ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ – Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Β  Β   ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… основано Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° выходят Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ школьного курса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Β  Β  Β  ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1 (производная ΠΎΡ‚ произвСдСния числа Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ). Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ равСнство

(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число.

Β  Β  Β  Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, производная ΠΎΡ‚ произвСдСния числа Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ этого числа Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Β  Β  Β  ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2 (производная суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная ΠΎΡ‚ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Β  Β  Β  ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 3 (производная разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная ΠΎΡ‚ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Β  Β  Β  ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 4 (производная произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(f (x) g (x))’ = f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),

Β  Β  Β  Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, производная ΠΎΡ‚ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, плюс пСрвая функция, умноТСнная Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Β  Β  Β  ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 5 (производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

,

Β  Β  Β  ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β  f (x) Β  ΠΈ Β  g (x) .Β  Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Β«Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π°

f (g (x))

ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Β  f (x) Β  Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Β  g (x)Β  – Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Β  Β  Β  ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 6 (производная слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)

Β  Β  Β  Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β  f (g (x)) Β  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β  x Β  Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β  g (x) , Β  Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β  x .

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Β  Β  Β  Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ стСпСнных, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… (ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…), логарифмичСских, тригономСтричСских ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΠΈΡ… этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ школьного курса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

ЀункцияЀормула для производнойНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

y = c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число

y’ = 0ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y = x c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число

y’ = c xc – 1ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
y = e xy’ = e xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ экспонСнты (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм Β  e)

y = a x

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

y’ = a x ln aΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм Β  a
y = ln x , Β  x > 0, Β  x > 0ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

y = log a x , Β  x > 0

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

, Β  x > 0ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию Β  a
y = sin xy’ = cos xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса
y = cos xy’ = – sin xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса

y = tg x ,

,ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса

y = ctg x ,

,ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса

y = arcsin x ,

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса

y = arccos x ,

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса
y = arctg xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса
y = arcctg xΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция:

y = c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = 0

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция:

y = x c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = c xc – 1

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ экспонСнты (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм Β  e)

Ѐункция:

y = e x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = e x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм Β  a

Ѐункция:

y = a x

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = a x ln a

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Ѐункция:

y = ln x , Β  x > 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

, Β  x > 0
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию Β  a

Ѐункция:

y = log a x , Β  x > 0

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

, Β  x > 0
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса

Ѐункция:

y = sin x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = cos x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса

Ѐункция:

y = cos x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = – sin x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса

Ѐункция:

y = tg x ,

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса

Ѐункция:

y = ctg x ,

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса

Ѐункция:

y = arcsin x ,

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса

Ѐункция:

y = arccos x ,

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса

Ѐункция:

y = arctg x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса

Ѐункция:

y = arcctg x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Β  Β  Β  Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Β  Β  Β  Π’ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… строках (с ΠΆΠ΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΠ½ΠΎΠΌ) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° внутрСнняя функция являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Β  fΒ (x)Β =Β kxΒ +Β bΒ , Π³Π΄Π΅Β  kΒ  ΠΈΒ  bΒ  – Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ числа, .

ЀункцияЀормула для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

y = (kx + b) c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число.

y’ = kc (kx + b) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число.

y = ekx + by = kekx + b
y = e f (x)

y = akx + b

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

y = a f (x)

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

y = ln (kx + b) , Β  kx + b > 0,

kx + b > 0

y = ln ( f (x)) , Β  f (x) > 0,

f (x) > 0

y = log a (kx + b) , Β  kx + b > 0

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

, Β  kx + b > 0

y = log a ( f (x)) , Β  f (x) > 0

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

, Β  f (x) > 0
y = sin (kx + b)y’ = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b)y’ = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))

y = tg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

,

y = tg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

,

y = ctg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

,

y = ctg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))

Ѐункция:

y = (kx + b) c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = kc (kx + b) c – 1 ,

Ѐункция:

y = ( f (x)) c ,

Π³Π΄Π΅Β  c – любоС число.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = ekx + b

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y = kekx + b

Ѐункция:

y = e f (x)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = akx + b

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = a f (x)

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = ln (kx + b) , Β  kx + b > 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

, Β  kx + b > 0

Ѐункция:

y = ln ( f (x)) , Β  f (x) > 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

, Β  f (x) > 0

Ѐункция:

y = log a (kx + b) , Β  kx + b > 0

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

, Β  kx + b > 0

Ѐункция:

y = log a ( f (x)) , Β  f (x) > 0

Π³Π΄Π΅Β  a – любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

, Β  f (x) > 0

Ѐункция:

y = sin (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = k cos (kx + b)

Ѐункция:

y = sin ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = cos (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

y’ = – k sin (kx + b)

Ѐункция:

y = cos ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = tg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = tg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = ctg (kx + b),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = ctg ( f (x)),

Π³Π΄Π΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

,

Ѐункция:

y = arcsin (kx + b),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arcsin ( f (x)),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arccos (kx + b),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arccos ( f (x)),

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arctg (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arctg ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arcctg (kx + b)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Ѐункция:

y = arcctg ( f (x))

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Β  Β  Β  На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прСподаватСлями ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Β  Β  ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅ΠΌ школьников (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вмСстС с родитСлями) Π½Π° бСсплатноС тСстированиС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΌΠΈΒ».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ (495) 509-28-10

Β  Β  Β  Для школьников, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ русскому языку Π½Π° высокий Π±Π°Π»Π», ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

Β  Β  Β  Π£ нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для школьников ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹

ΠœΠžΠ‘ΠšΠ’Π, Π‘Π’ΠΠž, Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π•Π—ΠžΠ›Π¬Π’Π•ΠΠ’ΠΒ»

www.resolventa.ru

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ матСматичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° основных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΡ… вычислСния

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «производная». Π‘Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ.
ВСорСтичСскиС свСдСния для ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π’ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ занятий.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ называСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… основных матСматичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:


ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (производная суммы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…)


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих слагаСмых (производная разности Ρ€Π°Π²Π½Π° разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…).


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плюс ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (сумма ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎ взятых ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ).

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ„Ρ€Π°Π·Π°ΠΌΠΈ напоминаю ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΡƒ ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ произвСдСния, я Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡŽ Ρ‚Π°ΠΊ: производная ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плюс ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…Π°ΠΌΠΈ!


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° частному разности ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎ взятых ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° знамСнатСля.


ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ произвСдСния числа Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ произвСдСния числа Π½Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ это число Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этого Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:


Для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Π°ΡˆΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Ρ‹ ΠΊ страницС с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

АлСксандр Π‘.
ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°. Π’ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· самых. Π—Π° пояснСния ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ спасибо. Π₯отя Π±Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ. Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ спасибо.

Колпаков А.Н, Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅: Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΡŽΡΡŒ Π² блиТайшСС врСмя Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ страницу ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

Π’ΠΈΡ€Ρ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ матСматичСский справочник.
Колпаков АлСксандр НиколаСвич, Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ: АлгСбра, Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ

ankolpakov.ru

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:
; Β  ; Β  ; Β  ; Β  .

Если Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
,
Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:
.
Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
.
Π³Π΄Π΅ .
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ индСксы ΠΈΠ»ΠΈ , располоТСнныС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ выполняСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, приводятся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. Однако x – это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ , ΠΌΡ‹ просто мСняСм, Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ u.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.

РСшСниС

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² эквивалСнтном Π²ΠΈΠ΄Π΅:
.
Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
;
.

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
.

РСшСниС

Выносим ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ 5 Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
.

РСшСниС

Выносим ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ –1 Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
;
Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… ΠΌΡ‹ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ нСсколько Ρ€Π°Π·. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΌΡ‹ вычисляСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° составныС части ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ самых простых частСй, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования суммы, произвСдСния ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановки ΠΈ примСняСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
.

РСшСниС

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ использовали ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
.

Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ части исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, примСняя ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования суммы:
.

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.

РСшСниС

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, примСняя ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹.
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ искомой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

Автор: ОлСг ΠžΠ΄ΠΈΠ½Ρ†ΠΎΠ². Β  Β  ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ:

1cov-edu.ru

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Достаточно часто студСнтам Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° производная слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π΅. Но сначала краткая тСория.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽΒ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ говоря, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ выполняСтся “ΠΏΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ΅”. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· измСнСния Π΅Ρ‘ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Если Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ являСтся слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ снова Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ.

Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1
Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
РСшСниС

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ самой Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2
Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
РСшСниС

Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ экспонСнту Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, поэтому Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Π½Π΅Ρ‘ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вычисляСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3
Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
РСшСниС

Зная Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ арктангСнса ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4
Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
РСшСниС

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ слоТная функция, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. ИмССм:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5
Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
РСшСниС

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ прСдставляСт Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ являСтся сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Π΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ слоТныС функции. ВспоминаСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈ приступаСм:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ функция Β – это производная ΠΎΡ‚ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Вторая функция Β – это производная слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π’ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅: Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ» Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Β ΠΈ Π΅Ρ‘ словСсноС Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅.Β 

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Если g(x) ΠΈ f(u) – Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ своих Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² соотвСтствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x ΠΈ u = g(x), Ρ‚ΠΎ слоТная функция Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x ΠΈ находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Випичная ошибка ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ – машинальноС пСрСнСсСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° слоТныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·Π±Π΅Π³Π°Ρ‚ΡŒ этой ошибки.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ 9 Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ функция являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ x являСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ лишь Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° вторая функция являСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ, согласно Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ строгому ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ – ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

x.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ посмотритС Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅, которая ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° слоТныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с простым ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΡƒΠ»ΠΈΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΈ – ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°ΠΏΠ΅Ρ‡Ρ‘Π½Ρ‹Ρ… яблок, Ρ„Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ягодами.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, “яблоко” – это функция, Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, являСтся “Ρ„Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΌ” (ягодами). ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, сначала ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌ яблоко с Ρ„Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΌ Π² ΠΎΡΠΎΠ±ΡƒΡŽ (Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ) Π΄ΡƒΡ…ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΈ устанавливаСм Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ 1. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ Π΄ΡƒΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠ° воздСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° “яблоко”, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, допустим, большС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠ΅Ρ‡ΡŒ яблоко, Π° Ρ„Π°Ρ€Ρˆ ΠΈΠ· ягод ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ сочным, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ 1 обрабатываСтся яблоко, Π° Ρ„Π°Ρ€Ρˆ остаётся Π½Π΅Π·Π°Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ, Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ нашим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ лишь ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, “яблока”. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² Π΄ΡƒΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ устанавливаСтся Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ 2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ воздСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Ρ„Π°Ρ€Ρˆ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря, записываСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

x. И, Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², записываСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ “яблока” ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ “Ρ„Π°Ρ€ΡˆΠ°”. МоТно ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ!

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, Π³Π΄Π΅ здСсь “яблоко”, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ u, Π° Π³Π΄Π΅ “Ρ„Π°Ρ€Ρˆ”, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ u ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ: Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – это функция ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ “яблоко”, Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) – это ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ “Ρ„Π°Ρ€Ρˆ”.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… (производная суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ синуса ΠΈ косинуса) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:

ВрСбуСмая Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ производная (Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ “Ρ„Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΠ΅ яблоко”):

НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свои особСнности, поэтому Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ”.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠΠ΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого Π² скобках ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ сумму ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ опрСдСляСм, Π³Π΄Π΅ “яблоко”, Π° Π³Π΄Π΅ “Ρ„Π°Ρ€Ρˆ”. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ выраТСния Π² скобках – это “яблоко”, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ u, Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках – “Ρ„Π°Ρ€Ρˆ”, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ u ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° (примСняя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ 14 ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…)

Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ нСсколько слоТнСС, поэтому ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ”.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠΠ΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π· опрСдСляСм, Π³Π΄Π΅ “яблоко”, Π° Π³Π΄Π΅ “Ρ„Π°Ρ€Ρˆ”. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ косинус ΠΎΡ‚ выраТСния Π² скобках (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 7 Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…)- это “яблоко”, ΠΎΠ½ΠΎ готовится Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ 1, Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ, Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках (производная стСпСни – Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ 3 Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…) – это “Ρ„Π°Ρ€Ρˆ”, ΠΎΠ½ готовится ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ 2, Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ. И ΠΊΠ°ΠΊ всСгда соСдиняСм Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ произвСдСния. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – частоС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ…, поэтому Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ”.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π° слоТныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π±Ρ‹Π» простой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Но Π² практичСских заданиях Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ сам являСтся слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ содСрТит Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях? ΠΠ°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ диффСрСнцирования. Когда Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° производная ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΎΠ½Π° просто подставляСтся Π² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ΅ мСсто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. НиТС – Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΠΊ это дСлаСтся.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅. Если слоТная функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

,

Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слСдуСт Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

.

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π²Π°ΡˆΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΎΠΊΠ½Π°Ρ… пособия ДСйствия со стСпСнями ΠΈ корнями ΠΈ ДСйствия с дробями.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ забывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x Π½Π΅ мСняСтся:

Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ произвСдСния ΠΈ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования суммы:

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС – ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, поэтому

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ суммой, Π² качСствС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· слагаСмых содСрТит ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ: Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – слоТная функция, Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ возводится Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ вновь ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ сомноТитСля ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π° диффСрСнцируя Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная константы Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ для вычислСния Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ диффСрСнцирования суммы:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ сумму ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – слоТная функция, Π° сам синус – ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΏΡƒΡ‚Π½ΠΎ вынося ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – слоТная функция f[g(x)], Π° сам косинус – ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. Π‘Π½ΠΎΠ²Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ – трСбуСмая производная:


Для слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° основании ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ простой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄.

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ

Π’Π΅ΡΡŒ Π±Π»ΠΎΠΊ “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ”

function-x.ru

БлоТная функция. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΌ матСматичСском понятии, ΠΊΠ°ΠΊ слоТная функция, ΠΈ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ разбСрСмся с понятиСм слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, “с Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Сдят”, ΠΈ “ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π΅ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ”.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ:

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Β , стоящий Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Β ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ВмСсто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉΒ  ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:Β . И Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

.

НазовСм Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β  ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ, Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽΒ  – внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ строгиС матСматичСскиС понятия, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ смысл понятия слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ понятия слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция  Β ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° мноТСствС  ΠΈΒ  – мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, мноТСство  (ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ подмноТСство) являСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ . ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Β Π² соотвСтствиС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒΒ  ΠΈΠ·Β  число . Π’Π΅ΠΌ самым Π½Π° мноТСствС  Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция . Π•Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Π’ этом ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ссли ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ нашСй Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ, Β  – внСшняя функция,Β  – ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ находится ΠΏΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ понятно, я люблю Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ схСмы:

Π’ этом Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ  с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° промСТуточная функция.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ

1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, какая функция являСтся внСшнСй ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

Π’ этой ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅ наибольшиС затруднСния Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для этого ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ простой Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ:

Π°. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π±. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ…. Для этого Π²Ρ‹ подставляСтС это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ… Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ арифмСтичСскиС дСйствия. Π’ΠΎ дСйствиС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ послСдним ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ внСшняя функция.

НапримСр, Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

 послСднСС дСйствиС Β – Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для этого запишСм ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚

ΠΊΠ°ΠΊΒ 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌΒ 

Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Β ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Β  Β  (1)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ со слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ этом Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ послСднСС дСйствиС – Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Β .

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ синуса:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1):

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, упростим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, вспомнив Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ синуса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€Π΅ΡˆΠΊΡƒ: ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ сам являСтся слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ вновь ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

И.Π’. ЀСльдман, Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

ege-ok.ru

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

К основным ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ диффСрСнцирования относят:

1. ВынСсСниС постоянного мноТитСля Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Β  Β 

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ константу ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы, производная разности:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ распространяСтся ΠΈ Π½Π° большСС число Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ разности

Β  Β 

Ρ€Π°Π²Π½Π° разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ):

Β  Β 

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ знамСнатСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ числитСля ΠΈ числитСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ знамСнатСля, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ знамСнатСля.

ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡΡ сайт? РасскаТи Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌ!

ru.solverbook.com


Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *