Дифференциал что это такое в математике – Дифференциал (дифференциальная геометрия) – это… Что такое Дифференциал (дифференциальная геометрия)?
- Комментариев к записи Дифференциал что это такое в математике – Дифференциал (дифференциальная геометрия) – это… Что такое Дифференциал (дифференциальная геометрия)? нет
- Советы абитуриенту
Дифференциал (математика) | Математика | FANDOM powered by Wikia
Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.
Обычно дифференциал $ f $ обозначается $ df $, а его значение в точке $ x $ обозначается $ d_xf $.
Неформальное описание Править
Рассмотрим гладкую функцию $ f(x) $. Проведем касательную к ней в точке $ x $, и отложим на ней отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось $ x $ была равна $ \Delta x $. Проекция этого отрезка на ось $ y $ называется дифференциалом функции $ f(x) $ в точке $ x $ от $ \Delta x $. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных $ x $ и $ \Delta x $,
- $ df:(x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x) $
определяемой соотношением
- $ d_xf(\Delta x)=f'(x)\cdot\Delta x, $
в частности
- $ f(x+\Delta x)=f(x)+d_xf(\Delta x)+o(\Delta x). $
Для функцийПравить
Дифференциал гладкой вещественнозначной функции $ f $ определённой на $ M $ ($ M $ — область в $ \R^n $ или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается $ df $ и определяется соотношением
- $ df(X)=Xf $
где $ Xf $ обозначает производную $ f $ по направлению вектора $ X $ в касательном расслоении $ M $.
Для отображенийПравить
Дифференциал гладкого отображения из гладком многообразия в многообразие $ F:M\to N $ есть отображение между их касательными расслоениями, $ dF:TM\to TN $, такое что для любой гладкой функции $ g:N\to \R $ имеем
- $ dF(X)g=X(F\circ g) $
где $ Xf $ обозначает производную $ f $ по направлению $ X $. (В левой части равенства берётся производная в $ N $ функции $ g $ по $ dF(X) $ в правой — в $ M $ функции $ F\circ g $ по $ X $).
Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.
- Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \R $ задана гладкая функция $ f: U \rightarrow \R $. Тогда $ df=f’ dx $, где $ f’ $ обозначает производную $ f $, а $ dx $ является постоянной формой определяемой $ dx(V)=V $.
- Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \R^n $ задана гладкая функция $ f:\Omega\to \R $. Тогда $ df=\sum_{i=1}^n\tfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i $. Форма $ dx_i $ может быть опеделена соотношением $ dx_i(V)=v_i $, для вектора $ V=(v_1,v_2,\dots,v_n) $.
- Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \R^n $ задано гладкое отображение $ F:\Omega\to \R^m $. Тогда
$ d_xF(v)=J(x)v $,
где $ J(x) $ есть матрица Якоби отображения $ F $ в точке $ x $.
Термин Дифференциал (от лат. differentia-разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, $ dx $применялось для обозначение «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался не удобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).
bg:Диференциал (математика)
cs:Diferenciál (matematika)eo:Diferencialo
et:Diferentsiaal
he:דיפרנציאל (מתמטיקה)
nn:Differensial i matematikk
no:Differensial (matematikk)
pl:Różniczka
simple:Differential
sv:Differential
ta:வகையீடு
uk:Диференціал (математика)
ru.math.wikia.com
Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
Это записывается так:
или
или же
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).
Дифференциал функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(1)
или
, (2)
поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.
Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а – наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.
Дифференциал функции можно записать в другой форме:
(3)
или
(4)
Пример 1. Найти дифференциалы функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулу (4), находим:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти дифференциал функции
в точке x = 2,
1) выделив линейную часть;
2) по формуле.
Пример 3. Найти дифференциал функции
в точке x.
В основном же задачи на дифференциалы – это более сложные, чем рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.
В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:(С – постоянная величина) (5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .
Одно из особеннейших свойств дифференциала – инвариантность формы дифференциала в случае сложных функций.
Установленное во втором параграфе приближенное равенство
или
(10)
позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем приближенное равенство более подробно. Так как
а
то
или
(11)
Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.
Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (11) в данном случае примет вид
Положим
тогда
Следовательно,
что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.
Пример 6. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно
Решение. Число
является одним из значений функции
Так как производная этой функции
то формула (11) примет вид
Полагая
и
получаем
(табличное значение
).
Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.
Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:
(12)
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:
(13)
Если точное число неизвестно, то
(14)
Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.
Пример 8. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.
Решение. Рассмотрим функцию
Её производная равна
а формула (11) примет вид
В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:
так как значение
не является малым по сравнению со значением производной в точке
Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда
Теперь, полагая
получим
Умножая на 4/3, находим
Принимая табличное значение корня
за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:
Весь блок “Производная”
Поделиться с друзьями
function-x.ru
Дифференциал (в математике) | Наука
Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения; тесно связан с понятием производной по направлению; обычно
Неформальное описание Править
Рассмотрим гладкую функцию $ f(x) $. Проведем касательную к ней в точке $ x $, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось $ x $ была равна $ \Delta x $. Проекция этого отрезка на ось $ y $ называется дифференциалом функции $ f(x) $ в точке $ x $ от $ \Delta x $. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных $ x $ и $ \Delta x $,
- $ df : (x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x) $
определяемой соотношением
- $ d_xf(\Delta x)=f'(x)\Delta x, $
в частности
- $ f(x+\Delta x)=f(x)+d_xf(\Delta x)+o(\Delta x). $
Для функций Править
Дифференциал гладкой вещественнозначной функции $ f $ определённой на $ M $ ($ M $ — область в $ \mathbb{R}^n $ или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается $ df $ и определяется соотношением
- $ df(X)=X\!f $
где $ X\!f $ обозначает производную $ f $ по направлению вектора $ X $ в касательном расслоении $ M $.
Для отображений Править
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $ F : M\to N $ есть отображение между их касательными расслоениями, $ dF : TM\to TN $, такое что для любой гладкой функции $ g : N\to \mathbb{R} $ имеем
- $ dF(X)g=X(F\circ g) $
где $ Xf $ обозначает производную $ f $ по направлению $ X $. (В левой части равенства берётся производная в $ N $ функции $ g $ по $ dF(X) $ в правой — в $ M $ функции $ F\circ g $ по $ X $).
Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.
Связанные определенияПравить
- Гладкое отображение $ F : M\to N $ назывятся субмерсией если для любой точки $ x\in M $, дифференциал $ d_xF : T_xM\to T_{F(x)}N $ сюръективен.
- Гладкое отображение $ F : M\to N $ назывятся гладким погружением если для любой точки $ x\in M $, дифференциал $ d_xF : T_xM\to T_{F(x)}N $ инъективен.
- Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
- $ d(F\circ G)=dF\circ dG $ или $ d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG $
- Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \mathbb{R} $ задана гладкая функция $ f : U \rightarrow \mathbb{R} $. Тогда $ df=f’ dx $, где $ f’ $ обозначает производную $ f $, а $ dx $ является постоянной формой определяемой $ dx(V)=V $.
- Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $ задана гладкая функция $ f : \Omega\to \mathbb{R} $. Тогда $ df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i $. Форма $ dx_i $ может быть опеделена соотношением $ dx_i(V)=v_i $, для вектора $ V=(v_1,v_2,\dots,v_n) $.
- Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $ задано гладкое отображение $ F : \Omega\to \mathbb{R}^m $. Тогда
$ d_xF(v)=J(x)v $,
где $ J(x) $ есть матрица Якоби отображения $ F $ в точке $ x $.
Термин Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, $ dx $ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).
ru.science.wikia.com
Дифференциал (математика) – это… Что такое Дифференциал (математика)?
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
Обозначения
Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Использование знака дифференциала
Определения
Для функций
Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где обозначает производную в точке .
Таким образом есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение
Для отображений
Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие
Связанные определения
- Отображение называется дифференцируемым в точке если определён дифференциал .
Свойства
- Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
- Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
- Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением
История
Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения
Литература
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
dic.academic.ru
Дифференциал функции
Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых
, где
. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при .Первое слагаемое линейно относительно ,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем .Действительно,
.
Таким образом второе слагаемое при быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функцииглавную роль играет первое слагаемоеили (так как).
Определение. Главная часть приращения функции в точке , линейная относительно,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df(x)
. (2)
Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть .
Соотношение (2) теперь принимает вид
(3)
Замечание. Формулу (3) для краткости часто записывают в виде
(4)
Геометрический смысл дифференциала
Рис.2
Рассмотрим график дифференцируемой функции . Точкиипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси обозначим через. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и параллельно осиOy. Приращение функции равно длине отрезка . Из прямоугольного треугольника, в котором, получим
.
Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:
Дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке.
Связь дифференциала с производной
Рассмотрим формулу (4)
.
Разделим обе части этого равенства на dx , тогда
.
Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной.
Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х.
Удобными обозначениями производной также являются:
, и так далее.
Употребляются также записи
, ,
особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.
2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.
10. Дифференциал постоянной равен нулю
.
20. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций
.
30. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
.
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение.Запишем данную функцию в виде
,
тогда получим
.
.
4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
Определение. Функция называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t:
где t изменяется в пределах .
Замечание. Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения
представляют собой законы изменения проекций движущейся точкина осии.Замечание. Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.
а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:
где .
б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:
где .
Теорема. Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями , гдеидифференцируемые поt функции и , то
.
Пример. Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.
Решение. .
studfiles.net
Дифференциал (математика) — WiKi
Обозначения
Использование знака дифференциала
Определения
Для функций
Дифференциал функции f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } в точке x0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } может быть определён как линейная функция
- dx0f(h)=f′(x0)h,{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}
где f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})} обозначает производную f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}} , а h{\displaystyle h} — приращение аргумента при переходе от x0{\displaystyle x_{0}} к x0+h{\displaystyle x_{0}+h} .
Таким образом df{\displaystyle df} есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)} .
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)} , линейно зависящая от h{\displaystyle h} , и для которой верно следующее соотношение
- dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}
Для отображений
Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} такой, что выполняется условие
- dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}
Связанные определения
- Отображение f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} .
Свойства
История
Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx{\displaystyle dx} применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения
Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.
Литература
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
ru-wiki.org
Дифференциал функции: основные понятия и определения
Пусть функция в точке имеет отличную от нуля производную
Тогда в некоторой окрестности этой точки отношение
где при Тому приращение функции можно представить в виде:
При этом величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем и бесконечно малая поэтому величину называют главной частью приращения функции .
Замечание. Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.
Найдем дифференциал независимой переменной то есть дифференциал функции Так как получаем, что
то
То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению:
Тогда формула для дифференциала перепишется в виде:
Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной указанной функции на дифференциал независимой переменной.
Геометрический и механический смыслы дифференциала функции
Геометрически дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная получает приращение .
Механический смысл дифференциала. Пусть материальная точка двигается по закону Дифференциал функции равен:
Для фиксированных значений и – это тот путь, который бы прошла материальная точка за время в случае, если она будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянною скоростью
Стоит отметить, что фактический путь в случае неравномерного движения материальной точки, в отличии от дифференциала не является линейной функцией времени а поэтому отличается от пути Но все же, если время является достаточно малым, то скорость движения существенно не изменяется и поэтому движение точки на промежутке времени от до есть практически равномерным.
Основные формулы дифференциала
Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что а также соответствующие формулы для производных.
Рассмотрим две дифференцируемые функции и Тогда имеют место следующие равенства:
ru.solverbook.com