Интегралы неопределенные и определенные – Конспект лекции_5 Неопределённый и определённый интегралы

Конспект лекции_5 Неопределённый и определённый интегралы

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ

ИНТЕГРАЛЫ

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Неопределённый и определённый интегралы

  1. Первообразная функция и неопределённый интеграл

В дифференциальном исчислении решается задача нахождения производной или дифференциала данной функции. Пусть дана функция . Тогда по определению производной . Обозначим .

В интегральном исчислении решается задача, обратная задаче нахождения производной: отыскание функции

по заданной её производной . Таким образом, для заданной функциинужно найти такую функцию , чтобы .

Функция называется первообразной функцией для функции на некотором множествеD, если на этом множестве .

Если есть первообразная функция для функции , то каждая из функций , где C - произвольная постоянная, будет также первообразной для функции

, так как

.

Таким образом, если функция имеет хотя бы одну первообразную функцию, то она может иметь бесчисленное множество первообразных функций и все они отличаются одна от другой на постоянную величину.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается . Процесс нахождения первообразной функции называетсяинтегрированием. Переменная х называется переменной интегрирования, функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dxподынтегральным выражением.

Неопределённый интеграл обладает свойствами, использование которых в значительной степени может упростить интегрирование функций.

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е. .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. если ,то при замене переменной интегрирования х на

t . Такое свойство называетсяинвариантностью формулы интегрирования.

  1. Таблица основных интегралов

Интегралы данной таблицы называются табличными. Каждая из формул таблицы справедлива в области определения подынтегральной функции.

  1. Основные методы интегрирования

При интегрировании функций не всегда можно сразу использовать таблицу интегралов. Как правило, вначале нужно данный интеграл преобразовать таким образом, чтобы свести его к одной или нескольким формулам таблицы. Для этого используются специальные методы интегрирования, основными из которых являются непосредственное интегрирование, замена переменной (или метод подстановки), метод интегрирования по частям.

Суть метода непосредственного интегрирования состоит в том, что данный интеграл с помощью алгебраических преобразований и свойств неопределённого интеграла сводится к табличным интегралам.

Примеры 1 –3. Найти неопределённые интегралы:

а) ; б); в).

Решение. а) ;

б) =

;

в) =

.

Если интеграл непосредственно не находится, то во многих случаях результат может быть достигнут с помощью метода замены переменной (подстановки). Данный метод помогает значительно упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к одной из формул таблицы.

Если подынтегральная функция представляет собой дробь, у которой числитель есть производная знаменателя, то такой интеграл равен логарифму натуральному от абсолютной величины знаменателя, т.е. .

Примеры 4 – 7. Найти интегралы: а)

; б); в); г).

Решение. а) {заменимu=3x, тогда du=3dx,

=;

б) ={заменимu=3x, du=dx, dx=du}=

=;

в) ={u=3x4, du=3dx,

=

=;

г) ={du=2xdx, }=

=.

Для нахождения интеграла вида используетсяформула интегрирования по частям . Если в результате получилось, что интеграл в правой части формулы проще, чем в левой, то применение этой формулы оправдано. Обычно в подынтегральном выражении за функциюu принимают тот множитель, который после его дифференцирования становится более простым. Оставшуюся часть подынтегрального выражения принимают за дифференциал dv некоторой функции v.

При использовании данного метода интегрирования удобно пользоваться следующими рекомендациями:

в интегралах вида ,,имеет смысл положитьu=P(x), а в качестве dv взять оставшуюся часть подынтегрального выражения;

в интегралах вида ,,,,следует положитьdv=P(x)dx, а оставшуюся часть подынтегрального выражения обозначить через u;

в интегралах вида ,можно положить, а оставшуюся часть подынтегрального выражения принять заdv.

Примеры 8 – 9. Найти интегралы: а) ; б)

.

Решение. а) =

=;

б) ==

=.

  1. Определённый интеграл и его основные свойства

Пусть функция

определена на отрезке. Выполним следующие действия.

Разобьём отрезок точками… ,наn отрезков ,, … ,, которые называются частичными.

В каждом частичном отрезке

произвольно выберем точку, вычислим значение функции в этой точкеи произведение, где.

Если существует предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек, то он называетсяопределённым интегралом от функции на отрезкеи обозначается

.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называетсяподынтегральной функцией, выражение -подынтегральным выражением, xпеременной интегрирования, -отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция. Фигура, ограниченная сверху графиком функции, снизу осьюOx, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

Основными свойствами определённого интеграла являются следующие:

постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е. ;

определённый интеграл от алгебраической суммы непрерывных на отрезке функцийиравен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

;

если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит знак на противоположный, т.е. ;

если пределы интегрирования равны между собой, то определённый интеграл равен нулю, т.е. ;

определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. …;

если отрезок интегрирования разбит на две частиии если существуют интегралыи, то

.

Для вычисления определённых интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

,

где , т.е.- любая первообразная функция для.

  1. Методы вычисления определённых интегралов

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подста-

новки) и интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры 10-11. Вычислить интегралы: а) ; б).

Решение. а) =;

б) =.

Метод замены переменной в определённом интеграле предполагает следующее. Пусть выполнены условия:

функция непрерывна на отрезке;

функция определена на отрезкеи имеет на нём непрерывную производную;

, .

Тогда определённый интеграл может быть вычислен с помощью введения новой переменной и при этом справедлива формула. Часто вместо заменыприменяют обратную замену.

Примеры 12–13. Вычислить интегралы: а); б).

Решение. а) Выполним замену ,. Вычислим пределы интегрирования для переменнойt:

Тогда =.

б) Выполним замену и продифференцируем обе части равенства:,. Изменим пределы интегрирования:

В результате =

.

Пусть функции иимеют непрерывные производные на отрезке. Тогда для определённого интеграла справедливаформула интегрирования по частям .

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение. Положим u=x, тогда du=dx. Оставшуюся часть подынтегрального выражения примем за dv: . Проинтегрируем это выражение:,. Тогда по формуле интегрирования по частям получим==

  1. Вычисление площадей плоских фигур

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс, равна определённому интегралу от функции :. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то площадь такой трапеции вычисляется по формуле:.

Пусть фигура ограничена снизу графиком функции , сверху – графиком функции, слева – прямойx=a и справа – прямой x=b.

Тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле: .

Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,.

studfiles.net

Неопределенный и определенный интегралы

Задача восстановления функции по ее производной

В дифференциальном исчислении рассматривались задачи, решение которых требовало отыскания производной данной функции. В ряде случаев приходится решать обратную задачу: по заданной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Задачи такого рода решаются в разделе математического анализа, называемом интегральным исчислением. Методы интегрального исчисления позволяют решать задачи на вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел и другие геометрические и физические задачи.

Пример 1. Пусть скорость [cbm]{v}[/cbm] движения точки в момент времени [cbm]{t}[/cbm] равна [cbm]2t[/cbm] . Найдем выражение для координаты точки в момент времени [cbm]{t}[/cbm] (точка движется по прямой).

Решение. Известно, что [cbm]v=\frac{dx}{dt}[/cbm] . Так как в данном случае [cbm]\frac{dx}{dt}=2t[/cbm] , то ответом к задаче могут быть функции [cbm]x=t^2;[/cbm] [cbm]x=t^2+3[/cbm] и т.д.; в общем виде ответ на поставленный вопрос записывается в виде [cbm]x=t^2+C[/cbm] , где [cbm]C[/cbm] — произвольная постоянная.

Из приведенного примера видно, что обратная задача имеет бесконечное множество решений. Чтобы получить определенный закон движения, необходимо знать, например, положение точки в момент времени [cbm]t=0[/cbm] . Если при [cbm]t=0[/cbm] имеем [cbm]x=0[/cbm] , то [cbm]0=0+C[/cbm] , и потому [cbm]C=0[/cbm] .

Перемещение точки за промежуток времени [cbm][a;b][/cbm] равно [cbm](b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2[/cbm] , и, следовательно, оно не зависит от [cbm]C[/cbm] .


Первообразная функция

Определение 1. Пусть на некотором промежутке [cbm]X[/cbm] задана функция [cbm]y=f(x)[/cbm] . Функция [cbm]y=F(x)[/cbm] называется первообразной для [cbm]f(x)[/cbm] на этом промежутке, если для всех [cbm]x\in X[/cbm]

[cbm]F'(x)=f(x).[/cbm]

Термин "первообразная" был введен французским математиком Ж. Л. Лагранжем (1736—1813).

Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной из них.

Теорема 1. Если функция [cbm]y=f(x)[/cbm] имеет на промежутке [cbm]X[/cbm] первообразную [cbm]F(x)[/cbm] , то и все функции вида [cbm]F(x)+C[/cbm] будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная [cbm]\Phi(x)[/cbm] для функции [cbm]y=f(x),\,x\in X[/cbm] , может быть представлена в виде [cbm]\Phi(x)+C[/cbm] , где [cbm]F(x)[/cbm] — одна из первообразных функций, а [cbm]C[/cbm] — произвольная постоянная.

Доказательство. По определению первообразной имеем [cbm]F'(x)=f(x)[/cbm] . Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем:

[cbm](F(x)+C)'=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).[/cbm]

Это и означает, что [cbm]F(x)+C[/cbm] является первообразной для [cbm]y=f(x)[/cbm] на промежутке [cbm]X[/cbm] .

Покажем теперь, что если функция [cbm]y=f(x)[/cbm] задана на промежутке [cbm]F[/cbm] и [cbm]F(x)[/cbm] — одна из первообразных для [cbm]f(x)[/cbm] , то любая первообразная [cbm]\Phi(x)[/cbm] может быть представлена в виде [cbm]\Phi(x)=F(x)+C[/cbm] .

В самом деле, по определению первообразной имеем: [cbm]\Phi'(x)=f(x)[/cbm] и [cbm]F'(x)=f(x)[/cbm] . Но две функции, имеющие на промежутке [cbm]X[/cbm] равные производные, отличаются лишь на постоянное слагаемое. Значит, [cbm]\Phi(x)=F(x)+C[/cbm] , что и требовалось доказать.


Определения неопределенного и определенного интегралов

Определение 2. Множество всех первообразных для функции [cbm]y=f(x)[/cbm] на промежутке [cbm]X[/cbm] называется неопределенным интегралом для [cbm]f(x)[/cbm] и обозначается [cbm]\textstyle{\int f(x)\,dx}[/cbm] .

Функцию [cbm]y=f(x)[/cbm] называют подынтегральной функцией для [cbm]\textstyle{\int f(x)\,dx}[/cbm] , а произведение [cbm]f(x)\,dx[/cbm] — подынтегральным выражением.

Таким образом, [cbm]\int f(x)\,dx=\{F(x)+C\mid C\in \mathbb{R}\}[/cbm] . На практике принята более короткая запись: [cbm]\int f(x)\,dx=F(x)+C[/cbm] .

Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Мы видели, что если функция имеет хоть одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] . Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной [cbm]C[/cbm] . В самом деле, если [cbm]\Phi(x)=F(x)+C[/cbm] , то

[cbm]\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).[/cbm]

Итак, [cbm]\Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a)[/cbm] , что и требовалось доказать.

Поскольку разность значений первообразной в точках [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] не зависит от того, какую именно первообразную функции [cbm]y=f(x)[/cbm] мы выбираем, эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку [cbm][a;b][/cbm] .

Определение 3. Пусть функция [cbm]y=f(x)[/cbm] задана на отрезке [cbm][a;b][/cbm] и имеет на нем первообразную [cbm]y=F(x)[/cbm] . Разность [cbm]F(b)-F(a)[/cbm] называют определенным интегралом функции [cbm]f(x)[/cbm] по отрезку [cbm][a;b][/cbm] и обозначают [cbm]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}[/cbm] . Итак,

[cbm]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).[/cbm]

Разность [cbm]F(b)-F(a)[/cbm] записывают в виде [cbm]\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}[/cbm] , тогда [cbm]\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}}[/cbm] . Числа [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] называют пределами интегрирования.

Например, [cbm]y=\frac{x^3}{3}[/cbm] одна из первообразных для функции [cbm]y=x^2[/cbm] . Поэтому

[cbm]\int\limits_{a}^{b}x^2\,dx=\left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{a}^{b}=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}=\frac{b^3-a^3}{3}\,.[/cbm]

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть [cbm]F(x)[/cbm] является первообразной для [cbm]f(x)[/cbm] . Угловой коэффициент касательной в каждой точке графика функции [cbm]y=F(x)[/cbm] равен [cbm]F'(x)[/cbm] , т. е. [cbm]f(x)[/cbm] . Поэтому задача о нахождении первообразной геометрически означает следующее: зная угловой коэффициент касательной в каждой точке, найти кривую. Так как при параллельном переносе вдоль оси ординат угловой коэффициент касательной в точке с заданной абсциссой не изменяется, то, найдя одну такую кривую, все остальные искомые кривые получают из нее параллельным переносом в направлении оси ординат. Это семейство кривых (рис. 1) и представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.

Определенный интеграл [cbm]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}[/cbm] показывает изменение ординаты каждой из кривых [cbm]y=F(x)+C[/cbm] при переходе от точки [cbm]a[/cbm] к точке [cbm]b[/cbm] . Так как все эти кривые получаются друг из друга параллельным переносом в направлении оси ординат, то указанное изменение ординаты для всех кривых одно и то же (рис. 2).

Рассмотрим задачи, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов.


Задача 1. Пусть точка [cbm]M[/cbm] движется по прямой и пусть известна скорость [cbm]v=v(t)[/cbm] движения этой точки в любой момент [cbm]{x}[/cbm] времени [cbm]{t}[/cbm] промежутка [cbm][a;b][/cbm] . Найдем перемещение [cbm]{s}[/cbm] точки [cbm]M[/cbm] за этот промежуток времени.

Решение. Мы знаем, что если [cbm]x=x(t)[/cbm] — закон движения точки, то [cbm]v(t)=x'(t)[/cbm] . Поэтому [cbm]x(t)[/cbm] — одна из первообразных для функции [cbm]v=v(t)[/cbm] . Но перемещение [cbm]{s}[/cbm] точки [cbm]M[/cbm] за промежуток времени [cbm][a;b][/cbm] равно разности ее координат в моменты времени [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] , т.е. равно [cbm]x(b)-x(a)[/cbm] . Иными словами, это перемещение равно разности значений первообразной для функции [cbm]v=v(t)[/cbm] в моменты времени [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] . Таким образом, [cbm]s=\textstyle{\int\limits_{a}^{b}v(t)\,dt}[/cbm] .

Так, например, скорость тела при свободном падении выражают формулой [cbm]v=gt[/cbm] . В этом случае путь, пройденный падающим телом за [cbm]b[/cbm] секунд с начала падения, вычисляется так:

[cbm]s=\int\limits_{0}^{b}gt\,dt= \left.{\frac{gt^2}{2} }\right|_{0}^{b}= \frac{gb^2}{2}\,.[/cbm]


Задача 2. Найдем площадь криволинейной трапеции [cbm]aA\,Bb[/cbm] , ограниченной осью абсцисс, прямыми [cbm]x=a[/cbm] и [cbm]x=b[/cbm] и графиком непрерывной на [cbm][a;b][/cbm] функции [cbm]y=f(x)[/cbm] , принимающей на этом отрезке только неотрицательные значения (рис. 3).

Прежде чем переходить к решению задачи, заметим, что здесь мы используем наглядное представление о площади плоской фигуры (более детально вопрос об определении площади).

Решение. Обозначим через [cbm]S(x)[/cbm] площадь криволинейной трапеции [cbm]aA\,Nx\,(a<x<b)[/cbm] . Докажем, что [cbm]S'(x)=f(x)[/cbm] .

Дадим абсциссе [cbm]x[/cbm] приращение [cbm]\Delta x[/cbm] (положим для определенности [cbm]\Delta x>0[/cbm] ), тогда площадь получит приращение [cbm]\Delta S[/cbm] . Обозначим через [cbm]m[/cbm] наименьшее значение функции [cbm]y=f(x)[/cbm] на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , а через [cbm]M[/cbm] — наибольшее значение той же функции на том же отрезке. Ясно, что тогда [cbm]m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x[/cbm] , а значит, [cbm]m\leqslant\frac{\Delta S}{\Delta x}\leqslant M[/cbm] .

Если [cbm]\Delta x\to 0[/cbm] , то в силу непрерывности функции [cbm]y=f(x)[/cbm] будем иметь:

[cbm]\lim_{\Delta x\to0}m=\lim_{\Delta x\to0}=f(x).[/cbm]

Значит, существует и [cbm]\lim\frac{\Delta S}{\Delta x}[/cbm] , причем этот предел равен [cbm]f(x)[/cbm] . Таким образом, [cbm]S'(x)=f(x)[/cbm] .

Полученное равенство означает, что [cbm]S(x)[/cbm] — одна из первообразных для функции [cbm]y=f(x)[/cbm] . Поскольку прямая [cbm]x=a[/cbm] "отсекает" от трапеции [cbm]aABb[/cbm] фигуру нулевой площади, то [cbm]S(a)=0[/cbm] . С другой стороны, [cbm]S(b)[/cbm] — площадь всей криволинейной трапеции [cbm]aABb[/cbm] . Значит, искомая площадь [cbm]S[/cbm] равна [cbm](S(b)-S(a))[/cbm] , т.е. равна разности значений одной из первообразных для функции [cbm]y=f(x)[/cbm] в точках [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] . Это означает, что

[cbm]\boldsymbol{S=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.}[/cbm]


Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды [cbm]y=\sin{x}[/cbm] (рис. 4).

Решение. Искомая площадь [cbm]S[/cbm] выражается формулой [cbm]\textstyle{S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx}[/cbm] . Одной из первообразных для функции [cbm]y=\sin{x}[/cbm] является [cbm](-\cos{x})[/cbm] , так как [cbm](-\cos{x})'=\sin{x})[/cbm] . Значит,

[cbm]S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-\cos{x}}\Bigr|_{0}^{\pi}= -(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2.[/cbm]

В заключение данного пункта остановимся на двух свойствах неопределенного интеграла, легко получающихся из определения.

1°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

[cbm]d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x).[/cbm]

Доказательство. Так как [cbm]\textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C}[/cbm] , где [cbm]F'(x)=f(x)[/cbm] , то [cbm]\textstyle{\left(\int f(x)\,dx\right)'= \bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)+C'=f(x)}[/cbm] .

Но тогда [cbm]\textstyle{d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= \left(\int f(x)\,dx\right)'dx=f(x)\,dx}[/cbm] .

Это утверждение часто используется для проверки результата интегрирования. Пусть, например, нужно показать, что

[cbm]\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C\quad (C=\text{const}).[/cbm]

Дифференцируя правую часть равенства, получим подынтегральную функцию:

[cbm]\left(\frac{5}{2}\,x^2+C\right)'=\frac{5}{2}\cdot 2x+0=5x[/cbm] . Значит, [cbm]\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C[/cbm] .

2°. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

[cbm]\int F'(x)\,dx=F(x)+C.[/cbm]

Доказательство. Так как [cbm]\bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)[/cbm] , то по определению неопределенного интеграла [cbm]\textstyle{\int F'(x)\,dx=F(x)+C}[/cbm] , что и требовалось доказать.

Учитывая, что [cbm]F'(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr)[/cbm] , свойство 2° можно записать и так: [cbm]\textstyle{\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C}[/cbm] .


Таблица основных интегралов

Пользуясь свойством 1° из предыдущего пункта, можно по таблице производных составить таблицу основных интегралов. Например, так как

[cbm](\sin{x})'=\cos{x}[/cbm] , то [cbm]\int\cos{x}\,dx=\sin{x}+C.[/cbm] .

Докажем, что [cbm]\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/cbm] . В самом деле, если [cbm]x>0[/cbm] , то [cbm]|x|=x[/cbm] и, следовательно, [cbm]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln{x}\bigr)'=\frac{1}{x}\,[/cbm] .

Если [cbm]x<0[/cbm] , то [cbm]|x|=-x[/cbm] и, следовательно, [cbm]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln(-x)\bigr)'= \frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}[/cbm] .

Итак, [cbm]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\frac{1}{x}[/cbm] , а значит, [cbm]\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/cbm] .

Эту формулу можно применять или на открытом луче [cbm](0;+\infty)[/cbm] , или на открытом луче [cbm](-\infty;0)[/cbm] .

Таблица основных интегралов

[cbm]\begin{aligned}&\boldsymbol{1.}\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol{2.}\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol{3.}\quad \int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol{4.}\quad \int \frac{dx}{x}=\ln{x}+C;\\ &\boldsymbol{5.}\quad \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C; &\quad &\boldsymbol{6.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C;\\ &\boldsymbol{7.}\quad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C; &\quad &\boldsymbol{8.}\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol{9.}\quad \int \sin{x}\,dx=-\cos{x}+C; &\quad &\boldsymbol{10.}\quad \int \cos{x}\,dx=\sin{x}+C;\\ &\boldsymbol{11.}\quad \int \frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C; &\quad &\boldsymbol{12.}\quad \int \frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C;\\ &\boldsymbol{13.}\quad \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\! \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C; &\quad &\boldsymbol{14.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \bigl|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\bigr|+C.\\ \end{aligned}[/cbm]

Заметим, что переменную [cbm]x[/cbm] , входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы [cbm]\textstyle{\int\cos{x}\,dx= \sin{x}+C}[/cbm] можно написать [cbm]\textstyle{\int\cos{t}\,dt= \sin{t}+C}[/cbm] и т.д.


Пример 3. Вычислим неопределённые интегралы от различных дробей:

[cbm]\mathsf{1)}~\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\,;\quad \mathsf{2)}~\int\frac{dx}{x^2+16}\,;\quad \mathsf{3)}~\int\frac{dx}{x^2-16}\,;\quad \mathsf{4)}~\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}\,;\quad \mathsf{5)}~\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}\,.[/cbm]

Решение. 1) Воспользуемся формулой 3 из таблицы интегралов:

[cbm]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}= \int x^{-1/3}\,dx= \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1}+C= \frac{3}{2}\,x^{2/3}+C;[/cbm]

2) Воспользуемся формулой 5: [cbm]\int\frac{dx}{x^2+16}= \int\frac{dx}{x^2+4^2}=\frac{1}{4} \operatorname{arctg}\frac{x}{2}+C;[/cbm] .

3) Воспользуемся формулой 12: [cbm]\int\frac{dx}{x^2-16}= \int\frac{dx}{x^2-4^2}= \frac{1}{8}\ln\!\left|\frac{x-4}{x+4}\right|+C;[/cbm] .

4) Воспользуемся формулой 6: [cbm]\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}= \int\frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{3})^2-x^2}}= \arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}+C;[/cbm] .

5) Воспользуемся формулой 13: [cbm]\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}= \ln\Bigl|x+\sqrt{x^2-3}\Bigr|+C.[/cbm] .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!