Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёттолько об определённости и никакой другой

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

Пример 18

Вычислить предел

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость

Используем формулу

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:

В данном случае:

Таким образом:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

В результате:

Готово.

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :

Пример 19

Вычислить предел

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость к виду .

(6) Используем формулу .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:

(8) Без комментариев =)

Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Пример 20

Вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решениймы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-ой замечательный предел не применим.

Пример 21

Найти пределы

Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: .

Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу,

! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Пример 22

Найти пределы

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще:

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

Пример 2

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.

Пример 4

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 8

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя.

Пример 10

Пример 12

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Пример 13

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 15

Проведём замену:
Если , то .

Пример 17

Проведём замену:
Если , то .
Далее используем формулу приведения , тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Пример 20

Используем формулу

Пример 22

Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:

megaobuchalka.ru

1 в степени бесконечность — Энциклопедия научных парадоксов

Материал из Энциклопедия научных парадоксов

1∞{\displaystyle 1^{\infty }} — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: 1a=1{\displaystyle 1^{a}=1}. Следственно, и 1∞=1{\displaystyle 1^{\infty }=1}. Таким образом, это не должно быть неопределённостью.

Так почему же это является неопределённостью?[править]

1∞{\displaystyle 1^{\infty }} — это неформальная запись предела lim(x;y)→(1;+∞)xy{\displaystyle \lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}}. Если сначала устремить x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1}, а потом уже y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, то получится действительно 1{\displaystyle 1}. Но если сначала устремить y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, а потом x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1} сверху, то получится +∞{\displaystyle +\infty }. А если сначала устремить y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, а потом x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1} снизу, то получится 0{\displaystyle 0}. Сам же предел lim(x;y)→(1;+∞)xy{\displaystyle \lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}} может принимать любые значения от 0{\displaystyle 0} до +∞{\displaystyle +\infty }, например, limx→+∞(1+1/x)x=e=2,71…{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{(1+1/x)^{x}}=e=2,71…}

paradox.pifia.ru

Предел функции одной переменной

§. Предел функции

Квантор всеобщности: – любой, каждый, всякий.

Квантор существования: – существует, найдется.

Конечный предел функции в точке

Конечный предел функции на бесконечности

2.

или

1. Теоремы о пределах.

Пусть существуют конечные пределы и . Тогда справедливы следующие утверждения:

• ;

• ;

• , если .

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малой функцией при называется функция , предел которой равен нулю при:.

Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при .Предел этой функции обозначают знаком бесконечности :.

Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Если , то.

Если , то

Задача. Вычислить пределы функции при

Решение. В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а) .

Здесь применима теорема о пределе частного.

б) .

При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида.

Неопределенность вида приможет быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х–х₀), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби (п.2 и п.3 прил.1).

Таким образом,

в)

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

г)

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

д) .

Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида при, каждый член числителя и знаменателя дроби делят наx в наивысшей степени (в нашем примере на х²), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.

В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х² многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен .

Ответы.

Замечательные пределы,

эквивалентные бесконечно малые функции

1. Замечательные пределы:

,

или в другой форме: ,

где – иррациональное число.

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенно­сти вида .

2. Две бесконечно малые функции (x) и (x) называются эквивалентными при , если= 1. В этом случае пишут(x) ~(x) при .

Предел отношения двух бесконечно малых функции не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Наиболее часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых функций при :

Задача. Вычислить пределы: а)б)

Решение.

В рассматриваемых задачах неопределенность вида была раскрыта после замены бесконечно малых функций на эквивалентныеим и сокращения полученных дробей на бесконечно малую функцию х.

Ответ.

Задача. Вычислить предел

Решение.

Очевидно, что

Далее воспользуемся вторым замечательным пределом:

Ответ.

studfiles.net

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть функция f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х_о тогда: 1)если lim f(x)= lim g(x)=бесконечность, то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний предел существует. 2)если lim f(x)=lim g(x)=0, то lim f(x)/g(x)= (0/0)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний существует.

Следовательно если мы имеем неопределённости бесконечность/бесконечность, 0/0, воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

4)бесконечность-бесконечность . Пусть f стремиться к бесконечности, g стремиться к бесконечности, тогда f-g=1/(1/f)- 1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1^{бесконечность},0⁰, бесконечность⁰. Данные неопределённости также сводятся к неопределённостям бесконечность/бесконечность или 0/0 . для этого можно воспользоваться формулой f^g=e^infg=eglnf, f>0. Так, если f стремиться к 1, g стремиться к бесконечности, то получаем неопределённость 0*бесконечность (так как ln1=0), после чего можно получить бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде дельта y=f(x₀+дельтаx)-f(x₀)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x₀+дельтаx)-f(х₀)=f’(x₀)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x₀)*дельтаx есть главная линейная часть приращения функции f(x) в точке х₀.Эту главную линейную часть приращения функции f(x) и называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначают df(x₀)=f’(x₀)*дельтаХ, в частности для f(x)=x имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ, следовательно df(x₀)=f’(x₀)dx

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для ч, близких к x₀, Так как отбросив бесконечно малую функцию в формуле 2, получаем: f(x₀+дельтаХ)=f(x₀)+f’(x₀)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция y=f(x) на множестве Х и х₀-внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(x₀) окрестность точки х₀.В точке х₀ функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(x)<=f(x₀).

Точки локальных максимума и минимума называются точки локальных экстремумов, а значения функции в них-локальными экстремумами функции.Пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b] и имеет локальный экстремум на каком0то из концов этого отрезка.Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Критическими точками , т.е. точки подозрительные на экстремум функции на интервале [a,b] , являются точки,в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности.

Первое достаточное условие экстремума-пусть непрерывная функция диффиринцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀, тогда: 1)если f’(x)>0 при х<x_0, х принадлежит U(х₀) и f’(x)<0 при х>x₀, x принадлежит U(x₀), то в точке х₀-локальный максимум

2)если f’(x)<0 при x<x₀ х принадлежит U(x₀) и f’(x)>0при x>x₀ x принадлежит U(x₀), то в точке х₀ локальный минимум.

Функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное условие экстремума- пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀-стационарная точка (f’(x₀)=0) в которой f’’(x₀)>0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f’’(x₀)< 0 то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

studfiles.net