Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… – Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ – ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ – Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΡ‚Π°ΠΈΠΊΠ° – Π“Π”Π— ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠ½Π»

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы, произвСдСния ΠΈ частного ΠΎΡ‚ дСлСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ свойства ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования.

1.

. (1)

2.

. (2)

3.

(3)

4.

(4)

4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности точкиявляСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, Π° Π² самой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅– Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… функциях ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ

. НайдСм связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прямой ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

. (1)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1) слСдуСт ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π² Π΅Π΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², связанных ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.БлоТнойназываСтся функция, которая зависит ΠΎΡ‚ своСго Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эту Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ посрСдством ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°- слоТная функция с ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌΠΈ нСзависимым Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ

.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Если функцияимССт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π° функцияимССт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ слоТная функцияимССт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, которая находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

. (2)

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Π’ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° функция– ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅.

.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² силу сущСствования ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ функцияявляСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π² рассматриваСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ прислСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° продолТая Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

.

5. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ сСйчас Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для диффСрСнцирования основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» совмСстно с Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

  1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (1)

  1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

. (2)

3. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с вСщСствСнным ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

. (3)

Π’ частном случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°

= Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число

. (4)

4. Для получСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½

. (5)

Π’ частном случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°

. (6)

5. Для получСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (1)

Π’ частном случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°

. (2)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

6. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (9)

7. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (10)

8. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (11)

9. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ диффСрСнцирования частного ΠΎΡ‚ дСлСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (12)

10. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅, Π°. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ

, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (3.1) ΠΈ (9), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (13)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π±Ρ‹Π»ΠΎ использовано свойство Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

11. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅, Π°. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (3.1) ΠΈ (10), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (14)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π±Ρ‹Π»ΠΎ использовано свойство Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

12. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅, Π°. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (3.1) ΠΈ (11), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (15)

13. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅, Π°. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (3.1) ΠΈ (12), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

. (16)

14. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ гипСрболичСский синус опрСдСляСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

, Ρ‚ΠΎ

. (17)

15. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ гипСрболичСский косинус опрСдСляСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

, Ρ‚ΠΎ

. (18)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ гипСрболичСского синуса ΠΈ косинуса прСдставлСны Π½Π° рис. 1.

Рис. 1. Бинус ΠΈ косинус гипСрболичСскиС1

16. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ гипСрболичСский тангСнс опрСдСляСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

, Ρ‚ΠΎ

. (19)

17. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ гипСрболичСский котангСнс опрСдСляСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

, Ρ‚ΠΎ

. (20) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ гипСрболичСского тангСнса ΠΈ котангСнса прСдставлСны Π½Π° рис. 2.

Рис. 2. ВангСнс ΠΈ котангСнс гипСрболичСскиС2

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… прСдставлСны Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°

studfiles.net

Полная производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Ѐункция Π³Π΄Π΅ называСтся слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ

Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ зависят Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ производная рассматриваСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ задаСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

Β  Β 

Если ΠΆΠ΅ Π° Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (1) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Β  Β 

Π’ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… (1), (2) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  1
Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Найти ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ссли
РСшСниС Находим частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, согласно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (1), ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  2
Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Найти ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ссли
РСшСниС Π˜ΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Β  Β 

Находим частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅:

Β  Β 

Β  Β 

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

ru.solverbook.com

ВнСклассный ΡƒΡ€ΠΎΠΊ – Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования (нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования (нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ)

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ – это вычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Β 

1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования – Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅. Π˜Ρ… Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π·ΡƒΠ±Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Поняв Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ закономСрности, Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅.

Β 

1) НачнСм с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (kx + m)β€² = k.
Π•Π΅ частными случаями ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ xβ€² = 1 ΠΈ Cβ€² = 0.

Поясним.

Π’ любой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρƒ = kx + m производная Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту k.

НапримСр, Π΄Π°Π½Π° функция Ρƒ = 2Ρ… + 4. Π•Π΅ производная Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2:

(2Ρ… + 4)β€² = 2.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = 9Ρ… + 5 Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 9. И Ρ‚.Π΄.

А Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = 5Ρ…. Для этого прСдставим 5Ρ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (5Ρ… + 0). ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚:

(5Ρ…)β€² = (5Ρ… + 0)β€² = 5.

НаконСц, выясним, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° xβ€².
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°: прСдставим Ρ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 1Ρ… + 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

xβ€² = (1Ρ… + 0)β€²Β  = 1.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹:

xβ€² = 1.

ИдСм дальшС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ k = 0. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° коэффициСнту. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ:

(0 Β· x + m)β€² = 0.

Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ  mβ€² Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ m = C, Π³Π΄Π΅ C – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ постоянная. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ истинС: производная постоянной Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹:

Cβ€² = 0.

Β  Β Β 

raal100.narod.ru

Как ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…? :: SYL.ru

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с функциями часто приходится ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… спСцифику, производя слоТСниС, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ПослСднСС ΠΈΠ· дСйствий Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ вопросы Ρƒ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ, поэтому этот аспСкт стоит Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного

Когда выполняСтся Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для прСобразования выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ числитСля, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ знамСнатСля, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ знамСнатСля. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ частного Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, поэтому Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π³Π»Π°Π·Π°ΠΌΠΈ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Благодаря этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ удаётся привСсти ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π΅ составит большого Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ…ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π³Π΄Π΅ выполняСтся Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, стоит Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:

Богласно заданию, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ, ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ исходный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π² числитСлС оказалось Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ – Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ°. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² вычислСнныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ останСтся лишь произвСсти нСслоТныС вычислСния Π² числитСлС, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

МалСнькиС хитрости

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ стоит Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, благодаря Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ привСдСнная Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ станСт Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколькими способами, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ числитСля Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΉ части, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ число – этот ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌ часто примСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠžΠ”Π—), ΠΈ Ссли ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π΅ создавая нСопрСдСлённостСй Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ вычислСниям.

www.syl.ru


Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *