Дифференциал что это такое в математике – Дифференциал (дифференциальная геометрия) – это… Что такое Дифференциал (дифференциальная геометрия)?

Содержание

Дифференциал (математика) | Математика | FANDOM powered by Wikia

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал $ f $ обозначается $ df $, а его значение в точке $ x $ обозначается $ d_xf $.

    Неформальное описание Править

    Рассмотрим гладкую функцию $ f(x) $. Проведем касательную к ней в точке $ x $, и отложим на ней отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось $ x $ была равна $ \Delta x $. Проекция этого отрезка на ось $ y $ называется дифференциалом функции $ f(x) $ в точке $ x $ от $ \Delta x $. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных $ x $ и $ \Delta x $,

    $ df:(x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x) $

    определяемой соотношением

    $ d_xf(\Delta x)=f'(x)\cdot\Delta x, $

    в частности

    $ f(x+\Delta x)=f(x)+d_xf(\Delta x)+o(\Delta x). $

    Для функцийПравить

    Дифференциал гладкой вещественнозначной функции $ f $ определённой на $ M $ ($ M $ — область в $ \R^n $ или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается $ df $ и определяется соотношением

    $ df(X)=Xf $

    где $ Xf $ обозначает производную $ f $ по направлению вектора $ X $ в касательном расслоении $ M $.

    Для отображенийПравить

    Дифференциал гладкого отображения из гладком многообразия в многообразие $ F:M\to N $ есть отображение между их касательными расслоениями, $ dF:TM\to TN $, такое что для любой гладкой функции $ g:N\to \R $ имеем

    $ dF(X)g=X(F\circ g) $

    где $ Xf $ обозначает производную $ f $ по направлению $ X $. (В левой части равенства берётся производная в $ N $ функции $ g $ по $ dF(X) $ в правой — в $ M $ функции $ F\circ g $ по $ X $).

    Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

    • Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \R $ задана гладкая функция $ f: U \rightarrow \R $. Тогда $ df=f' dx $, где $ f' $ обозначает производную $ f $, а $ dx $ является постоянной формой определяемой $ dx(V)=V $.
    • Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \R^n $ задана гладкая функция $ f:\Omega\to \R $. Тогда $ df=\sum_{i=1}^n\tfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i $. Форма $ dx_i $ может быть опеделена соотношением $ dx_i(V)=v_i $, для вектора $ V=(v_1,v_2,\dots,v_n) $.
    • Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \R^n $ задано гладкое отображение $ F:\Omega\to \R^m $. Тогда
          $ d_xF(v)=J(x)v $,
      где $ J(x) $ есть матрица Якоби отображения $ F $ в точке $ x $.

    Термин Дифференциал (от лат. differentia-разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, $ dx $применялось для обозначение «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался не удобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).


    bg:Диференциал (математика) cs:Diferenciál (matematika)eo:Diferencialo et:Diferentsiaal he:דיפרנציאל (מתמטיקה) nn:Differensial i matematikk no:Differensial (matematikk) pl:Różniczka simple:Differential sv:Differential ta:வகையீடு uk:Диференціал (математика)

    ru.math.wikia.com

    Дифференциал функции

    Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

    Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

    Это записывается так:

    или

    или же

    Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

    Дифференциал функции в точке x и обозначают

    или

    Следовательно,

                       (1)

    или

    ,            (2)

    поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

    Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а - наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке

    x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

    Дифференциал функции можно записать в другой форме:

                          (3)

    или

       (4)


    Пример 1. Найти дифференциалы функций:

    1) ;

    2) ;

    3) ;

    4) .

    Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулу (4), находим:

    1) ;

    2) ;

    3) ;

    4) .

    Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти дифференциал функции

    в точке x = 2,

    1) выделив линейную часть;

    2) по формуле.

    Пример 3. Найти дифференциал функции

    в точке x.


    В основном же задачи на дифференциалы - это более сложные, чем рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.


    В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

    Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

     (С – постоянная величина)  (5)

                                    (6)

                                 (7)

                                          (8)

                                (9)

    Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

    Одно из особеннейших свойств дифференциала - инвариантность формы дифференциала в случае сложных функций.


    Установленное во втором параграфе приближенное равенство

    или

                               (10)

    позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

    Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

    а

    то

    или

                      (11)


    Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

    Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (11) в данном случае примет вид

    Положим

    тогда

    Следовательно,

    что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

    Пример 6. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

    Решение. Число
    является одним из значений функции

    Так как производная этой функции

    то формула (11) примет вид

    Полагая

    и

    получаем

    (табличное значение

    ).

    Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение


    Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

    Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

                                (12)

    Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

                                     (13)

    Если точное число неизвестно, то

                                 (14)

    Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.


    Пример 8. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

    Решение. Рассмотрим функцию

    Её производная равна

    а формула (11) примет вид

    В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:

    так как значение

    не является малым по сравнению со значением производной в точке

    Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3.  Тогда

    Теперь, полагая

    получим

    Умножая на 4/3, находим

    Принимая табличное значение корня

    за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

    Весь блок "Производная"

    Поделиться с друзьями

    function-x.ru

    Дифференциал (в математике) | Наука

    Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения; тесно связан с понятием производной по направлению; обычно дифференциал $ f $ обозначается $ df $, а его значение в точке $ x $ обозначается $ d_xf $.

      Неформальное описание Править

      Рассмотрим гладкую функцию $ f(x) $. Проведем касательную к ней в точке $ x $, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось $ x $ была равна $ \Delta x $. Проекция этого отрезка на ось $ y $ называется

      дифференциалом функции $ f(x) $ в точке $ x $ от $ \Delta x $. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных $ x $ и $ \Delta x $,

      $ df : (x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x) $

      определяемой соотношением

      $ d_xf(\Delta x)=f'(x)\Delta x, $

      в частности

      $ f(x+\Delta x)=f(x)+d_xf(\Delta x)+o(\Delta x). $

      Для функций Править

      Дифференциал гладкой вещественнозначной функции $ f $ определённой на $ M $ ($ M $ — область в $ \mathbb{R}^n $ или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается $ df $ и определяется соотношением

      $ df(X)=X\!f $

      где $ X\!f $ обозначает производную $ f $ по направлению вектора $ X $ в касательном расслоении $ M $.

      Для отображений Править

      Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $ F : M\to N $ есть отображение между их касательными расслоениями, $ dF : TM\to TN $, такое что для любой гладкой функции $ g : N\to \mathbb{R} $ имеем

      $ dF(X)g=X(F\circ g) $

      где $ Xf $ обозначает производную $ f $ по направлению $ X $. (В левой части равенства берётся производная в $ N $ функции $ g $ по $ dF(X) $ в правой — в $ M $ функции $ F\circ g $ по $ X $).

      Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

      Связанные определенияПравить

      • Гладкое отображение $ F : M\to N $ назывятся субмерсией если для любой точки $ x\in M $, дифференциал $ d_xF : T_xM\to T_{F(x)}N $ сюръективен.
      • Гладкое отображение $ F : M\to N $ назывятся гладким погружением если для любой точки $ x\in M $, дифференциал $ d_xF : T_xM\to T_{F(x)}N $ инъективен.
      • Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
        $ d(F\circ G)=dF\circ dG $ или $ d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG $
      • Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \mathbb{R} $ задана гладкая функция $ f : U \rightarrow \mathbb{R} $. Тогда $ df=f' dx $, где $ f' $ обозначает производную $ f $, а $ dx $ является постоянной формой определяемой $ dx(V)=V $.
      • Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $ задана гладкая функция $ f : \Omega\to \mathbb{R} $. Тогда $ df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i $. Форма $ dx_i $ может быть опеделена соотношением $ dx_i(V)=v_i $, для вектора $ V=(v_1,v_2,\dots,v_n) $.
      • Пусть в открытом множестве $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $ задано гладкое отображение $ F : \Omega\to \mathbb{R}^m $. Тогда
            $ d_xF(v)=J(x)v $,
        где $ J(x) $ есть матрица Якоби отображения $ F $ в точке $ x $.

      Термин Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, $ dx $ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).

      ru.science.wikia.com

      Дифференциал (математика) - это... Что такое Дифференциал (математика)?

      Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

      Обозначения

      Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

      Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

      Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

      Использование знака дифференциала

      Определения

      Для функций

      Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

      где обозначает производную в точке .

      Таким образом есть функция двух аргументов .

      Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение

      Для отображений

      Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

      Связанные определения

      • Отображение называется дифференцируемым в точке если определён дифференциал .

      Свойства

      • Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
        • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
      • Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением

      История

      Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

      Вариации и обобщения

      Литература

      • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

      dic.academic.ru

      Дифференциал функции

      Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых

      , где

      . Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при .Первое слагаемое линейно относительно ,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем .Действительно,

      .

      Таким образом второе слагаемое при быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функцииглавную роль играет первое слагаемоеили (так как).

      Определение. Главная часть приращения функции в точке , линейная относительно,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df(x)

      . (2)

      Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть .

      Соотношение (2) теперь принимает вид

      (3)

      Замечание. Формулу (3) для краткости часто записывают в виде

      (4)

      Геометрический смысл дифференциала

      Рис.2

      Рассмотрим график дифференцируемой функции . Точкиипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси обозначим через. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и параллельно осиOy. Приращение функции равно длине отрезка . Из прямоугольного треугольника, в котором, получим

      .

      Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:

      Дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке.

      Связь дифференциала с производной

      Рассмотрим формулу (4)

      .

      Разделим обе части этого равенства на dx , тогда

      .

      Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной.

      Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х.

      Удобными обозначениями производной также являются:

      , и так далее.

      Употребляются также записи

      , ,

      особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.

      2. Дифференциал суммы, произведения и частного.

      Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

      10. Дифференциал постоянной равен нулю

      .

      20. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

      .

      30. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой

      .

      Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

      .

      Пример. Найти дифференциал функции .

      Решение.Запишем данную функцию в виде

      ,

      тогда получим

      .

      .

      4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

      Определение. Функция называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t:

      где t изменяется в пределах .

      Замечание. Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения представляют собой законы изменения проекций движущейся точкина осии.

      Замечание. Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

      а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

      где .

      б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

      где .

      Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

      Теорема. Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями , гдеидифференцируемые поt функции и

      , то

      .

      Пример. Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.

      Решение. .

      studfiles.net

      Дифференциал (математика) — WiKi

      Обозначения

      Использование знака дифференциала

      Определения

      Для функций

      Дифференциал функции f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }  в точке x0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }  может быть определён как линейная функция

      dx0f(h)=f′(x0)h,{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,} 

      где f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})}  обозначает производную f{\displaystyle f}  в точке x0{\displaystyle x_{0}} , а h{\displaystyle h}  — приращение аргумента при переходе от x0{\displaystyle x_{0}}  к x0+h{\displaystyle x_{0}+h} .

      Таким образом df{\displaystyle df}  есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)} .

      Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)} , линейно зависящая от h{\displaystyle h} , и для которой верно следующее соотношение

      dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).} 

      Для отображений

      Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}  в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}  называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}  такой, что выполняется условие

      dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).} 

      Связанные определения

      • Отображение f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}  называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}  если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} .

      Свойства

      История

      Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx{\displaystyle dx}  применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

      Вариации и обобщения

      Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

      Литература

      • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

      ru-wiki.org

      Дифференциал функции: основные понятия и определения

      Пусть функция в точке имеет отличную от нуля производную

         

      Тогда в некоторой окрестности этой точки отношение

         

      где при Тому приращение функции можно представить в виде:

         

      При этом величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем и бесконечно малая поэтому величину называют главной частью приращения функции .

      Замечание. Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

      Найдем дифференциал независимой переменной то есть дифференциал функции Так как получаем, что

         

      то

         

      То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

         

      Тогда формула для дифференциала перепишется в виде:

         

      Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной указанной функции на дифференциал независимой переменной.

      Геометрический и механический смыслы дифференциала функции

      Геометрически дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная получает приращение .

      Механический смысл дифференциала. Пусть материальная точка двигается по закону Дифференциал функции равен:

         

      Для фиксированных значений и – это тот путь, который бы прошла материальная точка за время в случае, если она будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянною скоростью

      Стоит отметить, что фактический путь в случае неравномерного движения материальной точки, в отличии от дифференциала не является линейной функцией времени а поэтому отличается от пути Но все же, если время является достаточно малым, то скорость движения существенно не изменяется и поэтому движение точки на промежутке времени от до есть практически равномерным.

      Основные формулы дифференциала

      Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что а также соответствующие формулы для производных.

      Рассмотрим две дифференцируемые функции и Тогда имеют место следующие равенства:

      ru.solverbook.com