Матрицы сумма – : ,

Матрицы, основные операции с матрицами

Определение матрицы

Матрицей размера называется набор чисел, записанных в таблицу из строк и столбцов:

   

Матрицу часто окружают обычными скобками:

   

Эти две записи матриц эквиваленты.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.

Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,

   

Тогда матрицы и равны, если для любого и для любого .

Сложение матриц

Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.

Пусть

   

Суммой матриц и называется матрица

   

То есть матрица является суммой матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме элементов матриц и , стоящих на тех же местах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число (обозначается ) называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на . То есть

   

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.

Матрица называется противоположной матрице . Разностью матриц и называется сумма .

Пример. Найти сумму и разность матриц

   

Решение. Сумма матриц

   

Разность матриц

   

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицу

   

состоящую из строк и столбцов. Матрица , все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы , называется транспонированной по отношению к и обозначается :

   

Пример. Транспонировать матрицу

   

Решение.

   

umath.ru

Сумма матриц

 

Описание переменных: 

one, two - исходные матрицы;
three - матрица-сумма двух предыдущих;
matrix - процедура, заполняющая массив случайными числами;

printer - процедура, выводящая содержимое массивов на экран;
plus - процедура, вычисляющая сумму матриц.

Алгоритм решения задачи: 

Под суммой матриц будем понимать сложение их элементов, находящихся в одинаковых позициях (имеющих одинаковые индексы). Таким образом уместно складывать матрицы одинаковой размерности. При этом будет получена третья матрица с такой же размерностью как исходные.

При решении подобной задачи лучше использовать подпрограммы (процедуры или функции), так как нам приходится заполнять несколько массивов и выводить их на экран. Без подпрограмм в коде будет содержаться много почти идентичного кода.

Используются процедуры, а не функции, так как при заполнении массивов в подпрограмму передается переменная, а не значение. Таким образом, процедура заполняет "внешнюю" для нее матрицу.

В процедуру, вычисляющую сумму матриц, передается три параметра: переменная матрицы-суммы, значения первой и второй матрицы.

В основной ветке программы процедуры последовательно вызываются.

Следует обратить внимание, что randomize вызывается единожды в основной ветке программы. Если данную команду вставить в процедуру заполнения массива, то оба массива будут заполнены одинаковыми числами. Это связано с тем, что "зерно" зависит от таймера, а между двумя вызовами проходит мало времени, чтобы таймер изменил значение. Таким образом, "зерно" в программе надо получать один раз. В этом случае при повторном вызове процедуры отсчет по формуле генерации псевдослучайных чисел продолжается, а не инициируется заново.

Программа на языке Паскаль: 

 

const N = 2; M = 5;
type arr = array[1..N,1..M] of integer;
var
	one,two,three: arr;
	i,j: byte;
 
procedure matrix(var a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := random(100);
	end;
 
procedure plus(var a: arr; b: arr; c: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := b[i,j]+c[i,j];
	end;
 
procedure printer(a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do begin
			for j:=1 to M do
				write(a[i,j]:4);
			writeln;
		end;
	end;
 
begin 
	randomize;
	matrix(one);
	printer(one);
	writeln;
	matrix(two);
	printer(two);
	writeln;
	plus(three,one,two);
	printer(three);
end.

 

Пример выполнения программы, вычисляющей сумму двух матриц:

  67  47  72   3  57
  72  99  89  94  90
 
   3  24  12  81  56
  99  76  37  21   4
 
  70  71  84  84 113
 171 175 126 115  94

 

pas1.ru

Сумма матриц - это... Что такое Сумма матриц?

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица

    — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dic.academic.ru

    Сумма элементов столбцов матрицы

    Матрицу можно представить как массив, в который вложены другие массивы. Эти другие массивы имеют одинаковую длину (например, M), а количество этих вложенных массивов - другое число (например, N). Так, если M = 7, а N = 5, то это значит, что матрица состоит из 5 одномерных массивов, в каждом из которых по 7 элементов.

    Элементы одного вложенного массива обычно считают строкой матрицы. Столбцы же матрицы формируют элементы разных вложенных массивов, но имеющие в них одинаковые индексы (занимающие одинаковые позиции). Так, все первые элементы вложенных массивов, формируют первый столбец матрицы. Элементы с индексом 2 образуют второй столбец.

    Если mat - это переменная-матрица, то выражение mat[i,j] обозначает обращение к элементу, имеющему номер строки i (это номер вложенного массива), и номер столбца j (это номер самого элемента во вложенном массиве).

    Обычно матрицы заполняются по-строчно: во внешнем цикле перебираются строки, во внутреннем - элементы строк (формируют столбцы). Однако это не обязательно. Заполнять можно и по столбцам: во внешнем цикле перебирать столбцы, во внутреннем - обращаться к элементам разных вложенных массивов, но имеющих идентичный индекс.

    В программе ниже заполнение двумерного массива происходит по-строчно (стандартно), затем вычисляется сумма элементов каждого столбца, и здесь обход происходит по столбцам. Обратите внимание, что в данном случае внешний цикл отсчитывает до M, а внутренний - до N. В разных итерациях вложенного цикла различна первая переменная-индекс (в данном случае i), обозначающая номер строки, а столбец остается постоянным.

    const
        M = 7;
        N = 5;
    var
        mat: array[1..N,1..M] of real;
        i, j: byte;
        sum: real;
    begin 
        for i:=1 to N do begin // заполнение матрицы
            for j:=1 to M do begin
                mat[i,j] := random();
                write(mat[i,j]:6:2);
            end;
            writeln;
        end;
        writeln('Sum of col:');
        for j:=1 to M do begin // подсчет сумм
            sum := 0;
            for i:=1 to N do
                sum := sum + mat[i,j];
            write(sum:6:2);
        end;
        writeln;
    end.

    Пример выполнения кода программы:

      0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54
      0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30
      0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79
      0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84
      0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83
    Sum of col:
      3.17  1.94  2.87  2.98  1.78  3.07  3.30

    Когда поставлена задача нахождения суммы элементов только определенного столбца, то она решается проще, без вложенного цикла. Вместо переменной j используется конкретное число, обозначающее столбец, сумму которого следует посчитать. Например, для вычисления суммы элементов третьего столбца код будет таким:

        ...
        sum := 0;
        for i:=1 to N do
            sum := sum + mat[i,3];
        writeln(sum:6:2);
        ...

    pas1.ru

    Сложение матриц онлайн

    www.matcabi.net позволяет найти сумму матриц онлайн. Сайт производит сложение матриц онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Суммой матриц будет являться матрица, каждый элемент которой вычисляется как сумма соответствующих элементов суммируемых матриц онлайн. При сложении матриц, каждый элемент полученной матрицы будет результатом сложения соответствующих элементов складываемых матриц онлайн. Найти онлайн сумму двух матриц одинаковых размерностей сводится к нахождению

    матрицы этой же размерности. Операция сложения онлайн двух матриц одинаковых размерностей сводится к нахождению матрицы этой же размерности. Элементы этой матрицы составляют алгебраическую сумму элементов суммируемых матриц, это результат сложения матриц онлайн. Задача по нахождению суммы матриц онлайн или операция сложения матриц онлайн заключается в простом алгебраическом сложении элементов матриц. www.matcabi.net находит сумму матриц заданных размерностей в режиме онлайн. Сложение матриц онлайн заданной размерности - это нахождение той же размерности матрицы, элементами которой будут суммы чисел соответствующих элементов складываемых матриц. Относительно алгебраического сложения матрицы образуют абелеву группу. Нахождение суммы матриц онлайн широко распространено в теории матриц. Сложение матриц онлайн используется для определения результирующей матрицы от
    сложения
    заданных матриц. Для того, чтобы вычислить сумму матриц или определить сложение матриц онлайн, необходимо затратить не мало времени, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет сумму матриц онлайн от сложения двух заданных матриц онлайн. При этом ответ по нахождению суммы матриц будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при сложении матриц онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть сумма матриц онлайн может быть представлена в общем символьном виде при сложении матриц онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи на сложение матриц онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции сложения матриц онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему сложение матриц онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки сложения матриц онлайн.

    www.matcabi.net

    Блочные матрицы и кронекеровские произведение и сумма матриц

    Блочные (клеточные) матрицы и операции над ними

    Числовая матрица [cbm]A[/cbm] размеров [cbm]m\times n[/cbm] , разделенная горизонтальными и вертикальными линиями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной (клеточной) матрицей. Элементами блочной матрицы [cbm]A[/cbm] являются матрицы [cbm]A_{ij}[/cbm] размеров [cbm]m_i\times n_j[/cbm] , [cbm]i=1,2,\ldots,p,[/cbm] [cbm]j=1,2,\ldots,q[/cbm] , причем [cbm]m_1+m_2+\ldots+m_p=m[/cbm] и [cbm]n_1+n_2+\ldots+n_q=n[/cbm] .

    Операции с блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и с числовыми матрицами. Если числовые матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] равных размеров одинаково разбиты на блоки [cbm]A=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] и [cbm]B=\begin{pmatrix}B_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] , то их сумму [cbm]C=A+B[/cbm] можно аналогичным образом разбить на блоки [cbm]C=\begin{pmatrix}C_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] , причем для каждого блока [cbm]C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}[/cbm] . Если блочную матрицу [cbm]A=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] умножить на число [cbm]\lambda[/cbm] , то получим матрицу [cbm]\lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix}\lambda A_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] . При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежит блочная структура и все ее блоки, например

    [cbm]A^T= \begin{pmatrix}A_{11}&\!\!\vline&\!\!A_{12}\\\hline A_{21}&\!\!\vline&\!\!A_{22}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix} A_{11}^T&\!\!\vline&\!\!A_{21}^T\\\hline A_{12}^T&\!\!\vline&\!\!A_{22}^T\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Пример 1.25. Даны блочные матрицы

    [cbm]A=\begin{pmatrix}2&3&\!\!\vline&\!\!4\\\hline 3&4&\!\!\vline&\!\!5\\ 4&5&\!\!\vline&\!\!6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_{11}&\!\!\vline&\!\!A_{12}\\\hline A_{21}&\!\!\vline&\!\!A_{22}\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&1&\!\!\vline&\!\!0\\\hline 2&1&\!\!\vline&\!\!2\\ 3&0&\!\!\vline&\!\!1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}B_{11}&\!\!\vline&\!\!B_{12}\\\hline B_{21}&\!\!\vline&\!\!B_{22}\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Найти матрицы [cbm]C=A+B,~D=5B,~B^T[/cbm] .

    Решение. Матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] имеют блоки одинаковых размеров: блоки [cbm]A_{11}[/cbm] и [cbm]B_{11}[/cbm] имеют размеры [cbm]m_1\times n_1=1\times2[/cbm] ; блоки [cbm]A_{12}[/cbm] и [cbm]B_{12}[/cbm] — [cbm]m_1\times n_2=1\times1[/cbm] ; блоки [cbm]A_{21}[/cbm] и [cbm]B_{21}[/cbm] — [cbm]m_2\times n_1=2\times2[/cbm] ; блоки [cbm]A_{22}[/cbm] и [cbm]B_{22}[/cbm] — [cbm]m_2\times n_2=2\times1[/cbm] . Матрица [cbm]C=A+B[/cbm] будет иметь такие же по размерам блоки [cbm]C=\begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}[/cbm] . Для каждого блока находим

    [cbm]\begin{gathered} C_{11}=A_{11}+B_{11}= \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix};\quad C_{12}=A_{12}+B_{12}= \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{21}=A_{21}+B_{21}= \begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5&5\\7&5\end{pmatrix}\!;~~ C_{22}=A_{22}+B_{22}= \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/cbm]

    Следовательно, матрица [cbm]C[/cbm] будет следующая

    [cbm]C=\begin{pmatrix}3&4&\!\!\vline&\!\!4\\\hline 5&5&\!\!\vline&\!\!7\\ 7&5&\!\!\vline&\!\!7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}\!.[/cbm]

    Матрица [cbm]D=5B[/cbm] будет иметь блоки тех же размеров, что и [cbm]B[/cbm] :

    [cbm]\begin{gathered}D_{11}=5B_{11}=5\cdot \begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5&5\end{pmatrix}\!;\quad D_{12}=5B_{12}=5\cdot \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}\!;\\[3pt] D_{21}=5B_{21}=5\cdot \begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10&5\\15&0\end{pmatrix}\!;\quad D_{22}=5B_{22}=5\cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/cbm]


    Поэтому матрица [cbm]D[/cbm] будет иметь вид

    [cbm]D=\begin{pmatrix}5&5&\!\!\vline&\!\!0\\\hline 10&5&\!\!\vline&\!\!10\\ 15&0&\!\!\vline&\!\!5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}D_{11}&\!\!\vline&\!\!D_{12}\\\hline D_{21}&\!\!\vline&\!\!D_{22}\end{pmatrix}\!.[/cbm]

    Используя правило транспонирования блочных матриц, получаем

    [cbm]B^T= \begin{pmatrix}B_{11}^T&\!\!\vline&\!\!B_{21}^T\\\hline B_{12}^T&\!\!\vline&\!\!B_{22}^T\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&\!\!\vline&\!\!2&3\\ 1&\!\!\vline&\!\!1&0\\\hline 0&\!\!\vline&\!\!2&1\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Умножение блочных матриц

    Рассмотрим теперь операцию умножения блочных матриц [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] . Блочные матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] называются согласованными, если разбиение матрицы [cbm]A=\begin{pmatrix}A_{ik}\end{pmatrix}[/cbm] на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы [cbm]B=\begin{pmatrix}B_{kj}\end{pmatrix}[/cbm] по строкам, т.е. блоки [cbm]A_{ik}[/cbm] имеют размеры [cbm]m_i\times p_k[/cbm] , а блоки [cbm]B_{kj}[/cbm] — [cbm]p_k\times n_j[/cbm] [cbm](k=1,2,\ldots,s)[/cbm] . У согласованных блочных матриц блоки [cbm]A_{ik}[/cbm] и [cbm]B_{kj}[/cbm] являются согласованными матрицами.

    Произведением [cbm]C=A\cdot B[/cbm] согласованных блочных матриц [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] называется блочная матрица [cbm]C=\begin{pmatrix}C_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] , блоки которой вычисляются по следующей формуле

    [cbm]C_{ij}= A_{i1}\cdot B_{1j}+ A_{i2}\cdot B_{2j}+\ldots+ A_{is}\cdot B_{sj}.[/cbm]

    Это означает, что блочные матрицы, разделенные на блоки надлежащим образом, можно перемножать обычным способом. Чтобы получить блок [cbm]C_{ij}[/cbm] произведения, надо выделить i-ю строку блоков матрицы [cbm]A[/cbm] и j-й столбец блоков матрицы [cbm]B[/cbm] . Затем найти сумму попарных произведений соответствующих блоков: первый блок i-й строки блоков умножается на первый блок j-го столбца блоков, второй блок i-й строки блоков умножается на второй блок j-го столбца и т.д., а результаты умножений складываются.


    Пример 1.26. Даны блочные матрицы

    [cbm]A= \begin{pmatrix}2&3\!\!&\vline\!\!&4\\\hline 3&4\!\!&\vline\!\!&5\\ 4&5\!\!&\vline\!\!&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_{11}&\!\!\vline&\!\!A_{12}\\\hline A_{21}&\!\!\vline&\!\!A_{22}\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&1&\!\!\vline&\!\!0\\ 2&1&\!\!\vline&\!\!2\\\hline 3&0&\!\!\vline&\!\!1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}B_{11}&\!\!\vline&\!\!B_{12}\\\hline B_{21}&\!\!\vline&\!\!B_{22}\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Найти произведение блочных матриц

    [cbm]C=AB[/cbm]

    .

    Решение. Матрица [cbm]A[/cbm] разбита на блоки: [cbm]A_{11}[/cbm] размеров [cbm]m_1\times p_1=1\times2;[/cbm] [cbm]A_{12}[/cbm] — [cbm]m_1\times p_2=1\times1;[/cbm] [cbm]A_{21}[/cbm] — [cbm]m_2\times p_1=2\times2;[/cbm] [cbm]A_{22}[/cbm] — [cbm]m_2\times p_2=2\times1[/cbm] . Матрица [cbm]B[/cbm] разбита на блоки: [cbm]B_{11}[/cbm] размеров [cbm]p_1\times n_1=2\times2;[/cbm] [cbm]B_{12}[/cbm] — [cbm]p_1\times n_2=2\times1;[/cbm] [cbm]B_{21}[/cbm] — [cbm]p_2\times n_1=1\times2;[/cbm] [cbm]B_{22}[/cbm] — [cbm]p_2\times n_2=1\times1[/cbm] . Блочные матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] согласованы. Матрица [cbm]A[/cbm] разбита по столбцам на два и один (считая слева), матрица [cbm]B[/cbm] разбита по строкам на две и одну (считая сверху). Поэтому произведение [cbm]AB[/cbm] определено. Матрица [cbm]C=AB[/cbm] будет иметь блоки [cbm]C=\begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}[/cbm] . Для каждого блока находим

    [cbm]\begin{gathered}C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}= \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}12&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}20&5\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}= \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}= \begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}11&7\\14&9\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}15&0\\18&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}26&7\\32&9\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}= \begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8\\10\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}13\\16\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/cbm]

    Следовательно, матрица [cbm]C[/cbm] будет иметь вид

    [cbm]C= \begin{pmatrix}20&5\!\!&\vline\!\!&10\\\hline 26&7\!\!&\vline\!\!&13\\ 32&9\!\!&\vline\!\!&16\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Замечания 1.7

    1. Операции сложения, умножения на число и произведения блочных матриц выполняются по тем же правилам, что и для обычных матриц, только вместо элементов в формулах используются блоки.

    2. Выполняя операции над блочными матрицами, всегда можно их рассматривать как числовые, и проводить указанные операции по обычным правилам для числовых матриц. При этом результат операций (числовая матрица) будет один и тот же. Действия с блочными матрицами предпочтительнее, чем с числовыми, в том случае, когда в результате вычислений требуется искать не всю матрицу, а только ее часть — блок.

    3. Матрица, у которой большинство элементов отличны от нуля, называется плотной матрицей. Матрица, большинство элементов которой -нули, называется разреженной матрицей. Для разреженных матриц, подавляющее количество элементов которых равно нулю, полезно выделять нулевые блоки с целью уменьшения вычислительных операций.


    Пример 1.27. Найти произведение матриц четвёртого порядка

    [cbm]A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&2&1&0\\ 3&4&0&1\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&5&6\\ 0&0&7&8\end{pmatrix}\!.[/cbm]

    Решение. Разобьем данные матрицы на блоки размеров [cbm]2\times2:[/cbm]

    [cbm]A=\begin{pmatrix}1&0&\!\!\vline&\!\!0&0\\ 0&1&\!\!\vline&\!\!0&0\\\hline 1&2&\!\!\vline&\!\!1&0\\ 3&4&\!\!\vline&\!\!0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!O\\\hline C&\!\!\vline&\!\!E\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&0&\!\!\vline&\!\!1&0\\ 0&1&\!\!\vline&\!\!0&1\\\hline 0&0&\!\!\vline&\!\!5&6\\ 0&0&\!\!\vline&\!\!7&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!E\\\hline O&\!\!\vline&\!\!D\end{pmatrix}\!.[/cbm]

    где [cbm]C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,~ D=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!,~E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/cbm] — единичная, [cbm]O=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}[/cbm] — нулевая. Запишем сначала произведение блочных матриц

    [cbm]AB= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!O\\\hline C&\!\!\vline&\!\!E\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!E\\\hline O&\!\!\vline&\!\!D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E\cdot E+O\cdot O&\!\!\vline&\!\!E\cdot E+O\cdot D\\\hline C\cdot E+E\cdot O&\!\!\vline&\!\!C\cdot E+E\cdot D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!E\\\hline C&\!\!\vline&\!\!C+D\end{pmatrix}\!.[/cbm]

    Следовательно, вместо умножения матриц [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] достаточно определить только один блок, сложив матрицы [cbm]C[/cbm] и [cbm]D:[/cbm]

    [cbm]C+D= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\!.[/cbm]

    Осталось записать результат

    [cbm]AB=\begin{pmatrix}1&0&\!\!\vline&\!\!1&0\\ 0&1&\!\!\vline&\!\!0&1\\\hline 1&2&\!\!\vline&\!\!6&8\\ 3&4&\!\!\vline&\!\!10&12\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&2&6&8\\ 3&4&10&12\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Кронекеровские произведение и сумма матриц

    Пусть даны матрицы [cbm]A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] и [cbm]B[/cbm] размеров [cbm]m\times n[/cbm] и [cbm]p\times q[/cbm] соответственно. Числовая матрица размеров [cbm]mp\times nq[/cbm] , составленная из блоков [cbm]a_{ij}B:[/cbm]

    [cbm]A\otimes B= \begin{pmatrix}a_{11}\cdot B&\!\!\vline&\!\!\cdots&\!\!\vline&\!\!a_{1n}\cdot B\\\hline \vdots&\!\!\vline&\!\!\ddots&\!\!\vline&\!\!\vdots\\\hline a_{m1}\cdot B&\!\!\vline&\!\!\cdots&\!\!\vline&\!\!a_{mn}\cdot B \end{pmatrix}[/cbm]


    называется правым кронекеровским произведением матриц [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] (или правым прямым произведением матриц).

    Пусть [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] квадратные матрицы n-го и m-го порядков соответственно. Кронекеровскои суммой матриц [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] называется квадратная матрица mn-го порядка

    [cbm]A\oplus B=\begin{pmatrix}E_{m}\otimes A\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}B\otimes E_n\end{pmatrix}\!,[/cbm]

    где [cbm]E_m,\,E_n[/cbm] — единичные матрицы соответствующих порядков.


    Пример 1.28. Даны матрицы

    [cbm]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&2&3 \end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!.[/cbm]


    Найти кронекеровское произведение [cbm]A\otimes B[/cbm] и кронекеровскую сумму [cbm]A\oplus B[/cbm] .

    Решение. По определению находим

    [cbm]A\otimes B=\begin{pmatrix}1\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\!\!&\vline\!\!& 2\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\\\hline 3\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\!\!&\vline\!\!& 4\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2&2&0&4\\ 0&2&3&0&4&6\\ 3&0&6&4&0&8\\ 0&6&9&0&8&12 \end{pmatrix}\!;[/cbm]

    [cbm]\begin{gathered}A\oplus C=(E\otimes A)+(C\otimes E)= \begin{pmatrix} 1\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\!&\vline\!\!& 0\cdot \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\end{pmatrix}\\\hline 0\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}\!\!&\vline\!\!& 1\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\cdot \begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}\!\!&\vline\!\!& 6\cdot \begin{pmatrix} 1&2\\3&4\end{pmatrix}\\ \hline 7\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}\!\!&\vline\!\!& 8\cdot \begin{pmatrix}1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1&2&0&0\\3&4&0&0\\ 0&0&1&2\\ 0&0&3&4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&0&6&0\\0&5&0&6\\ 7&0&8&0\\ 0&7&0&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&2&6&0\\ 3&9&0&6\\ 7&0&9&2\\ 0&7&3&12 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/cbm]

    В вашем браузере отключен Javascript.
    Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!