Предел 1 бесконечность – 7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Содержание

один в степени бесконечность | Математика

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:  

   

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

   

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

Найти пределы:

   

  Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку 

   

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

   

   

(не забываем о требовании  f(x)→0, при x→0).

   

   

   

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

   

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

   

   

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

   

 

 

www.matematika.uznateshe.ru

1 в степени бесконечность | Научные парадоксы Wiki

Это — материал о парадоксах.
Это — материал собственного авторства.

$ 1^\infty $ — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: $ 1^a=1 $. Следовательно, и $ 1^\infty=1 $. Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора филосовской  фразой можно так, "ква! хрю!кря!", это и есть та самая определенность ...

и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс - нифига не парадокс, а фигня какая-то

Так почему же это является неопределённостью? Править

По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) $ \lim_{x\to \infty}{1^x}=\lim_{x\to \infty}{x \cdot 1^{x-1}} $. Но поскольку $ x=\infty $ (по условию), то одним из множителей второго предела является $ \infty $, что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, $ 1^\infty $ является неопределённостью, и это доказано.

ru.scienceparadoxes.wikia.com

Число в степени бесконечность | Математика

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно.Поскольку показательная функция

   

при а>1 возрастает, то для таких а 

   

При 0<а<1 показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю :

   

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

   

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

1)

   

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

   

   

Таким образом, приходим к выводу, что

   

2) Вычислить предел функции:

   

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность» — Мегаобучалка

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёттолько об определённости и никакой другой.

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако

с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

Пример 18

Вычислить предел

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость



Используем формулу

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:

В данном случае:

Таким образом:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

В результате:

Готово.

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :

Пример 19

Вычислить предел

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У

сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость к виду .

(6) Используем формулу .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:

(8) Без комментариев =)

Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Пример 20

Вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если

числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример: .

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решениймы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-ой замечательный предел не применим.

Пример 21

Найти пределы

Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: .

Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ.

! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Пример 22

Найти пределы

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще:

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

 

 

Пример 2

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 4

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на

, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 8

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя.

Пример 10

Пример 12

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Пример 13

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 15

Проведём замену:
Если , то .

Пример 17

Проведём замену:
Если

, то .
Далее используем формулу приведения , тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Пример 20

Используем формулу

Пример 22

Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:

 

megaobuchalka.ru

1 в степени бесконечность — Энциклопедия научных парадоксов

Материал из Энциклопедия научных парадоксов

Это — материал о парадоксах.
Это — материал собственного авторства.

1∞{\displaystyle 1^{\infty }} — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: 1a=1{\displaystyle 1^{a}=1}. Следственно, и 1∞=1{\displaystyle 1^{\infty }=1}. Таким образом, это не должно быть неопределённостью.

Так почему же это является неопределённостью?[править]

1∞{\displaystyle 1^{\infty }} — это неформальная запись предела lim(x;y)→(1;+∞)xy{\displaystyle \lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}}. Если сначала устремить x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1}, а потом уже y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, то получится действительно 1{\displaystyle 1}. Но если сначала устремить y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, а потом x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1} сверху, то получится +∞{\displaystyle +\infty }. А если сначала устремить y{\displaystyle y} к +∞{\displaystyle +\infty }, а потом x{\displaystyle x} к 1{\displaystyle 1} снизу, то получится 0{\displaystyle 0}. Сам же предел lim(x;y)→(1;+∞)xy{\displaystyle \lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}} может принимать любые значения от 0{\displaystyle 0} до +∞{\displaystyle +\infty }, например, limx→+∞(1+1/x)x=e=2,71...{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{(1+1/x)^{x}}=e=2,71...}

paradox.pifia.ru

Предел функции одной переменной

§. Предел функции

Квантор всеобщности: – любой, каждый, всякий.

Квантор существования: – существует, найдется.

Конечный предел функции в точке

Конечный предел функции на бесконечности

2.

или

1. Теоремы о пределах.

Пусть существуют конечные пределы и . Тогда справедливы следующие утверждения:

  • ;

  • ;

  • , если .

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малой функцией при называется функция , предел которой равен нулю при:.

Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при .Предел этой функции обозначают знаком бесконечности :.

Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Если , то.

Если , то

Задача. Вычислить пределы функции при

Решение. В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а) .

Здесь применима теорема о пределе частного.

б) .

При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида.

Неопределенность вида приможет быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби (п.2 и п.3 прил.1).

3х2+10х – 8 = 0;

4х2+15х– 4 = 0;

D =

D =

3х2+10х–8 = 3(х+4)(х–2/3) =

4х2+15х – 4 = 4(х+4)(х–1/4 ) =

= (х+4)(3х–2).

= (х+4)(4х–1).

Таким образом,

в)

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

г)

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

д) .

Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида при, каждый член числителя и знаменателя дроби делят наx в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.

В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2 многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен .

Ответы.

Замечательные пределы,

эквивалентные бесконечно малые функции

1. Замечательные пределы:

,

или в другой форме: ,

где – иррациональное число.

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенно­сти вида .

2. Две бесконечно малые функции (x) и (x) называются эквивалентными при , если= 1. В этом случае пишут(x) ~(x) при .

Предел отношения двух бесконечно малых функции не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Наиболее часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых функций при :

Задача. Вычислить пределы: а)б)

Решение.

В рассматриваемых задачах неопределенность вида была раскрыта после замены бесконечно малых функций на эквивалентныеим и сокращения полученных дробей на бесконечно малую функцию х.

Ответ.

Задача. Вычислить предел

Решение.

Очевидно, что

Далее воспользуемся вторым замечательным пределом:

Ответ.

studfiles.net

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть функция f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки хо тогда: 1)если lim f(x)= lim g(x)=бесконечность, то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний предел существует. 2)если lim f(x)=lim g(x)=0, то lim f(x)/g(x)=

(0/0)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний существует.

Следовательно если мы имеем неопределённости бесконечность/бесконечность, 0/0, воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность, пусть f стремиться к 0, g стремиться к бесконечности, тогда fg=f/ (1/g)= (0/0)=g/(1/f)= (бесконечность/бесконечность), т.е. мы свели данную неопределённость к 0/0 или бесконечность/бесконечность, после чего можно применять правило Лопиталя

4)бесконечность-бесконечность . Пусть f стремиться к бесконечности, g стремиться к бесконечности, тогда f-g=1/(1/f)- 1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1бесконечность,00, бесконечность0. Данные неопределённости также сводятся к неопределённостям бесконечность/бесконечность или 0/0 . для этого можно воспользоваться формулой fg=einfg=eglnf, f>0. Так, если f стремиться к 1, g стремиться к бесконечности, то получаем неопределённость 0*бесконечность (так как ln1=0), после чего можно получить бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде дельта y=f(x0+дельтаx)-f(x0)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы в точке х0 существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x0+дельтаx)-f(х0)=f’(x0)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x0)*дельтаx есть главная линейная часть приращения функции f(x) в точке х0.Эту главную линейную часть приращения функции f(x) и называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначают df(x0)=f’(x0)*дельтаХ, в частности для f(x)=x имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ, следовательно df(x0)=f’(x

0)dx

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g2

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для ч, близких к x0, Так как отбросив бесконечно малую функцию в формуле 2, получаем: f(x0+дельтаХ)=f(x0)+f’(x0)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция y=f(x) на множестве Х и х0-внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(x0) окрестность точки х0.В точке х0 функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(x)<=f(x0).

Точки локальных максимума и минимума называются точки локальных экстремумов, а значения функции в них-локальными экстремумами функции.Пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b] и имеет локальный экстремум на каком0то из концов этого отрезка.Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Критическими точками , т.е. точки подозрительные на экстремум функции на интервале [a,b] , являются точки,в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности.

Первое достаточное условие экстремума-пусть непрерывная функция диффиринцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0, тогда: 1)если f’(x)>0 при х<x0, х принадлежит U(х0) и f’(x)<0 при х>x0, x принадлежит U(x0), то в точке х0-локальный максимум

2)если f’(x)<0 при x<x0 х принадлежит U(x0) и f’(x)>0при x>x0 x принадлежит U(x0), то в точке х0 локальный минимум.

Функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное условие экстремума- пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0-стационарная точка (f’(x0)=0) в которой f’’(x0)>0, то в точке х0 функция имеет локальный минимум. Если же f’’(x0)< 0 то в точке х0 функция имеет локальный максимум.

studfiles.net