Мгновенного ускорения формула – Что такое средняя и мгновенная скорость, среднее и мгновенное ускорение, тангенсальное и нормальное ускорение?

1. 1. 4. Ускорение. Мгновенное и среднее ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Скорость частицы () может изменяться со временем как по величине, так и по направлению.Быстрота изменения вектора называется ускорением . Как и быстрота изменения любой функции по времени, ускорение определяется производной векторапоt. Таким образом, по определению ускорения получаем:

(1.9)

Разложение вектора по базису прямоугольной декартовой системы координат: .

Проекции вектора ускорения на оси координат определяются выражениями:

(1.10)

Модуль вектора ускорения:

(1.11)

Единица измерения ускорения – 1 м/с2.

Средним ускорением точки в интервале времени от t до

t + t называется вектор , равный отношению изменения вектора скорости точки за этот промежуток времени к его продолжительности:

.

(1.12)

Определим ускорение произвольно движущейся точки.

В общем случае траектория точки представляет из себя простран­ственную кривую. Введем следующие понятия:

Соприкасающейся плоскостью в точке М траектории называется предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки траектории, когда эти точки неограниченно приближаются к точке М.

Соприкасающейся окружностью в точке M траектории называется предельная окружность, полученная из произвольной окружности проходящей через три точки траектории при их неограниченном приближении к точке М.

Соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости.

Центр соприкасающейся окружность и ее радиус называются соответствен­но центром кривизны и радиусом кривизны рассматриваемой кривой в точке М.

Прямая, соединяющая точку М с центром кривизны называется главной нормалью к кривой в точке М.

окруж­ности и перемещение точки подобны. Следовательно,

Ускорение

может быть представлено в виде:

,

(1.13)

где – единичный вектор нормали к круговой траектории движения точки (направлен к центру кривизны траектории).

Представим вектор скорости в виде:

(1.14)

где – единичный вектор, направленный по касательной к окружности и указывающий направление скорости,

– величина скорости, т.е. ее численное значение.

При равномерном движении модуль скорости равен константе ( = const), меняется только направление вектора касательной. Тогда для такого случая:

.

(1.15)

Сравниваем с формулой ускорения через (1), получим:

.

(1.16)

При равномерном движении ускорение направлено к центру, т.е. перпендикуляр траектории, но не так будет обстоять дело, когда скорость   const. В общем случае произ­вольной гладкой кривой радиус кривизны меняется от точки к точке (см., например, рис. 1.4). Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали .

Рассмотрим этот случай.

Имеем

тогда

Рисунок 1.4.

Применяем подстановку, исходя из формул (1.13) и (1.15) получаем:

(1.17)

Заменим на(тангенциальное ускорение), а на(нормальное ускорение), получим

.

(1.18)

Тангенциальное ускорение меняет скорость по величине, нормальное ускорениеменяет скорость по направлению.

Действительно, если дана некая траектория (см. рис. 1.5) есть скорость в начале и скорость во втором положении, перенесем параллельным переносом вектор в точку M1, тогда мы видим, что вектор скорости получает приращение .

В результате, если уменьшать промежутки времени t к нулю, то оба соотношения (см. рис. 1.6)

ибудут стремиться к пределам

Рисунок 1.5.

Рисунок 1.6.

и .

Пример .

Пример: Снаряд выпущен с начальной скоростью V = 200 м/с под углом  = 60 к горизонту. Определить кривизну траектории в точке наивысшего подъема снаряда (Рис.1.7). Силами аэродинамического соп­ротивления пренебречь.

Рисунок 1.7.

Решение:

В верхней точке

studfiles.net

12-и. Мгновенное ускорение и его постоянство

      § 12-и. Мгновенное ускорение и его постоянство

Стробоскопическая фотография в предыдущем параграфе показывает, что свободно падающий шарик движется с ускорением. Различных тел, движущихся с ускорением, вокруг нас множество. Это, например, нога футболиста перед ударом по мячу, взлетающая с космодрома ракета, отъезжающий от станции поезд и так далее.

По аналогии с формулой мгновенной скорости в физике вводят формулу, выражающую определение мгновенного ускорения:

В школьной физике изучают только такие движения, для которых модуль мгновенного ускорения не меняется с течением времени. Поэтому вместо «мгновенное ускорение» часто говорят короче: «ускорение». Например, ускорение поезда, ускорение ракеты, летящего мяча и так далее.

Вспомним, что при равноускоренном движении мгновенная скорость за любые равные интервалы времени изменяется одинаково (см. § 12-з). Поэтому, если равные изменения мгновенной скорости поделить на равные интервалы времени, мы получим равные ускорения. Другими словами, при равноускоренном движении ускорение постоянно (как по числовому значению, так и пространственному направлению), значит, интервал времени наблюдения может быть любым. И тогда из формулы мгновенного ускорения мы получим определение ускорения:


,   принимая момент времени to = 0 .

Выпишем начало и конец получившегося равенства и выразим скорость:


,   если ускорение постоянно.

Для движения вдоль осей X и Y эта формула может быть записана с использованием проекций векторов на координатные оси:

υx  =  υox + ax t         и         υy  =  υoy + ay t

Как видно из этих равенств, при равноускоренном движении проекции мгновенной скорости зависят от времени по линейному закону, то есть описываются линейными функциями вида y = kx + b.

Ускорение свободного падения. Взглянем ещё раз на чертёж с «векторным треугольником» и последний абзац § 12-з. Обратим внимание: вектор изменения скорости свободно падающего шарика, а значит, и вектор ускорения свободного падения направлен вниз и не зависит от скорости тела. Подтвердим это вторым способом.

Проделаем опыт. В стеклянную трубку с краном помещены скомканный лист бумаги и камешек. Сначала кран трубки открыт, и внутри неё находится атмосферный воздух. Поэтому при переворачивании трубки бумага падает с меньшим по модулю ускорением. Затем воздух откачивают, создавая в трубке вакуум, а кран закрывают. Теперь бумага падает с тем же ускорением, что и камень. Опыт нам продемонстрировал, что ускорение свободного падения одинаково для всех тел. В физике свободным падением называют движение тела при действии только силы тяжести.

Если на тело действуют сравнительно малые силы, препятствующие свободному падению, то их действием можно пренебречь. Тогда измерения показывают: модуль ускорения свободного падения всех тел вблизи поверхности Земли равен 9,8 м/с². Это значение вам уже знакомо из 7 класса как «коэффициент силы тяжести» (см. § 3-г). Вспомнив определение 1 ньютона (см. § 3-а), вы поймёте, что уже известное вам значение 9,8 Н/кг – это именно 9,8 м/с².

Для вычисления (измерения) любых ускорений тел, и ускорения свободного падения в частности, вполне можно использовать метод стробоскопического фотографирования.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!