Найти производную – Найти производную онлайн. Калькулятор нахождения производных функции с подробным решением

Калькулятор онлайн - Найти (с решением) производную функции

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Определение производной

Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0 \). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y \) (при переходе от точки \( x_0 \) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) и обозначают \( f'(x_0) \).

\( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) \)

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\( k = f'(a) \)

Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \( x \):
\( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) \)
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x) \), т.е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x \), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить \( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \( f'(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие

правила дифференцирования:

$$ C'=0 $$ $$ x'=1 $$ $$ ( f+g)'=f'+g' $$ $$ (fg)'=f'g + fg' $$ $$ (Cf)'=Cf' $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) ' = \frac{f'g-fg'}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) ' = -\frac{Cg'}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f'_x(g(x)) = f'_g \cdot g'_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left( \frac{1}{x} \right) ' = -\frac{1}{x^2} $$ $$ ( \sqrt{x} ) ' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left( x^a \right) ' = a x^{a-1} $$ $$ \left( a^x \right) ' = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left( e^x \right) ' = e^x $$ $$ ( \ln x )' = \frac{1}{x} $$ $$ ( \log_a x )' = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ ( \sin x )' = \cos x $$ $$ ( \cos x )' = -\sin x $$ $$ ( \text{tg} x )' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ ( \text{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ ( \arcsin x )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \arccos x )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \text{arctg} x )' = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( \text{arcctg} x )' = \frac{-1}{1+x^2} $$

www.mathsolution.ru

Как найти производную функции | LAMPA

Чтобы найти производную функции, необходимо последовательно сделать следующие шаги:

  • Определить, на какие простые функции разбивается исходная функция:

Функцию f(x)=sinx1−x2f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2} }f(x)=1−x2​sinx​ можно представить в виде f=g(h2,h3)f=g(h_1,h_2)f=g(h2​,h3​), где g(x,y)=xyg(x,y)=\frac{x}{y}g(x,y)=yx​, h2(x)=sinxh_1(x)=\sin xh2​(x)=sinx, h3(x)=1−x2h_2(x)=\sqrt{1-x^2}h3​(x)=1−x2​.

  • Продифференцировать функции, используя и :

f′(x)=(sinx1−x2)′=sin′x1−x2−sinx(1−x2)′(1−x2)2=f'(x)=(\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2} })'=\frac {\sin'x\sqrt{1-x^2}-\sin x(\sqrt{1-x^2})'}{(\sqrt{1-x^2})^2}=f′(x)=(1−x2​sinx​)′=(1−x2​)2sin′x1−x2​−sinx(1−x2​)′​==cosx1−x2−12⋅2xsinx(1−x2)−11−x2==\frac{\cos x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\cdot 2x\sin x(\sqrt{1-x^2})^{-1} }{1-x^2}==1−x2cosx1−x2​−21​⋅2xsinx(1−x2​)−1​==cosx1−x2−xsinx(1−x2)3=\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2} }-\frac{x\sin x}{(\sqrt{1-x^2})^3}=1−x2​cosx​−(1−x2​)3xsinx​

Правила дифференцирования

Пусть uuu и vvv - дифференцируемые функции, а CCC - любое действительное число.

(C)′=0(C)'=0(C)′=0 – производная константы;

(u+v)′=u′+v′(u+v)'=u'+v'(u+v)′=u′+v′ – производная суммы;

(Cu(x))′=C(u(x))′(Cu(x))'=C(u(x))'(Cu(x))′=C(u(x))′ – вынесение константы;

(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)'=u'v+uv'(u⋅v)′=u′v+uv′ – производная произведения;

(uv)′=u′v−v′uv2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}(vu​)′=v2u′v−v′u​ – производная частного;

(f(g(x)))′=g′(x)⋅f′(g(x))(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))(f(g(x)))′=g′(x)⋅f′(g(x)) – производная .

(cosx2)′=(x2)′⋅cos′x2=2x⋅(−sinx2)=−2xsinx2.(\cos{x^2})'=(x^2)'\cdot \cos'{x^2}=2x\cdot (-\sin{x^2})=-2x\sin x^2 .(cosx2)′=(x2)′⋅cos′x2=2x⋅(−sinx2)=−2xsinx2.

Таблица производных

ФункцияПроизводнаяВажные частные случаи
Константа (число) (C)′=0(C)'=0(C)′=0
Линейная (kx+b)′=k(kx+b)'=k(kx+b)′=k x′=1x'=1x′=1
Степенная (xa)′=axa−1(x^a)'=ax^{a-1}(xa)′=axa−1 (x2)′=2x(x^2)'=2x(x2)′=2x
Показательная (ax)′=ax⋅lna(a^x)'=a^x\cdot \ln a(ax)′=ax⋅lna (ex)′=ex(e^x)'=e^x(ex)′=ex
Логарифмическая (logax)′=1x⋅lna(\log_a x)'=\frac{1}{x\cdot \ln a}(loga​x)′=x⋅lna1​ (lnx)′=1x(\ln x)'=\frac{1}{x}(lnx)′=x1​
Тригонометрические

(sinx)′=cosx(\sin x)'=\cos x(sinx)′=cosx

(cosx)′=−sinx(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx

(tgx)′=1cos2x(\text{tg} x)'=\frac{1}{\cos^2 x}(tgx)′=cos2x1​

(ctgx)′=−1sin2x(\text{ctg} x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}(ctgx)′=−sin2x1​


Обратные

тригонометрическим

(arcsinx)′=11−x2(\text{arcsin} x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x2​1​

(arccosx)′=−11−x2(\text{arccos} x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x2​1​

(arctgx)′=11+x2(\text{arctg} x)'=\frac{1}{1 + x^2}(arctgx)′=1+x21​

(arcctgx)′=−11+x2(\text{arcctg} x)'=-\frac{1}{1 + x^2}(arcctgx)′=−1+x21​



lampa.io

Основы математического анализа. Как найти производную?

Производной некоторой функции f(x) в конкретной точке x0 называют границу соотношения прироста функции к приросту аргумента при условии, что x следует к 0, а граница существует. Производную обычно обозначают штрихом, иногда с помощью точки либо через дифференциал. Нередко запись производно через границу приводит в заблуждение, так как такое представление используется крайне редко.

Функцию, которая имеет производную в определенной точке x0, принято называть дифференцируемой в такой точке. Предположим, D1 - множество точек, в каких функция f дифференцирована. Поставив в соответствие каждому числу число x, принадлежащее D f’(x), получим функцию с областью обозначения D1. Эта функция является производной y=f(x). Ее обозначают так: f’(x).

Кроме того, производная широко используется в физике и технике. Рассмотрим самый простой пример. Материальная точка двигается по координатной прямо, при чем задан закон движения, то есть координатой x этой точки является известная функция x(t). На протяжении интервала времени от t0 до t0+t перемещение точки равняется x(t0+t)-x(t0)= x, а ее средняя скорость v(t) равна x/t.

Иногда характер движения представлен так, что при малых отрезках времени средняя скорость не изменяется, имеется в виду то, что движение с большей степенью точности считается равномерным. Или же значение средней скорости, если t0 следует к некоторому абсолютно точному значению, которое и называют моментальной скоростью v(t0) этой точки в конкретный момент времени t0. Считается, что моментальная скорость v(t) известна для любой дифференцированной функции x(t), при чём v(t) будет равно x’(t). Проще говоря, скорость – это производная от координаты по времени.

Моментальная скорость имеет и положительные, и отрицательные значения, а также значение 0. Если же она на некотором интервале времени (t1; t2) положительная, тогда точка движется в таком же направлении, то есть координата x(t) увеличивается со временем, а если v(t) отрицательная, тогда координата x(t) уменьшается.

В более сложных случаях точка движется в плоскости или в пространстве. Тогда скорость – векторная величина и определяет каждую из координат вектора v(t).

Аналогично можно сопоставить с ускорением движения точки. Скорость является функцией от времени, то есть v=v(t). А производная такой функции - ускорением движения: a=v’(t). То есть получается, что производная от скорости по времени является ускорением.

Предположим y=f(x) - любая дифференцированная функция. Тогда можно рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, которое происходит за законом x=f(t). Механическое содержание производной дает возможность представить наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.

Как найти производную? Нахождение производной некоторой функции называется ее дифференцированием.

Наведем примеры того, как найти производную функцию:

Производная постоянной функции равна нулю; производная функции y=x равна единице.

А как найти производную дроби? Для этого рассмотрим следующий материал:

При любом x0<>0 будем иметь

y/x=-1/x0*(x+x)

Существует несколько правил, как найти производную. А именно:

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их сумма дифференцирована в точке: (A+B)’=A’+B’. Проще говоря, производная суммы равна сумме производных. Если функция дифференцирована в некоторой точке, тогда ее прирост следует к нулю при следовании к нулю прироста аргумента.

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их произведение дифференцировано в точке: (A*B)’=A’B+AB’. (Значения функций и их производных рассчитываются в точке x0). Если функция A(x) дифференцирована в точке x0, а С – постоянная, тогда функция CA дифференцирована в этой точке и (CA)’=CA’. То есть, такой постоянный множитель выносится за знак производной.

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, и функция B не равна нулю, то их соотношение так же дифференцировано в точке: (A/B)’=(A’B-AB’)/B*B.

fb.ru