Момент на момент инерции – Момент инерции — Википедия

Момент инерции, теория и примеры задач

Определение момента инерции

Момент инерции тела по отношению к оси вращения – это мера инертности тела во вращении вокруг этой оси.

Если тело является непрерывным, то суммирование (1) можно свести к интегрированию, если перейти к бесконечно малым элементам тела (dm):

   

где интегрирование производят по всему объему тела. Величина r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; dV – элементарный объем тела.

Единицей измерения момента инерции в международной системе единиц является:

   

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси вращения, если известен момент инерции рассматриваемого тела относительно оси, которая проходит через центр масс этого тела и оси параллельны. Математическая запись теоремы Штейнера:

   

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m – масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны.

Получается, что момент инерции тела по отношению к оси, которая проходит через его центр масс всегда меньше, чем относительно любой другой оси, параллельной первой.

Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела

Если осями вращения служат оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:

   

   

   

где m – масса тела; V – объем тела; – координаты бесконечно малого элемента тела.

Если тело является однородным, то момент инерции по отношению к оси является прямо пропорциональным плотности тела и зависит от формы, размеров тела, то того как тело размещено по отношению к оси вращения.

Моменты инерции, которые находят как:

   

   

   

называют центробежными моментами инерции по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат.

Если тело является набором материальных точек, то есть не является непрерывным, то в выражениях (4-9) вместо интегрирования переходят к суммированию.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Момент инерции | FizPortal

Момент инерции
 Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета
моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления.
 Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов:
limi = 1ΣΔmiri2 = ∫r2dm. (при Δm → 0).
 Вычислим момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой h относительно его оси симметрии

 Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр
r
и внешний r + dr, а высоту h. Так как dr << r, то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно r.
 Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции
i = ΣΔmr2 = r2ΣΔm,
где ΣΔm − масса всего кольца.
Объем кольца 2πrhdr. Если плотность материала диска ρ, то масса кольца
ρ2πrhdr.
Момент инерции кольца
i = 2πρhr3dr.
 Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (r = 0) до края его (r = R), т. е. вычислить интеграл:
I = 2πρh 0R∫r3dr,
или
I = (1/2)πρhR4.
Но масса диска m = ρπhR2, следовательно,
I = (1/2)mR2.
 Приведем (без вычисления) моменты инерции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов

1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):
I = mR2.
2. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии:
I = (1/2)m(R12 − R22)
где R1 − внутренний и R2 − внешний радиусы.
3. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (1/4)mR2.
4. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:
I = m(R2/4 + h2/12)
где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.
5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:
I = (1/12)ml2,
где l − длина стержня.
6. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:
I = (1/3)ml2
 7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (2/5)mR2.

 Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.
 Момент инерции тела I относительно любой оси равен моменту инерции тела Iс относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела m, умноженная на квадрат расстояния l между осями:

I = Ic + ml2.
 В качестве примера подсчитаем момент инерции шара радиуса R и массой m, подвешенного на нити длиной l, относительно оси, проходящей через точку подвеса О. Масса нити мала по сравнению с массой шара. Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс Ic = (2/5)mR2, а расстояние
между осями (l + R), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
I = (2/5)mR2 + m(l + R)2.
Размерность момента инерции:
[I] = [m] × [r
2
] = ML2
.

fizportal.ru

Момент инерции

Физика > Момент инерции

 

Определение момента инерции в физике. Читайте про связь ускорения и вращательного момента, роль первого закона Ньютона, формулу момента инерции вращения.

Момент инерции – свойство массы, измеряющей сопротивление вращательному ускорению вокруг линии или нескольких осей.

Задача обучения

  • Вычислить свойство массы, описываемое моментом инерции.

Основные пункты

  • Первый закон Ньютона характеризует инерцию объекта в линейном движении, поэтому его можно распространить и на инерцию объекта, совершающего обороты вокруг оси.
  • Объект, совершающий обороты с постоянной угловой скоростью, продолжит этот процесс, если на него не повлияет внешний вращательный момент.
  • Чем больше вращательный момент, тем выше ускорение.

Термины

  • Вращательный момент - вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.
  • Инертность – свойство тела сопротивляться любой перемене в его равномерном движении.

Момент инерции

Вы уже прочли определение момента инерции. Это свойство распределения массы в пространстве, измеряющее сопротивление массы вращательному ускорению вокруг линии или нескольких осей. Первый закон Ньютона характеризует инерцию объекта в линейном движении, поэтому его можно распространить и на инерцию объекта, совершающего обороты вокруг оси. То есть, если объект вращается с постоянной угловой скоростью, то продолжит этот процесс, пока не почувствует влияние от внешнего вращательного момента.

Выходит, что вращательный момент выполняет ту же функцию во вращательной динамике, что и масса в линейной: описывает связь угловых момента и скорости, а также вращательного момента и углового ускорения.

Момент инерции (I) определяется как сумма mr2 для всех точечных масс. Математически выглядит как I = Σmr2. Здесь I соответствует m в поступательном движении.

Давайте взглянем на обруч с радиусом r. Он однородный, поэтому момент инерции можно найти через суммирование всей массы обруча и умножения на дистанцию от центра масс (ЦМ). Мы получим круг, где масса равномерна, поэтому момент инерции – mr

2.

На момент инерции также влияет ось, вокруг которой совершается вращение. Обычно тела совершают обороты вокруг ЦМ, но это может происходить и вокруг оси. Если мы столкнулись со вторым вариантом, где ось выступает не ЦМ, то справиться поможет теорема о параллельной оси и ее формулой: Iцм + mr2, где r становится дистанцией между осями, а Iцм – момент инерции при вращении вокруг ЦМ.

Взаимосвязь между вращательным моментом, моментом инерции и угловым ускорением выливается в net τ = Iα или α = (net τ)/ I (net τ – общий вращательный момент). Подобные исходные моменты бывают положительными или отрицательными. Связь τ = Iα выступает аналогом для второго закона Ньютона.

Вы уже могли догадаться: чем больше вращательный момент, тем выше угловое ускорение. К примеру, чем сложнее человеку раскачивать карусель, тем медленнее он ее ускоряет. Главная связь состоит в том, что с ростом момента инерции падает угловое ускорение. Момент инерции основывается не только на массе тела, но и на ее распределении относительно оси вращения. Было бы намного легче ускорить карусель, если бы дети стояли ближе к оси, а не к краю.

Отец раскачивает карусель по краю и перпендикулярно ее радиусу, чтобы добиться максимального вращательного момента


v-kosmose.com

момент инерции - это... Что такое момент инерции?


момент инерции
[moment of inertia, second moment] — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают моменты инерции осевые и центробежные. Осевым момента инерции тела относительно оси ± Z называется величина, определяемая равенством: Iz = ∑mihi2 = ∫h2ρdV, где m — массы точек тела, h — их расстояния от оси ± Z, ρ — массовая плотность, V — объем тела.
Iz — мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Центробежным моментом инерции относительной системы координат х, у, z с началом в точке 0 называются величины, определенные равенствами: Ixy = ∑mi•xi•yi, Iyz = mi•yi•zi, Izx = mi•zi•xi или же соответствующими объемными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамически неуравновешенных масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений Ixz и Iz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось;
Смотри также:
— Момент
— момент сопротивления сечения
— момент прокатки
— момент количества движения
— диамагнитный момент
— момент силы
— магнитный момент

Энциклопедический словарь по металлургии. — М.: Интермет Инжиниринг. Главный редактор Н.П. Лякишев. 2000.

  • second moment
  • diamagnetic moment

Смотреть что такое "момент инерции" в других словарях:

  • Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС …   Википедия

  • МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая… …   Физическая энциклопедия

  • МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, механическая величина, играющая при вращательном движении ту же роль, что масса при движении поступательном. Например ускорение при поступательном движении обратно пропорционально массе, ускорение вращательного движения (угловое… …   Большая медицинская энциклопедия

  • МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… …   Современная энциклопедия

  • МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Момент инерции — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — (обозначение I), для вращающегося тела сумма произведений, полученных путем умножения масс точек вращающегося тела на квадраты их расстояний от оси вращения. Нахождение этого распределения массы важно при определении силы, необходимой, чтобы… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Момент инерции — – величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. [Полякова, Т.Ю.  Автодорожные мосты: учебный англо русский и русско английский терминологический… …   Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

  • момент инерции — 3.24 момент инерции (moment of inertia): Интегральная сумма произведений массы отдельных частей тела на квадраты расстояний (радиусов) их центров тяжести от заданной оси. Источник: ГОСТ Р 52776 2007: Машины электрические вращающиеся. Номинальные… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Момент инерции — (Moment d inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • момент инерции — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… …   Энциклопедический словарь

Книги

  • Механика и молекулярная физика. Учебное пособие, Ландау Лев Давидович, Ахиезер Александр Ильич, Лифшиц Евгений Михайлович. Трудно писать о книге Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезера, Е. М. Лифшица, потому что это как раз тот случай, когда ни книга, ни, тем более, её авторы, как принято говорить,`в рекламене нуждаются`.… Подробнее  Купить за 1792 грн (только Украина)
  • Механика и молекулярная физика. Учебное пособие, Ландау Лев Давидович. Трудно писать о книге Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезера, Е. М. Лифшица, потому что это как раз тот случай, когда ни книга, ни, тем более, её авторы, как принято говорить, "в рекламе не… Подробнее  Купить за 1429 руб
Другие книги по запросу «момент инерции» >>

metallurgicheskiy.academic.ru