Пределы при х стремится к бесконечности – Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов.
- Комментариев к записи Пределы при х стремится к бесконечности – Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов. нет
- Советы абитуриенту
Предел функции Предел функции в бесконечности
Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число S (зависящее от, т.е. S = S()), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: | f(x) – А| <.
Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная nпринимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.
Предел функции в бесконечности обозначается или f(x)А приx.
Итак, .
Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.
Рисунок 2.3 – Геометрический смысл предела функции в бесконечности
Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x, если для любого> 0 найдется такое числоS> 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.
Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x+(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либоx-(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).
Предел функции в точкеЧисло А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех хх0таких, что |х – х0| <, верно неравенство: | f(x) – А| <.
Предел функции в точке х0 обозначаетсяили f(x)А приxх0.
.
Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х0, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.
Итак, число А есть предел функции у = f(x) при xх0, если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки х0, что для всех хх0из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.
Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х0. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х0, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х0, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.
Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значенияx<x0
(тогда в определении вместо |х – х0| <рассматривается интервал х0-<x< х0, а предел называютпределом слеваи обозначают) либо лишь значенияx>x0(тогда в определении вместо |х – х0| <рассматривается интервал х0<x< х0 +, а предел называютпределом справаи обозначают).Если, то, и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, – если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).
Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи .
§ 2. Предел функции в бесконечности и в точке
Определение. Переменная (зависимая) величина называетсяфункцией независимой переменной величины (аргумента) на множестве , если каждому значениюпоставлено в соответствие определенное значение. Обозначение:. Множество
называется областью определения функции, множество– областью значений.Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменнаяn, возрастая, принимает лишь целые положительные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения
Определение. Число А называется пределом функции при x , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа
Этот предел функции обозначается илипри.
С помощью логических символов определение имеет вид: .
Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции
как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).y
Y=f(x)
A+
A
2
A-
x
S
0
Выясним геометрический смысл предела функции в бесконечности. Неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной
Итак, число А есть предел функции при, если для любогонайдется такое число, что для всех х таких, что, соответствующие ординаты графика функциибудут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.
Пример 3 Доказать, исходя из определения предела, что
Решение: Пусть – любое положительное число. Требуется доказать, что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство. Если, тои
Следовательно, для выполнения неравенства достаточно найти
Замечание 2 Приведенное выше определение предела при предполагает неограниченное возрастание независимой переменной х по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. прии при. В первом случае основное неравенство должно выполняться для всех х таких, что, а во втором – для всех х таких, что.
Замечание 3 Пределы функций, заданных многочленами любой степени не существуют, т. е.
Пример 4 Вычислить пределы:
Определение. Любая точка числовой оси называетсяпредельной точкой множества, если во всякой окрестности точки содержатся точки из множества, отличные от точки(точкаможет и не принадлежать множеству).
Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки.
Определение. Число А называется пределом функции при х, стремящемся к(или в точке), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ,найдется такое положительное число (зависящее от,),что для всех х. не равных и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Этот предел функции обозначается илипри.
С помощью логических символов определение имеет вид:
Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к, значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине)
y
Y=f(x)
A+
A
2
A-
x
0
S
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше. Неравенство равносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной. Аналогично неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему попаданию точек х в-окрестность точки.
Число А есть предел функции при, если для любогонайдется такая-окрестность точки, что для всех из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.
Пример 5 Доказать , исходя из определения предела, что
Решение: Пусть – любое положительное число. Требуется доказать. Что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполнено неравенство.
Если , тои
Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , т.е., откуда(второй кореньотбрасывается, так какдолжно быть положительным).
Таким образом, для любого найдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е.
Замечание 3 Определение предела не требует существования функции в самой точке , ибо рассматривает значения в некоторой окрестности точки. Другими словами, рассматривая, мы предполагаем, что х стремится к, но не достигает значения. Поэтому наличие или отсутствие предела приопределяется поведением функции в окрестности точки, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке.
Замечание 4 Вычисление предела функции в точке сводится к вычислению значения этой функции при предельном значении аргумента, т.е. .
Пример 6 Вычислить пределы:
Замечание 5 Если при стремлении х к переменная х принимает лишь значения, меньшие, или наоборот, лишь значения, большие, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева исправа .
studfiles.net
Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов.
⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 23Следующая ⇒Предел функции при х->х0
Мы ввели понятия предела функции при и при Введем теперь понятие предела при Рассмотрим сперва случай, когда независимая переменная приближается к слева.
Определение. Число b называется пределом функции у при слева, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число N (меньшее что для всех лежащих между N и ), выполняется неравенство (1)
Понятие предела функции при слева сходно с понятием предела функции при и отличается от него лишь тем, что для предела функции при неравенство (1) выполняется для всех превосходящих N, а для предела функции при – для всех превосходящих N, но меньших, чем
Рис. 107
Предел функции при слева обозначают так: Символ означает, что стремится к слева.
Геометрический смысл предела функции при заключается в следующем: каково бы ни было найдется такое число что для всех заключенных между N и график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми (рис. 107, а).
Аналогично пределу функции при слева вводят понятие предела при справа.
Определение. Число b называется пределом функции у при справа, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число М (большее ), что для всех лежащих между выполняется неравенство
Предел функции при справа обозначают так:
Если функция при справа имеет пределом число b, то геометрически это означает, что график функции будет лежать в полосе, ограниченной прямыми для всех заключенных между и М (рис. 107, б).
Пределы функции при слева и при справа называются односторонними пределами.
Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двусторонний предел при или просто имеет предел при
Определение. Число b является пределом функции при если, каково бы ни было можно найти такие числа М и что для всех лежащих в интервале (за исключением, быть можету точки выполняется неравенство
Рис. 108
Рис. 109
Назовем окрестностью точки любой интервал, содержащий эту точку. Таким образом, если b есть предел функции при то неравенство выполняется для всех точек некоторой окрестности точки (за исключением быть может
ТОЧКИ
Если при функция имеет предел, равный b, то это записывают так: Геометрический смысл предела при , ясен из рис. 108.
Замечание 1. В определении предела при или рассматривались значения . В самой точке функция может быть и не огределена. В дальнейшем это замечание будет неоднократно исполььовано.
Замечание 2. Числа М и N, встречающиеся в определениях пределов при или зависят от
Пример 1. Рассмотрим функцию Ее значение при равно 9. Покажем, что при приближении независимой переменной слева и справа к числу 4 значения функции неограниченно приближаются к числу 9, т. е. что
Для этого возьмем произвольное положительное число и убедимся в том, что разность между функцией и числом 9 по абсолютной величине может быть сделана меньше для значений близких к :
Это неравенство равносильно неравенствам
или
Итак, разность между функцией и числом 9 становится (по абсолютной величине) меньше для всех лежащих между числами Поэтому функция имеет предел
Пример 2. Рассмотрим функцию определенную на сегменте [0; 4] следующим образом:
График этой функции приведен на рис. 109. Очевидно, что наглядно видно из графика. Здесь предел справа и предел слева не равны друг другу. Поэтому функция не имеет предела (двустороннего) при
Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. В самом деле, допустим противное, т. е. что функция у например, при имеет два предела . Рассмотрим две полосы, одна из которых ограничена прямыми а другая — прямыми е. При этом возьмем столь малым, чтобы обе полосы не имели общих точек. Тогда при достаточно больших график функции не может находиться одновременно в каждой из этих полос. Таким образом, всякая функция либо совсем не имеет предела, либо имеет только один предел.
Односторонние пределы
Определение
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.
stydopedya.ru