Матрицы и определители примеры и решения – Матрицы и определители | Математика, которая мне нравится

Типовые примеры Действия над матрицами

Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=(1)

Решение.По определению произведения матрица на число получаем:

Далее вычисляем выражение (1):

D=

Задача № 2. Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение.Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

(2)

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3.Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение.Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод:Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4(устно). Даны матрицыСуществуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5.Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение.Приведенные матрицы видаследовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6. Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

  1. Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

  1. Найти произведение матриц:

  1. Найти произведение матриц:

  1. Найти произведение матриц:

  1. Найти произведение матриц:

7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А2+8А, если.

9. Дана матрица .Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

  1. Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

  2. Свойства определителей.

  3. Какая матрица называется невырожденной?

  4. Какая матрица называется единичной?

  5. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

  6. Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

  7. Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

  8. Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель:

а ) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

а)

б)

в)

Задача № 2. Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa23 определителяи вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М23; А23

Задача № 3.Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4.Решить уравнение

Решение.

Задача № 5.Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

Ответ: 63.

studfiles.net

Определитель, детерминант матрицы

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

   

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

   

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

  1. определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
  2. при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
  3. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

   

определитель равен

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Определитель — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения).

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель квадратной матрицы A{\displaystyle A} размеров n×n{\displaystyle n\times n}, заданной над коммутативным кольцом R{\displaystyle R}, является элементом кольца R{\displaystyle R}, вычисляемым по формуле, приведённой ниже.

Он «определяет» свойства матрицы A{\displaystyle A}. В частности, матрица A{\displaystyle A} обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца R{\displaystyle R}.

В случае, когда R{\displaystyle R} — поле, определитель матрицы A{\displaystyle A} равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы A

ru.wikipedia.org

Определители матриц и их свойства

Для каждой квадратной матрицы существует важная числовая характеристика, называемая определителем матрицы, обозначаемая det A, или |A|, или ∆ – «дельта».

Определение (определителя матрицы).

  1. Если матрица состоит из одного числа: А = (а)1×1

    , то определитель матрицы равен этому числу det A = a.

  2. Пусть дана квадратная матрица второго порядка из четырех чисел a, b, c, d. Определитель второго порядка вычисляется как разность между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях:

.

Например, .

  1. Определители третьего порядка удобно считать по правилу треугольника. Рассмотрим его схематично (рис. 1.1). Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел. Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством:

Для практики вычислений удобно пользоваться схемой: первые три слагаемые в правой части равенства представляют собой произведения трех элементов определителя, взятых, как показано пунктирами на (рис. 1.1) слева. Чтобы получить следующие три члена, нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано пунктирами на той же схеме справа, и взять их с противоположным

знаком (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Правило треугольника для вычисления определителя

Пример 1.3. Вычисление определителя по правилу треугольника.

.

  1. Определители высших порядков можно вычислить, раскладывая их по любой выбранной строке или столбцу, сведением к определителям меньших размерностей по формуле: . Суммирование ведется по одному индексу.Аij называется алгебраическим дополнением к элементу аij , это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца.

Пример 1.4. Вычисление определителя четвертого порядка разложением по первой строке.

= 1 ٠ –2 ٠+ 2 ٠–0٠ = = 1 ٠(3–18) – 2٠(2+1) + 2٠(–3)= –15 – 6 – 6 = –27.

1.4. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

1) ; 2); 3); 4);

5) ; 6); 7); 8).

1.5. Вычислить определители матриц (табл. 1.3) разложением по элементам целесообразно выбранной строки (столбца).

Таблица 1.3

1

2

3

4

Матрица

1 0 3 1

0 1 –1 2

2 –1 1 0

–1 0 1 4

2 3 –1 1

1 0 –1 2

0 –3 0 1

1 2 3 0

1 2 2 0

–1 0 1 –3

0 0 –2 1

0 3 1 1

4 6 –2 4

1 2 –3 1

4 –2 1 0

6 4 4 6

      1. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Определение. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если А٠А–1 = А–1٠А = Е.

Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Обратная матрица находится по формуле:

, где Т – транспонирование матрицы, а – присоединенная матица, состоящая из алгебраических дополнений.Аij – это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца, взятый со знаком .

Для матриц размера обратная матрица может быть найдена по формуле:

1.6. Найти обратные матрицы для следующих матриц (табл. 1.4)

Таблица 1.4

1

2

3

4

5

Матрица

1 2

3 4

3 4

5 7

–3 2 4

2 1 0

1 0 1

2 5 7

6 3 4

5 –2 –2

1 2 3

0 1 2

0 0 1

1.7. При каких значениях матрица А не имеет обратной:

  1. ; 2) ;3).

Пример 1.5. Решение матричного уравнения.

Пусть дано матричное уравнение

Нужно найти матрицу Х.

Обозначим А =, а В =, тогда имеем уравнение Х ٠ А = В. Умножим обе части справа на А–1:

Применяя ассоциативность умножения матриц,

При решении матричных уравнений важно следить за тем, с какой стороны нужно умножать, в силу неперестановочности умножения матриц.

Найдем матрицу А–1 , предварительно вычислим определитель:

Найдем А===.

Итак,

Проверка: – верно.

1.8. Решить матричное уравнение:

1) ; 2);

  1. ; 4) ;

5) ; 6).

studfiles.net

Матрицы и определители | Математика, которая мне нравится

1. След матрицы

Определение. Следом матрицы называется сумма элементов, стоящих по главной диагонали.

Обозначение: .

Свойства следа:

1. .

2. .

3. .

Задача. Доказать, что матричное уравнение , где — квадратная матрица , — единичная матрица, решений не имеет.

Решение. След матрицы, стоящей в левой части уравнения, равен , а в правой части — .

2. Вычисление некоторых определителей

2.1. Циклический определитель (циркулянт)

   

В строках циклически передвигаются .

Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим

   

Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:

   

   

Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:

   

2.2. Определитель Вандермонда

   

Вычтем последовательно из -го, -го, , второго столбца предыдущий, домноженный на :

   

разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя -го порядка:

   

   

Определитель имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:

   

Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу

   

2.3. Циклический определитель (циркулянт) еще раз

А теперь рассмотрим циркулянт общего вида

   

Рассмотрим полином . Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по ( — корень степени из ) и воспользуемся равенством . Получим

   

   

   

откуда

   

поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.

2.4. Ганкелев определитель

Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:

   

Элементы —  образующие ганкелевой матрицы.

Теорема. Если при , то

   

Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения:

   

На основании теоремы Бинe — Коши, равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:

   

2.5. Определитель Коши

   

Вычтем из второго, третьего и т.д., -го столбца первый:

   

и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

   

Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., -й:

   

разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

   

В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:

   

2.6. Определитель матрицы Гильберта

Если при , то определитель матрицы Гильберта

   

равен

   

Он получается из определителя Коши, если положить , .

2.7. Ленточный определитель

Определитель Якоби:

   

после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по , линейный по каждой переменной. Если разложить по последней строке, то получим:

   

Теорема. Значение равно сумме главного члена и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей на .

Частный случай определителя Якоби — континуант:

   

Его величина совпадает с континуантой.

Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (при
одинаковых элементах на диагоналях):

   

В этом случае уравнение получим

   

Таким образом, для нахождения определителя нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители и :

   

Упражнение. Вычислить определитель

   

Задачи.

1. Пусть матрица , , и — минор элемента . Пусть — матрица, составленная из элементов , и . Докажите, что .

2. Пусть

   

Для каких уравнение имеет кратные корни по ?

3. Пусть — матрица с элементами . Найдите .

4. Пусть — единичная матрица ,

   

Докажите, что наибольший общий делитель элементов матрицы стремится к бесконечности при .

5. Пусть — матрица, диагональные элементы ее все равны и , если четно и , если нечетно. Найдите

   

6. Вычислите

   

7. Найдите определитель -го порядка

   

8. Пусть и — вещественные не равные матрицы , такие, что и . можно ли выбрать матрицы и так, чтобы матрица была обратима?

9. Пусть — конечная группа, состоящая из вещественных матриц с операцией матричного умножения. Сумма следов всех элементов равна нулю. Докажите, что сумма всех элементов — нулевая матрица.

10. Пусть и — матрицы с целыми элементами. Пусть матрицы и имеют обратные с целыми элементами. Докажите, что и матрица тоже имеет обратную с целыми элементами.

11. Доказать, что определитель вещественной кососимметрической матрицы не может быть отрицательным числом.

12. Пусть

   

Существует ли матрица такая, что ?

   

13. Даны две матрицы и размерами и соответственно, причем известно, что

   

Найдите .

14. Пусть — матрица: при и . Докажите, что число ненулевых элементов в разложении равно .

Больше о матрицах и определителях (и не только): http://pmpu.ru/vf4/

hijos.ru

1.2.4. Примеры решения задач по теме «Определители»

Задача 1.

Вычислить определитель

.

Указание

Воспользуйтесь либо правилом треугольников, либо разложением определителя по 2-й строке или 2-му столбцу, содержащим нулевой элемент.

Решение

1-й способ (правило треугольников).

Вычислим определитель 3-го порядка, используя его определение:

Δ = 2·0·(-1) + (-3)·(-4)·2 + 5·1·1 - 2·0·5 -1·(-4)·2 – (-1)·1·(-3) =

= 0 + 24 + 5 – 0 + 8 – 3 = 34.

2-й способ (разложение по строке).

Применим свойство определителя:

.

Для удобства вычисления выберем 2-ю строку, содержащую нулевой элемент (А22 = 0), поскольку при этом нет необходимости находить А22, так как произведение А22 А22 = 0. Итак,

(напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение Aij, получается вычеркиванием из исходного определителя I-й строки и J-го столбца).

Тогда Δ = А21 А21 + А23 А23 = 1·2 + (-4)(-8) = 34.

Ответ: Δ = 34.

Задача 2.

Используя свойства определителя, вычислить определитель

.

Указание

Вычитая из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки, добьемся того, что в 1-м столбце останется только один ненулевой элемент. Далее можно разложить определитель по 1-му столбцу.

Решение

Поскольку все элементы первого столбца равны 1, вычтем из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки (при этом величина определителя не изменится – свойство 6):

.

Заметим, что теперь все элементы 2-й строки кратны двум, а элементы 3-й строки кратны трем. По следствию 2.2 соответствующие множители можно вынести за знак определителя:

.

Вычтем из элементов 3-й строки полученного определителя соответствующие элементы 2-й строки:

И разложим определитель по 1-му столбцу:

Ответ: Δ = 6.

Разумеется, можно было вычислять этот определитель непосредственно (например, по правилу треугольников), но использование свойств определителей позволило существенно сократить и упростить численные расчеты.

Задача 3.

Используя свойства определителей, вычислить определитель

.

Указание

Прибавьте к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтите удвоенные элементы 1-й строки. Затем вынесите за знак определителя все общие множители элементов какой-либо строки или столбца.

Решение

Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:

Вынесем за знак определителя множитель -1 из 2-й строки и 3 – из 3-й:

Теперь из 3-го столбца вынесем множитель -2:

Вычтем из элементов 2-го столбца элементы 3-го столбца и разложим полученный определитель по 3-й строке:

Ответ: Δ = 306.

Задача 4.

Решить уравнение

Указание

Разложив определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке, и приравняв его 40, вы получите квадратное уравнение для Х.

Решение

Разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке. Предварительно найдем соответствующие алгебраические дополнения:

Тогда

И требуется решить квадратное уравнение

.

Ответ:

Задача 5.

Решить неравенство

Указание

Раскройте определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке.

Решение

Раскроем определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке:

3(10 - 12) – X(2X – 9) + 4X – 15 > - 3;

-2X2 + 13X – 18 > 0;

2X2 – 13X + 18 < 0;

2 < X < 4,5.

Ответ: (2; 4,5).

Задача 6.

Используя свойства определителей (не раскрывая определитель), вычислить определитель

Указание

Используйте тригонометрическую формулу cos 2A = cos2A - sin2A и свойство определителя с двумя равными столбцами.

Решение

Из тригонометрии известно, что cos 2A = cos2A - sin2A. Вычтем из элементов

2-го столбца определителя соответствующие элементы 1-го столбца:

У полученного определителя, равного исходному (свойство 6), два столбца одинаковы, поэтому он равен нулю (следствие 2.1).

Ответ: 0.

Задача 7.

Вычислить определитель 4-го порядка

.

Указание

Преобразуйте определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуйтесь свойством 6.

Решение

Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством 6. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный +1. Выберем в качестве такого элемента А13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:

А) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;

Б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;

В) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки

(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда

Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:

Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:

И разложим этот определитель по 1-й строке:

Ответ: Δ = -9.

Задача 8.

Вычислить определитель 4-го порядка

Указание

Разложите определитель по 1-й строке, а затем полученный определитель 3-го порядка вновь разложите по 1-й строке.

Решение

Разложим определитель по 1-й строке:

Полученный определитель 3-го порядка вновь разложим по 1-й строке:

Ответ: Δ = 24.

Обратите внимание: если в определителе все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то определитель равен произведению элементов,

Стоящих на главной диагонали.

Ответ: Δ = 24.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений


Стр 1 из 2Следующая ⇒

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

 

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

 

.

 

Числа называются элементами матрицы. Таким образом, первый индекс элемента указывает на номер строки, второй – на номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если m=n, т.е. число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a11, a22, …, ann, называется главной диагональю.

Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица , у которой каждая строка является столбцом матрицы А с тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицы А), называется транспонированной к матрице А. Переход от матрицы А к В называется транспонированием. Будем обоз­на­чать транспонированную матрицу АТ.

Заметим, что .

 

Определители

 

Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие.

Пусть (s1, s2, … ,sn) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (si, sj), что i < j, а si> sj. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3).

Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае.

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

 

или det A .

 

Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:

 

(1.1)

 

(1.2)

 

Примеры:

1) ,

2) .

Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом:

Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:

 

Свойства определителей

 

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

.

 

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

.

 

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых , то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданной матрице, а i-я строка в первой матрице состоит из элементов bj, а во второй – из элементов cj.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

 

,

 

если существуют некоторые числа a1, …, am, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее: , или то же самое можно записать в обозначениях строк:

 

.

 

7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

.

 

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы.

Пример.

 

.

 

Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю.

Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.

 

Алгебра матриц

 

Понятие матрицы, благодаря своим многочисленным применениям, стало предметом самостоятельной теории, в основе которой лежат алгебраические операции над матрицами: сложение и умножение.

Определим сначала равенство и сложение матриц.

Матрицы А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называются равными, если для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. Равенство матриц обозначается А = В.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называется матрица С = А + В, элементы которой получаются путем сложения соответствующих элементов данных матриц: для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Определенное таким образом сложение будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным.

Для сложения существует и обратная операция – вычитание матриц А – В. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная из одних нулей.

Введем операцию умножения матрицы на число.

Произведением матрицы А на число lназывается матрица С = l × А, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на число l: , где i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Все перечисленные выше операции над матрицами аналогичны операциям над числами и являются вполне естественными.

Следующая операция умножения матриц на первый взгляд покажется не столь очевидной.

Произведением матрицы А размера m´n с элементами и матрицы В размера n´p с элементами называется матрица С = АВ размера m´p c элементами , если

 

, (1.7)

 

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Пример.

 

.

 

Теперь можно легко составлять и вычислять матричные выражения.

Пример. Если , то .

 

Нахождение обратной матрицы

 

Существует два способа нахождения обратной матрицы.

1.Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы . Так как detA ¹ 0, то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения всех элементов (см. форулу (1.3):

 

 

Составим присоединенную матрицу

 

.

 

Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:

 

.

 

2.Метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

а) перестановка двух строк или двух столбцов,

б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число,

в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца.

Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями.

Пусть – матрицы, выражающие элементарные преобразования, которые данную матрицу А приводят к единичной матрице, т.е.

 

.

 

Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу , получим

 

.

 

Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице .

Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А.

Пример. Найти обратную к матрице .

Припишем справа единичную матрицу

 

.

 

Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим

 

.

 

Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим

 

.

 

Таким образом,

 

.

 

Метод Крамера

 

Изложенная выше теория определителей позволяет исследовать на совместность системы, имеющие одинаковое количество уравнений и неизвестных.

Теорема 1.3. (Крамера).Система n уравнений с n неизвестными

 

(1.10)

 

имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:

 

, (1.11)

 

где D – определитель матрицы системы, а Dk – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Выберем произвольное число k = 1,…,n. Умножим левую и правую части первого уравнения системы (1.10) на , второго уравнения – на , …, последнего – на . Затем сложим левые и правые части полученных равенств, сгруп­пировав слагаемые с одинаковыми переменными хi. Получим равенство

 

.

 

или

 

.

 

При хk получим коэффициент . Это есть определитель матрицы системы D. Коэффициенты при остальных хj, j ¹ k, имеют вид и будут равны нулю, так как сумма представляет собой определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (вместо k-го столбца в определителе D стоит j-й столбец).

Таким образом, получили равенство

 

.

 

Выражение справа, очевидно, является разложением по k-му столбцу определителя

 

,

 

получающегося из определителя D заменой k-го столбца столбцом из чисел b1, b2, …, bn, т.е. Dk. Тогда имеем . Отсюда, так как D ¹ 0, получаем .

Пример. Решить систему.

Вычислим определители:

 

.

 

 

Так как определитель матрицы системы Δ отличен от нуля, то система совместна, тогда решения системы находятся по формулам (1.11):

 

.

 

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

 

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

 

.

 

Числа называются элементами матрицы. Таким образом, первый индекс элемента указывает на номер строки, второй – на номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если m=n, т.е. число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a11, a22, …, ann, называется главной диагональю.

Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица , у которой каждая строка является столбцом матрицы А с тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицы А), называется транспонированной к матрице А. Переход от матрицы А к В называется транспонированием. Будем обоз­на­чать транспонированную матрицу АТ.

Заметим, что .

 

Определители

 

Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие.

Пусть (s1, s2, … ,sn) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (si, sj), что i < j, а si> sj. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3).

Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае.

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

 

или det A .

 

Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:

 

(1.1)

 

(1.2)

 

Примеры:

1) ,

2) .

Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом:

Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:

 

Свойства определителей

 

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

.

 

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

.

 

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых , то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданной матрице, а i-я строка в первой матрице состоит из элементов bj, а во второй – из элементов cj.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

 

,

 

если существуют некоторые числа a1, …, am, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее: , или то же самое можно записать в обозначениях строк:

 

.

 

7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

.

 

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы.

Пример.

 

.

 

Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю.

Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.

 


Рекомендуемые страницы:

lektsia.com