История появления алгебры как науки – “Как появилась алгебра Работа учителя ГОУСОШ 1315 г Москвы Мирсалимовой Е.Н.”. Скачать бесплатно и без регистрации.

Содержание

основы и история развития науки. Роль математики в жизни и интересные факты

Математика – точная дисциплина, которую называют царицей всех наук. Принято считать, что первые числа появились тысячи лет тому назад, вместе с речью. По этому поводу Ф. Энгельс писал, что самый древний источник математических знаний – это пальцы рук. Среди самых древних математических документов, дошедших до наших дней, считают записи вавилонян. По оценкам ученых, они сделаны более восьми тысяч лет назад. Математические записи встречаются и у других народов. Так как появилась математика, и кто ее придумал?

История

Никто точно не может сказать, как появилась математика. Сведения о ней содержатся в разных письменах у различных народов. Самые древние сведения, дошедшие до наших дней – клинописные таблички.

Найденные артефакты эпохи Вавилона показывают, что даже шесть тысяч лет тому назад люди вели подсчеты домашних расходов, торговых сделок, решали математические задачки. Позже вавилоняне начали решать сложные алгебраические задачки, кубические и квадратные вычисления.

А как появилась математика с дробями, когда это было? Такие сложные действия люди научились вычислять не сразу, однако уже в Древнем Египте умели проводить вычисления с дробями, у которых в числительном была единица. Десятичные дроби появились благодаря самаркандскому математику Д. ибо-Самосуд аль-Каши пятьсот лет назад. Спустя почти два столетия фламандский математик Стивен ввел их в Европе.

Даже сегодня в математике совершаются различные открытия. Это связано с тем, что математика – наука, которая не стоит на месте, а постоянно движется вперед.

Становление науки

С тех пор, как появилась математика, люди стали более разумными. В давние времена счет был нужен для занятия всеми видами деятельности. Математику применяли в скотоводстве, торговле. Чтобы было удобнее пользоваться счетом, применяли части тела: пальцы рук, ног. Об этом свидетельствуют древние наскальные рисунки, которые изображают числа в виде определенного количества изображенных пальцев рук.

Первые открытия

Многие ученые пытаются разгадать загадку истории – как появилась математика. Однако точную дату возникновения науки никто не может назвать.

Среди всех существующих открытий, самое значимое – изобретение самого числа и четырех основных действий: сложения, вычитания, деления и умножения. Среди геометрических понятий, первыми достижениями стали прямая и окружность. Далее огромный вклад в развитие науки внесли вавилоняне и египтяне примерно три тысячи лет назад. Исходя из этого, отвечая на вопрос, где появилась математика, можно сказать, что она зародилась в Вавилоне, а затем в Египте. Сохранившиеся таблички показывают, какие вычисления проводились в те времена.

Наука в Вавилоне и Египте

В Вавилоне, откуда появилась математика, постоянно разрабатывались исследования, в которых применялись единицы и десятки. Именно вавилонские ученые придумали градусы, разрабатывались системы исчисления. Однако в вавилонской системе не было нуля, из-за чего обозначение некоторых чисел было сложным.

В Египте числа обозначались в виде иероглифов.

До семнадцатого века математика считалась наукой, которая изучает числа, геометрические фигуры, величины. Ее применяли в торговле, астрономии, архитектуре, при проведении земляных работ. И только с восемнадцатого столетия она начала свое бурное развитие.

История о математике

Ученые все еще задаются вопросом, в какой стране появилась математика. Есть свидетельства, показывающие, что простые измерения проводились у инков. Этот народ разработал особую узелковую систему счета, которая позволяла вести подсчеты доходов и расходов.

Из Древнего Египта до нас дошли тексты решения задач. Египтяне знали дроби, проводили расчеты площадей, объемов. Одному из документов более четырех тысяч лет – это папирус Ринда.

Из библиотеки Ашшурбанипала до нас дошли глиняные таблички. Междуречье считалось высокоразвитым. Здесь даже математика была более высокого уровня, чем в других странах.

Не малый вклад в развитие науки сделали древние греки. Около трехсотого года до нашей эры, Евклидий создал манускрипт, посвященный геометрии. Позже вклад в науку внесли другие ученые.

В Китае, примерно в двухсотом году до нашей эры, изучали математику по «Арифметике в девяти главах». Это писание было составлено на основе ранних записей.

Интересные факты

Ниже представлено краткое содержание, как появилась математика, какие с ней связаны интересные факты. Оказывается, что эта наука еще сложнее, чем кажется.

  1. Вся наука математики умещается в 100 000 книг.
  2. Первая женщина-математик – Гипатия, жившая в Древней Византии еще за 500 лет до нашей эры.
  3. Самое загадочное число, с которым связано не только множество математических открытий, но и религиозных писаний – 666.
  4. В парламенте Европы имеется кресло с номером 666, которое всегда пустое.
  5. По всему миру все объекты, которые попадают под номер 666, заменяются на другие цифры. Так, в мире не существует трасс с номером 666, маршруток, кодов телефонов.
  6. Самые первые найденные математические свидетельства были обнаружены в Свазиленде. На кости бабуинов выбиты черточки. Возраст данной находки более 40 000 лет.
  7. У каждого народа есть свое суеверное число. В России – это 13, а в Китае – 4, причем, у китайцев нет квартир с этим номером, в лифте нет четвертого этажа. В Италии не любят 17.
  8. Самые счастливые и популярные цифры по результатам опроса – это 7 и 3. Такие результаты не удивительны, ведь в древней религии с числом 7 связана положительная энергетика.
  9. Самое большое число в мире – это центилион. У него на конце 600 нулей.
  10. Самое малое число, известное ученым, даже не получило название. Это десятичная дробь, у которой после запятой перед единицей стоит сто миллионов триллионов триллионов нулей. Эта цифра не используется математиками, но применяется астрономами при расчетах вероятности формирования новой Вселенной из атома.

Математика в жизни

Ежедневно люди применяют математику и даже не догадываются, что с этой наукой связано много интересного.

Когда-то в Англии жил ученый А. де Муавр. Его заинтересовал факт увеличения продолжительности сна. Ученый заметил, что его сон увеличивается на пятнадцать минут. Как математику, ему стало интересно, к чему это может привести. Ученый подсчитал, когда его сон будет занимать 24 часа. Эта дата выпала на 27 ноября 1754 г. – дату его смерти.

В российских школах число ноль не считается натуральным, а вот в западных – оно относится к множеству натуральных чисел.

Математики всегда пытаются выполнять с цифрами различные действия, даже играя в казино. Оказывается, если сложить все цифры рулетки, то сумма будет 666.

В истории много занимательных математических фактов. К примеру, число пи стали использовать еще в шестом веке до нашей эры, квадратные уравнения появились в Индии в VI веке нашей эры. Древнегреческие ученые писали труды, посвященные математике, на десятки томов. Их работы до сих пор используются учеными.

fb.ru

Презентация на тему: "История возникновения алгебры"

Слайд 1

История возникновения алгебры.

Слайд 2

Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел – о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам, независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре "Общая арифметика". Гамильтон, полагая, что подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру "Наукою чистого времени" – название, которое Морган предлагал изменить на "Исчисление последовательности". Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как "науку о количественных соотношениях".

Слайд 3

Деление алгебры В настоящее время, отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, алгебру делят на низшую и высшую. К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику. К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметрических функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффициентами, и приближённое или аналитическое (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

Слайд 4

Происхождение термина "алгебра" Происхождение самого слова "алгебра" не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово "алгоритм") " Аль-джабр-аль-мукабалла ", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях", но некоторые авторы производят слово "алгебра" от имени математика Гебера , однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Слайд 5

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона , Гипатии .

Слайд 6

Алгебра арабов В Европе алгебра снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин, которые мы находим в их сочинениях, дошедших до нас в большом количестве, – неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков, или, как думают некоторые, получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магоммеду-бен-Муза , жившему около середины IХ-го века в царствованние халифа Аль-Мамуна . Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние сочинения по всем отраслям наук. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в алгебру. Они изучали ее, но не совершенствовали.

Слайд 7

Возрождение алгебры в Европе Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) цифрами, и с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что старейшее арабское сочинение об алгебре Магоммеда-бен-Музы было переведено на итальянский язык, но перевод этот не сохранился до нашего времени. Первым известным печатным трактатом об алгебре является " Summa de Arithmetica , Geometria , Proportioni et Proportionalita ", написанное итальянцем Лукасом дэ Бурго . Первое издание его вышло в 1494 г. и второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась алгебра в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой к второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной А. – общность даваемых ею решений – еще совершенно отсутствует в начале XVI века.

Слайд 8

Развитие алгебры в странах Европы В Германии первое сочинение об алгебре принадлежит Христиану Рудольфу из Иayepa , и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль , независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы. В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об алгебре называется " The Whetstone of Wit ". Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу ; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x ) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. 1

Слайд 9

Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Албер Жирар или Жерар , трактат которого об алгебре появился в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Агличанин Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и

Слайд 10

Приобретение алгеброй законченного вида После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг движется быстрыми шагами вперед, благодаря работам Декарта, Фермата, Валлиса и в особенности Ньютона, не говоря уже о множестве математиков менее знаменитых, но все же подвинувших совокупными усилиями алгебру в течение сравнительно короткого времени на значительную степень выше их предшественников и придавших ей ту форму, которую она сохранила до настоящего времени. Нет возможности в этом кратком очерке обозреть успехи, которым алгебра обязана названным математикам. Мы вкратце только упомянем о главных пунктах дальнейшего быстрого совершенствования алгебры, шедшего шаг за шагом за совершенствованием иных отраслей математики вообще. С этого времени также алгебра входит в более тесную связь с геометрией, после разработки Декартом аналитической геометрии, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII столетии классические труды Эйлера и Лагранжа, изложенные в " Novi Commentarii " первого и в " Traite de la resolution des equations " второго, довели алгебру до высокой степени совершенства. Позже работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли , Сильвестера , Кронекера, Эрмита и др. создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали алгебре высокую степень изящества и простоты.

Слайд 11

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил один частный случай кубического уравнения. Это решение однако не было им опубликовано, но было сообщено одному ученику – Флориде. Последний, находясь в 1535 году в Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математика Тарталью из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешения которых нужно было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Феррео , но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флориде также свои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флориде. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Флориде не мог решить ни одной задачи, предложенной ему его противником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тарталья продолжал, подобно Феррео , скрывать свое открытие, которое очень интересовало Кардано , профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к печати обширное сочинение об арифметике, алгебре и геометрии, в котором он хотел дать также решение уравнений 3-ей степени.

Слайд 12

Но Тарталья отказывался сообщить ему о своем способе. Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что он не откроет способа Тартальи для решения уравнений и запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился, после долгих колебаний, раскрыть свою тайну любопытному математику и показал ему правила решений кубических уравнений, изложенные в стихах, довольно туманно. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел доказательства для них. Не взирая, однако, на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем "формулы Кардано ".

Слайд 13

Вскоре было открыто и решение уравнений четвертой степени. Один итальянский математик предложил задачу, для решения которой известные до той поры правила были недостаточны, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу неразрешимою. Но Кардано предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решать уравнения четвертой степени вообще, сводя их к уравнениям третьей степени. В сочинении Тартальи, напечатанном в 1546 году, мы также находим изложение способа решать не только уравнения первой и второй степени, но и кубические уравнения, причем рассказывается инцидент между автором и Кардано , описанный выше. Сочинение Бомбелли, вышедшее в 1572 г., интересно в том отношении, что рассматривает так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который приводил в смущение Кардано , не сумевшего решить его посредством своего правила, а также указывает на связь этого случая с классическою задачей о трисекции угла.

Слайд 16

Конец.

nsportal.ru

История возникновения алгебры и ее развития

Образование 29 ноября 2013

История возникновения алгебры уходит своими корнями в глубокую древность. Очевидно, ее появление было вызвано и непосредственно связано с первыми астрономическими и другими расчетами, так или иначе использующими натуральные числа и арифметические операции. История возникновения алгебры подтверждается подобными оригинальными записями, найденными среди образцов письменности самых ранних цивилизаций. К примеру, египтяне и вавилоняне уже умели решать простейшие уравнения первой и второй степеней, квадратные уравнения. Но их вычисления носили строго практический характер. История возникновения алгебры, как теоретической науки, приводит нас в античную Грецию. Именно здесь в IV веке появилось первое сочинение, которое являлось непосредственным исследованием абстрактных алгебраических вопросов. Это был трактат мыслителя Диофанта. Здесь уже четко обозначены простейшие алгебраические аксиомы: правила знаков (минус на минус – плюс, и так далее), примеры достаточно сложных задач, исследование числовых степеней, решения вопросов, связанных с теорией чисел и так далее. К сожалению, это единственный труд, который дошел до нас из седых древних времен, да и то не в полном объеме.

Арабская математика

С крушением античной цивилизации под натиском варварских народов теряются и многие ее достижения. В том числе и история алгебры прерывает свое развитие у европейских народов на целое тысячелетие. С VII века центром множества наук, а математики и медицины особенно, становится мусульманский Восток. Собственно, само слово «алгебра», как считается сегодня, происходит от названия трактата арабского ученого Ал-Хорезми «Аль-джабо-аль-мукабалла», что переводилось, как «учение об отношениях, перестановках и решениях». Интересно, что от самого имени этого математика некоторые ученые выводят этимологию слова «алгоритм». Как бы то ни было, но именно арабский мир на долгие столетия становится светочем науки. Вместе с тем восточные последователи, очевидно, опирались на некоторые греческие достижения. Во всяком случае, точно известно, что им были известны труды античных математиков. С одной стороны, мусульманам действительно принадлежит заслуга сохранения для мира античного алгебраического наследия, но вместе с тем, за несколько столетий они так и не внесли в развитие этой науки новых существенных открытий. Математика изучалась, но не совершенствовалась.

Математика и другие цивилизации

Интересно, что история возникновения алгебры вовсе не ограничивается Европой и имеющей с ней связь арабской цивилизацией. Так, существенных результатов в этой науке достигли индийские математики. В частности, именно они ввели понятие «нуля», которое позже через арабский мир пришло в Европу и стало использоваться учеными. Китайцы совершенно независимо, еще на заре нашей эры, научились решать уравнения первой степени. Им были известны иррациональные и отрицательные числа.

Европа возвращает лидерство

Прерванная история развития алгебры вновь начинает свой отсчет уже в Новое время. Первым сочинением после трактата Диофанта считается труд купца из Италии Леонардо, который познакомился с арифметикой и алгеброй, путешествуя по востоку. Постепенное разложение феодализма, а вместе с ним церковной схоластики и догматики, неторопливая поступь капитализма и стремление к территориальным открытиям привели к возрождению все научные отрасли на континенте. И уже спустя пару столетий Европа вновь становится передовым в научном и техническом плане регионом.

Источник: fb.ru Хобби
История вышивки и ее развитие

Вышивка как один из видов декоративного искусства встречается на многих элементах одежды, в составляющих дизайна дома. Это и неудивительно, ведь человеку было всегда свойственно украшать себя, свою одежду и свое жилищ...

Дом и семья
Люрекс - это шик и блеск! История возникновения, разновидности и применение металлизированной нити

Блестящая ткань уже долгие годы остается одним из самых популярных материалов для создания одежды. При ее изготовлении используют нитки люрекс. Они сделаны из тончайших металлических пластин, разрезанных на узкие поло...

Компьютеры
Диспетчер файлов: история возникновения термина и обзор нескольких файловых менеджеров

В современном мире диспетчером файлов называют любой файловый менеджер. Читайте в статье историю возникновения термина и описание нескольких сторонних программ.Исторический экскурс

Компьютеры
Технология Ethernet и ее развитие

Технология Ethernet – самая распространенная  для организации локальных сетей. Сегодня их количество превышает показатель в пять миллионов. Если говорить о компьютерах, которые оснащены сетевыми картами, ра...

Новости и общество
Для чего нужны часы: история возникновения, классификация и виды

Часы в последнее время являются, пожалуй, одним из главных мужских аксессуаров, способных подчеркнуть статус своего владельца. Глядя на успешного и богатого человека, никто не станет раздумывать, зачем нужны часы цено...

Новости и общество
Для чего нужны библиотеки: история возникновения, виды и отзывы

Удивительным созданием людей является книга, и библиотеки – неотъемлемая часть культуры каждой страны. Лихачев Дмитрий Сергеевич однажды верно сказал, что если книгохранилища правильно организовать, то культуру ...

Новости и общество
Экономика Грузии после распада СССР и ее развитие (кратко). Место Грузии в мировой экономике

Экономика Грузии еще во времена вхождения государства в состав СССР индустриализировалась стремительными темпами. С середины 1910-х за 60 лет национальная казна выросла почти в 100 раз. Именно в Грузии были самые боль...

Образование
Значение фразеологизма «Наше вам с кисточкой»: история возникновения, примеры и тонкости употребления

Сейчас значение фразеологизма «Наше вам с кисточкой» окутано тайной. И если человек не знает, что подразумевается, то он и не поймет, к чему это высказывание. Как известно, нет ничего тайного, что не стало...

Образование
Карьера Гитлера: рост и ее развитие. Личностные качества и годы власти мирового диктатора

Адольф Гитлер - значимая фигура в истории мировой политики. Тиран, убийца, диктатор - и это только малый список ассоциаций с его именем. Человек, развязавший Вторую мировую войну и уничтоживший миллионы людей, очень б...

Образование
Персидская держава: история возникновения, быт и культура

Персидская держава оказала огромное влияние на историю Древнего мира. Образованное небольшим племенным союзом государство Ахеменидов просуществовало около двухсот лет. Упоминание о пышности и могуществе страны персов ...

monateka.com

История возникновения алгебры | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

История возникновения алгебры. Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел – о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам, независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре "Общая арифметика". Гамильтон, полагая, что подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру "Наукою чистого времени" – название, которое Морган предлагал изменить на "Исчисление последовательности". Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как "науку о количественных соотношениях". Деление алгебрыВ настоящее время, отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, алгебру делят на низшую и высшую. К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику. К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметрических функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численн

educontest.net

История алгебры • ru.knowledgr.com

Как отрасль математики, алгебра появилась в конце 16-го века с работой Франсуа Виета. Алгебру можно по существу рассмотреть как выполнение вычислений, подобных тем из арифметики, но с нечисловыми математическими объектами. Однако до 19-го века, алгебра состояла по существу из теории уравнений. Например, фундаментальная теорема алгебры принадлежит теории уравнений и, в наше время, не рассмотрена как принадлежащий алгебре.

Эта статья описывает историю теории уравнений, названных здесь «алгебра», от происхождения до появления алгебры как отдельная область математики.

Этимология

Слово «алгебра» получено из арабского слова Аль-Джабр, и это прибывает из трактата, написанного в 820 средневековым персидским математиком, названный, в арабском Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, который может быть переведен как Краткая Книга по Вычислению Завершением и Балансированием. Трактат предусмотрел систематическое решение линейных и квадратных уравнений. Хотя точное значение слова al-jabr все еще неизвестно, большинство историков соглашается, что слово означало что-то как «восстановление», «завершение», «Не бесспорно, что условия al-jabr и средний muqabalah, но обычная интерпретация подобны подразумеваемому в переводе выше. Слово al-jabr по-видимому означало что-то как «восстановление» или «завершение» и, кажется, относится к перемещению вычтенных условий другой стороне уравнения, которое очевидно в трактате; слово muqabalah, как говорят, относится к «сокращению» или «балансирующий» — то есть, отмена подобных условий на противоположных сторонах уравнения». «reuniter сломанных костей» или «костоправа». Термин использован аль-Хваризми, чтобы описать операции, которые он ввел, «сокращение» и «балансирование», обратившись к перемещению вычтенных условий другой стороне уравнения, то есть, отмены подобных условий на противоположных сторонах уравнения.

Стадии алгебры

Алгебраическое выражение

Алгебра не всегда использовала символику, которая теперь повсеместна в математике, скорее это прошло три отличных стадии. Стадии в развитии символической алгебры примерно следующие:

  • Риторическая алгебра, где уравнения написаны в полных предложениях. Например, риторическая форма x + 1 = 2, «Вещь плюс каждый равняется два», или возможно «Вещь плюс 1 равняется 2». Риторическая алгебра была сначала развита древними вавилонянами и осталась доминирующей до 16-го века.
  • Синкопированная алгебра, где некоторая символика используется, но который не содержит всю особенность символической алгебры. Например, может быть ограничение, что вычитание может использоваться только однажды в пределах одной стороны уравнения, которое не имеет место с символической алгеброй. Синкопированное алгебраическое выражение сначала появилось в Arithmetica Диофанта, сопровождаемом Брахмой Брэхмэгапты Sphuta Siddhanta.
  • Символическая алгебра, где полная символика используется. Ранние шаги к этому могут быть замечены в работе нескольких исламских математиков, таких как Ибн аль-Банна и аль-Каласади, хотя полностью символическая алгебра была развита Франсуа Виетом. Позже, Рене Декарт ввел современное примечание и показал, что проблемы, происходящие в геометрии, могут быть выражены и (надо надеяться) решены с точки зрения алгебры (Декартовская геометрия).

Столь же важный как символика или отсутствие этого, которое использовалось в алгебре, была степень уравнений, которые использовались. Квадратные уравнения играли важную роль в ранней алгебре; и всюду по большей части истории, до раннего современного периода, все квадратные уравнения были классифицированы как принадлежащий одной из трех категорий.

где p и q положительные.

Эта trichotomy появляется, потому что у квадратных уравнений формы, с p и q положительный, нет положительных корней.

Промежуточный риторические и синкопированные стадии символической алгебры, геометрическая конструктивная алгебра была развита классическими греческими и ведическими индийскими математиками, в которых алгебраические уравнения были решены через геометрию. Например, уравнение формы было решено, найдя сторону квадрата области A.

Стадии проектирования

В дополнение к трем стадиям выражения алгебраических идей было четыре стадии проектирования в развитии алгебры, которая произошла рядом с изменениями в выражении. Эти четыре стадии были следующие:

Вавилонская алгебра

Происхождение алгебры может быть прослежено до древних вавилонян, которые разработали позиционную систему числа, которая значительно помогла им в решении их риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне не интересовались точными решениями, но приближениями, и таким образом, они будут обычно использовать линейную интерполяцию, чтобы приблизить промежуточные ценности. Одна из самых известных таблеток - таблетка Plimpton 322, создал приблизительно 1900-1600 BCE, который дает стол Пифагорейца, утраивает и представляет часть самой передовой математики до греческой математики.

Вавилонская алгебра была намного более продвинутой, чем египетская алгебра времени; тогда как египтяне были, главным образом, обеспокоены линейными уравнениями, вавилоняне были более обеспокоены квадратными и кубическими уравнениями. Вавилоняне развили гибкие алгебраические операции, с которыми они смогли добавить, равняется, равняется, и умножьте и стороны уравнения подобными количествами, чтобы устранить части и факторы. Они были знакомы со многими простыми формами факторинга, квадратных уравнений с тремя терминами с положительными корнями и многих кубических уравнений, хотя не известно, смогли ли они уменьшить общее кубическое уравнение.

Египетская алгебра

Древняя египетская алгебра имела дело, главным образом, с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарной и развитой математикой к более высокому уровню, чем египтяне.

Папирус Rhind, также известный как Папирус Ahmes, является древним египетским папирусом письменный c. 1650 BCE Ahmes, который расшифровал его от более ранней работы, к которой он датировался между 2000 и 1800 BCE. Это - самый обширный древний египетский математический документ, известный историкам. Папирус Rhind содержит проблемы, где линейные уравнения формы и решены, где a, b, и c известны и x, который упоминается как «ага» или куча, неизвестное. Решения были возможно, но вряд ли, достигнутые при помощи «метода ложного положения» или regula falsi, где сначала определенной стоимостью заменяют в левую сторону уравнения, тогда необходимые арифметические вычисления сделаны, в-третьих результат по сравнению с правой стороной уравнения, и наконец правильный ответ найден с помощью пропорций. В некоторых проблемах автор «проверяет» свое решение, таким образом сочиняя одно из самых ранних известных простых доказательств.

Греческая геометрическая алгебра

Иногда предполагается, что у греков не было алгебры, но это неточно. Ко времени Платона греческая математика претерпела радикальное изменение. Греки создали геометрическую алгебру, где условия были представлены сторонами геометрических объектов, обычно линии, которым связали письма с ними, и с этой новой формой алгебры, они смогли найти решения уравнений при помощи процесса, который они изобрели, известный как «применение областей». «Применение областей» является только частью геометрической алгебры, и это полностью покрыто Элементами Евклида.

Пример геометрической алгебры решил бы линейный топор уравнения = до н.э. Древние греки решили бы это уравнение, смотря на него как на равенство областей, а не как равенство между отношениями a:b и c:x. Греки построили бы прямоугольник со сторонами длины b и c, затем расширили бы сторону прямоугольника к длине a, и наконец они закончат расширенный прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, который является решением.

Цветок Thymaridas

Iamblichus в Introductio arithmatica говорит нам тот Thymaridas (c. 400 BCE – c. 350 BCE), работал с одновременными линейными уравнениями. В частности он создал тогдашнее известное правило, которое было известно как «цветок Thymaridas» или как «цветок Thymaridas», который заявляет что:

или использование современного понятия, решения следующей системы n линейных уравнений в n неизвестных,

x + x + x +... + x = s

x + x = m

x + x = m

.

.

.

x + x = m

Iamblichus продолжает описывать, как некоторые системы линейных уравнений, которые не находятся в этой форме, могут быть помещены в эту форму.

Евклид Александрии

Евклид (греческий язык:) был греческий математик, который процветал в Александрии, Египет, почти наверняка во время господства Птолемея I (323–283 BCE). Ни год, ни место его рождения не были установлены, ни обстоятельства его смерти.

Евклид расценен как «отец геометрии». Его Элементы - самый успешный учебник в истории математики. Хотя он - один из самых известных математиков в истории нет никаких новых открытий, приписанных ему, скорее его помнят за его большие объяснительные навыки. Элементы не, как иногда думается, коллекция всего греческого математического знания к его дате, скорее это - элементарное введение в него.

Элементы

Геометрическая работа греков, символизированных в Элементах Евклида, служила основой для обобщения формул вне решения особых проблем в более общие системы заявления и решения уравнений.

Книга II Элементов содержит четырнадцать суждений, которые во время Евклида были чрезвычайно значительными для того, чтобы сделать геометрическую алгебру. Эти суждения и их результаты - геометрические эквиваленты нашей современной символической алгебры и тригонометрии. Сегодня, используя современную символическую алгебру, мы позволяем символам представлять известные и неизвестные величины (т.е. числа) и затем применить алгебраические операции на них. В то время как во время Евклида величины рассматривались как линейные сегменты, и затем заканчивается, были выведены, используя аксиомы или теоремы геометрии.

Много основных законов дополнения и умножения включены или доказаны геометрически в Элементах. Например, суждение 1 из Книжных II государств:

:If там быть двумя прямыми линиями и одним из них быть сокращенным в любое число сегментов вообще, прямоугольник, содержавший этими двумя прямыми линиями, равен прямоугольникам, содержавшим неразрезанной прямой линией и каждым из сегментов.

Но это - не что иное как геометрическая версия (левого) дистрибутивного закона; и в Книгах V и VII Элементов продемонстрированы коммутативные и ассоциативные законы для умножения.

Много основных уравнений были также доказаны геометрически. Например, суждение 5 в Книге II доказывает, что, и суждение 4 в Книге II доказывает это.

Кроме того, есть также геометрические решения, данные многим уравнениям. Например, суждение, которое 6 из Книги II дают решению квадратного уравнения и суждению 11 из Книги II, дает решение.

Данные

Данные - работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии, и это предназначалось, чтобы использоваться в качестве сопутствующего объема к первым шести книгам Элементов. Книга содержит приблизительно пятнадцать определений и девяносто пять заявлений, из которых есть приблизительно две дюжины заявлений, которые служат алгебраическими правилами или формулами. Некоторые из этих заявлений - геометрические эквиваленты решениям квадратных уравнений. Например, Данные содержат решения уравнений и знакомого вавилонского уравнения, x ± y = b.

Конические секции

Коническая секция - кривая, которая следует из пересечения конуса с самолетом. Есть три основных типа конических секций: эллипсы (включая круги), параболы и гиперболы. Конические секции, как считают, были обнаружены Menaechmus (c. 380 BCE – c. 320 BCE), и начиная с контакта с коническими секциями эквивалентно контакту с их соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и другим более высоким уравнениям заказа.

Менэечмус знал, что в параболе, уравнение y = lx держится, где l - константа, названная latus прямой кишкой, хотя он не знал о факте, что любое уравнение в двух неизвестных определяет кривую. Он очевидно получил эти свойства конических секций и других также. Используя эту информацию было теперь возможно найти решение проблемы дублирования куба, решив для пунктов, в которых две параболы пересекаются, решение, эквивалентное решению кубического уравнения.

Нам сообщает Eutocius, что метод, он раньше решал кубическое уравнение, происходил из-за Дайонизодоруса (250 BCE – 190 BCE). Дайонизодорус решил кубическое посредством пересечения прямоугольной гиперболы и параболы. Это было связано с проблемой в Архимеде На Сфере и Цилиндре. Конические секции изучались бы и использовались бы в течение тысяч лет греческим языком и позже исламский и европейский, математики. В особенности Apollonius известного Conics Перги имеет дело с коническими секциями среди других тем.

Китайская алгебра

Китайские даты Математики по крайней мере к 300 BCE с Чоу Пэй Суань Чином, который, как обычно полагают, был одним из самых старых китайских математических документов.

Девять глав по математическому Искусству

Чю-чан suan-shu или Эти Девять Глав по Математическому Искусству, письменному приблизительно 250 BCE, являются одним из самых влиятельных из всех китайских книг по математике, и это составлено приблизительно из 246 проблем. Глава восемь соглашений с решением определенных и неопределенных одновременных линейных уравнений, используя положительные и отрицательные числа, с одной проблемой, имеющей дело с решением четырех уравнений в пяти неизвестных.

Морское зеркало измерений круга

Ts'e-юань hai-ching или Морское зеркало Измерений Круга, является коллекцией приблизительно 170 проблем, написанных Ли Чжи (или Ли Е) (1192 – 1272 CE). Он использовал поклонника fa или метод Хорнера, чтобы решить уравнения степени целых шесть, хотя он не описывал свой метод решения уравнений.

Математический трактат в девяти секциях

Шу-шу chiu-chang или Математический Трактат в Девяти Секциях, были написаны богатым губернатором и министром Ч'инь Чю-шао (c. 1202 – c. 1261 CE) и с изобретением метода решения одновременных соответствий, теперь названных китайской теоремой остатка, это отмечает звездный час в китайском неопределенном анализе.

Магические квадраты

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае. В Девяти Главах автор решает систему одновременных линейных уравнений, помещая коэффициенты и постоянные условия линейных уравнений в магический квадрат (т.е. матрица) и выполняя операции по сокращению колонки на магическом квадрате. Самые ранние известные магические квадраты заказа, больше, чем три, приписаны Ян Хою (fl. c. 1261 – 1275), кто работал с магическими квадратами заказа целых десять.

Драгоценное зеркало этих четырех элементов

Ssy-yüan yü-chien 《四 元 玉鑒》, или Драгоценное Зеркало этих Четырех Элементов, был написан Чу Ши-чие в 1303, и это отмечает пик в развитии китайской алгебры. Эти четыре элемента, названные небесами, землей, человеком и вопросом, представляли четыре неизвестных количества в его алгебраических уравнениях. Ssy-yüan yü-chien имеет дело с одновременными уравнениями и с уравнениями степеней целых четырнадцать. Автор использует метод поклонника fa, сегодня названный методом Хорнера, чтобы решить эти уравнения.

Драгоценное Зеркало открывает с диаграммой арифметического треугольника (треугольник Паскаля) использование круглого нулевого символа, но Чу Ши-чие отрицает кредит на него. Подобный треугольник появляется в работе Ян Хоя, но без нулевого символа.

Есть много серийных уравнений суммирования, данных без доказательства в Драгоценном зеркале. Несколько рядов суммирования:

:

:

Диофантовая алгебра

Диофант был Эллинистическим математиком, который жил c. 250 CE, но неуверенность в этой дате столь большое, что это может быть выключено на больше чем век. Он известен тем, что написал Arithmetica, трактат, который был первоначально тринадцатью книгами, но которых только первые шесть выжили. У Arithmetica есть очень мало вместе с традиционной греческой математикой, так как это разведено от геометрических методов, и это отличается от вавилонской математики в том, который Диофант заинтересован прежде всего с точными решениями, и определенными и неопределенными, вместо простых приближений.

В Arithmetica Диофант первый, чтобы использовать символы для неизвестных чисел, а также сокращения для полномочий чисел, отношений и операций; таким образом он использовал то, что теперь известно как синкопированная алгебра. Основное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современным алгебраическим примечанием то, что прежние специальные символы, в которых испытывают недостаток, для операций, отношений и exponentials. Так, например, что мы написали бы как

:

Диофант написал бы это как

:

где символы представляют следующее:

Обратите внимание на то, что коэффициенты прибывают после переменных и что дополнение представлено сопоставлением условий. Буквальный перевод символа для символа синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение был бы следующим:

:

и, чтобы разъясниться, если современные круглые скобки и плюс используются тогда, вышеупомянутое уравнение может быть переписано как:

:

Arithmetica - коллекция приблизительно 150 решенных проблем с определенными числами и нет никакого postulational развития, и при этом общий метод явно не объяснен, хотя общность метода, возможно, была предназначена и нет никакой попытки найти все решения уравнений. Arithmetica действительно содержит решенные проблемы, включающие несколько неизвестных количеств, которые решены, если это возможно, выразив неизвестные количества с точки зрения только одного из них. Arithmetica также использует тождества:

:

Индийская алгебра

Индийские математики были активны в изучении о системах числа. Не большой счет поддающийся проверке остается от их вклада в алгебру. Однако на самых ранних известных индийских математических документах проставляют дату к приблизительно середине первого тысячелетия BCE (около 6-го века BCE).

Повторяющиеся темы в индийской математике, среди других, определенных и неопределенных линейных и квадратных уравнений, простого измерения, и Пифагореец утраивается.

Aryabhata

Aryabhata (476–550 CE) был индийским математиком, который создал Aryabhatiya. В нем он дал правила,

:

и

:

Брахма Sphuta Siddhanta

Брэхмэгапта (fl. 628), был индийский математик, который создал Брахму Sphuta Siddhanta. В его работе Брэхмэгапта решает общее квадратное уравнение и для положительных и для отрицательных корней. В неопределенном анализе Брэхмэгапта дает Пифагорейские триады, но это - измененная форма старого вавилонского правления, что Брэхмэгапта, возможно, был знаком с. Он был первым, чтобы дать общее решение линейного диофантового топора уравнения + = c, где a, b, и c - целые числа. В отличие от Диофанта, который только дал одно решение неопределенного уравнения, Брэхмэгапта дал все решения для целого числа; но что Брэхмэгапта использовал некоторые из тех же самых примеров, как Диофант принудил некоторых историков рассматривать возможность греческого влияния на работу Брэхмэгапты или по крайней мере общего вавилонского источника.

Как алгебра Диофанта, синкопировалась алгебра Brahmagupta. Дополнение было обозначено, поместив числа рядом, вычитание, поместив точку по subtrahend и подразделение, поместив делитель ниже дивиденда, подобного нашему примечанию, но без бара. Умножение, развитие и неизвестные количества были представлены сокращениями соответствующих условий. Степень греческого влияния на эту синкопу, если таковые имеются, не известна, и возможно, что и греческая и индийская синкопа может быть получена из общего вавилонского источника.

Bhāskara II

Bhāskara II (1114–c. 1185), был ведущий математик 12-го века. В Алгебре он дал общее решение уравнения Pell. Он - автор Lilavati и Vija-Ganita, которые содержат проблемы, имеющие дело с определенными и неопределенными линейными и квадратными уравнениями, и Пифагореец утраивается, и он не различает точные и приблизительные заявления. Многие проблемы в Lilavati и Vija-Ganita получены из других индуистских источников, и таким образом, Bhaskara в своих лучших проявлениях имея дело с неопределенным анализом.

Бхэскара использует начальные символы названий цветов как символы неизвестных переменных. Так, например, что мы написали бы сегодня как

:

Bhaskara написал бы как

::..

: рутений ya 1 1

:::.

: рутений ya 2 8

::::.

: Рутений ya 1 суммы 9

где ya указывает на первый слог слова для черного, и рутений взят от разновидностей слова. Точки по числам указывают на вычитание.

Исламская алгебра

Первый век исламской арабской Империи не видел почти научных или математических успехов, так как арабы, с их недавно завоеванной империей, еще не получили интеллектуального двигателя, и исследование в других частях мира исчезло. Во второй половине 8-го века у ислама было культурное пробуждение, и исследование в математике и науках увеличилось. У мусульманского калифа Abbasid аль-Мамуна (809–833), как говорят, была мечта, где Аристотель появился ему, и как следствие аль-Мамун приказал, чтобы арабский перевод был сделан из как можно большего количества греческих работ, включая Альмагест Птолемея и Элементы Евклида. Греческие работы были бы даны мусульманам Византийской Империей в обмен на соглашения, поскольку эти две империи поддержали неудобный мир. Многие из этих греческих работ были переведены Табитом ибн Куррой (826–901), кто перевел книги, написанные Евклидом, Архимедом, Apollonius, Птолемеем, и Ютокиусом.

Есть три теории о происхождении арабской Алгебры. Первое подчеркивает индуистское влияние, второе подчеркивает месопотамское или персидско-сирийское влияние, и третье подчеркивает греческое влияние. Много ученых полагают, что это - результат комбинации всех трех источников.

В течение их времени во власти, перед падением исламской цивилизации, арабы использовали полностью риторическую алгебру, где часто даже числа были разъяснены в словах. Арабы в конечном счете заменили бы разъясненные числа (например, двадцать два) с арабскими цифрами (например, 22), но арабы не принимали или развивали синкопированную или символическую алгебру до работы Ибн аль-Банны в 13-м веке и аль-Гасана ибн Abū Alī al-Qalasādī в 15-м веке.

Al-jabr wa'l muqabalah

Мусульманский персидский математик был преподавателем «Дома Мудрости» (Затравите аль-Хикму) в Багдаде, который был установлен Аль-Мамуном. Аль-Хваризми, который умер приблизительно 850 CE, написал больше чем полдюжины математических и астрономических работ; некоторые из которых были основаны на индийском Sindhind. Одна из самых известных книг аль-Хваризми - названный Al-jabr wa'l muqabalah или Краткая Книга по Вычислению Завершением и Балансированием, и это делает исчерпывающий отчет о решении полиномиалов до второй степени. Книга также ввела фундаментальное понятие «сокращения» и «балансирования», относясь к перемещению вычтенных условий другой стороне уравнения, то есть, отмены подобных условий на противоположных сторонах уравнения. Это - операция, которую Аль-Хваризми первоначально описал как al-jabr.

Р. Рэшед и Анджела Армстронг пишут:

Аль-Джабр разделен на шесть глав, каждая из которых имеет дело с другим типом формулы. Первая глава Аль-Джабра имеет дело с уравнениями, квадраты которых равняются ее корням (топор = основной обмен), вторые соглашения о главе с квадратами, равными числу (топор = c), третьи соглашения о главе с корнями, равными числу (основной обмен = c), четвертые соглашения о главе с квадратами и корнями, равняются числу (топор + основной обмен = c), пятые соглашения о главе с квадратами и числом равные корни (топор + c = основной обмен), и соглашения о шестой и последней главе с корнями и числом, равным квадратам (основной обмен + c = топор).

В Аль-Джабре аль-Хваризми использует геометрические доказательства, он не признает корень x = 0, и он только имеет дело с положительными корнями. Он также признает, что дискриминант должен быть положительным и описал метод завершения квадрата, хотя он не оправдывает процедуру. Греческое влияние показывают геометрические фонды Аль-Джабра и одной проблемой, взятой от Херона. Он использует начитанные диаграммы, но все коэффициенты во всех его уравнениях - определенные числа, так как у него не было способа выразить параметрами, что он мог выразить геометрически; хотя общность метода предназначена.

Аль-Хваризми наиболее вероятно не знал о Arithmetica Диофанта, который стал известным арабам когда-то перед 10-м веком. И даже при том, что аль-Хваризми наиболее вероятно знал о работе Брэхмэгапты, Аль-Джабр полностью риторический с числами, даже разъясняемыми в словах. Так, например, что мы написали бы как

:

Диофант написал бы как

:Δα ̅ ςι ̅ 'ίσ Μ λ ̅θ̅

И аль-Хваризми написал бы как

Квадрат:One и десять корней той же самой суммы к тридцати девяти dirhems; то есть, каков должен быть квадрат, который, когда увеличено десятью из его собственных корней, составляет тридцать девять?

Логические предметы первой необходимости в смешанных уравнениях

'Абд al-Hamīd ибн Турк создал рукопись под названием Логические Предметы первой необходимости в Смешанных Уравнениях, которая очень подобна Аль-Джабру аль-Хварзими и была издана в пределах того же самого времени как, или даже возможно ранее, чем, Аль-Джабр. Рукопись дает точно ту же самую геометрическую демонстрацию, как найден в Аль-Джабре, и в одном случае тот же самый пример, как найдено в Аль-Джабре, и даже идет вне Аль-Джабра, давая геометрическое доказательство, что, если дискриминант отрицателен тогда, у квадратного уравнения нет решения. Подобие между этими двумя работами принудило некоторых историков приходить к заключению, что арабская алгебра, возможно, была хорошо развита ко времени аль-Хваризми и 'Абда аль-Хамида.

Абу Камил и аль-Кархи

Арабские математики рассматривали иррациональные числа как алгебраические объекты. Египетский математик Abū Kāmil Shujā ибн Аслам (c. 850–930), было первым, чтобы принять иррациональные числа (часто в форме квадратного корня, корня куба или четвертого корня) как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнении. Он был также первым, чтобы решить три нелинейных одновременных уравнения с тремя неизвестными переменными.

Аль-Кархи (953–1029), также известный как Аль-Карайи, был преемником Abū al-Wafā' al-Būzjānī (940–998), и он обнаружил первое числовое решение к уравнениям топора формы + основной обмен = c. Аль-Кархи только рассмотрел положительные корни. Аль-Кархи также расценен как первый человек к свободной алгебре от геометрических операций, и замените их типом арифметических операций, которые являются в ядре алгебры сегодня. Его работа над алгеброй и полиномиалами, дал правила для арифметических операций, чтобы управлять полиномиалами. Историк математики Ф. Уоепк, в Extrait du Fakhri, traité паритет д'Алжебра Абоу Бекр Мохаммед Бен Алхэкэн Олкархи (Париж, 1853), похвалил Аль-Карайи за то, что он был «первым, кто ввел теорию алгебраического исчисления». Происходя от этого, Аль-Карайи исследовал двучленные коэффициенты и треугольник Паскаля.

Омар Кайиам, Sharaf al-Dīn и al-Каши

Омар Кайиам (c. 1050–1123), написал книгу по Алгебре, которая пошла вне Аль-Джабра, чтобы включать уравнения третьей степени. Омар Кайиам предоставил и арифметические и геометрические решения для квадратных уравнений, но он только дал геометрические решения для общих кубических уравнений, так как он по ошибке полагал, что арифметические решения были невозможны. Его метод решения кубических уравнений при помощи пересечения conics использовался Menaechmus, Архимедом и Ибн аль-Хайтамом (Alhazen), но Омар Кайиам обобщил метод, чтобы покрыть все кубические уравнения положительными корнями. Он только рассмотрел положительные корни, и он не шел мимо третьей степени. Он также видел прочные отношения между Геометрией и Алгеброй.

В 12-м веке, Sharaf al-Dīn, который al-Tūsī (1135–1213) написал Аль-Муьадалату (Трактат на Уравнениях), который имел дело с восемью типами кубических уравнений с положительными решениями и пятью типами кубических уравнений, у которых может не быть положительных решений. Он использовал то, что, как позже будет известно, как «метод Руффини-Хорнера» численно приблизит корень кубического уравнения. Он также развил понятие максимумов и минимумы кривых, чтобы решить кубические уравнения, у которых может не быть положительных решений. Он понял важность дискриминанта кубического уравнения и использовал раннюю версию формулы Карданоа, чтобы найти алгебраические решения определенных типов кубических уравнений. Некоторые ученые, такие как Roshdi Rashed, утверждают, что al-шум Sharaf обнаружил производную кубических полиномиалов и понял ее значение, в то время как другие ученые соединяют его решение идей Евклида и Архимеда.

Al-шум Sharaf также развил понятие функции. В его анализе

уравнение, например, он начинает, изменяя форму уравнения на. Он тогда заявляет, что вопрос того, есть ли у уравнения решение, зависит от того, достигает ли «функция» на левой стороне стоимости. Чтобы определить это, он находит максимальное значение для функции. Он доказывает, что максимальное значение происходит, когда, который дает функциональную стоимость. Al-шум Sharaf тогда заявляет, что, если эта стоимость - меньше, чем, нет никаких положительных решений; если это равно, то есть одно решение в; и если это больше, чем, тогда есть два решения, один между и и один между и.

В начале 15-го века, Jamshīd al-Kāshī развил раннюю форму метода Ньютона, чтобы численно решить уравнение, чтобы найти корни. Аль-Kāshī также развил десятичные дроби и утверждал, что обнаружил его сам. Однако Дж. Леннарт Берггренн отмечает, что ошибался, поскольку десятичные дроби сначала использовались за пять веков до него математиком Baghdadi Абу'л-Гасаном аль-Уклидиси уже в 10-м веке.

Аль-Hassār, Ибн аль-Банна и аль-Каласади

Аль-Hassār, математик из Марокко, специализирующегося на исламской юриспруденции наследования в течение 12-го века, развил современное символическое математическое примечание для частей, где нумератор и знаменатель отделены горизонтальной планкой. Это то же самое фракционное примечание появилось вскоре после в работе Фибоначчи в 13-м веке.

Alī al-Qalasādī аль-Гасана ибн Abū (1412–1486) был последним крупным средневековым арабским алгебраистом, который предпринял первую попытку создания алгебраического примечания начиная с Ибн аль-Банны двумя веками ранее, который был самостоятельно первым, чтобы предпринять такую попытку начиная с Диофанта и Брэхмэгапты в древние времена. Синкопированные примечания его предшественников, однако, испытали недостаток в символах математических операций. Аль-Каласади «сделал первые шаги к введению алгебраической символики при помощи писем вместо чисел» и «используя короткие арабские слова, или просто их первые буквы, как математические символы».

Европейская алгебра

Средневековье

Так же, как смерть Hypatia сигнализирует о завершении Библиотеки Александрии в то время как математический центр, также - смерть Boethius сигнализируют о конце математики в Западной Римской империи. Хотя была некоторая работа, сделанная в Афинах, она подошла к концу, когда в 529 византийский император Юстиниан закрыл языческие философские школы. Год 529 теперь потрачен, чтобы быть началом средневекового периода. Ученые сбежали из Запада к более гостеприимному Востоку, особенно к Персии, где они нашли приют при короле Чосроесе и установили то, что можно было бы назвать «афинской Академией в Изгнании». В соответствии с соглашением с Юстинианом, Чосроес в конечном счете возвратил бы ученых в Восточную Империю. В течение Средневековья европейская математика была в ее низшей точке с математическим исследованием, состоящим, главным образом, из комментариев относительно древних трактатов; и большая часть этого исследования была сосредоточена в Византийской Империи. Конец средневекового периода установлен как падение Константинополя туркам в 1453.

Последнее средневековье

12-й век видел наводнение переводов с арабского языка на латынь и к 13-му веку, европейская математика начинала конкурировать с математикой других земель. В 13-м веке решение кубического уравнения Фибоначчи представительное для начала возрождения в европейской алгебре.

Когда исламский мир уменьшался после 15-го века европейский мир поднимался. И именно здесь Алгебра была далее развита.

Современная алгебра

Другое ключевое событие в дальнейшем развитии алгебры было общим алгебраическим решением кубических и биквадратных уравнений, развитых в середине 16-го века. Идея детерминанта была развита японским математиком Коуой Секи в 17-м веке, сопровождаемая Готтфридом Лейбницем десять лет спустя, в целях решения систем одновременных линейных уравнений, используя матрицы. Габриэль Крамер также сделал некоторую работу над матрицами и детерминантами в 18-м веке.

Символ обычно обозначает неизвестную переменную. Даже при том, что любое письмо может использоваться, наиболее распространенный выбор. Традиция использования, чтобы представлять неизвестные была начата Рене Декартом в его La geometrie (1637). В математике “выделенный курсивом x” часто используется, чтобы избежать потенциального беспорядка с символом умножения.

Готтфрид Лейбниц

Хотя математическое понятие функции было неявно в тригонометрических и логарифмических столах, которые существовали в свое время, Готтфрид Лейбниц был первым, в 1692 и 1694, чтобы использовать его явно, обозначить любое из нескольких геометрических понятий, полученных из кривой, таких как абсцисса, ордината, тангенс, аккорд и перпендикуляр. В 18-м веке «функция» потеряла эти геометрические ассоциации.

Лейбниц понял, что коэффициенты системы линейных уравнений могли быть устроены во множество, теперь названное матрицей, которой можно управлять, чтобы найти решение системы, если таковые имеются. Этот метод позже назвали Гауссовским устранением. Лейбниц также обнаружил Булеву алгебру и символическую логику, также относящуюся к алгебре.

Абстрактная алгебра

Способность сделать алгебру является умением, выращенным в образовании математики. Как объяснил Эндрю Варвик, Кембриджские студенты университета в начале 19-го века практиковали «смешанную математику», делая упражнения, основанные на физических переменных, таких как пространство, время и вес. В течение долгого времени ассоциация переменных с физическими количествами исчезала, поскольку математическая техника выросла. В конечном счете математика была затронута полностью с абстрактными полиномиалами, комплексными числами, гиперкомплексными числами и другими понятиями. Применение к физическим ситуациям тогда назвали прикладной математикой или математической физикой, и область математики расширилась, чтобы включать абстрактную алгебру. Например, проблема конструируемых чисел показала некоторые математические ограничения, и область теории Галуа была развита.

Отец алгебры

Эллинистический математик Диофант традиционно был известен как «отец алгебры», но дебаты теперь существуют относительно того, заслуживает ли Аль-Хваризми этого названия вместо этого. Те, кто поддерживает пункт Диофанта к факту, что алгебра, найденная в Аль-Джабре, более элементарна, чем алгебра, найденная в Arithmetica и что Arithmetica синкопируется, в то время как Аль-Джабр полностью риторический.

Те, кто поддерживает пункт Аль-Хваризми к факту, что он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями, и было первым, чтобы преподавать алгебру в элементарной форме и ради самого себя, тогда как Диофант был прежде всего обеспокоен теорией чисел. Аль-Хваризми также ввел фундаментальное понятие «сокращения» и «балансирующий» (который он первоначально использовал термин al-jabr, чтобы отослать к), относясь к перемещению вычтенных условий другой стороне уравнения, то есть, отмены подобных условий на противоположных сторонах уравнения. Другие сторонники Аль-Хваризми указывают на его алгебру, больше не касавшуюся «серии проблем, которые будут решены, но выставка, которая начинается с примитивных условий, в которых комбинации должны дать все возможные прототипы для уравнений, которые впредь явно составляют истинный объект исследования». Они также указывают на его обращение уравнения ради самого себя и «универсальным способом, поскольку оно просто не появляется в ходе решения проблемы, но определенно обращено с просьбой определить бесконечный класс проблем».

См. также

  • График времени алгебры
  • История математики

Сноски и цитаты

  • Башмакова, я и Смирнова, G. (2000) начало и развитие алгебры, Dolciani математические выставки 23. Переведенный Эйбом Шеницером. Математическая ассоциация Америки.

Внешние ссылки


ru.knowledgr.com

История появления алгебры как науки, Высшая математика

Пример готового реферата по предмету: Высшая математика

Содержание

Оглавление

1. История появления алгебры как науки. 3

2. Связь математики с другими науками. 6

3. История появления комплексных чисел. 8

4. Определение элементарных функций. 11

5. Способы вычисления интегралов. 13

6. Запись и вычисление дифференциальных уравнений. 16

7. Решение систем дифференциальных уравнений. 17

Cписок используемой литературы: 20

Выдержка из текста

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3].

Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени. Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9].

Это же правило редко, использовали вавилоняне[10].

Список использованной литературы

1. Александрова Н. В. Математические термины. (справочник).

М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.

2. Виноградов И. М. Алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

3.

История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970.

4. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике» — М., 1974 г., с. 416.

5. ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_уравнение.

6. ru.solverbook.com/spravochnik/differencialnye-uravneniya/sistemy-differencialnyx-uravnenij/

7. dok.opredelim.com/docs/index-1023.html

8. Виноградов И.М. (гл. ред.).

Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.

9. ru.wikipedia.org/wiki/Интеграл

10. ru.wikipedia.org/wiki/Методы_интегрирования

11. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §

48. Важнейшие классы функций.

13. ru.wikipedia.org/wiki/Элементарные_функции

14. Клайн Морис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138— 139.

referatbooks.ru

Возникновение алгебры — доклад

Возникновение алгебры.

 

       Слово «Алгебра» возникло после появления трактата «Китабаль-джебр Валь - мукабала» хорезмского математика и астронома Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (787- ок. 850). Термин «аль-джебр», взяты из названой этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».

      Алгебра как искусство  решать уравнения зародилась  очень давно в связи с потребности  практики, в результате поиска  общих приемов решение однотипных  задач. Самые ранние дошедшие  до нас рукописи свидетельствуют  о том, что в Древнем Вавилоне  и Древнем  Египте были изданы  приёмы решения линейных уравнений.

       До XVI в. Изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появились постепенно. Знаки + и – впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводиться знак x для умножения. Знак деления « : » был введён лишь в XVII в.      

     Современные знаки  умножения в виде «*» и деление  в виде « : » впервые использовал Лейбниц. Знак деления в 1684 г., а умножения - в 1698 г.            

     В процессе развития  алгебры из науки об уравнениях преобразовалась в науку об операциях, сходных с действиями над числами.

 

                                                        Лейбниц                                                                    Древний Египет

                                         Ступени развития алгебры

 

        В эволюции алгебры различают 3 ступени: риторическую, синкопирующею и символическую.

        Риторическая, или словесная, математика не  пользуется символами. На этой  ступени находится греческая  математика до Диофанта(III в.н.э.), арабская и европейская математика до XIV века. Однако и там имеются особые знаки для некоторых математических  понятий: у египтян иероглифы: скарабей - для понятия «равно», ноги, идущие против направления чтения - для понятия «больше», уходящие ноги - для понятия «меньше», неизвестно, искомое - иероглиф совы.

      Первые записи  были зарубки на палке, но  ведь если тысячи пока будешь  считать пройдёт больше часа.  Очень  неудобная  запись! Вот,  например,  пять тысяч лет назад  в Вавилоне, Египте, Китае почти  одновременно родился новый   способ записи чисел. Люди додумались  писать числа по разрядам.    

      Египтянам, чтобы  написать нашу цифру 7 им приходилось  рисовать 7 палочек I I I I I I I  =7                                          

А, например, число 1873 египтяне писали так:

 

    Изображение цифр и  чисел в древнем Египте:

 

      Очень интересная система счета была у народа Майя, который жил в  Центральной Америке там, где сейчас государство Мексика. Индейцы майя были культурнее, чем жившие народы в то время в Европе. Майя  считали двадцатками – у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками.  Если под числом  обозначался,  значок в виде глаза  значит, число нужно увеличить в 20 раз. Число 45 Майя  записывали так:  

                                                                      

  Изображение в виде глаза  играло у  Майя ту же роль, что у нас 0.

Изображение цифр и чисел у Племя Майя:

.

       Вторая ступень развития – это синкопирующая математика употребляет для обозначения часто встречающихся понятий отдельные буквы и сокращения Диофант употреблял перевёрнутую букву (пси), Лука Пачоли употреблял p и m для обозначения плюса и минуса.

       Третья ступень  - символическая математика начинается  в XV веке. Решительный шаг в использовании алгебраических символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только чисел неизвестных (что делалось и ранние), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной.

        Виет ввёл  буквенные обозначения для коэффициентов  и неизвестного в уравнениях: например он обозначает ископаемое – буквой N( Numers) ,квадрат его - буквой Q (Quadrates) , куб - буквой C(Cubes).

Он пишет: NC-3N aeguatur 1, что означает: x3 -3x=1.

Например, запись уравнения x3 -8x2+16x=40 у Виета выглядело бы так:

1С-8Q+16N aequ 40 (aequali- равно)

            Англичанин Харриот (1631) заменяет большие буквы малыми. Наконец Декарт (1596-1650) предлагает известные числа обозначат первыми a,b,c,…, неизвестные - последними x,y,z буквами латинского алфавита. Декарт в 1637 г. вводит для обозначения равенства особые знак =. В 1631 г. Харриот предлагает для обозначения неравенства теперешние знаки < и >. В конце XV в. знаки «+» и «-» получают широкое распространение. Знак умножения x ввёл Аутрид (1631). Круглые скобки появились у Таргальи (1556), но лишь к середине XVIII в. скобки стали употребляться во всех математических книгах.

                         

        Диофант                                       ЛукаПачоли                              ФрансуаВиет   

                                             Что изучает алгебра.

 

    Алгебра-часть математики, которая изучает общие свойства, действия над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

     В процессе развития  алгебра из науки об уравнениях  преобразовалась в науку об  операциях, более или менее  сходных с действиями над числами. 

     Близкий к описанию  метод решения задач был известен  ещё в II тысячелетий до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики).

     В сохранившихся до  наших дней математических папирусах  имеются задачи, которые приводят  к уравнениям не только первой  степени с одним неизвестным,  как в задаче о возрасте  братьев, но и вида ax2=b.

    Ещё более сложные  задачи умели решать с начала  II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне: в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали буквы.

     

История возникновения цифр и чисел.

 

    В хозяйственной  жизни далёкого прошлого люди обходились сравнительно небольшими числами - так называемым малым счётом наших предков. Счёт доходил до числа 10000, которое  в самых старых памятниках называется тьма, то есть темное число. В дальнейшем граница малого счёта была отодвинута до 108, до числа тьма тём. Но наряду с этим малым числом коли получался великий счёт и перечень, употреблялась вторая система, называвшаяся великим числом или счётом или числом великим словенским. При счёте употреблялись более высокие разряды: тьма- 106,  легион- 1012, леодр – 1024,  ворон- 1048, иногда ещё колода – десять воронов-1049,хотя колоду следует принять как 1096. Для обозначения этих больших чисел наши предки придумали способ,  не встречающийся ни у одного из известных нам народов: число единиц любого из перечисленных высших разрядов обозначалось той же буквой, что и простые единицы, но окружность для каждого числа собственным бордюром.

     Величайшие греческие  математики не додумались до  этого способа письма чисел.  Таких больших чисел не требовала  и не требует,  и теперь никакая  практическая задача.

     Архимед, величайший греческий математик, сосчитал, что число песчинок во всём мировом пространстве, как это понимал в то время, не превышает 1063. Славянский  честолюбец  сказал бы, что это число песчинок не больше тысяч легионов воронов 1063= 103* 1012 * 1048.  Число песчинок во всём мировом пространстве человеку того времени действительно могло казаться наибольшим мыслимым числом.

 

                                            

                                                             АРХИМЕД

Значимость  алгебры в науке математика

 

Начало современного этапа в  развитии математики характеризовалось  изменениями во всех её основных разделах: геометрии, алгебре и анализе.

  Коренные изменения в алгебре  наметились ещё XIX веке. Если алгебра минувшего времени, развивала символический характер, оперировала – числом, то современная алгебра распространила свою область на величины гораздо более общего характера:  операции над векторами, над движениями разного рода и т.д. Область алгебры значительно расширилась и объектами её операций являются не числа и не  величины.

   В настоящее время сильно  разрослись методы применения  в различных науках: геометрии,  анализе, физике, кристаллографии  и др. Обширными разделами алгебры  являются теория групп и линейная  алгебра.

          Норвежский  математик Софус Ли (1842-1899) распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений.

 

                                              

                                                           Софус Ли

Наука алгебра  занимает одну из главенствующих ролей  во всех математических науках.


yaneuch.ru