Формула деление производных – Формулы производный – Производная – Высшая матемтаика – ГДЗ онлайн, скачать решебник, онлайн график, Математика, онл

3. Производная суммы, произведения и частного от деления двух функций

Используем свойства предела для доказательства правил дифференцирования.

1.

. (1)

2.

. (2)

3.

(3)

4.

(4)

4. Производная сложной и обратной функций.

Пусть функция в некоторой окрестности точкиявляется непрерывной, монотонной, а в самой точке- дифференцируемой. Тогда по теореме о непрерывных функциях она имеет обратную. Найдем связь между производными прямой и обратной функций

. (1)

Формулу (1) следует понимать так, что производные в ее левой и правой части вычисляются при значениях аргументов, связанных между собой соотношениями или.

Определение.Сложнойназывается функция, которая зависит от своего аргумента, таким образом, что эту зависимость можно представить посредством как минимум одного промежуточного аргумента.

Например, пусть и. Тогда- сложная функция с промежуточным аргументоми независимым аргументом.

Теорема. Если функцияимеет производнуюв точке

, а функцияимеет производнуюв точке, соответствующей точке, то сложная функцияимеет производнуюв точке, которая находится по формуле

. (2)

Доказательство

В окрестности точки дадим приращениеаргументу. Тогда промежуточный аргументполучит приращение, а функция- приращение

.

.

Поскольку в силу существования производной функцияявляется непрерывной в рассматриваемой точке, то приследует, что. Тогда продолжая выкладки, получаем

.

5. Таблица производных

Получим сейчас формулы для дифференцирования основных элементарных функций. Знание этих формул совместно с ранее полученными правилами дифференцирования позволит нам выполнять дифференцирование элементарных функций.

  1. Пусть . Применяя формулу (1) получим

. (1)

  1. Пусть . Тогда

. (2)

3. Получим производную степенной функции

с вещественным показателем степени. При этом воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин.

. (3)

В частном случае, когда = целое число

. (4)

4. Для получения формулы дифференцирования показательной функции (также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин

. (5)

В частном случае, когда

. (6)

5. Для получения формулы дифференцирования логарифмической функции (также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин. В результате получим

. (1)

В частном случае, когда

. (2)

Перейдем теперь к вычислению производных тригонометрических функций.

6. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим

. (9)

7. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим

. (10)

8. Найдем производную функции . Пользуясь правилами дифференцирования, получим

. (11)

9. Найдем производную функции . Пользуясь правилом дифференцирования частного от деления двух функций, получим

. (12)

10. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (9), получим

. (13)

Здесь было использовано свойство функции на промежутке.

11. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (10), получим

. (14)

Здесь было использовано свойство функции на промежутке.

12. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (11), получим

. (15)

13. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (12), получим

. (16)

14. Так как гиперболический синус определяется соотношением

, то

. (17)

15. Так как гиперболический косинус определяется соотношением

, то

. (18)

Графики гиперболического синуса и косинуса представлены на рис. 1.

Рис. 1. Синус и косинус гиперболические1

16. Так как гиперболический тангенс определяется соотношением

, то

. (19)

17. Так как гиперболический котангенс определяется соотношением

, то

. (20) Графики гиперболического тангенса и котангенса представлены на рис. 2.

Рис. 2. Тангенс и котангенс гиперболические2

Результаты вычисления производных представлены в таблице.

Таблица

studfiles.net

Полная производная функции, формула и примеры

Функция где называется сложной функцией переменных и

В случае, когда функции и зависят только от переменной то есть то производная рассматриваемой функции по независимой переменной задается соотношением:

   

Если же а то формула (1) принимает вид:

   

В формулах (1), (2) выражение называется полной производной функции

ПРИМЕР 1
Задание Найти полную производную функции если
Решение Находим частные производные:

   

   

   

   

Тогда, согласно формуле (1), имеем:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти полную производную функции если
Решение Искомую производную будем находить по следующей формуле:

   

Находим частные производные:

   

   

Итак, имеем:

   

   

Ответ

ru.solverbook.com

Внеклассный урок - Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)

Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)

Дифференцирование – это вычисление производной.

 

1. Формулы дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

 

1) Начнем с формулы (kx + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x′ = 1 и C′ = 0.

Поясним.

В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.

Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

(2х + 4)′ = 2.

Производная функции у = 9х + 5 в любой точке равна 9. И т.д.

А давайте найдем производную функции у = 5х. Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

(5х)′ = (5х + 0)′ = 5.

Наконец, выясним, чему равна x′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:

x′ = (1х + 0)′  = 1.

Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:

x′ = 1.

Идем дальше. Пусть k = 0. Мы знаем, что производная равна коэффициенту. То есть:

(0 · x + m)′ = 0.

Но тогда получается, что  m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы:

C′ = 0.

 

  

raal100.narod.ru

Как осуществить деление производных? :: SYL.ru

При работе с функциями часто приходится учитывать их специфику, производя сложение, умножение или деление производных. Последнее из действий чаще всего вызывает вопросы у обучающегося, поэтому этот аспект стоит рассмотреть подробнее.

Производная частного

Когда выполняется деление производных, формула для преобразования выглядит как разность производной числителя, помноженного на знаменатель, и производной знаменателя, умноженного на числитель, и поделённое на квадрат знаменателя. При этом необходимо учитывать, что значение в нижней части дроби должно быть не равным нулю. При решении первых примеров преобразование производной частного нередко возникает проблема, поэтому лучше всего иметь перед глазами эту формулу:

Благодаря этой формуле удаётся привести пример в более простую форму, которую можно разделить на табличные функции производных, после чего решить данную задачу не составит большого труда.

Пример решения

В качестве примера, демонстрирующего ход решения, где выполняется деление производных, стоит рассмотреть следующий:

Согласно заданию, необходимо найти производную данного выражения. Воспользовавшись формулой, упрощающей деление производных, преобразуем исходный пример к следующему виду:

В результате в числителе оказалось две производные табличного вида, значения которых можно вычислить без дополнительных преобразований. В первом случае результатом будет единица, во втором - двойка. Подставив вычисленные данные в пример, получим дробь, в которой останется лишь произвести несложные вычисления в числителе, получив итоговый результат:

Маленькие хитрости

Перед применением формулы стоит внимательно посмотреть на деление производных. В некоторых случаях дробь можно упростить, благодаря чему приведенная в начале формула может оказаться ненужной или станет более простой. Упрощение дроби можно выполнить несколькими способами, включая деление числителя на знаменатель с целью определения целой части, а также домножением обеих частей дроби на одно и то же ненулевое число - этот приём часто применяется при наличии иррациональности под знаком производной.

Стоит отметить, что перед вначале необходимо проверить пример на наличие решения. Для этого нужно найти область допустимых значений (ОДЗ), и если она будет существовать, не создавая неопределённостей различного вида, можно приступать к вычислениям.

www.syl.ru