Матрица примеры – (37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры.

Свойства матриц, с примерами

Элементы матрицы А обозначают буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй – номер столбца.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, т.е.

   

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, т.е. если и , то

   

где

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера , каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы на число , т.е.

   

где

Свойства линейных операций над матрицами

  1. – коммутативность (переместительный закон) сложения;
  2. – ассоциативность (сочетательный закон) сложения;
  3. для любой матрицы А существует единственная нулевая матрица такая, что ;
  4. для любой матрицы А существует единственная матрица , называемая противоположной, такая что , где – нулевая матрица;
  5. ;
  6. ;
  7. ;
  8. .

Произведением матрицы А размера на матрицу В размера называется матрица размера , элемент которой, стоящий в -й строке и в -м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -й строки матрицы A и -го столбца матрицы В:

   

Замечание. Для матриц А и В произведение определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц

– матрицы,

  1. – ассоциативность умножения;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. Если матрица имеет размер , то равенство справедливо, только если – единичные матрицы -го и -го порядка.

Матрица размера называется транспонированной к матрице размера , если в ней на месте стоит элемент матрицы , или, иначе, матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Таким образом, если

   

то

   

Свойства операции транспонирования матриц

– матрицы, ):

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Примеры ступенчатых матриц

 

−2 7

8

2

−3

A2

 

0

1

7

−2 5

 

=

 

 

 

0

0

0

4

3

 

 

 

 

Теорема о ступенчатой матрице:

1)Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой матрице.

2)Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых

строк.

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

3

3

1

3

2

 

 

 

0

 

 

 

0

0

4

2

1

 

= 2

rang

0

rang

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

7

1

 

 

3

6

2

 

 

 

 

0

4

1

 

=3

0

0

0

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

studfiles.net

Виды матриц.

Навигация по странице:

Определение.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

Пример.

 4  1  -7  - квадратная матрица размера 3×3
 -1  0  2 
 4  6  7 

Определение.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. a
ij
 = 0, ∀i, j.

Пример.

 0  0  0  - нулевая матрица
 0  0  0 

Определение.

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Пример.

 1  4  -5  - вектор-строка

Определение.

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

Пример.

 8  - вектор-столбец
 -7 
 3 

Определение.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Пример диагональной матрицы.

 4  0  0  - диагональные элементы произвольныене диагональные элементы равны нулю
 0  5  0 
 0  0  0 

Определение.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Обозначение.

Единичную матрицу обычно обозначают символом E.

Пример единичной матрицы.

E =  1  0  0  - диагональные элементы равны 1не диагональные элементы равны нулю
 0  1  0 
 0  0  1 

Определение.

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы.

 7  -6  0 
 0  1  6 
 0  0  0 

Определение.

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

Пример нижней треугольной матрицы.

 7  0  0 
 6  1  0 
 -2  0  5 

N.B. Диагональная матрица - матрица, которая одновременно является верхней треугольной и нижней треугольной.


Определение.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
  • если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
  • если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

Примеры ступенчатых матриц.

 7  0  8 
 0  0  4 
 7  0  8  8  8 
 0  0  1  3  5 
 0  0  0  -3  5 
 0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0 

ru.onlinemschool.com

(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры.

Умноже́ниема́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́ниемма́триц.

Произведением матрицы размеровна матрицуразмеровназывается матрицаразмеров, элементы которой вычисляются по формуле

(14.5)

где ,.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матрицсогласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

 Найти произведения матриц AB и BA, если

   и   

   Р е ш е н и е: Имеем

назад в содержание

(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.

Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны: .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  нужно, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример:  Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.  Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение 

назад в содержание

(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?

Пусть a – квадратная матрица порядка n. Обратной к ней матрице называется такая матрица A-1, что A-1*A=E (здесь A-1 и E – квадратные матрицы того же порядка, причём E – единичная матрица).

Это определение вовсе не подразумевает, что обратная матрица существует для любой матрицы A.

Примеры

  1. не существует

  2. не существует

(0 0) – эта строка приводит к тому, что первая строка произведения этой матрицы на любую другую состоит из одних нулей (в единичной матрице это не так)

Определения с википедии:

  1. Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

  1. Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Исходная матрица А.

A =

Найдем матрицу А-1 обратную к матрице А.

Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.

Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.

Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.

Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.

 Рассмотрим столбец 1.

К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -3.

 Рассмотрим столбец 2.

К элементам строки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2.

Элементы строки 2 разделим на    -2 .

A-1 =

назад в содержание

studfiles.net

Примеры действий с матрицами - Документ

Примеры действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

. Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: 

Обратный пример: .

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

 – умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО. И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:
Транспонировать матрицу 

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 – транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:
Транспонировать матрицу 

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

 

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное. 
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:
Сложить матрицы  и 

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:
Найти разность матриц , 

А Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

 

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  необходимо, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример: 
Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла 

Как умножить матрицы?

Пример:
Умножить матрицу  на матрицу 

 

Пример сложнее:

Умножить матрицу  на матрицу 

Формула: 

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение  (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу  на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу  на матрицу 

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

gigabaza.ru