Неопределенность пределов – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Неопределённости пределов Википедия

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0{\displaystyle 0} — бесконечно малая величина, а ∞{\displaystyle \infty } — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.


Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов ( 00){\displaystyle \left(~0^{0}\right)}, (1∞){\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}, (∞0){\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

( 00)=(e0⋅ln

ru-wiki.ru

Неопределённости пределов Википедия

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0{\displaystyle 0} — бесконечно малая величина, а ∞{\displaystyle \infty } — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.


Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов ( 00){\displaystyle \left(~0^{0}\right)}, (1∞){\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}, (∞0){\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

( 00)=(e0⋅ln0)=(e0⋅(−∞)){\displaystyle \left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot ln{0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)}
( 1∞)=(e∞⋅ln1)=(e∞⋅0){\displaystyle \left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot ln{1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)}
( ∞0)=(e0⋅ln∞)=(e0⋅∞){\displaystyle \left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot ln{\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)}

Для раскрытия неопределённостей типа ∞∞{\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа (00){\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)} существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа (∞−∞){\displaystyle (\infty -\infty )} иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x)→x→a∞{\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty } и g(x)→x→a∞{\displaystyle g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty };
limx→a[f(x)−g(x)]=(∞−∞)=limx→a(11f(x)−11g(x))=limx→a1g(x)−1f(x)1g(x)⋅1f(x)=(00){\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)}.

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

limx→aax−xax−a,a>0{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0} — пример[1] неопределённости вида (00){\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}. По правилу Лопиталя limx→aax−xax−a=limx→aaxln⁡a−axa−11=aa(ln⁡a−1){\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)}. Второй способ — прибавить и отнять в числителе aa{\displaystyle a^{a}} и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям ax{\displaystyle a^{x}} и xa{\displaystyle x^{a}} соответственно:

ax−xax−a=ax−aa−(xa−aa)x−a=acln⁡a(x−a)−ada−1(x−a)x−a=acln⁡a−ada−1{\displaystyle {\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={\frac {a^{c}\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}\ln a-ad^{a-1}}

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.

Примечания

  1. Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 136.

wikiredia.ru

Неопределенности пределов - это... Что такое Неопределенности пределов?


Неопределенности пределов

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа

, , 0 / 0, 00, , ,

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 00, , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Пример

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Неопределенное поведение
  • Неопознанный подводный объект

Смотреть что такое "Неопределенности пределов" в других словарях:

  • ПРЕВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ НЕОБХОДИМОЙ ОБОРОНЫ — согласно ч. 3 ст. 37 УК умышленные действия, явно не соответствующие характеру и степени общественной опасности посягательства. Это не означает равенства по интенсивности посягательства и оборонительных действий. Поэтому причинение смерти при… …   Энциклопедия юриста

  • Европейский центральный банк — (European Central Bank) Европейский центральный банк – это крупнейшее международное кредитно банковкое учреждение государств Евросоюза и Зоны Евро Структура и фкункции Европейского Центрального банка, Европейская система центральных банков,… …   Энциклопедия инвестора

  • среднее — 3.3 среднее (mean): Среднее значение для (выбранного) времени усреднения результатов измерений анемометром. Источник: ГОСТ Р ИСО 1 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Александр II (часть 2, I-VII) — ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Император Александр II (1855—1881). I. Война (1855). Высочайший манифест возвестил России о кончине Императора Николая и о воцарении его преемника. В этом первом акте своего царствования молодой Государь принимал пред лицом… …   Большая биографическая энциклопедия

  • группа — 1.3.2 группа : Лампы с одинаковыми электрическими параметрами и характеристиками катода, физическими размерами и методом зажигания. Источник: ГОСТ Р МЭК 61195 99: Лампы люминесцентные двухцокольные. Требования безопасности …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Евро — (Euro) Евро это единая европейская валюта Евро: описание монет и банкнот, история создания и развития, место в мировой экономике Содержание >>>>>>>>>> …   Энциклопедия инвестора

  • Суверенитет — (Sovereignty) Суверенитет это независимость государства от других стран Суверенитет России и его проблемы, суверенитет Украины, суверенитет республики Беларусь, суверенитет Казахстана, суверенитет Чечни, Проблемы суверенитета стран Европы,… …   Энциклопедия инвестора

  • Сервитуты — ограничения собственности, сообщающие лицам, в пользу которых они установлены, самостоятельные вещные права пользования (так назыв. права в чужой вещи ) чужим недвижимым имуществом в точно определенном размере. Различают несколько видов этих… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Россия. Русское право: Русское гражданское право — Вступление. Русское гражданское право как в своем историческом развитии, так и современном состоянии в противоположность римскому и новому западноевропейскому характеризуется неопределенностью форм гражданско правовых отношений отдельных и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


dic.academic.ru

5.06 Особые случаи пределов и неопределенности

В пункте 5.5 указаны способы нахождения пределов суммы, разности, произведения и частного переменных и , имеющих конечные пределы. Рассмотрим теперь случаи, которые не охватываются указанными способами.

Начнем с частного .

1) Пусть , тогда , так как .

Здесь, и в дальнейшем, символом 0 обозначена бесконечно малая величина, символом – бесконечно большая величина, – величина, обратная бесконечно большой (см. теорему о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами).

2) Если , то , так как .

3) Пусть и , то есть и – бесконечно малые величины. В этом случае о пределе отношения никакого общего заключения сделать нельзя, так как в зависимости от характера изменения и возможны различные ответы. Так, например,

А) если , , то ;

Б) если , , то ;

В) если , , то ;

Г) если , , то и предела не имеет.

Таким образом, отношение бесконечно малых может быть величиной бесконечно малой, бесконечно большой, может иметь пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе не иметь предела. В связи с этим говорят, что отношение бесконечно малых представляет собой Неопределенность и обозначают этот вид неопределенности символом . Когда предел отношения бесконечно малых найден или установлено, что его нет, то говорят, что неопределенность раскрыта.

Аналогично рассматривается случай, когда и говорят о неопределенности вида .

В случае суммы результаты таковы:

1) если , то ;

2) если , то , то есть сумма бесконечно больших Одного знака, есть величина бесконечно большая;

3) если и – бесконечно большие разных знаков, то в общем случае представляет собой неопределенность, которая обозначается символом .

В случае произведения представляет интерес случай, когда один из сомножителей является бесконечно малой величиной, а другой – бесконечно большой. Пусть , тогда или , а эти неопределенности уже рассмотрены.

Кроме неопределенностей вида , существуют и другие неопределенности, с которыми познакомимся чуть позже.

Рассмотрим на примерах наиболее типичные приемы раскрытия неопределенностей.

Пример 1. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель являются бесконечно большими, следовательно, имеем случай неопределенности вида . Для раскрытия неопределенности поделим числитель и знаменатель на :

, так как , , при .

Пример 2. Найти .

Решение. Данное выражение представляет собой неопределенность вида . Этот вид неопределенности раскрывается другим приемом. Умножим и разделим данное выражение на сумму , в результате придем к неопределенности вида , которая раскрывается приемом, изложенным в примере 1.

.

В этом примере мы использовали теорему о пределе корня: если , то при любом натуральном .

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Пример 4. Найти .

Решение. Так как , то

.

Пример 5. Найти .

Решение. Напомним, что . Разделив числитель и знаменатель на , получим: .

Пример 6. Найти .

Решение. В числителе и знаменателе находятся бесконечно убывающие геометрические прогрессии со знаменателями и соответственно, поэтому

.

Пример 7. Найти .

Решение. Так как

, то

.

Для самостоятельного решения.

Найти следующие пределы:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: 1.

3. ; Ответ: 0.

4. ; Ответ: .

5. ; Ответ: не существует.

6. ; Ответ: 1.

7. ; Ответ: 2.

8. ; Ответ: 0.

9. ; Ответ: 1.

10. ; Ответ: .

11. ; Ответ: .

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Реферат Неопределённости пределов

скачать

Реферат на тему:

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть и

Пример

  • «Замечательный предел»  — пример неопределённости вида 0 / 0. По правилу Лопиталя

wreferat.baza-referat.ru

Неопределенности пределов - это... Что такое Неопределенности пределов?


Неопределенности пределов

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа

, , 0 / 0, 00, , ,

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 00, , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Пример

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Неопределенное поведение
  • Неопознанный подводный объект

Смотреть что такое "Неопределенности пределов" в других словарях:

  • ПРЕВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ НЕОБХОДИМОЙ ОБОРОНЫ — согласно ч. 3 ст. 37 УК умышленные действия, явно не соответствующие характеру и степени общественной опасности посягательства. Это не означает равенства по интенсивности посягательства и оборонительных действий. Поэтому причинение смерти при… …   Энциклопедия юриста

  • Европейский центральный банк — (European Central Bank) Европейский центральный банк – это крупнейшее международное кредитно банковкое учреждение государств Евросоюза и Зоны Евро Структура и фкункции Европейского Центрального банка, Европейская система центральных банков,… …   Энциклопедия инвестора

  • среднее — 3.3 среднее (mean): Среднее значение для (выбранного) времени усреднения результатов измерений анемометром. Источник: ГОСТ Р ИСО 1 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Александр II (часть 2, I-VII) — ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Император Александр II (1855—1881). I. Война (1855). Высочайший манифест возвестил России о кончине Императора Николая и о воцарении его преемника. В этом первом акте своего царствования молодой Государь принимал пред лицом… …   Большая биографическая энциклопедия

  • группа — 1.3.2 группа : Лампы с одинаковыми электрическими параметрами и характеристиками катода, физическими размерами и методом зажигания. Источник: ГОСТ Р МЭК 61195 99: Лампы люминесцентные двухцокольные. Требования безопасности …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Евро — (Euro) Евро это единая европейская валюта Евро: описание монет и банкнот, история создания и развития, место в мировой экономике Содержание >>>>>>>>>> …   Энциклопедия инвестора

  • Суверенитет — (Sovereignty) Суверенитет это независимость государства от других стран Суверенитет России и его проблемы, суверенитет Украины, суверенитет республики Беларусь, суверенитет Казахстана, суверенитет Чечни, Проблемы суверенитета стран Европы,… …   Энциклопедия инвестора

  • Сервитуты — ограничения собственности, сообщающие лицам, в пользу которых они установлены, самостоятельные вещные права пользования (так назыв. права в чужой вещи ) чужим недвижимым имуществом в точно определенном размере. Различают несколько видов этих… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Россия. Русское право: Русское гражданское право — Вступление. Русское гражданское право как в своем историческом развитии, так и современном состоянии в противоположность римскому и новому западноевропейскому характеризуется неопределенностью форм гражданско правовых отношений отдельных и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


veter.academic.ru

Неопределенности пределов - это... Что такое Неопределенности пределов?


Неопределенности пределов

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа

, , 0 / 0, 00, , ,

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 00, , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Пример

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Неопределенное поведение
  • Неопознанный подводный объект

Смотреть что такое "Неопределенности пределов" в других словарях:

  • ПРЕВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ НЕОБХОДИМОЙ ОБОРОНЫ — согласно ч. 3 ст. 37 УК умышленные действия, явно не соответствующие характеру и степени общественной опасности посягательства. Это не означает равенства по интенсивности посягательства и оборонительных действий. Поэтому причинение смерти при… …   Энциклопедия юриста

  • Европейский центральный банк — (European Central Bank) Европейский центральный банк – это крупнейшее международное кредитно банковкое учреждение государств Евросоюза и Зоны Евро Структура и фкункции Европейского Центрального банка, Европейская система центральных банков,… …   Энциклопедия инвестора

  • среднее — 3.3 среднее (mean): Среднее значение для (выбранного) времени усреднения результатов измерений анемометром. Источник: ГОСТ Р ИСО 1 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Александр II (часть 2, I-VII) — ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Император Александр II (1855—1881). I. Война (1855). Высочайший манифест возвестил России о кончине Императора Николая и о воцарении его преемника. В этом первом акте своего царствования молодой Государь принимал пред лицом… …   Большая биографическая энциклопедия

  • группа — 1.3.2 группа : Лампы с одинаковыми электрическими параметрами и характеристиками катода, физическими размерами и методом зажигания. Источник: ГОСТ Р МЭК 61195 99: Лампы люминесцентные двухцокольные. Требования безопасности …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Евро — (Euro) Евро это единая европейская валюта Евро: описание монет и банкнот, история создания и развития, место в мировой экономике Содержание >>>>>>>>>> …   Энциклопедия инвестора

  • Суверенитет — (Sovereignty) Суверенитет это независимость государства от других стран Суверенитет России и его проблемы, суверенитет Украины, суверенитет республики Беларусь, суверенитет Казахстана, суверенитет Чечни, Проблемы суверенитета стран Европы,… …   Энциклопедия инвестора

  • Сервитуты — ограничения собственности, сообщающие лицам, в пользу которых они установлены, самостоятельные вещные права пользования (так назыв. права в чужой вещи ) чужим недвижимым имуществом в точно определенном размере. Различают несколько видов этих… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Россия. Русское право: Русское гражданское право — Вступление. Русское гражданское право как в своем историческом развитии, так и современном состоянии в противоположность римскому и новому западноевропейскому характеризуется неопределенностью форм гражданско правовых отношений отдельных и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


dikc.academic.ru