Функция стремится к нулю – 1.Определение функции. Способы и задание функции. Предел функции стремящимся к x0 и плюс минус бесконечности

Содержание

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции

Пусть x0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞, –∞ или +∞.

Определение бесконечно малой функции
Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен нулю:
.

Определение бесконечно большой функции
Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен бесконечности:
.

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0 является бесконечно малой функцией при x → x0.

Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции.

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x0, на бесконечно малую, при x → x

0, является бесконечно малой функцией при x → x0. Доказательство ⇓

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x0.
Доказательство ⇓

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x0, и бесконечно большой функции, при x → x0, является бесконечно большой функцией при x → x0.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x0, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0, то
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:

,
а функция является бесконечно малой при x → x0:
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой  , то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.

Это свойство имеет два частных случая.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если , то и .
Если , то и .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,   .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так:

.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
,  или  .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,   ,
,   .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Доказательство свойств и теорем

Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Формулировка ⇑

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно малой:
.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Доказательство теоремы о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Формулировка ⇑

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :

при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Формулировка ⇑

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :

при .

Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами:
,   .

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Формулировка ⇑

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем   и  .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
,   .

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

1.Определение функции. Способы и задание функции. Предел функции стремящимся к x0 и плюс минус бесконечности

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Пишут:

Пишут:

, если

r нечётно, и , еслиr чётно.

2. Односторонние пределы .

Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функциии обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции

отличаются друг от друга:

Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует.3. Теоремы о пределах функции

Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.

1. Предел константы равен самой этой константе:

с = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k • f (х)] = k • f (х).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] = f (х) ±g (x).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] = f (х) •g (x).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

4. Первый классический предел

Первый замечательный предел:

5 второй класс предел .

Второй замечательный пределимеет вид:

или в другой записи

В случае второго

замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

6. Бесконечно малая функция

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестноститочки,, за исключением, быть может, самой точки. Функцияназывается бесконечно малой при, стремящемся к, если. Если— бесконечно малая в точке, то для любого положительного числа, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, справедливо неравенство. Неравенствадля всех, эквивалентные неравенствам,, означают, что для любогосуществует такое, что дляграфик функции расположен на плоскости в прямоугольнике. Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию. При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.

studfiles.net

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ - это... Что такое БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ?


БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ

функция переменного х, к-рая при данном процессе изменения хстановится и остается по абсолютной величине меньше любого заданного числа. Точнее, функция , определенная в окрестности точки х 0, наз. бесконечно малой функцией при х, стремящемся к х 0 , если для любого числа найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется . Этот факт записывается так:


Символ


напр., означает, что для любого найдется такое что Для всех выполняется неравенство . Понятие Б. м. ф. может быть положено в основу общего определения предела функции. Именно, предел функции при конечен и равен Атогда и только тогда, когда


т. е. функция - А есть Б. м. ф. См. также ст. Бесконечно малых исчисление. В. И. Битюцков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

  • БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ
  • БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ИЗГИБАНИЕ

Смотреть что такое "БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • Бесконечно малая величина — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1… …   Википедия

  • Бесконечно малая — величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление бесконечно малых и… …   Википедия

  • Бесконечно малая последовательность — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Бесконечно малая и бесконечно большая — Бесконечно малая (величина)  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая (величина)  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1… …   Википедия

  • Бесконечно малая —         в математике, переменная величина, стремящаяся к Пределу, равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y = 1/x… …   Большая советская энциклопедия

  • Бесконечно большая величина — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Бесконечно большая — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Бесконечно большая —         в математике, переменная величина, которая в данном процессе изменения становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых (См.… …   Большая советская энциклопедия

  • Бесконечные величины — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Лопиталя правило — В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… …   Википедия

dic.academic.ru

стремится к нулю — как понять функция стремится к нулю — 22 ответа



В разделе Естественные науки на вопрос как понять функция стремится к нулю заданный автором Пользователь удален лучший ответ это Понятие функции: это правило, которое каждому значению "независимой переменной" х сопоставляет "значение функции", число у. Пишут: у (х) . Пример: y=sin x.Величины х и у не зря называют "переменными", часто подразумевают, что функция описывает некоторый процесс, например, если в качестве х взято время (обычно обозначают t ), то функцией y(t) будет длина пути, который пройдёт тело за время . Теперь о том, что такое "стремится". Пусть время ПРИБЛИЖАЕТСЯ к 8 часам, а поезд ПРИБЛИЖАЕТСЯ к станции. Тогда можно сказать, что t СТРЕМИТСЯ к 8, а расстояние y(t) от поезда до станции СТРЕМИТСЯ к нулю.Если нарисовать график движения поезда: по оси абсцисс откладывать время, а по оси ординат - расстояние поезда до стандии, то будет видно, что по мере приближения t всё ближе и ближе к значению t=8, на кривой у=у (t) точка с координатами (t; у (t)) будет приближаться к точке с координатами (8;0).

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: как понять функция стремится к нулю

Ответ от Антон Кубышев[мастер]
бесконечно убывает, но никогда не равно нулю

Ответ от Проспиртоваться[мастер]
при возрастании Х игрек стремится к 0 (например х=2 у=0.5 х=3 у=0.3)

Ответ от Кровососный[гуру]
при изменения переменой в заданных пределах, например Х стремится к бесконечности от 0 до бесконечности, функция У уменьшается до бесконечности. У=1/Х


Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Бесконечно малая и бесконечно большая на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Бесконечно малая и бесконечно большая

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Бесконечно большие и бесконечно малые функции (Лекция №2)

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

  1. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
  2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
  3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
  4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

  1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
  2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x.

Примеры.

  1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .
  2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

  1. .
  2. .
  3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

.

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример..

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c2≠0.

Примеры.

  1. .
  2. .
  3. Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→1, то .

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0, следовательно, по теореме 5 , или .

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→aслева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

  1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом

    Найдем пределы функции f(x) при x→3. Очевидно, , а .

  2. .
  3. .

ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Условные выражения

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность .

  1. .
  2. .

    При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x3 – 6x2 + 11x– 6, то при делении получим

  3. .

II. Неопределенность .

  1. .

    При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

  2. .
  3. .
  4. .

При вычислении предела воспользовались равенством ,если x<0.

Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .

III. Неопределенность 0 ·∞.

.

IV. Неопределенность ∞ –∞.

  1. .

www.toehelp.ru

Какая функция называется бесконечно малой? — КиберПедия

 

 

 

 

7. Если функция α = α(x)стремится к нулю при x->a, то функция y(x)стремится к

+ A бесконечности;

B нулю;

C единице;

D верного ответа нет.

8. Чтобы раскрыть неопределенность вида 0/0 необходимо выражение …

A разложить на множители и упростить выражение;

B почленно каждое слагаемое поделить на х наибольшей степени;

+ C верного ответа нет.

9. Чтобы раскрыть неопределенность вида необходимо выражение …

A разложить на множители и упростить выражение;

+ B почленно каждое слагаемое поделить на х наибольшей степени;

C верного ответа нет.

1. Производная функции – это …

A совокупность всех первообразных

B предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала

+ C предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении последнего к нул

D верного ответа нет.

Геометрическая интерпретация производной

A площадь криволинейной трапеции;

+ B семейство интегральных кривых;

C криволинейная трапеция;

D угловой коэффициент касательной к графику функции.

Производная произведения двух функций

 

 

 

верного ответа нет.

Выберите верную трактовку производной функции

 

 

 

 

Найдите производную функци

 

 

 

верного ответа нет.

Вычислите производную функци

 

 

 

 

Дифференциал аргумента представляет собой

 

 

 

 

Дифференциал функции представляет собой

 

 

 

 

Для любой непрерывной функции всегда существует

+ A бесконечное множество первообразных;

B только одна первообразная;

C две различных первообразных, которые отличаются знаком, стоящим перед первым слагаемым;

D верного ответа нет.

Найдите общий вид первообразных для функци

A

B верного ответа нет

+ C

Укажите функцию, для которой является первообразно

 

 

 

 

Какая из данных функций не является первообразной для функци

 

 

 

D верного ответа нет

5. Для функции f(x)= 5x4-3x2+1 найдите ее первообразную, если F(2)=20

A F(x)= 5x5-3x3-2

+ B F(x)= x5-x3+x-6

C F(x)= -x5+x3-x+1

D верного ответа нет.

6. Дана функция f(x)=x+3. Известно, что F(-2)=1, где F(x)- первообразная функции. Найдите F(-1).



A 2,5;

B 1;

+ C -2,5;

D 5.

7. Для функции f(x)= -10+x2, найдите первообразную, график которой проходит через точку M (4;-15)

 

 

 

D верного ответа нет.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется

A первообразная функции f(x)

B функция, производная которой равна функции f(x)

+ C множество всех первообразных

D площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией f(x)

2. Неопределенный интеграл от функции f(x) это …

 

 

 

 

3. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой …

A площадь криволинейной трапеции;

+ B семейство интегральных кривых;

C криволинейную трапецию;

D угловой коэффициент касательной к графику функции.

Какой из методов применим для решения интеграла

A метод замены переменной;

+B метод интегрирования по частям;

C метод непосредственного интегрирования;

D верного ответа нет.

cyberpedia.su

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - это... Что такое БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ?


БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ

функция переменного , к-рая в данном процессе изменения становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция , определенная в окрестности точки , наз. бесконечно большой функцией при , стремящемся к , если для любого числа найдется такое число d = d (M)>0, что для всех и таких, что выполняется неравенство Этот факт записывается так:


Аналогичным образом определяются


Напр.,


означает, что для любого найдется такое , что для всех выполняется неравенство . Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функций, т. к. если есть Б. б. ф., то функция является бесконечно Малой. В. И. Битюцков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

  • БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ
  • БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ

Смотреть что такое "БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • Бесконечно большая величина — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Бесконечно большая — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Бесконечно малая и бесконечно большая — Бесконечно малая (величина)  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая (величина)  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1… …   Википедия

  • Бесконечно большая —         в математике, переменная величина, которая в данном процессе изменения становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых (См.… …   Большая советская энциклопедия

  • Бесконечно малая величина — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1… …   Википедия

  • Бесконечно малая — величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление бесконечно малых и… …   Википедия

  • Бесконечно малая последовательность — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Бесконечно малая —         в математике, переменная величина, стремящаяся к Пределу, равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y = 1/x… …   Большая советская энциклопедия

  • Бесконечные величины — Бесконечно малая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина  числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание 1 Исчисление… …   Википедия

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

dic.academic.ru