконечно малое. А это значит, что само выражение, напротив, становится бесконечно большим. В этом и заключается секрет решения подобных примеров.

В третьем случае предел равен некоторому определенному числу. Если решать задачу без всяких хитростей, просто подставив вместо х бесконечность, то само выражение под знаком предела примет вид: (∞/∞). А это неопределенность. Ввиду этого для решения подобных примеров прибегают к распространенному приему, разделив обе части дроби на х. Таким образом величины 3/x и 1/x в предельной точке становятся настолько малы, что величины их для получения значения третьего выражения становятся не важными. Поэтому в ответе и выходит 2/5.

Виды неопределенностей

В последнем примере, рассмотренном нами выше, нахождение предела оказалось затруднено из-за выявленной в процессе вычислений неопределенности. Подобные случаи особенно исключительными и редкими не являются. При решении самых разных задач могут возникнуть и другие виды неопределенностей. Понятие предела функции поможет научиться выходить из таких ситуаций, только следует усвоить некоторые приемы, помогающие избавиться от указанных проблем.

А теперь рассмотрим еще ряд аналогичных примеров.

В первом случае никаких сложностей в нахождении результата не возникает. Здесь просто нужно подставить предельное значение переменной х в само выражение и получить ответ.

А вот во втором примере выявляется неопределенность уже рассмотренного нами типа: (∞/∞). Для выхода из сложной ситуации воспользуемся приемом, похожим на уже нами примененный ранее. А именно поделим в выражении числитель и знаменатель на х7. И тогда дробь примет вид, при котором некоторые члены выражения превратятся в величины бесконечно малые, а из значимых чисел останется только 1/3. Оно и будет пределом исходной функции.

Метод преобразования выражений

Продолжим рассматривать понятие предела функции.

В третьем и четвертом примерах, указанных выше, если подставить придельное значение в верхнюю и нижнюю часть дроби, возникает неопределенность другого рода (0/0). Как известно, в математике это недопустимо. В таких ситуациях можно применить метод преобразования выражений.

В задании № 3 для начала числитель раскладывают как разность квадратов. А потом, произведя сокращения, подставляют в выражение х=1. Таким образом и получают ответ. Как видно из примера, предел функции равен 0.

Задание № 4 немного сложней. Здесь дробь тоже необходимо сократить. Но для разложения на множители числителя и знаменателя сначала решают квадратные уравнения. Далее находятся корни, и производится разложение на множители способом, как это обычно делают в квадратных трехчленах. Тогда под знаком предела остается только выражение: (x – 3) / (3x – 2). Теперь следует подставить значение переменной и узнать, что предел равен 4.

Непрерывность

Связывая понятие пределов и непрерывность функции одной переменной, поясним сразу некоторые важные моменты, уточнив, что второе из этих математических представлений обычно определяется через первое.

В случае, если все только что обозначенные условия выполняются, то можно утверждать с полной уверенностью, что функция в некой, заранее заданной точке является непрерывной. Когда же хотя бы один из пунктов нарушается, это значит, что линия графика в указанном месте прерывается, то есть функция терпит разрыв.

Аналогичным образом связываются также понятие предела и непрерывности функции двух переменных.

Идея предела

Рассматриваемое нами понятие, относимое к математическому анализу, по праву считается одним из самых тонких в этой дисциплине. И хотя указанная наука возникла относительно недавно, саму идею предела использовал в своих работах еще великий житель древних Сиракуз – Архимед. Для вычисления площадей и объемов сложных геометрических форм он применял так называемый метод исчерпывания. В отдельных своих работах он изложил некую аксиому непрерывности, которая фактически содержала в себе интуитивную идею о пределах.

Как известно, в познании математических истин Архимед значительно опередил свое время, хотя и до него находились великие умы, которые высказывали подобные соображения. Но этот гениальный философ, инженер и ученый таким образом сумел вычислить площадь круга и самых разных многоугольников, определил объем конуса, пирамиды, цилиндра, призмы, большого количества других фигур. После смерти Архимеда идеи великого грека совершенствовались и развивались более двух тысячелетий, прежде чем превратились в теорию для вычисления дифференциалов и интегралов.

fb.ru

предел – это… Что такое предел?

Морфология: (нет) чего? преде́ла, чему? преде́лу, (вижу) что? преде́л, чем? преде́лом, о чём? о преде́ле; мн. что? преде́лы, (нет) чего? преде́лов, чему? преде́лам, (вижу) что? преде́лы, чем? преде́лами, о чём? о преде́лах

1. Пределом называется видимая, известная конечная часть какой-либо природной местности.

Предел полей, лесов. | Раскинулась степь без конца и предела. | Кажется, нет предела пустыни.

2. Пределом жизни называется чья-либо кончина, смерть.

3. Пределами называется естественная или условная черта, граница какой-либо территории, страны и т. д.

Раздвинуть пределы земельного участка. | Оказаться за пределами страны, отечества. | Русские общины за пределами России. | Он не выезжал за пределы своего государства.

= рубеж

4. Пределами называют границы, рамки чего-либо принятого, установленного, дозволенного.

Выйти за пределы допустимого. | Пределы власти. | Пределы коммерческих операций. | Увеличить предел займа.

5. Если кто-либо положил, поставил предел чему-либо, то это означает, что этот человек своими действиями способствовал прекращению, приостановке каких-либо неблагоприятных процессов.

6. Пределом называют крайнюю степень чего-либо.

Предел совершенства. | Предел терпению, жестокости. | Дойти до предела нищеты. | Возмущение дошло до высшего предела.

= верх

7. Пределом мечтаний называют то, что кто-либо не решается себе представить как реальное, осуществимое и т. п.

8. Если чему-либо нет предела, то это означает, что что-либо ощущается кем-либо в очень сильной степени.

Нет предела моей благодарности. | Любви матери нет предела.

9. Если что-либо доведено до предела, то это означает, что что-либо доведено до крайней степени своего проявления.

Силы людей доведены до предела.

10. Пределом называется критическая точка в проявлении каких-либо физических свойств, качеств.

Предел прочности. | Предел выносливости. | Предел упругости. | Минимальный предел огнестойкости конструкции равен 0.

11. В математике пределом называется постоянная величина, к которой приближается переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней.

Предел числовой последовательности. | Теория пределов. | Предел допустимой основной погрешности.

12. Если кто-либо делает что-либо на пределе, то это означает, что этот человек делает это, ощущая крайнюю степень физического или умственного напряжения.

Работать на пределе.

13. Если кто-либо на пределе, то это означает, что этот человек очень раздражён.

14. Если о чём-либо говорят, что это

(ещё) не предел, то это означает, что что-либо имеет тенденции быть усиленным, улучшенным, получить большее распространение и т. д.

15. Фраза Всему есть предел употребляется в том случае, если что-либо сказанное, сделанное кем-либо ощущается другим человеком как крайне неприличное, неуместное.

dic.academic.ru

это что такое? Значение слова :: SYL.ru

Старинные слова русского языка в современном мире часто теряют свой изначальный смысл или приобретают дополнительные значения из-за появления новых жизненных реалий. К примеру, существует далеко не одно лексическое значение слова «предел». Чем же все они отличаются друг от друга? Давайте узнаем об этом подробнее, а также выясним, в чем разница между “пределом” и “приделом”.

Происхождение слова, его аналоги в других славянских языках и синонимы

Существительное «предел» – это слово, которое стало использоваться в русском языке много веков назад. До этого оно активно употреблялось в праславянском. Его происхождение связывают с глаголом «делить» или «переделить».

Несмотря на древность этого термина, в большинстве славянских языков он не сохранился. Так, в украинском вместо этого названия используется существительное «межа», в белорусском – «мяжа». А в польском данное слово вообще было заменено термином французского происхождения – limit. Только в чешском языке, относящемся к западнославянским, сохранилось идентичное название – předěl.

К этому существительному можно подобрать довольно много синонимов. К примеру, слова “граница”, “грань”, устаревшее “межа”, “рубеж”, “апогей”, “высшая степень”, современное “лимит” и подобные им.

Исконное значение термина «предел»

Это название наиболее часто употребляется в случаях, когда имеется в виду какая-нибудь граница, точнее ограничение чего-то.

Оно может быть как пространственным («В пределах нашего города все коммунальные службы работают отлично»), так и временным («Необходимо сдать все академические задолженности в пределах этого семестра»).

Кроме того, данное значение этого слова распространяется и на другие сферы. Например, в любимом многими советском кинофильме «Девчата» один из героев говорит такую фразу, давно ставшую крылатой: «Купи Надюше чулки, самые дорогие, в пределах суммы». То есть в данном случае имеется в виду финансовое ограничение.

Предел как крайняя степень чего-то

Этот термин довольно часто используется в речи, когда говорится о самом высшем значении какого-то физического явления (скорость, упругость, прочность, нагрузка) или морального (совершенство, наглость).

Например, те, кому хоть раз приходилось провести несколько часов ожидания в каком-либо государственном учреждении, обязательно не раз слышали фразу «Ну это уже предел наглости», обращенную к какому-то более везучему человеку, сумевшему пройти без очереди.

Устаревшие значения этого существительного

В старину пределом называлась также какая-то местность или даже целая страна. Например: «После многолетних странствий он вернулся помирать в родные пределы».

Среди простого народа в былые времена также было распространено такое значение этого существительного, как участь или судьба. Причем в этом смысле данное слово употреблялось только в единственном числе. Например: “Видно такой у нее предел – в девках оставаться до старости лет”.

«Предел»: значение слова в математике

В царице точных наук это существительное играет особо важную роль, поскольку оно является одним из ключевых понятий математического анализа.

Так, выделяют несколько их видов: предел категорий, предел функции и последовательности предел. Это все обозначается с помощью буквосочетания lim (сокращение от “лимит”). Кстати, наравне с математикой, данное понятие широко распространено и в физике.

Значение предела функции, как правило, вычисляется с помощью формулы, но благодаря развитию современных технологий это можно сделать на специальных сайтах, всего лишь введя собственные данные в пустующие строки формулы.

Использование термина «предел» в других сферах

С этим словом близко связано такое понятие, как ПДК (предельно допустимая концентрация) – максимально возможное содержание опасного вещества в чем-то, которое не оказывает необратимого или фатального влияния на здоровье человека.

Эта аббревиатура широко используется в экологии, фармацевтике, пищевой и химической промышленности, а также для составления норм охраны труда на различных производствах.

Кроме химических веществ, на организм человека может оказывать вредное влияние и такое, казалось бы, безобидное явление, как звук. Слишком громкий и резкий, он способен не только повредить слух человека, но и повлиять на сердечный ритм и нарушить его, тем самым вызвав приступ. Именно поэтому все звуковые установки имеют определенный предел: минимальный и максимальный. Повышая или понижая громкость в рамках этого диапазона, организму человека нельзя нанести вред.

Чем отличается предел от придела, и как не путать эти названия

Интересный факт: любой текстовый редактор посчитает правильным написание как “придел”, так и “предел”. Это связано с тем, что каждое из данных слов имеет собственное лексическое значение.

О том, что значит термин «предел», было сказано выше. Однако, что же такое придел? Этим существительным уже несколько сотен лет называют часть православного храма, где располагают дополнительный алтарь с престолом для торжественных богослужений. В качестве придела может служить как отдельно выделенная часть церковного здания, так и дополнительная боковая пристройка.

Вероятнее всего, это название произошло от глагола «приделать». Одно из первых упоминаний об этом понятии можно встретить в романе Льва Толстого “Война и мир”. Кстати, именно там в качестве придела служит небольшая пристройка.

Чтобы не путаться в вариантах написания этих очень похожих внешне существительных, нужно всегда помнить об их лексическом значении.

  • Если речь идет о церковной пристройке, то проверочным словом будет служить глагол «приделать» и значит, термин пишется через «и».
  • А проверочное слово для лексемы «предел» – это «переделить», и получается, что данное существительное нужно писать через «е».

Слово “предел” – довольно древнее и за свою многовековую историю приобрело немало новых значений. Оно широко употребляется как в научных книгах, так и в художественных текстах и технической документации. По этой причине нужно не только ориентироваться во всех его значениях, но и не делать ошибок при написании, ведь в данном случае автопроверка в текстовых редакторах не поможет, а наоборот – только запутает.

www.syl.ru