Определение производная – Что такое производная 🚩 для чего нужна производная 🚩 Математика

Содержание

§1. Определение производной.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Производную принято обозначать так: .

Таким образом, по определению

.

Для обозначения производной употребляются также символы

.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точкеравен .

Пример.

Найдите производную функции в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке

=2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел отношения при :

.

Таким образом, .

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

Имеем:

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции

приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

Решение:

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при .

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Тогда

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)'=u'+v'.(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]--[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)'=u'+v'.

Теорема 2.Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)'=u'v+uv'. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3. Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если то(5)

Теорема 4.Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y'=0.

Теорема 5.Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y'=Cu'(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Решение.

Данная функция имеет вид , гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Решение.

Применим формулу (5).

Здесь ;.

.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2); 12);

3)13)

4)14)

5)15)

6)16)

7)17)

8)18)

9)19)

10)20)

studfiles.net

Производная

График функции, обозначены черным цветом, и касательная к нему (красный цвет). Значение тангенса угла наклона касательной является значением производной в указанной точке.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как граница отношения приращения функции к приращению ее аргумента когда прирост аргумента направляется к нулю (если такая граница существует). Функцию, имеет конечную производную, называют дифференцируемой.


1. Определение

Пусть в некотором окрестности точки x 0 определена функция f. Если мы возьмем произвольное число x в этом округе, то прирост аргумента (обозначается Δx) в этом случае определяется как x-x 0, а прирост функции (Δy) - как f (x)-f (x 0). Тогда, если существует предел , То она называется производной функции f в точке x 0.

Производной функцией данной функции называется функция, в любой точке области определения равна производной данной функции в этой точке.


2. Дифференцировки и производная

Дифференцирование - это метод вычисления соотношения прироста зависимой переменной y по отношению к приросту независимой переменной x. Это соотношение приростов называется производной функции y по переменной x. Если говорить более точно, зависимость y от x означает, что y функция от x. Эта функциональная зависимость часто обозначается y = ? (x), где ? обозначает функцию. Если x и y действительные числа, и если график функции y изображен относительно x, производная равна наклона касательной к этому графику в каждой точке.

Простейший случай когда y - линейная функция от x, значит график функции y относительно x прямая линия. В таком случае, y = ? (x) = m x + b, для вещественных чисел m и b, и наклон m определяется так

где символ Δ (греческая буква в верхнем регистре дельта) - это сокращение для "изменения в". Эта формула справедлива том, что

y + Δ y = ? (x + Δ x) = m (x + Δ x) + b = m x + b + m Δ x = y + m Δ x.

Из этого следует, что Δ y = m Δ x.

Получили точное значение наклона прямой линии. Если функция ? не линейная (т.е. график функции не прямая линия), тогда прирост y разделен на прирост x меняется: дифференцирование это способ вычисления точного значения видношенння приростов для любого значения x.

Соотношение приростов как предельная величина

Рисунок 2. Секущая линия к кривой y = ? (x) задается точками (x, ? (x)) and (x + h, ? (x + h))

Рисунок 3. Касательная как предел секущих линий

Идея состоит в том, см.. рисунки 1-3, чтобы вычислить отношение приращений как предельную величину Δ y / Δ x когда Δ x становится бесконечно малым.

Если использовать обозначения Лейбница, тогда бесконечно малый прирост x обозначается как dx, а производная функции y по переменной x записывается:

выглядит как отношение двух бесконечно малых величин. (Это выражение читается так: "производная функции y по переменной x" или "dy по dx")


2.1. Объяснение определения

Пусть ? - функция действительных чисел. В классической геометрии, касательная к графику функции ? для действительного числа a была единственная линия через точку (a, ? (a)), не пересекающийся с графиком функции ? трансверсально, значит эта линия не проходит через график. Производная функции y по переменной x в точке a, с геометрической точки зрения, это наклон касательной линии к графику функции ? в точке a. Наклон касательной очень близок к наклону линии, проходящей через точку (a, ? (a)) и другую близкую точку на графике, например (A + h, ? (a + h)) . Такие линии называются секущими. Значение h близкое к нулю дает хорошее приближение для наклона касательной, а чем меньше значение h, в общем случае, тем лучше будет приближение. Наклон m секущей линии равна разности значений y для этих точек разделить на разность значений x, т.е.

Это выражение - это отношение приростов Исаака Ньютона. Производная - это значение отношения приростов в случае когда январе линии приближаются к касательной. Строго говоря, производная функции ? в точке a это граница :

отношение приростов когда h стремится к нулю, если такая граница существует. Если граница существует тогда ? - дифференцированная в точке a. Здесь ? '(a) одно из нескольких возможных обозначений производной ( см..ниже)

Запишем эквивалентный выражение, для производной справедливо равенство

также подвергается интуитивном пониманию (см. рис.1), где касательная линия ? в точке a дает наилучшее линейное приближение

для ? у точки a (например, для малых h). Если подставить 0 вместо h в отношений приростов то получим деление на ноль, значит наклон касательной линии нельзя вычислить таким способом. Зато запишем Q (h), отношение приростов как функцию от h:

Q (h) - это наклон секущей линии между точками (a, ? (a)) and (a + h, ? (a + h)). Если ? - непрерывная функция, т.е. если график функции нет разрывов, тогда Q также непервна функция начиная с точки h = 0. Если существует предел , Т.е. если существует способ вычислить значение для Q (0), значит график функции Q непрерывный, тогда функция ? дифференцирована в точке a, и ее производная в точке a равна Q (0).

На практике, существование непервного продолжение отношения приростов Q (h) в точке h = 0 показывают по-другому: меняют числитель таким образом, чтобы сократить h в знаменателе. Этот прроцес может быть длинным и скучным для сложных функций, поэтому в таких случаях используют много упрощений.


2.2. Пример

Квадратная функция ? (x) = x ? - дифференцированная в точке x = 3 и ее производная в этой точке равна 6. Этого результата можно достичь, если вычислить границу отношения приростов ? (3) при h стремится к нулю:

Теперь можем вычислить границу, если подставим вместо h ноль:

Следовательно, наклон графика квадратной функции в точке (3, 9) равен 6, а ее производная в точке x = 3 равна ? '(3) = 6. Обобщая, если провести похожие вычисления то получим, что квадратная функция в точке x = a равно ? '(a) = 2 a.


2.3. Непрерывность и дифференцируемость

Эта функция не имеет производной в указанной точке, поскольку функция не является непрерывной в этой точке.

Если y = ? (x) - дифференцированная в точке a, тогда ? также быть непрерывная в точке a. Например, выберем точку a и пусть ? будет шаговой функцией, равной 1, для всех x меньших чем a и равен другому значению, скажем 10, для всех x, которые больше или равны a. Ƒ не имеет производной в точке a. Если h - отрицательное, тогда a + h находится на нижней ступеньке функции, тогда секущая линия от a до a + h очень круто поднимается вверх и если h стремится к нулю тогда наклон линии стремится к бесконечности. Если h положительное, тогда a + h на верхней ступеньке и секущая линия от a до a + h имеет наклон, равный нулю. Согласно январе линии не образуют единый наклон, следовательно пределом отношения приростов не существует.

Функция абсолютной величины является непрерывная, но от нее нельзя получить производную в точке x = 0, так наклон касательной приближается к различным значениям по разные стороны от данной точки.

Однако функция непрерывна в точке, она не обязательно дифференцирована в этой точке. Например, функция абсолютной величины y = | x | является неперрервною в точке x = 0, но не дифференцируема в этой точке. Если h положительное, тогда наклон секущей линии от 0 до h равен единице, если h отрицательное, тогда наклон секущей линии от 0 до h равна -1. На графике эту точку видно как "зубец" в точке x = 0. Также функции графику без "зубцов" не является дифференцированы в точке где касательная линия является вертикальная: например функция y = 3x не является дифференцированная в точке x = 0.

Подведем итоги: чтобы получить производную от функции ? необходимое условие чтобы функция ? была непрерывной, но только этого недостаточно.

Большинство функций, встречающихся на практике имеют производные во всех точках, или почти во всех точках. Ранее в начале изучения математического анализа, многие математики предполагали, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек. Для мягких условиях, например если есть монотонную функцию или Липщицову функцию эта формулировка справедливо. Однако в 1872 Вейерштрасс нашел первый пример функции, непрерывной всюду, но не дифференцированной в одной точке. Эта функция известна как Вейерштрасова. В 1931 году Стефан Банах доказал, что множество функций, имеющих производную хотя бы в какой-то точке есть множество первой категории в пространстве всех непрерывных функций. [1]


3. Обозначение

Производная обозначается как , Что произносится "эф-штрих от икс".

Функция, имеющая конечное производную в точке x, называется дифференцированной в точке x.

Производная также сказывается, как отношение дифференциалов . В физике для обозначения производных по времени используют точку над переменной, например .


3.1. Обозначение Лейбница

Обозначение производной предложенное Лейбницем было одним из первых. Оно широко используется до сих пор. Если выражение y = ? (x) рассматривается как функциональная зависимость между зависимой и независимой переменными. Тогда первая производная обозначается как:

производные высшего порядка обозначаются следующим образом

для производной n-го порядка y = ? (x) (по переменной x). Це является сокращение для многократного применения оператора производной. Например,

Через обозначение Лейбница мы можем записать производную функции y в точке x = a двумя различными способами:

Обозначение Лейбница позволяет указывать переменную дифференцирования (в знаменику). Это особенно важно для частичного дифференцировки. В таком обозначении также легче запомнить цепное правило :


3.2. Обозначение Лагранжа

Обозначение Лагранжа одно из самых распространенных современных обозначений для дифференцировки, впервые использовал Жозеф-Луи Лагранж. Для обозначения производной используют знак штрих, таким образом производная функции ? (x) обозначается ? '(x) или просто ?' подобным образом вторая и третья производная обозначаются

and

Начиная отсюда некоторые авторы применяют римские цифры:

для четвертой производной, тогда как другие авторы ставят цифру порядка производной в скобки:

Последняя запись обобщает обозначения ? (n) для производной функции ? n-го порядка - такое обозначение особенно удобно когда мы говорим о производную как о функции, в этом случае применение обозначения Лейбница может быть слишком громоздким.


3.3. Обозначение Ньютона

Обозначение Ньютона для дифференцировки, также называется точечное обозначение, ставят точку над названием функции для обозначения производной. Если y = ? (t), тогда

и

означает соответственно первую и вторую производную функции y по переменной t. Такое обозначение применяется почти исключительно для производных по времени, т.е. независимая переменная функции является время. Оно очень распространено в физике и математическим дисциплинам связанных с физикой, например дифференциальные уравнения. Хотя такое обозначение становится проблематичным в использовании для производных высокого порядка, на практике нужны только несколько первых производных.


4. Вычисление производной

Производную функции можно, теоретически, вычислять используя границу отношения приростов. На практике, достаточно знать производные ограниченного количества простых функций, тогда можно вычислить сложные случаи с помощью правил дифернециювання.

4.1. Производные простых функций

В большинстве случаев для того чтобы вычислить производную нужно знать производные определенных распространенных функций. Ниже приведен неполный перечень из производных некоторых важнейших функций одной действительной переменной.

,

где r - любое действительное число, тогда

,

для любых случаев, когда определенная функция. Например, если r = 1/2, тогда

.

здесь функция определена только для положительных x. Если r = 0, это правило повторяет правило константы.


5. Пример нахождения производной по определению

Пусть имеется функция y = c, где c - некоторая константа. Тогда при любом x 0 и при любом Δx изменение (прирост) функции равна нулю, следовательно и производная такой функции равен нулю.

6. Производные высших (старших) порядков

Понятие производной произвольного порядка задается рекуррентным:

  • производная нулевого порядка - сама функция
  • производная n-го порядка для натурального n, что больше 0, - производная производной (n-1)-го порядка

Иногда вместо "производная n-го порядка" говорят "n-я производная".

Производная n-го порядка функции f обычно обозначается как f (n) (x)

  • если n малое (1, 2, 3) - то используется соответствующее рисков, f '(x), f'' (x), f''' (x), произносится как "эф-штрих от икс"; о второй - "эф-два-штрихи от икс".
  • Можно встретить историческое обозначение производной с помощью римской системы счисления (первая производная: f '(x), вторая: f II (x), шестнадцатая: f XVI (x)).
  • В физике также встречается обозначение производной второго порядка по времени в виде двух точек над переменной: .

7. Геометрический смысл производной

Значение производной функции в точке равно значению углового кофициента касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой в точке M ( ) Имеет вид:

y = f (x) = tga


8. Физический смысл производной

Производная от пути по времени равна мгновенной скорости движения материальной точки.

См.. также


Примечания

  1. Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen", Studia. Math. (3): 174-179. . Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8

nado.znate.ru

Определение производной

Эта производная встречается очень часто, и её имеет смысл выучить. Запомнить можно так: ¾производная корня есть один делить на два корня¿.

Перейдём к тригонометрическим функциям: синусу и косинусу. Вычисления с помощью формулы (1.11) и первого замечательного предела приводят к следующему результату:

(sin x)0 = cos x; (cos x)0 = sin x:

Четыре производных в рамочке (константа, степенная функция, синус и косинус), как мы сказали выше, называются табличными. Эти производные нужно твёрдо знать.

Вычисления производной по определению (то есть как предела) легко проходят для функ-

ций, устроенных наиболее просто. А как быть, если нужно продифференцировать функцию p

наподобие такой: f(x) = x7 sin3 4x2 5x? Здесь вычислять предел (1.11) занятие не из приятных. В подобных случаях на помощь приходят правила дифференцирования, которые позволяют сконструировать производную данной функции из производных более простых функций.

1.1.5Правила дифференцирования

Как мы уже сказали, правила дифференцирования позволяют находить производные функций достаточно сложного вида. Идея состоит в ¾расщеплении¿ исходной функции на более простые функции, производные которых известны и играют роль ¾кирпичиков¿ при конструировании искомой производной. Зная небольшое число табличных производных и располагая правилами дифференцирования, мы можем вычислять производные огромного количества функций, не прибегая к определению производной и не вычисляя соответствующий предел (1.11).

Всего имеется пять правил дифференцирования. Мы приводим их здесь без доказательства. Функции u(x) и v(x) являются теми самыми ¾кирпичиками¿, из которых строятся функции более сложного вида.

0. Константа выносится за знак производной. Если c число, то (cu)0 = cu0.

Данное правило легко получается в качестве следствия правила 2 о дифференцировании произведения. Но применяется оно настолько часто, что мы сделали его ¾нулевым¿ правилом, обособленным от остальных.

Согласно этому правилу имеем, например:

(5x2)0 = 5(x2)0 = 10x;

( 3 sin x)0 = 3(sin x)0 = 3 cos x:

1. Дифференцирование суммы. (u + v)0 = u0 + v0 (производная суммы равна сумме производных).

Так, применяя правила 0 и 1, находим:

(sin x + cos x)0 = (sin x)0 + (cos x)0 = cos x sin x;

(x3 + 4 cos x 10)0 = (x3)0 + (4 cos x)0 + ( 10)0 = 3x2 4 sin x

(производная константы 10 равна нулю!).

2.Дифференцирование произведения. (uv)0 = u0v + uv0. Вот пример дифференцирования произведения:

(x2 sin x)0 = (x2)0 sin x + x2(sin x)0 = 2x sin x + x2 cos x:

studfiles.net

Что такое производная?

Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным результатом применения какой-то определенной операции дифференцирования по отношению к исходной функции.

Определение производной

Для того, чтобы понять, что такое производная, необходимо знать, что название функции происходит непосредственно от слова «произведенная», то есть образовавшаяся от другой какой-либо величины. При этом сам процесс определения производной какой-то определенной функции имеет название - «дифференцирование». 

Наиболее распространенный метод представления и определения, при использовании теории пределов, несмотря на то, что она появилась гораздо позже дифференциальных исчислений. По определению данной теории, производной называется предел в отношении приращения функций к приращению аргумента, в случае если таковой предел имеется, и при условии, что данный аргумент стремится к нулевому значению. 

Принято считать, что, впервые, термин и понятие «производная» употребил в своих трудах известный русский математик по имени В.И.Висковатов.

Рассмотренный ниже небольшой пример поможет наглядно понять, что такое производная.

  1. Для поиска производной функции f в точке х, нам нужно определить значения данной функции непосредственно в точке х, а так же в точке х+Δх. Причем Δx – это приращения аргумента х.
  2. Найти приращение для функции у приравненное к f(х+Δх) – f(х).
  3. Записать производную при помощи предела отношения f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, исчислить при Δх → 0.

Обычно производная обозначается знаком апострофа - «’» непосредственно над дифференцируемой функцией. Обозначение в виде одного апострофа обозначает первую производную, в виде двух – вторую. Производную наивысшего порядка принято задавать соответствующей цифрой, к примеру f^(n) – что означает производную n-го порядка, где буква «n» – целое число , которое ? 0. Производная нулевого порядка - это и есть сама дифференцируемая функция.

С целью облегчения дифференцирования усложненных функций, были разработаны и приняты определенные правила дифференцирования функций:

elhow.ru

определение производной | математика-повторение

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х0+Δх) — f (x0).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое  -4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) - f (x0).  Так как у нас функция y=x2,  то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x· Δx+(Δx)2— (х0)2=2x· Δx+(Δx)2=

=2 · · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1  → α = 45°,   так как  tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=xn.

Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же,  как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.

Вот эти формулы.     

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

 

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

 

www.mathematics-repetition.com

Производная функции - это... Что такое Производная функции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции в точке

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

при

Замечания

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от   может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

  или  
  или  

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

  • Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

  • Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
  • Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
 — производная первого порядка по при , или  — вторая производная по в точке и т. д.
, или иногда .
  • В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

Примеры

  • Пусть . Тогда
  • Пусть . Тогда если то

где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

, то

  • Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
где  — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

Доказательство  

Таблица производных некоторых функций

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

См. также

Примечания

Литература

  • В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
  • В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
  • В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

med.academic.ru

Производная функции - это... Что такое Производная функции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции в точке

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

при

Замечания

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от   может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

  или  
  или  

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

  • Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

  • Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
  • Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
 — производная первого порядка по при , или  — вторая производная по в точке и т. д.
, или иногда .
  • В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

Примеры

  • Пусть . Тогда
  • Пусть . Тогда если то

где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

, то

  • Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
где  — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

Доказательство  

Таблица производных некоторых функций

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

См. также

Примечания

Литература

  • В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
  • В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
  • В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

biograf.academic.ru