Направление ускорения и направление скорости – Ускорение — Википедия

Содержание

Направление угловой скорости и углового ускорения. Угловое ускорение

Производной по времени , взятой от вектора угловой скорости (или ω). Это также значит , что угловое ускорение представляет собой вторую производную, взятую по времени t от угла поворота. Угловое ускорение можно записать в следующем виде: →β= d →ω / dt. Таким образом, найти среднее угловое ускорение можно из отношения приращения угловой скорости к приращению времени движения: β ср. = Δω/Δt.

Найдите среднюю угловую скорость для того, чтобы вычислить угловое ускорение . Предположим, что вращение тела вокруг недвижимой оси описывается уравнением φ=f(t), а φ – угол в конкретный момент времени t. Тогда через определенный промежуток времени Δt с момента t изменение угла составит Δφ. Угловая скорость является отношением Δφ и Δt. Определите угловую скорость.

Найдите среднее угловое ускорение по формуле β ср. = Δω/Δt. То есть изменение угловой скорости Δω поделите при помощи калькулятора на известный промежуток времени, за который движение совершалось. Частное от деления является искомой величиной. Запишите найденное значение, выразив его в рад/с.

Обратите внимание, если в задаче требуется найти

ускорение точки вращающегося тела. Скорость движения любой точки такого тела равна произведению угловой скорости и расстояния от точки до оси вращения. При этом ускорение данной точки состоит из двух составляющих: касательной и нормальной . Касательная сонаправлена по прямой со скоростью при положительном ускорении и обратно направлена при отрицательном ускорении. Пусть расстояние от точки до оси вращения будет обозначено R. А угловая скорость ω будет найдена по формуле: ω=Δv/Δt, где v – линейная скорость движения тела. Чтобы найти угловое ускорение , разделите угловую скорость на расстояние между точкой и осью вращения.

Угловое ускорение показывает: как изменилась угловая скорость тела, движущегося по окружности, за единицу времени. Поэтому для его определения найдите начальную и конечную угловые скорости за данный промежуток времени и произведите расчет. Кроме того, угловое ускорение связанно с линейным (тангенциальным) ускорение м.

Вам понадобится

  • секундомер, линейка, прибор для измерения мгновенной скорости.

Инструкция

Возьмите начальную и конечную угловые скорости движения по окружности. Измерьте время, за которое изменялась скорость в секундах . Затем от конечной угловой скорости отнимите начальную скорость и поделите это значение на время ξ=(ω- ω0)/t. Результатом будет угловое

ускорение тела. Для того чтобы измерить мгновенную угловую скорость тела, движущегося по окружности, с помощью спидометра или радара измерьте его линейную скорость и поделите ее на радиус окружности, по которой движется тело.
Если при расчете значение углового ускорения положительное, то тело увеличивает свою угловую скорость, если отрицательное – уменьшает.

В том случае, если тело движется по окружности с угловым ускорение м, обязательно присутствует и линейное ускорение , которое называется тангенциальным. Его можно измерить любым из известных методов для линейного ускорения. Например, измерить мгновенную линейную скорость в некоторой точке окружности и затем в той же тоске после одного оборота. Затем, разность квадратов второй и первой измеренной скорости и поделите последовательно на числа 4 и 3,14, а также радиус окружности aτ=(v²-v0²)/(4 3.14 R).



Угловое ускорение

величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости (См. Угловая скорость) твёрдого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая скорость

ω растет (или убывает) равномерно, численно У. у. ε = Δω t , где Δω - приращение, которое получает ω за промежуток времени Δt , а в общем случае при вращении вокруг неподвижной оси ε = d ω/dt = d 2 φ/dt 2 , где φ - угол поворота тела. Вектор У. у. ε направлен вдоль оси вращения (в сторону ω при ускоренном вращении и противоположно ω - при замедленном). При вращении вокруг неподвижной точки вектор У. у. определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени, т. е. ε = d ω/dt, и направлен по касательной к Годограф у вектора ω в соответствующей его точке. Размерность У. у. Т -2 .


Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Угловое ускорение" в других словарях:

    Размерность T−2 Единицы измерения СИ рад*с−2 СГС … Википедия

    УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ, степень изменения угловой скорости. Средняя величина углового ускорения предмета, угловая скорость которого изменяется от q1 до q2 за время t, выражается как (q1 q2)/t. Мгновенным угловым ускорением называется величина,… … Научно-технический энциклопедический словарь

    Современная энциклопедия

    Векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая скорость? растет (или убывает) равномерно, абсолютная величина углового ускорения? = ??/ ?t, где… … Большой Энциклопедический словарь

    Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая скорость w растёт (или убывает) равномерно, численно У. у. e=Dw/Dt, где Dw приращение, к рое получает w за… … Физическая энциклопедия

    Величина, характеризующая быстроту изменения угл. скорости твёрдого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угл. скорость w растёт (или убывает) равномерно, численно У. у. e = dw/dt, где dw приращение, к рое получает w за… … Физическая энциклопедия

    угловое ускорение - Мера изменения угловой скорости тела, равная производной от угловой скорости по времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.] Тематики… … Справочник технического переводчика

    Угловое ускорение - УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ, величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая скорость w растет (или убывает) равномерно, абсолютная величина углового ускорения e=Dw/Dt … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая скорость ω растёт (или убывает) равномерно, абсолютная величина углового ускорения ε = Δω/Δt, где… … Энциклопедический словарь

    угловое ускорение - kampinis pagreitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. angular acceleration vok. Winkelbeschleunigung, f rus. угловое ускорение, n pranc. accélération angulaire, f … Automatikos terminų žodynas

    угловое ускорение - kampinis pagreitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kampinio greičio pokyčiui per vienetinį laiko tarpą, t. y. α = dω/dt; čia dω – kampinio greičio pokytis, dt – laiko tarpas. atitikmenys: angl.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела буд

elektrokomplektnn.ru

ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ ПО КИНЕМАТИКЕ

Какие кинематические способы задания движения точки существуют и в чём состоит каждый из этих способов?

Существуют: естественный, векторный и координатный способы задания движения точки.

а). Естественный способ задания движения применяется в случае, когда траектория точки заранее известна (прямая или кривая линия). Положение движущейся точки на траектории определяется дуговой координатой, отсчитываемой от начала отсчёта:

S = f(t) .

б). При векторном способе задания движения положение точки в пространстве определяется заданием радиус-вектораr , проведённого из неподвижного центра в данную точку.

r = r(t) .

в). При координатном способе задания движения положение точки в декартовой системе координат Ох, Oу, Oz определяется тремя координатами.

x = f1(t), y= f2 (t), z= f3 (t) .

Чем является траектория точки при векторном способе задания движения точки?

Траектория точки является годографом её радиус-вектораr .

Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить её траекторию?

Для получения уравнения траектории необходимо исключить из уравнений движения параметр t (время).

Если движение точки в плоскости задано уравнениями:

x = f1(t), y= f2 (t).

то, решив первое уравнение относительно t, получим t =ϕ (x) . Подста-

вив t во второе уравнение, получим уравнение траектории: y = f2 [ϕ(x)].

Чему равен вектор скорости точки в данный момент и какое направление он имеет?

Скорость v – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта. Вектор скорости равен производной отрадиус-вектораточки по времени:

v = r .

Вектор скорости точки v направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Как связан орт касательной к кривой с радиус-векторомдвижущейся точки?

τ = dd sr.

Чему равна проекция скорости точки на касательную к её траектории и модуль её скорости?

Производная от дуговой координаты по времени d s d t представляет собой проекцию вектора скоростиv на касательную к траектории:

v =τ dd st =τ s .

Модуль скорости точки равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени v = s .

Как определяются проекции скорости точки на неподвижные оси декартовой системы координат?

vx = x; vy = y; vz = z.

Как определяется величина и направление вектора скорости при координатном способе задания движения точки?

Величина вектора скорости определяется через его проекции: v = vx2 + vy2 + vz 2 = x2 + y2 + z2 .

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами: cos(v ,x)= vvx ; cos(v ,y)= vvy ; cos(v ,z)= vvz .

Чему равен вектор ускорения точки и как он направлен по отношению к годографу скорости?

Ускорение a — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

Вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектораточки по времени.

a = v = r.

Как направлены естественные координатные оси в каждой точке кривой?

Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой и бинормаль, направленная перпендикулярно плоскости проведённой через касательную и главную нормаль.

Каковы величина и направление вектора кривизны χ кривой в данной точке?

Вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате:

χ = ddτt.

Вектор кривизны χ расположен в соприкасающейся плоскости и направ-

лен по главной нормали к центру кривизны кривой:

χ = n ρ1 ,

где ρ — радиус кривизны кривой.

В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси?

Вектор ускорения точки а лежит в соприкасающейся плоскости и равен геометрической сумме двух векторов, один из которых направленный по главной нормали, называется нормальным ускорением, а другой, направлен по касательной, называется касательным ускорением.

a = an + aτ .

Проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату модуля скорости точки на радиус кривизны.

an= vρ2 .

Проекция ускорения на касательную равна первой производной от алгебраической величины скорости или второй производной от дуговой координаты по времени

aτ = v= s.

Как определяется величина и направление ускорения точки при естественном способе задания движения?

studfiles.net

Направление скорости ползуна А и направление его ускорения задать самостоятельно

сделать структурный и кинематический анализ рычажного механизма (графическим способом)


Контрольная работа 2

Кинематика

По известной расчетной схеме и заданным значениям скорости и ускорения ползуна А найти скорость и ускорение ползуна В, а также угловую скорость и ускорение шатуна АВ. Направление скорости ползуна А и направление его ускорения задать самостоятельно.

В графической части работы привести расчетную схему с указанием направления и численных значений скоростей и ускорений ползунов и шатуна.

Расчетная схема



Номер варианта исходных данных

Длина шатуна , м

Скорость ползуна А – , м/с

Ускорение ползуна А – , м/с2

4

2

2

4

Решение

Шатун совершает плоскопараллельное движение. Направление векторов скоростей ползунов А и В известны: они движутся вдоль направляющих. Восстановим перпендикуляры к векторам скоростей ползунов. Точка пересечения перпендикуляров даст положение мгновенного центра скоростей Р. Следовательно, и , где – угловая скорость шатуна АВ.


Из решения треугольника РАВ находим:

м.

Тогда

с-1;

м/с.

Для определения ускорения ползуна В и углового ускорения шатуна воспользуемся формулой сложения ускорений при плоскопараллельном движении твердого тела, взяв в качестве полюса точку А. Тогда получим:

,

где – ускорение точки В в ее вращательном вокруг полюса А;

.

Тогда

. (1)

Нормальное ускорение направлено вдоль шатуна к точке А. Его величина равна

м/с2.

Вектор касательного ускорения перпендикулярен шатуну АВ. Отметим на рис.2 направления всех ускорений. При этом направления векторов и пока что не могут быть определены однозначно, поскольку неизвестно, ускоренным или замедленным является поворот шатуна.


Спроектируем равенство (1) на горизонтальную и вертикальную оси:

;

.

Получили два уравнения относительно неизвестных и . Из первого уравнения получаем

м/с2.

Из первого уравнения

м/с2.

Знак минус указывает на то, что ускорение направлено вертикально вниз.

Угловое ускорение шатуна найдем с помощью формулы

с-2.

Приводим расчетную схему с указанием направления и численных значений скоростей и ускорений ползунов и шатуна (рис.3).

Рис.3


www.birmaga.ru

Г л а в а IV

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

 

§ 20. Относительное, переносное и абсолютное

движение точки

 

Сложным движением точки называется такое ее движение, при кото­ром она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за непод­вижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, со­вершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета) и дви­жения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета).

Движение точки по отношению к подвижной системе ко­ординат называется относительным движением точки. Скорость и ускорение этого движения называют относитель­ной скоростью и относительным ускорением и обозначают   и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки.

Переносной скоростью и переносным ускорением точки на­зывают скорость и ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают   и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называ­ется абсолютнымили сложным. Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают   и .

В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.

 

§ 21. Определение скорости точки при сложном

движении

 

Пусть имеется неподвижная система отсчета   по отношению к кото­рой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движет­ся точка   (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

 

,   (2.67) 

 

где   - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно 

 не­подвижной системы отсчета ;

 -  радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

 системы координат ;

 -  радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее 

 положение относительно подвижной системы координат.

Пусть   координаты точки   в подвижных осях. Тогда

,   (2.68) 

 

где   - единичные векторы, направленные вдоль под­вижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), полу­чим:

 

.     (2.69)

 

При относительном движении координаты   изменя­ются с течением времени. Чтобы найти скорость относитель­ного движения, нужно продиффе­ренцировать радиус-вектор   по времени, учитывая его изменение только за счет относи­тельного движе­ния, то есть только за счет изменения коор­динат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора   считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сде­ланных оговорок, получим относитель­ную скорость:

 

 ,    (2.70)

 

где точки над величинами означают производные от этих ве­личин по времени:

 

.

 

Если относительного движения нет, то точка   будет двигаться вместе с подвижной системой - координат и ско­рость точки будет равна переносной скорости. Таким обра­зом, выражение для переносной скорости можно полу­чить, если продифференцировать по времени радиус-вектор , считая   не за­висящими от времени:

.   (2.71)

 

Выражение для абсолютной скорости найдем, дифферен­цируя по времени , учитывая, что от времени зависят относительные координаты   и орты   подвижной системы координат:

 

.  (2.72)

 

В соответствии с формулами (2.70), (2.71) первая скобка в (2.72) есть переносная ско­рость точки, а вторая - относитель­ная. Итак,

 

.   (2.73)

 

Равенство (2.73) выражает теорему о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоро­стей.

Задача 2.9. Поезд движется по прямолинейному горизонтальному пути с постоянной скоростью . Пассажир видит из окна вагона траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом . Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.

Решение. Капли дождя имеют абсолютную скорость

 

,

где   - относительная скорость капли при ее движении по стеклу вагона;

 - переносная скорость капли, равная скорости движения поезда.

Получившийся параллелограмм скоростей (рис. 2.27) диагональ делит на два равных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, находим

 

.

 

Переводим полученную скорость падения капель в :

 

.

 

§ 22. Определение ускорения точки при сложном

движении

 

Выражение для относительного ускорения точки можно получить, диффе­ренцируя относительную скорость (2.70), учи­тывая ее изменение только за счет относительного движения, то есть за счет изменения относительных координат точки , , . Вектора же   следует считать постоянными, так как движение не­движной системы координат не учитывается при определении относительной скорости и относительного ускорения точки. Итак, имеем

 

 ,   (2.74)

 

Переносное ускорение получим, дифференцируя по време­ни равенство (2.71), считая, что точка покоится по отношению к подвижной системе координат, т. е. что относительные координаты точки , ,   не зависят от времени.

 

.  (2.75)

 

Абсолютное ускорение получим, дифференцируя выраже­ние для абсолютной скорости (2.72), учитывая, что с течени­ем времени изменяются как относительные координаты , ,   точки, так и орты   подвижной системы координат

 

 

.  (2.76)

 

Видно, что первая скобка в (2.76) есть переносное ускорение, третья - относи­тельное ускорение. Вторая скобка есть до­полнительное или кориолисово ускорение:

 

.   (2.77)

 

Итак, равенство (2.76) можно записать в виде

 

.   (2.78)

 

Эта формула и выражает теорему Кориолиса: в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме

переносного, от­носительного и поворот­ного ускорений.

Преобразуем формулу (2.77) для ускорения Кориолиса. Для производных единичных векторов подвижной системы координат имеют место следующие формулы Пуассона:

 

.  (2.79)

 

Здесь   - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы коорди­нат. Знаком   обозначено векторное произ­ведение векторов.

Подставляя формулы (2.79) в (2.77), получим:

 

 

Выражение в скобках есть не что иное, как относитель­ная скорость (см. (2.70)). Окончательно получим:

 

.   (2.80)

 

Итак, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторно­му произведению мгновенной угловой скорости подвижной системы координат на вектор отно­сительной скорости.

По общему правилу определения направления, векторного произведения имеем: ускорение Кориолиса направлено пер­пендикулярно плоскости, прохо­дящей через вектора   и  в ту сторону, откуда поворот вектора   к вектору   на меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 2.28).

Из формулы (2.80) вытекает также, что величина ускоре­ния Кориолиса

 

.    (2.81)

 

Отсюда следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях:

1) если , т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного перенос­ного движения;

2) если , т.е. в случае относительного покоя точки или в моменты об­раще­ний в нуль относительной скорости точки;

3) если , т. е. в случае, когда вектор относительной скорости то­чки параллелен вектору угловой скорости переносного движения , как, напри­мер, при движении точки вдоль образующей цилиндра, вращающе­гося вокруг своей оси.

Задача 2.10. По железнодорожному пути, проложенному по параллели северной ши­роты, движется тепловоз со скоростью   с запада на восток. Найти корио­лисово ускорение   тепловоза.

Решение. Пренебрегая размерами тепло­воза, будем рассматривать его как некоторую точку (точка   на рис. 2.29).  Точка совершает сложное движение. За переносное движение примем враща­тельное движение точки   вместе с Землей, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к Земле с постоянной скоростью .

Величина ускоре­ния Кориолиса согласно (2.81) равна

 

,

где   - угловая скорость вращения Земли.

 Найдем угловую скорость вращения Земли. За сутки Земля делает один оборот. Угол, соответствующий одному обороту, равен   и число секунд в сутках равно , отсюда

 

.

 

Положение и направление вектора ускорения Кориолиса определяем по об­щему правилу определения направления векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса   находится на прямой , так как он должен быть перпендикулярен векторам   и ,  и направлен в сторону противополож­ную направлению векторов   и .

 

.

 

Задача 2.11. Точка   движется со скоростью   по окружности обода диска диаметра . Диск вращается в про­тивоположном направлении, имея в данный момент угловую скорость   и угловое ускорение   (рис. 2.30). Определить абсо­лютное ускорение точки.

Решение. Точка   совершает сложное движение. За переносное движение примем движение точки   вместе с диском, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к диску с постоянной скоростью . Абсолютное ускорение точки   определяется по формуле (2.78)

 

.

 

 

.

 

 

.

 

 

.

 

 

.

 

Относительное нормальное ускорение точки   направлено по радиусу к центру кривизны траектории относительного движения, а его модуль

 

.

 

Величина ускоре­ния Кориолиса согласно (2.81) равна

 

.

 

Положение и направление вектора ускорения Кориолиса определяем по об­щему правилу определения направления векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса   находится на прямой , так как он должен быть перпендикулярен векторам   и ,  и направлен в сторону противополож­ную направлению векторов   и .

 Проектируя все составляющие абсолютного ускорения   на оси   и , направленные по касательной к окружности и радиусу , получаем

 

;

.

 

Зная проекции абсолютного ускорения, по формуле

 

 

находим величину ускорения   в данной задаче

 

.

 

Определим направление вектора абсолютного ускорения :

 

,

 

 

 ,

 

т.е. абсолютное ускорение направлено под углом   к радиусу окружности.

 

nwpi-fsap.narod.ru