Кинематические уравнения равноускоренного движения – Методическая разработка на тему Кинематика

Кинематические уравнения движения

Кинематические уравнения движения используются, чтобы описать перемещение объекта в пространстве. Так как при поступательном движении все точки объекта движутся одинаково, то его удобно представлять материальной точкой: она имеет определенную массу, однако её размерами можно пренебречь. Чтобы количественно описать движение точки, нужно ввести временную и пространственные координаты. При поступательном движении удобней всего пользоваться декартовой системой координат.

Положение такой точки в пространстве описывается радиус-вектором:

   

Можно спроектировать его на оси координат, тогда получим систему скалярных уравнений. Эти уравнения и называют кинематическими уравнениями движения:

   

Характеристики кинематического уравнения движения

Длина пути точки, пройденного ею с начального момента до момента t, обозначается и является скалярной величиной. Если движение прямолинейное, то вектор перемещения , соединяющий начальное и конечное положение точки, совпадает с путем точки, . Если же движение криволинейное, обычно находят с помощью геометрических построений.

Длина пути, пройденная точкой за конечное время t, может быть найдена с помощью формулы:

   

Здесь v – функция изменения скорости точки во времени, — начальная скорость, а – ускорение, t – время.

Если движение равномерное, то есть скорость остается неизменной, пройденный путь можно найти проще:

   

Скорость – величина векторная; она характеризует не только быстроту движения точки, но и направление этого движения. Она направлена так же, как и вектор перемещения. Средняя скорость может быть рассчитана:

   

Если интервал времени , вектор перемещения стремится к тому, чтобы совпадать с путем перемещения, и тогда может быть вычислена мгновенная скорость:

   

Ускорение точки (в векторном или скалярном виде) мы узнаем, взяв производную от скорости по времени:

   

Если движение криволинейно, ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение и центростремительное ускорение :

   

   

   

где R – это радиус кривизны рассматриваемой траектории. Модуль ускорения, включающего обе компоненты, при криволинейном движении:

   

Если движение имеет прямолинейный характер, ускорение имеет только тангенциальную составляющую.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Т. Равноускоренное движение — PhysBook

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное прямолинейное движение — это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением.

\(~\vec a = \operatorname{const}\) — уравнение ускорения.

По определению ускорения \(~\vec a = \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t}\).

Пусть в момент времени t0 = 0 скорость тела равна \(~\vec \upsilon_0\), в момент времени t — \(~\vec \upsilon\). Тогда за промежуток времени \(~\Delta t = t - t_0 = t\) скорость изменилась на \(~\Delta \vec \upsilon = \vec \upsilon - \vec \upsilon_0\) Следовательно, ускорение \(~\vec a = \frac{\vec \upsilon - \vec \upsilon_0}{\Delta t} \Rightarrow\)

\(~\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 + \vec a \cdot t\) — уравнение скорости.

Или в проекциях\[~\upsilon_x = \upsilon_{0x} + a_x \cdot t\].

Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис. 1).

Рис. 1

Графики ускорения ax = f(t) представлены на рисунке 2, а графики скорости υx = f(t) — на рисунке 3.

Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис. 4).

  • Рис. 2

  • Рис. 3

  • Рис. 4

Для малого промежутка времени Δt изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени Δt будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Модуль проекции перемещения за промежуток времени \(~\Delta t = t - t_0 = t\) в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции.

Следовательно,

\(~\Delta r_x = \frac{\upsilon_{0x} + \upsilon_x}{2} \cdot t . \qquad (1)\)

Подставив значение \(~\upsilon_x = \upsilon_{0x} + a_x \cdot t\) в (1), получим:

\(~\Delta r_x = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}\) — уравнение перемещения в проекциях; \(~\Delta \vec r = \vec \upsilon_0 \cdot t + \frac{\vec a \cdot t^2}{2}\) — уравнение перемещения в векторном виде.

Учитывая, что \(~x = x_0 + \Delta r_x\), имеем:

\(~x = x_0 + \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}\) — кинематическое уравнение равноускоренного движения.

Его векторный вид\[~\vec r = \vec r_0 + \vec \upsilon_0 \cdot t + \frac{\vec a \cdot t^2}{2}\] .

Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим:

\(~\Delta r_x = \frac{\upsilon^2_x - \upsilon^2_{0x}}{2a_x} \Rightarrow \upsilon_x = \sqrt{\upsilon^2_{0x} + 2a_x \cdot \Delta r_x}.\)

Сравнивая выражение (1) с формулой \(~\Delta r_x = \left\langle \upsilon \right\rangle_x \cdot t\), найдем:

\(~\left\langle \upsilon \right\rangle_x = \frac{\upsilon_{0x} + \upsilon_x}{2}\) — проекция средней скорости при равноускоренном движении.

Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис. 5).

Рис. 5

Литература

  1. Аксенович Л.А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л.А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К.С. Фарино; Под ред. К.С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C.10-11.

www.physbook.ru

Равноускоренное прямолинейное движение

Рис. 5

Это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. ускорение постоянно.

Примерами такого движения является свободное падение тел вблизи поверхности Земли и движение под действием постоянной силы.

При равноускоренном прямолинейном движении координата тела меняется с течением времени в соответствии с законом движения:

где x0– начальная координата материальной точки,0x– проекция начальной скорости иax– проекция ускорения точки на ось 0X.

Проекция скорости материальной точки на ось 0Xв этом случае меняется по следующему закону:

При этом проекции скорости и ускорения могут принимать различные значения, в том числе и отрицательные.

Графики зависимости x(t) иx(t) представляют собой соответственно прямую и параболу, причем, как и в алгебре, по коэффициентам в уравнениях прямой и параболы можно судить о расположении графика функции относительно координатных осей.

Рис. 6

На рисунке 6 приведены графики для x(t),x(t),s(t) в случаеx0> 0,0x> 0,ax< 0. Соответственно прямая(t) имеет отрицательный наклон (tg=ax< 0).

3. Вращательное движение и его кинематические параметры. Связь между угловой и линейной скоростями.

Равномерное движение по окружностипроисходит с постоянной по модулю скоростью, т.е.= const (рис. 7). Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется, поэтому равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением.

Рис. 7

Для описания равномерного движения тела по окружности вводят следующие физические величины: период,частота обращения,линейная скорость,угловая скоростьицентростремительное ускорение.

Период обращенияT– время, за которое совершается один полный оборот.

Частота обращения– это число оборотов, совершаемых телом за 1 с. Единицей частоты обращения в СИ является с–1.

Частота и период обращения связаны между собой соотношением .

Вектор скорости при движении точки по окружности постоянно изменяет свое направление (рис. 8).

При равномерном движении тела по окружности отрезок пути s, пройденный за промежуток времениt, является длиной дуги окружности. Отношениепостоянно во времени и называетсямодулем линейной скорости.За время, равное периоду обращенияТ, точка проходит расстояние, равное длине окружности 2R, поэтому

Рис. 8

Скорость вращения твердых тел принято характеризовать физической величиной, называемой угловой скоростью , модуль которой равен отношению угла поворота телак промежутку времени, за которое этот поворот совершен (рис. 8):

Единицей угловой скорости в СИ является с–1.

Так как ориентация твердого тела одинакова во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно, то и угловая скорость обращения твердого тела будет одинакова во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно.

При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси любая точка этого тела движется вокруг этой же оси по окружности радиусом Rс линейной скоростью, которая равна

= R.

Если начальные координаты точки равны (R; 0), то ее координаты меняются по законуx(t) =Rcostиy(t) =Rsint.

studfiles.net

Уравнения равноускоренного движения • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Галилео Галилей относится к числу людей, прославившихся совсем не тем, за что им следовало бы пользоваться заслуженной славой. Все помнят, как этого итальянского естествоиспытателя в конце жизни подвергли суду инквизиции по подозрению в ереси и заставили отречься от убеждения, что Земля вращается вокруг Солнца. На самом же деле, этот судебный процесс на развитие науки практически не повлиял — в отличие от ранее проделанных Галилеем опытов и сделанных им на основании этих опытов выводов, которые фактически предопределили дальнейшее развитие механики как раздела физической науки.

Движение физических тел изучалось с незапамятных времен, и основы кинематики были заложены задолго до рождения Галилея. Элементарные задачи описания движения сегодня изучают уже в начальной школе. Например, все знают, что если автомобиль равномерно движется со скоростью 20 км/ч, то за 1 час он проедет 20 км, за 2 часа — 40 км, за 3 часа — 60 км и т. д. И до тех пор, пока машина движется с постоянной скоростью (стрелка спидометра не отклоняется от заданного деления на его шкале), рассчитать пройденное расстояние труда не составляет — достаточно умножить скорость машины на время, которое она находится в пути. Этот факт известен настолько давно, что имя его первооткрывателя наглухо затерялось в тумане античных времен.

Сложности возникают, как только объект начинает двигаться с переменной скоростью. Трогаетесь вы, к примеру, от светофора — и стрелка спидометра ползет от нуля вверх, пока вы не отпустите педаль газа и не нажмете педаль тормоза. На самом деле стрелка спидометра на месте практически не стоит — она всё время движется вверх или вниз. В начале каждой отдельно взятой секунды реальная скорость машины одна, а в конце секунды — уже другая, и пройденный ею за секунду путь точно рассчитать не так-то просто. Эта проблема — описание движения с ускорением — волновала естествоиспытателей задолго до Галилея.

Сам же Галилео Галилей подошел к ней новаторски и, фактически, задал направление всего дальнейшего развития современной методологии естествознания. Вместо того чтобы сидеть и умозрительно решать вопрос о движении ускоряющихся тел, он придумал гениальные по своей простоте опыты, позволяющие экспериментально проследить, что в действительности происходит с ускоряющимися телами. Нам может показаться, что ничего особенно новаторского в таком подходе нет, однако до Галилея основным методом решения проблем «натурфилософии» — о чем говорит само название тогдашней естественной науки — было умозрительное осмысление происходящего, а не его экспериментальная проверка. Сама идея проведения физических экспериментов была в то время по-настоящему радикальной. Чтобы понять идею опытов Галилея, представьте себе тело, падающее под воздействием силы земного притяжения. Выпустите какой-нибудь предмет из рук — и он упадет на пол; при этом в первое мгновение скорость его движения будет равна нулю, но он тут же начнет ускоряться — и будет продолжать ускоряться, пока не упадет на землю. Если мы сможем описать падение предмета на землю, мы затем сможем распространить это описание и на общий случай равноускоренного движения.

Сегодня измерить динамику падения предмета не сложно — можно с большой точностью зафиксировать время от начала падения до любой промежуточной точки. Однако во времена Галилея точных секундомеров не было, да и любые механические часы по современным стандартам были весьма примитивны и неточны. Поэтому ученый первым делом разработал экспериментальный аппарат, позволяющий обойти эту проблему. Во-первых, он «разбавил» силу тяжести, замедлив время падения до разумных, с точки зрения имеющихся инструментов измерения, пределов, а именно — заставил тела скатываться по наклонной плоскости, а не просто падать отвесно. Затем он придумал, как обойти неточность современных ему механических часов, натянув на пути скатывающегося по наклонной поверхности шара ряд струн, чтобы он задевал их по дороге и можно было хронометрировать его движение по извлекаемым звукам. Раз за разом спуская шар по наклонной под рядом струн, Галилей перемещал струны, пока не добился, чтобы шар на всем своем пути, задевая натянутые струны, извлекал звуки через равные промежутки времени.

В конце концов Галилею удалось накопить достаточный объем экспериментальной информации о равноускоренном движении. Тело, стартующее из состояния покоя, далее движется так, как это описано в самом начале данной статьи. В переводе на язык математических символов равноускоренное движение описывается следующими уравнениями:

    

где a — ускорение, v — скорость, d — расстояние, пройденное телом за время t. Чтобы прочувствовать смысл этих уравнений, достаточно пристально пронаблюдать за падением предметов. Скорость падения зримо возрастает со временем, прошедшим с начала падения. Это следует из первого уравнения. Очевидно и то, что в процессе падения на прохождение первой части пути у тела уходит больше времени, чем на оставшуюся часть пути. Именно это и описывает вторая формула, поскольку из неё следует, что чем дольше тело ускоряется, тем больший отрезок пути оно преодолевает за одно и то же время.

Галилей сделал и еще одно важное наблюдение о теле, находящемся в состоянии свободного падения под воздействием силы гравитационного притяжения, хотя и не смог подтвердить его непосредственными измерениями. Экстраполировав результаты, полученные им при наблюдении скатывающихся по наклонной плоскости предметов, он сумел определить ускорение свободного падения тела на поверхность Земли. Ускорение свободного падения принято обозначать g, и оно равняется (приблизительно):

    g = 9,8 м/с2(метра в секунду за секунду)

То есть, если уронить предмет из состояния покоя, за каждую секунду падения его скорость будет возрастать на 9,8 метра в секунду. На исходе первой секунды падения тело будет двигаться со скоростью 9,8 м/с, на исходе второй — со скоростью 2 × 9,8 = 18,6 м/с и так далее. Величина g определяет коэффициент ускорения падения тела, находящегося в непосредственной близости от земной поверхности, в связи с чем

g принято называть ускорением свободного падения, или гравитационным ускорением.

Здесь следует сделать два важных замечания относительно полученных Галилеем результатов. Во-первых, ученый получил чисто экспериментальное значение величины g, ни на каких теоретических прогнозах не основывающееся. Значительно позже Исаак Ньютон в своих знаменитых работах показал, что величину g можно рассчитать теоретически, исходя из сочетания сформулированных им законов механики Ньютона и закона всемирного тяготения Ньютона. Именно первопроходческий труд Галилея и проложил дорогу последующим триумфальным открытиям Ньютона и формированию классической механики в её общеизвестном виде.

Второй важнейший момент состоит в том, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. По сути, сила притяжения пропорциональна массе тела, но это полностью компенсируется большей инерцией, присущей более массивному телу (его нежеланию двигаться, если хотите), а посему (если не учитывать сопротивление воздуха) все тела падают с одинаковым ускорением. Это практическое заключение вступало в полное противоречие с умозрительными предсказаниями древних и средневековых натурфилософов, которые были уверены, что всякой вещи свойственно стремиться к центру мироздания (коим им, естественно, представлялся центр Земли) и что чем массивнее предмет, тем с большей скоростью он к этому центру устремляется.

Свое видение Галилей, конечно же, подкрепил экспериментальными данными, но вот опыта, который ему традиционно приписывают, он, скорее всего, вовсе не проводил. Согласно околонаучному фольклору, он сбрасывал предметы различной массы с «падающей» Пизанской башни, чтобы продемонстрировать, что они достигают поверхности земли одновременно. В этом случае, однако, Галилея ждало бы разочарование, поскольку более тяжелые предметы неизбежно падали бы на землю раньше легких из-за разницы в удельном сопротивлении воздуха. Если бы сбрасываемые с башни предметы были одного размера, сила сопротивления воздуха, тормозящая их падение, была бы одинаковой для всех предметов. При этом из законов Ньютона следует, что более легкие предметы затормаживались бы воздухом интенсивнее тяжелых и падали на землю позднее тяжелых предметов. А это, естественно, противоречило бы предсказанию Галилея.

См. также:

Суд над Галилеем


Суд римско-католической инквизиции над Галилеем — такой же стойкий околонаучный миф, как и яблоко, якобы упавшее на голову Ньютону. И, как обычно и бывает в мифологии, к действительности эта история имеет мало отношения. Если верить этому мифу, Галилей привел суду неопровержимые доказательства правильности взглядов Николая Коперника на устройство Солнечной системы, согласно которым Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот, а затем был сломлен Церковью, желавшей подавить эту теорию, и принужден публично отречься от своих взглядов. На самом же деле Коперник, будучи весьма изощренным церковным политиком, представил свою гелиоцентрическую теорию в таком виде, что она вполне удовлетворяла богословские авторитеты того времени (в частности, называя её не иначе, чем «гипотезой»). Теория Коперника широко обсуждалась до Галилея и учеными, и даже самими ватиканскими богословами.

В 1616 году Галилей опубликовал книгу «Звездный вестник», в которой обобщил телескопические наблюдения и привел сильные доводы в пользу системы Коперника. Причем написана книга была на итальянском, а не на латыни, что сделало ее доступной не только ученым, но и широкому кругу образованных читателей. В ответ на упреки, что книга якобы противоречит церковным канонам, Коллегия кардиналов вызвала Галилея на свое заседание. Далее начинаются неясности, вызванные противоречивостью дошедших до нас свидетельств участников этого заседания. Согласно официальной версии, Галилею было указано на недопустимость дальнейших публичных обсуждений идей Коперника в иной форме, кроме как с указанием на то, что это всего лишь гипотеза, пока не будут представлены неопровержимые доказательства ее правильности. Галилей же стоит на том, что подобного предупреждения не получал.

Как бы то ни было, в 1632 году Галилей опубликовал работу «Диалог о двух главнейших системах мира», где привел развернутые аргументы в пользу гелиоцентрической системы Коперника, вложив при этом официальные возражения Папы в уста персонажа по имени Симпличо (по-итальянски «простак». — Прим. переводчика). Вот тогда-то против Галилея и было впервые выдвинуто обвинение в «подозрении на ересь»; при этом нужно понимать, что в устах инквизиции это обвинение соотносится с обвинением в собственно «ереси», примерно так же, как в современном гражданском судопроизводстве обвинение в непреднамеренном убийстве соотносится с обвинением в предумышленном убийстве при отягчающих обстоятельствах. От подозрения в ереси Галилей себя очистил, публично заявив, что сам не верит в то, что написал, после чего остаток жизни провел всего лишь под домашним арестом у себя во Флоренции. (В 1992 году Римско-католическая церковь официально пересмотрела приговор суда на том основании, что судьи не сумели отделить вопросов веры от научных фактов.)

Так что мы выносим из всей этой истории? По моему личному разумению, она описывает не более чем умышленное раскручивание маховика неповоротливой бюрократической машины человеком, намеренно стремящимся к конфронтации с ней. (Мне, например, представляется, что у Совета кардиналов имелись в то время дела и поважней, чем разбирательство с ученым по поводу абстрактной космологической теории.) Правда тут еще и в том, что доводы Галилея в пользу системы Коперника на поверку вовсе не являются такими уж убедительными. Более того, с точки зрения современной науки можно сказать, что Галилей пришел к верному заключению путем ошибочных рассуждений. Суда над ученым это, естественно, не оправдывает, однако всё действо, в этой связи, предстает в ином — куда менее мифологическом — свете.

elementy.ru

4.4 Кинематика прямолинейного равноускоренного движения

Мгновенная скорость неравномерного движения

(8)

При уменьшении величины интервала Δt = t2 – t1 вектор Δ=все точнее совпадает с вектором касательной в точке, отвечающей моменту времени t1. Таким образом, вектор (t) в каждой точке траектории (т.е. в каждый момент времени) направлен по касательной к траектории в этой точке.

Ускорение неравномерного движения

(9)

Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости за малый промежуток времени.

Когда тело движется с переменной скоростью по криволинейной траектории, то направление ускорения по отношению к направлению скорости зависит от того, как меняется скорость:

а) скорость возрастает, вектор ускорения образует острый угол с вектором скорости;

б) скорость не меняется по величине, ускорение перпендикулярно скорости или равно нулю;

в) скорость убывает, вектор ускорения образует тупой угол с вектором скорости.

В любом случае вектор ускорения при движении по криволинейной траектории всегда имеет отличную от нуля проекцию, направленную в сторону искривления траектории.

Размерность ускорения: [a] = м/с2.

Пусть тело движется по прямой с переменной скоростью υ(t). Перемещение тела геометрически есть площадь под кривой υ(t) между двумя фиксированными точками во времени. Аналитически это перемещение определяется как

(10)

Если вектор ускорения а постоянен по величине и направлению, то движение называется прямолинейным равноускоренным движением. Если принять направление скорости тела за направление движения и выбрать ось х в эту же сторону, то основные формулы, определяющие равноускоренное движение для проекции на ось OX, примут вид:

ax = const,

υx = υ0x + at, (11)

sx = υ0xt + axt2/2,

x = x0 + υ0xt + axt2/2.

Знак проекции ускорения определяет характер движения:

ax > 0 – равноускоренное;

ax < 0 – равнозамедленное.

Если исключить время t из уравнений для скорости υ и перемещения s прямолинейного равноускоренного движения, то получается формула, связывающая проекцию перемещения, скорость и ускорение (эта формула, конечно, верна при любом знаке a):

= + 2axsx. (12)

Уравнения равноускоренного прямолинейного движения в векторной форме:

(13)

Важным случаем равноускоренного движения является свободное падение в поле тяжести Земли с постоянным ускорением g≈9,8 м/с2.

Для описания такого движения удобно выбрать систему координат с осью y, направленной вертикально вверх. Тогда вектор ускорения = –gнаправлен вертикально вниз. Основные формулы принимают вид:

ay = – g,

υ y(t) = υy0 – gt, (14)

y(t) = y0 + υy0t – gt2/2.

Эти формулы в равной степени справедливы как для случая падения тела с некоторой высоты, так и для случая бросания тела вверх с некоторой начальной скоростью.

Пусть y0 = 0, υy0 = υ0 (тело брошено вертикально вверх с нулевой высоты в момент времени t = 0). В момент достижения максимальной высоты υy = 0. Этому соответствует момент времени, определяемый из уравнения:

0 = υy0 – gt*. (15)

Итак, время движения брошенного вверх тела до достижения максимальной высоты (время подъема)

t* = υ 0/g. (16)

Максимальная высота равна

(17)

studfiles.net

3. Формулы прямолинейного равноускоренного движения.

Если тело (материальная точка) движется вдоль оси х с постоянным ускорением, проекция которого на эту ось равна , то зависимость координаты телаот времениописывается уравнением

. (14)

Проекция скорости в моментравна

. (15)

- начальная координата и - проекция скорости на ось х в момент времени.

Формулы равноускоренного движения используются при решении задач на падение тел вблизи поверхности Земли, т.к. такое движение происходит под действием силы тяжести с постоянным ускорением м/c2 (ускорение свободного падения тел).

4. Поступательное движение тела.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе. Т.к. при поступательном движении траектории, скорости и ускорения всех точек тела совпадают, то для описания движения тела достаточно рассмотреть движение любой его точки.

Кинематика вращательного движения твердого тела.

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

  1. Характеристики вращательного движения.

а) Угловая скорость .

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью «омега», которая равна производной от угла поворота телапо времени

, (16)

- угол поворота тела за малое время .

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов и периодом вращения. Частота оборотовравна числу оборотов, сделанных за единицу времени,

, (17)

- число оборотов за время . Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2, тои

. (18)

Период вращения - это время, за которое тело совершает один оборот. Т.к.

,

то ,. (19)

рад/с ,об/с ,с .

б) Угловое ускорение .

Угловое ускорение «эпсилон» равно производной от угловой скоростипо времени,

, (20)

- изменение угловой скорости за время ..

Рисунок 3 – Направление угловой скорости .

Векторы инаправлены по оси вращения тела; вектор угловой скоростинаправлен в сторону хода правого винта при вращении винта в направлении вращения тела (рис.3). При ускоренном вращении тела направления векторовисовпадают, при замедленном – противоположны.

2. Связь линейных и угловых характеристик.

Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии , то за времяона проходит путь

.

Скорость точки , или

. (21)

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки , или

. (22)

Нормальное ускорение точки тела , или

. (23)

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

.

3. Формулы равноускоренного вращения.

Если угловое ускорение постоянно, то

, (24)

, (25)

и – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент,

и – в момент времени. При ускоренном вращении в уравнениях (24) - (25) выбирается знак «+», а при замедленном – знак «-».

Динамика законы ньютона

В основе классической механики лежат законы Ньютона.

1-й закон: если сумма сил, действующих на тело, равна нулю (), то тело или покоится, или движется прямолинейно и равномерно.

2-й закон: произведение массы тела на его ускорениеравно сумме сил, действующих на тело,

. (26)

3-й закон: с какой силой первое тело действует на второе, с такой же по величине и обратной по направлению силой второе тело действует на первое.

Системы отсчета, в которых справедливы законы Ньютона, называются инерциальными.

studfiles.net

Физика экзамен т.1 Основы классической механики Кинематика.

В кинематике дается математическое описание механического движения тел безотносительно к причинам, обеспечивающим осуществление каждого конкретного вида движения.

S – Перемещение. Вектор соединяющий, начальную и конечную точки движения.

L – Длина траектории. L и S могут не совпадать

V – Скорость равномерного движения, мгновенная скорость, конечная скорость в равноускоренном движении.

–Начальная скорость в равноускоренном движении

А – Ускорение.

S=vt Перемещение при равноМерном движении.

Перемещение при равноУскоренном движении.

Другие формулы, где встречается перемещение: - Скорость при равноМерном движении.A=FScosa - Работа силы

При движении тела относительно выбранной системы координат его положение изменяется с течением времени. Движение материальной точки будет полностью определено, если заданы непрерывные и однозначные функции координат от времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t) . Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения в  координатном виде.

Кинематическое уравнение движения в векторном виде, оно эквивалентно трем координатным уравнениям. Координатные и векторные уравнения движения связаны между собой, т.к. радиус–вектор можно представить в виде  .

Модуль радиус–вектора равен  

Рисунок 1.1.2. – Траектория, путь и вектор перемещения.

Вектором перемещения тела за промежуток времени 

Δt = t2– t1называется вектор, проведенный из положения тела в момент времени t1 (точка А на рисунке 1.1.2) в положение в момент времениt2 (точка С).

Вектор перемещения равен приращению радиус–вектора за рассматриваемый промежуток времени:

где Δx, Δy, Δ– приращения (изменения) координат точки за рассматриваемый промежуток времени.

Модуль вектора приращения равен

.

Длина вектора перемещения отличается при криволинейном движении от длины путитем больше, чем больше промежуток времениΔt. При Δt→0 в пределе величина перемещения равна пути, т.е. Δr→Δs.

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М1 стала . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на путииз М в М1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:Для этого перенесемпараллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концыравна стороне АСМАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим векторна две составляющих АВ и АД, и обе соответственно черези. Таким образом вектор изменения скоростиравен векторной сумме двух векторов:

По определению:

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R. Треугольники МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

или Но, тогда:

Переходя к пределу при и учитывая, что при этом, находим:

;

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального ускорений. Так как векторы этих ускорений взаимноперпендикулярны, то модуль полного ускорения равен:

Направление полного ускорения определяется углом между векторам и:

Ускорение вращательного движения тела (угловое ускорение) равно e = dw/dt

Если ускорение с течением времени не изменяется, то e = Dw/Dt,   где Dw = w - w0 - разность угловых скоростей в произвольный момент времени t и в момент времени t = 0.

  1. Вектор углового перемещения.

Вращательное движение абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой линии, называемой осью вращения. При вращательном движении точки тела, находящиеся на разном расстоянии от оси вращения за одинаковые промежутки времени имеют разные перемещения и имеют разные скорости и ускорения.

В то же время радиус-вектор, соединяющий точки тела с осью вращения, за одинаковые промежутки времени поворачиваются на один и тот же угол Δφ.

Введем понятие вектора углового перемещения. Вектор углового

перемещения Δϕ r - это вектор, определяющий, как вращается твердое тело. Направление вектора Δϕ r определяется правилом правого винта: если головку винта вращать в направлении вращении тела, то направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора Δϕ r.

Если время вращения бесконечно мало, угловое перемещение будет dϕ

d – векторная величина (псевдовектор, аксиальный вектор).

Модуль dϕ равен углу поворота.

Направление dϕ определяется правилом правого винта.

  1. Угловая скорость.

Средняя угловая скорость.

Пусть за время Δt тело повернулось на угол Δϕ . Средняя угловая скорость – это физическая величина равная отношению вектора углового перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло: Средняя угловая скорость – это вектор, направление которого совпадает с вектором Δϕ. Значит, вектор средней угловой скорости направлен по оси вращения и определяется правилом правого винта.

  1. Угловое ускорение.

Вращение с постоянной угловой скоростью ω = const называется равномерным.

Если угловая скорость ω ≠ const , то тело вращается с угловым ускорением.

Среднее угловое ускорение – это физическая величина, равная отношению вектора изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

Среднее угловое ускорение – это вектор, направление которого совпадает с направлением Δω .

Мгновенное угловое ускорение – это угловое ускорение вращающегося тела в данный момент времени. Мгновенное угловое ускорение – это физическая величина, равная отношению вектора элементарного изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло. Если время движения бесконечно мало 0 t →Δ , то вектор изменения угловой скорости Δω→dω , значит, мгновенное угловое ускорение – это предел, к которому стремится

среднее угловое ускорение при Δt → 0

Таким образом, угловым ускорением называется векторная величина, численно равная первой производной от угловой скорости по времени. Вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в ту сторону, что и ω при ускоренном вращении и в противоположную сторону при замедленном вращении.

Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ , линейной скорости v - угловая скорость w ,   линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение ε . 

Сравнительные параметры движения:

Поступательное движение

Вращательное движение

Перемещение

S

Угловое перемещение

φ

Линейная скорость

Угловая скорость

Ускорение

Угловое ускорение

Масса

m

Момент инерции

I

Импульс

Момент импульса

Сила

F

Момент силы

M

Работа

Кинетическая энергия

Выражения для вращательного движения напоминают соответствующие выражения поступательного движения. Они получаются из  последних формальной заменой  m → I , v → w , p → L

Выражения имеют не просто формальное сходство. Поступательное движение можно рассматривать, как вращательное, с радиусом вращения, стремящимся к бесконечности, и угловой скоростью, стремящейся к нулю.

studfiles.net