Правила вычисления производной – Определение производной функции. Вычисление производных основных элементарных функций. Вычисление производных сложных функций

§ 10. Основные правила вычисления производных.

Теорема 10.1. Пусть функцияu=φ(x) имеет в данной точкеx0производную. Тогда функцияy=cuимеет в точкеx0производную.

Здесь c– произвольная постоянная.

Доказательство. Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда

y=y(x0+∆ x) ─y(x0) =c φ(x0+∆ x) ─c φ(x0) =c∙[φ(x0+∆ x) ─ φ(x0)] =c∙∆φ.

Теорема доказана.

Теорема 10.2.Пусть функцииu(x) иv(x) имеют в данной точкеx0производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функцииu(x) +v(x),u(x) ─v(x

),

u(x) ∙v(x), а также (еслиv(x0)≠0) функция,

причём (,,.

Доказательство. Пусть f(x) =u(x) +v(x). Тогда ∆ f=f(x0+∆ x) ─f(x0) =

= u(x0+∆ x) ─u(x0) +v(x0+∆ x) ─v(x0).

(x0) = = + =

. Таким образом,.

Совершенно аналогично доказывается, что .

Пусть теперь f(x) =u(x) ∙v(x). Тогда

f=f(x0+∆ x) ─f(x0) =u(x0+∆ x) ∙v(x0+∆ x) ─u(x0) ∙v(x0).

Введём для удобства обозначения: ∆u = u(x0+∆ x) ─u(x0), ∆v=v(x0+∆ x) ─v(x0),

u = u(x0),v = v(x0). Тогдаu(x0+∆ x) =u+ ∆u,v(x0+∆ x) =v+ v,

f= (u+ ∆u) ∙ (v+ v) ─u v= ∆u ∙ (v+ v) +u ∙ ∆v.

Так как функция v(x) дифференцируема (имеет производную) в точкеx0

, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→0 и ∆v0. Поэтому

= v +u + v=

=. Таким образом,.

Пусть далее f(x) =. Тогда

f=

=(здесь обозначенияu,v, ∆u, ∆vимеют тот же смысл, что и выше).

=. Так как v= 0, то

==. Таким образом,.

Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной.

Пример 10.1. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 10.2. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 10.3. Найти производную функции .

Решение.

§ 11. Производная обратной функции.

Справедлива следующая теорема. Пусть функцияy=f(x)строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0из этого интервала имеет отличную от нуля производную(x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функцияx(y), которая в точкеy0= f(x0) имеет производную, причём.

Пример. Функция y = sin xудовлетворяет условиям последней теоремы на интервалеи всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:. Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции (

) определена и дифференцируема обратная функция

x = arcsin y, причём.

Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале функция положительна. Итак,, или, если аргументy обозначить

через x, .

§ 12. Производная сложной функции.

Теорема 12.1 Пусть функция u =φ(x) имеет в некоторой точкеx0производную, а функцияимеет в соответствующей точкепроизводную. Тогда сложная функцияв точкеx0также имеет производную, равную произведению производных функций

иφ(x):

.

Коротко это соотношение можно записать в виде .

Доказательство. Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆ u, а функцияполучит приращение ∆ y. Так как функцииφ(x) иимеют производные, то есть дифференцируемы, то, а, гдеприипри.

Подставим выражение для ∆uв выражение для ∆y:

.

Разделим это равенство на ∆x:

.

Если , то

и (как следует из выражения для ∆ u). Но тогда и. Поэтому

=.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть , гдеC– константа. Тогда,.

Пусть, например, . Здесь,. Введём обозначение, тогда,.

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.

Пример 12.1. Найти производную функции .

Решение. Введём промежуточную функцию . Тогда.

.

Пример 12.2. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,.

.

Пример 12.3. Найти производную функции .

Решение. Здесь

,.

.

Пример 12.4. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,.

.

Пример 12.5. Найти производную функции .

Решение.

(здесь подразумевается промежуточная функция ).

Пример 12.6. Найти производную функции .

Решение

Пример 12.7. Найти производную функции .

Решение..

Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то есть если она содержит несколько промежуточных аргументов, то теорема о производной сложной функции применяется последовательно требуемое число раз. Пусть, например,

,, а, то есть. Тогда.

То же самое можно записать иначе: .

Пример 12.8. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,, тогда.

.

studfiles.net

§ 10. Основные правила вычисления производных.

Теорема 10.1. Пусть функцияu=φ(x) имеет в данной точкеx0производную. Тогда функцияy=cuимеет в точкеx0производную.

Здесь c– произвольная постоянная.

Доказательство. Дадим аргументу

x приращение ∆ x. Тогда

y=y(x0+∆ x) ─y(x0) =c φ(x0+∆ x) ─c φ(x0) =c∙[φ(x0+∆ x) ─ φ(x0)] =c∙∆φ.

Теорема доказана.

Теорема 10.2.Пусть функцииu(x) иv(x) имеют в данной точкеx0производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функцииu(x) +v(x),u(x) ─v(x),

u(x) ∙v(x), а также (еслиv(x0)≠0) функция,

причём (,,.

Доказательство. Пусть f(x) =u(x) +v(x). Тогда ∆ f=f(x0+∆ x) ─f(x0) =

= u(x0+∆ x) ─u(x0) +v(x0+∆ x) ─v(x0).

(x0) = = + =. Таким образом,.

Совершенно аналогично доказывается, что .

Пусть теперь f(x) =u(x) ∙v(x). Тогда

f=f(x0+∆ x) ─f(x0) =u(x0+∆ x) ∙v(x0+∆ x) ─u(x0) ∙v(x0).

Введём для удобства обозначения: ∆u = u(x0+∆ x) ─u(x0), ∆v=v(x0+∆ x) ─v(x0),

u = u(x0),v = v(x0). Тогдаu(x0+∆ x) =u+ ∆u,v(x0+∆ x) =v+ v,

f= (u+ ∆u) ∙ (v+ v) ─u v= ∆u ∙ (v+ v) +u ∙ ∆v.

Так как функция v(x) дифференцируема (имеет производную) в точкеx0, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→0 и ∆v0. Поэтому

= v +u + v=

=. Таким образом,.

Пусть далее f(x) =. Тогда

f==(здесь обозначенияu,v, ∆u, ∆vимеют тот же смысл, что и выше).

=. Так как v= 0, то

==. Таким образом,.

Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной.

Пример 10.1. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 10.2. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 10.3. Найти производную функции .

Решение.

§ 11. Производная обратной функции.

Справедлива следующая теорема. Пусть функцияy=f(x)строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0из этого интервала имеет отличную от нуля производную(x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функцияx(y), которая в точкеy0= f(x0) имеет производную, причём.

Пример. Функция y = sin xудовлетворяет условиям последней теоремы на интервалеи всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:. Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции () определена и дифференцируема обратная функция

x = arcsin y, причём.

Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале функция положительна. Итак,, или, если аргументy обозначить

через x, .

§ 12. Производная сложной функции.

Теорема 12.1 Пусть функция u =φ(x) имеет в некоторой точкеx0производную, а функцияимеет в соответствующей точкепроизводную. Тогда сложная функцияв точкеx0также имеет производную, равную произведению производных функцийиφ(x):

.

Коротко это соотношение можно записать в виде .

Доказательство. Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆ u, а функцияполучит приращение ∆ y. Так как функцииφ(x) иимеют производные, то есть дифференцируемы, то, а, гдеприипри.

Подставим выражение для ∆uв выражение для ∆y:

.

Разделим это равенство на ∆x:

.

Если , тои (как следует из выражения для ∆ u). Но тогда и. Поэтому

=.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть , гдеC– константа. Тогда,.

Пусть, например, . Здесь,. Введём обозначение, тогда,.

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.

Пример 12.1. Найти производную функции .

Решение. Введём промежуточную функцию . Тогда.

.

Пример 12.2. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,.

.

Пример 12.3. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,.

.

Пример 12.4. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,.

.

Пример 12.5. Найти производную функции .

Решение.

(здесь подразумевается промежуточная функция ).

Пример 12.6. Найти производную функции .

Решение

Пример 12.7. Найти производную функции .

Решение..

Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то есть если она содержит несколько промежуточных аргументов, то теорема о производной сложной функции применяется последовательно требуемое число раз. Пусть, например,

,, а, то есть. Тогда.

То же самое можно записать иначе: .

Пример 12.8. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,, тогда.

.

studfiles.net

Вычисление производных первого порядка.


Определение: Производной первого порядка функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется предел 

$$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$


Основные формулы для вычисления производных.

$c'=0,\quad c=const;$

$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1},$      $x\in\mathbb{R}, \alpha\neq 0;$ 

$(a^x)'=a^x\ln a,\quad a>0, a\neq 1, x\in \mathbb{R};$

$(e^x)'=e^x;$

$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}, \quad x>0;$

$(\log_a|x|)'=\frac{1}{x\ln a},\quad x\neq 0;$

$(\ln x)'=\frac{1}{x},\quad x>0;$

$(\sin x)'=\cos x, \quad x\in \mathbb{R};$

$(\cos x)'=-\sin x\quad x\in \mathbb{R};$

$(tg x)'=\frac{1}{\cos^2 x},$     $x\neq\frac{\pi}{2}(2n+1),\,\, n\in\mathbb{Z};$ 

$(ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2 x},$  $x\neq\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z};$ 

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad |x|<1;$

$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad |x|<1;$

$(arctg x)'=\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\mathbb{R};$

$(arcctg x)'=-\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\mathbb{R};$

 

Правила вычисления производных.

1) Пусть $f=c_1 f_1+c_2f_2+...+c_nf_n.$ Тогда $f'=c_1f'_1+c_2f'_2+...+c_nf'_n.$

2) Пусть $f=f_1\cdot f_2.$ Тогда $f'=f'_1f_2+f_1f'_2.$

3) Если $f=f_1/f_2,$ то $f'=\frac{f'_1f_2-f'_2f_1}{f_2^2}.$

4) Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x_0,$ а функция $z=g(y) $ - в точке $y_0=f(x_0),$ то сложная функция $z=\varphi(x)=g(f(x)),$ также имеет производную в точке $x_0,$ причем $\varphi'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0).$

Примеры.

Найти производную функции $y(x)$

1) ${ y=x^3+x^2+x+1}$

Решение.

$y'=3x^2+2x+1.$

 

2) ${ y=7x^{13}+13x^{-7}}$

Решение.

$y'=7\cdot 13x^{12}+13({-7})x^{-8}=91x^{12}-91x^{-8}=91(x^{12}-x^{-8}).$

 

3) ${y=\frac{x^2-5x+6}{x^2+x+7}}$

Решение.

$$y'=\frac{(x^2-5x+6)'(x^2+x+7)-(x^2+x+7)'(x^2-5x+6)}{(x^2+x+7)^2}=$$ $$=\frac{(2x-5)(x^2+x+7)-(2x+1)(x^2-5x+6)}{(x^2+x+7)^2}=$$ $$\frac{2x^3+2x^2+14x-5x^2-5x-35-2x^3+10x^2-12x-x^2+5x-6}{(x^2+x+7)^2}=$$ $$=\frac{6x^2+2x-41}{(x^2+x+7)^2}.$$

 {jumi[*4]}

 

4) ${y=(x+1)tg x;}$

Решение.

$y'=(x+1)'tg x+(x+1)(tg x)'=tg x+\frac{x+1}{\cos^2 x};$

 

5) ${ y=(a+bx)^\alpha}$

Решение.

$y'=\alpha(a+bx)^{\alpha-1}(a+bx)'=$ $\alpha(a+bx)^{\alpha-1}b;$

 

6) ${y=\sqrt[3]{\frac{1-x^3}{1+x^3}}.}$

Решение.

$$y'=\frac{1}{3}\left(\frac{1-x^3}{1+x^3}\right)^{-\frac{2}{3}}\frac{(-3x^2)(1+x^3)-3x^2(1-x^3)}{(1+x^3)^2}$$

 

7) ${y=\ln\ln(x/2)}$

Решение.

$$y'=\frac{1}{\ln(x/2)}\cdot(\ln(x/2))'=\frac{1}{\ln(x/2)}\cdot\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{x\log(x/2)}.$$


8) $y=\ln\frac{x^2+a}{\sqrt{x^4+b^2}}+\frac{a}{b}arctg\frac{x^2}{b}$ 

Решение.

 

$$y'=\frac{\sqrt{x^4+b^2}}{x^2+a}\cdot\left(\frac{x^2+a}{\sqrt{x^4+b^2}}\right)'+\frac{a}{b}\frac{1}{1+\frac{x^4}{b^2}}\cdot\left(\frac{x^2}{b}\right)'=$$

$$\frac{\sqrt{x^4+b^2}}{x^2+a}\cdot\frac{2x\sqrt{x^4+b^2}-1/2(x^4+b^2)^{-1/2}\cdot4x^3(x^2+a)}{x^4+b^2}+\frac{a}{b}\frac{1}{1+\frac{x^4}{b^2}}\cdot\frac{2x}{b}=$$

$$=\frac{2x(x^4+b^2)-2x^3(x^2+a)+2xa(x^2+a)}{(x^2+a)(x^4+b^2)}=\frac{2x(a^2+b^2)}{(x^2+a)(x^4+b^2)}.$$

 

9) ${y=x^x}$

Решение.

$y'=(x^x)'=(e^{\ln x^x})'=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}(x\ln x)'=e^{x\ln x}(\ln x+x\cdot\frac{1}{x})=$ $=x^x(\ln x+1).$

 

10) ${y=\log_x 7}$

Решение.

$$y'=(\log_x 7)'=\left(\frac{1}{\log_7 x}\right)'=(\log_7^{-1} x)'=-\log_7^{-2}x\cdot\frac{1}{x\ln 7}=$$

$$-\frac{1}{(\frac{\ln x}{\ln 7})^2}\cdot\frac{1}{x\ln 7}=-\frac{1}{x\ln x\cdot\frac{\ln x}{\ln 7}}=-\frac{1}{x\ln x\log_7 x}.$$

 

Производная функции заданной параметрически.

Пусть функции $x=x(t)$ и $y=y(t)$ определены в некоторой окрестности точки $t_0$ и параметрически задают в окрестности точки $x_0=x(t_0) $ функцию $y=f(x).$ Тогда, если $x(t)$ и $y(t)$ имеют в точке $t_0$ производные и если $\frac{dx(t_0)}{dt}\neq 0,$ то функция $y=f(x)$ в точке $x_0$ также имеет производную, которая может быть задана по формуле 

$\frac{df(x_0)}{dx}=\frac{\frac{dy(t_0)}{dt}}{\frac{dx(t_0)}{dt}},$  $y'_x(x_0)=\frac{y'_t(t_0)}{x'_t(t_0)}.$   

Примеры.

1) ${ x=\sin^2 t,\,\, y=\cos^2 t,\quad t\in(0,\pi/2). }$

Решение.

$x'_t=2\sin t\cdot(\sin t)'=2\sin t\cdot\cos t;$

$y'_t=2\cos t\cdot(\cos t)'=2\cos t\cdot(-\sin t).$

$$y'_x=\frac{2\cos t\cdot(-\sin t)}{2\sin t\cdot\cos t}=-1.$$

2) ${ x=e^{-t}; \,\, y=t^3 \quad t\in (-\infty;\, +\infty) .}$

Решение.

$$y'_x=\frac{3t^2}{-e^{-t}}=-3t^2e^t.$$

3) ${ x=a\cos t;\,\, y=b\sin t,\quad t\in(0,\pi). }$

Решение.

$$y'_x=\frac{b\cos t}{-a\sin t}-\frac{b}{a}ctg t.$$

4) ${ x=(t^3-2t^2+3t-4)e^t,\,\, y=(t^3-2t^2+4t-4)e^t. }$

Решение.

$$y'_x=\frac{(3t^2-4t+4)e^t+e^t(t^3-2t^2+4t-4)}{(3t^2-4t+3)e^t+e^t(t^3-2t^2+3t-4)}=$$ $$\frac{t^3+t^2}{t^3+t^2-t-1}=\frac{t^2(t+1)}{t^2(t+1)-(t+1)}=\frac{t^2}{t^2-1}.$$

5) $x=ctg 2t,\,\, y=\frac{2\cos 2t-1}{2\cos t}\quad t\in (0, \pi/2).$ $x'_y -?$ 

Решение.

$$x'_y=-\frac{2}{\sin^2 2t}\cdot\frac{4\cos^2 t}{-4\sin 2t\cdot2\cos t+2\sin t(2\cos 2t-1))}=$$ $$\frac{-1}{\sin^2 t(-8\sin t\cos^2 t+\sin t(2(1-2\sin^2 t)-1))}=$$

$$\frac{-1}{-8\sin^3 t\cos^2 t-4\sin^5 t+2\sin^3 t-\sin^3 t}=$$
$$\frac{1}{\sin^3 t(8\cos^2 t+4\sin^2t-2+1)}=\frac{1}{\sin^3 t(4\cos^2 t+3)}.$$

 

Производная функции заданной неявно.

Если дифференцируемая на некотором интервале функция $y=y(x)$ задана неявно уравнением $F(x,y)=0,$ то ее производную $y'(x)$ можно найти из уравнения $\frac{d}{dx}F(x,y)=0.$

 Примеры.

Найти производную функции $y'(x).$

1) ${ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }$

Решение. 
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)=0$$
$$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}y'=0, \Rightarrow\quad y'=-\frac{b^2 x}{a^2 y}.$$

2) ${ y^5+y^3+y-x=0 }$

Решение.
$$\frac{d}{dx}(y^5+y^3+y-x)=0 \Rightarrow 5y^4y'+3y^2y'+y'-1=0\,\,\Rightarrow\,\,$$ $$\Rightarrow y'=\frac{1}{5y^4+3y^2+1}.$$


3) $ y-x=\varepsilon\sin y $

Решение.

$$\frac{d}{dx}(y-x-\varepsilon\sin y)=0\Rightarrow\,\, y'-1-\varepsilon\cos y\cdot y'=0 \Rightarrow y'=\,\frac{1}{1-\varepsilon\cos y}.$$

mathportal.net

Таблица производных и правила | Математика

На этой странице дана таблица производных и правила нахождения  производных.

Таблица производных:

   

Правила вычисления производных:

   

Полезно помнить:

   

   

   

adminПроизводная

www.matematika.uznateshe.ru

ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Поиск Лекций

Краевой колледж предпринимательства

Учебное пособие для выполнения

практических и контрольных работ по "Математике"

раздел "Дифференциальное исчисление”

 

 

Пермь 2009

"Дифференциальное исчисление”. Учебное пособие для выполнения практических и контрольных работ по дисциплинам "Элементы высшей математики", "Математика" для студентов всех специальностей.

 

Разработал: преподаватель А.С. Ремизова

 

Пояснительная записка

Учебное пособие представляет собой руководство к решению задач раздела "Дифференциальное исчисление" курса "Элементы высшей математики" для студентов специальностей СПО на базе среднего (полного) общего образования.

Основное назначение пособия – помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя изучить приемы решения основных задач, закрепить полученные навыки при выполнении практических работ и подготовиться к зачету (экзамену) по данному разделу.

 

ПРОИЗВОДНАЯ

Определение производной

Правила вычисления производных

Пусть дан график непрерывной функции y = f (x) (рис.)

Возьмем на кривой y = f (x) точки М (х; у) и М11; у1) , где х1 = х + ∆х, у1 = у + ∆у (∆х – приращение аргумента, ∆у – приращение функции). Проведем секущую ММ1, угловой коэффициент которой обозначим через k1, т.е. k1 = tg φ1. Из треугольника ММ1Р находим .

Предположим, что точка М остается неподвижной, а точка М1, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М. Тогда:

1) Секущая ММ1 поворачивается вокруг точки М, приближаясь к положению касательной;

2) х1 → х, а следовательно, ∆х = (х1 – х)→0;

3) угол φ1 стремится к углу φ между касательной и осью Ох.

Пусть k – угловой коэффициент касательной, т.е. k =tgφ. Так как tg φ1непрерывная функция (случай, когда φ1 = , пока исключим из рассмотрения), то .

Итак, угловой коэффициент касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: .

Производной функции y = f (x) в данной точке х называют предел отношения приращения функции ∆у к соответствующему приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х →0, т.е.

Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.

ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Определение производной четко указывает действия, которые нужно выполнить для ее нахождения, что позволяет непосредственно вычислять производную любой элементарной функции. Непосредственное дифференцирование позволяет вывести основные правила и формулы дифференцирования.

Все правила и формулы дифференцирования сведем в таблицу и в дальнейшем будем пользоваться ею, подобно тому, как в арифметике пользуются таблицей умножения.

 

 


poisk-ru.ru

Правила вычисления производной функции — Мегаобучалка

Вычисление производной функции

 

Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.

Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.

С понятием производной мы познакомились на прошлой лекции и следовали при этом истории появления понятий дифференциала и производной. Историческое развитие не всегда является прямолинейным. Поэтому в современном изложении этого материала вначале, как правило, появляется понятие производной, а только затем понятие дифференциала. И происходит это примерно следующим образом.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Это можно записать в виде , имея в виду, что величина является приращением аргумента, - приращением функции. Если этот предел не существует, то мы говорим, что функция не имеет производную в этой точке.

Затем вводится понятие дифференциала функции, как главной части приращения функции, если это приращение представляется в виде , где - функция, обладающая свойством . При этом также, как мы и делали, доказывается теорема о том, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда существует производная этой функции. При этом и для дифференциала функции справедлива формула . Заметим, что из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. В частности, отсюда следует, что функция, имеющая производную в точке, непрерывна в этой точке.

 

Правила вычисления производной функции



 

Теорема 1. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , .

Доказательство. Так как существуют производные функций и , то и . Докажем первую из формул. Рассмотрим и после простой группировки слагаемых получим . Вторая формула доказывается совершенно аналогично. Далее рассмотрим с учетом определения производной оказывается справедливой третья формула (с учетом непрерывности этих функций). Аналогично доказывается формула № 4, после чего теорема будет доказана.

 

Теорема 2. Пусть существуют производные функций и . Тогда существует производная функции и справедлива формула .

Доказательство. Сформулируем идею доказательства. Для функции рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента функции . С учетом существования (по условию теоремы) производных соответствующих функций при переходе к пределу в этом равенстве (все приращения в силу непрерывности одновременно стремятся к 0) мы приходим к формуле . Теорема доказана.

 

Следствие. (Производная обратной функции) Пусть задана монотонная функция . Тогда существует обратная ей функция , т. е. функция, обладающая свойством , , и при этом справедлива формула .

Доказательство. Для сложной функции производная, с одной стороны, равна 1, а, с другой стороны, равна произведению производных , откуда .

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

Теорема 3. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.

 

 

Доказательство. Формула 1) очевидна, т. к. у константы приращение функции всегда равно 0. Рассмотрим теперь формулу 4) при , т. е. производную от натурального логарифма. Вычислим ее непосредственно:

.

Теперь заметим, что и справедлива формула . Формула 4) доказана.

Рассмотрим функцию , обратную к функции . Поэтому (производные берутся по соответствующим аргументам) . Теперь заметим, что , поэтому, с учетом правила вычисления производной сложной функции, . Формула 3) доказана.

Для вычисления табличной производной 2) применим так называемое правило логарифмического дифференцирования. Суть его заключается в том, что , и эта формула применяется, если производную от логарифма функции посчитать легче, чем от самой функции. В этом случае искомая производная вычисляется по формуле .

Итак, для функции рассмотрим соотношение-следствие или . Продифференцировав обе части полученного соотношения, получим , откуда и, наконец, . Формула 2) доказана.

Перейдем к доказательству формул второй строки таблицы. Вычислим производную функции после следующих преобразований: . Формула 5) доказана.

Формулы 6), 7), 8) являются прямым следствием формулы 5):

,

.

И, наконец, рассмотрим формулы третьей строки. Заметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Учитывая, что в области определения арксинуса значения косинуса не могут принимать отрицательные значения, мы приходим к формуле . Далее, получим .

Теперь отметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Вспомним формулу и поэтому . Далее, получим . Теорема 7 доказана.

 

megaobuchalka.ru

Правила вычисления производных

Пусть c-положительное число u=u(x), v=v(x) и кроме этого у этих функции существуют производные.

Тогда справедливы следующие формулы :

1). c´=0

2). (c · u(x))´=c · u´(x)

3). (u(x) v(x))´=u´(x) v´(x)

4). (u(x)· v(x))´= u´(x)·v(x)+u(x)·v´(x)

5). ()´=

Доказательство:

1). c´=0

c´=

c´=

c´=

c´= 0.

 

Упражнение.

Докажите формулу (c · u(x))´=c · u´(x) пен (u(x) v(x))´=u´(x) v´(x).

 

4). (u(x)· v(x))´= u´(x)·v(x)+u(x)·v´(x)

(u(x)· v(x))´=

(u(x)· v(x))´=

(u(x)· v(x))´= ()

(u(x)· v(x))´= ()

(u(x)· v(x))´= u(x)·v´(x)+v(x)·u´(x)

(u(x)· v(x))´= u´(x)·v(x)+u(x)·v´(x)

 

Упражнение.

Докажите 5-ю формулу.

tendey.kz