Пределы при х стремится к бесконечности – Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов.

Предел функции Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число S (зависящее от, т.е. S = S()), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: | f(x) - А| <.

Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная nпринимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.

Предел функции в бесконечности обозначается или f(x)А приx.

Итак, .

Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.

Рисунок 2.3 – Геометрический смысл предела функции в бесконечности

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x, если для любого> 0 найдется такое числоS> 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.

Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x+(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либоx-(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех хх0таких, что |х - х

0| <, верно неравенство: | f(x) - А| <.

Предел функции в точке х0 обозначаетсяили f(x)А приxх0.

.

Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х0, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.

Рисунок 2.4 – Геометрический смысл предела функции в точке

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при xх0, если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки х0, что для всех хх0из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.

Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х0. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х

0, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х0, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.

Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значенияx<x0(тогда в определении вместо |х - х0| <рассматривается интервал х0-<x< х0, а предел называютпределом слеваи обозначают) либо лишь значенияx>x0(тогда в определении вместо |х - х0| <рассматривается интервал х0<x< х0 +, а предел называютпределом справаи обозначают).

Если, то, и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, - если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).

Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи

.

studfiles.net

§ 2. Предел функции в бесконечности и в точке

Определение. Переменная (зависимая) величина называетсяфункцией независимой переменной величины (аргумента) на множестве , если каждому значениюпоставлено в соответствие определенное значение. Обозначение:

. Множествоназывается областью определения функции, множество- областью значений.

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменнаяn, возрастая, принимает лишь целые положительные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения

Определение. Число А называется пределом функции при x , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число

(зависящее от ;), что для всех х таких, что , верно неравенство: .

Этот предел функции обозначается илипри.

С помощью логических символов определение имеет вид: .

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

y

Y=f(x)

A+

A

2

A-

x

S

0

Выясним геометрический смысл предела функции в бесконечности. Неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной.

Итак, число А есть предел функции при, если для любогонайдется такое число, что для всех х таких, что, соответствующие ординаты графика функции

будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример 3 Доказать, исходя из определения предела, что

Решение: Пусть - любое положительное число. Требуется доказать, что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство. Если

, тои

Следовательно, для выполнения неравенства достаточно найтииз условият.е.. Итак, для любогонайдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е. доказано, что.

Замечание 2 Приведенное выше определение предела при предполагает неограниченное возрастание независимой переменной х по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. прии при. В первом случае основное неравенство

должно выполняться для всех х таких, что, а во втором – для всех х таких, что.

Замечание 3 Пределы функций, заданных многочленами любой степени не существуют, т. е.

Пример 4 Вычислить пределы:

Определение. Любая точка числовой оси называетсяпредельной точкой множества, если во всякой окрестности точки содержатся точки из множества, отличные от точки

(точкаможет и не принадлежать множеству).

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки.

Определение. Число А называется пределом функции при х, стремящемся к(или в точке), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ,найдется такое положительное число (зависящее от,),что для всех х. не равных и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .

Этот предел функции обозначается илипри.

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к, значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине)

y

Y=f(x)

A+

A

2

A-

x

0

S

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше. Неравенство равносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной. Аналогично неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему попаданию точек х в-окрестность точки.

Число А есть предел функции при, если для любогонайдется такая-окрестность точки, что для всех из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример 5 Доказать , исходя из определения предела, что

Решение: Пусть - любое положительное число. Требуется доказать. Что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполнено неравенство.

Если , тои

Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , т.е., откуда(второй кореньотбрасывается, так какдолжно быть положительным).

Таким образом, для любого найдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е.

Замечание 3 Определение предела не требует существования функции в самой точке , ибо рассматривает значения в некоторой окрестности точки. Другими словами, рассматривая, мы предполагаем, что х стремится к, но не достигает значения. Поэтому наличие или отсутствие предела приопределяется поведением функции в окрестности точки, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке.

Замечание 4 Вычисление предела функции в точке сводится к вычислению значения этой функции при предельном значении аргумента, т.е. .

Пример 6 Вычислить пределы:

Замечание 5 Если при стремлении х к переменная х принимает лишь значения, меньшие, или наоборот, лишь значения, большие, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева исправа .

studfiles.net

Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 23Следующая ⇒

Предел функции при х->х0

Мы ввели понятия предела функции при и при Введем теперь понятие предела при Рассмотрим сперва случай, когда независимая переменная приближается к слева.

Определение. Число b называется пределом функции у при слева, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число N (меньшее что для всех лежащих между N и ), выполняется неравенство (1)

Понятие предела функции при слева сходно с понятием предела функции при и отличается от него лишь тем, что для предела функции при неравенство (1) выполняется для всех превосходящих N, а для предела функции при - для всех превосходящих N, но меньших, чем

Рис. 107

Предел функции при слева обозначают так: Символ означает, что стремится к слева.

Геометрический смысл предела функции при заключается в следующем: каково бы ни было найдется такое число что для всех заключенных между N и график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми (рис. 107, а).

Аналогично пределу функции при слева вводят понятие предела при справа.

Определение. Число b называется пределом функции у при справа, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число М (большее ), что для всех лежащих между выполняется неравенство

Предел функции при справа обозначают так:

Если функция при справа имеет пределом число b, то геометрически это означает, что график функции будет лежать в полосе, ограниченной прямыми для всех заключенных между и М (рис. 107, б).

Пределы функции при слева и при справа называются односторонними пределами.

Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двусторонний предел при или просто имеет предел при

Определение. Число b является пределом функции при если, каково бы ни было можно найти такие числа М и что для всех лежащих в интервале (за исключением, быть можету точки выполняется неравенство

Рис. 108

Рис. 109

Назовем окрестностью точки любой интервал, содержащий эту точку. Таким образом, если b есть предел функции при то неравенство выполняется для всех точек некоторой окрестности точки (за исключением быть может

ТОЧКИ

Если при функция имеет предел, равный b, то это записывают так: Геометрический смысл предела при , ясен из рис. 108.

Замечание 1. В определении предела при или рассматривались значения . В самой точке функция может быть и не огределена. В дальнейшем это замечание будет неоднократно исполььовано.

Замечание 2. Числа М и N, встречающиеся в определениях пределов при или зависят от

Пример 1. Рассмотрим функцию Ее значение при равно 9. Покажем, что при приближении независимой переменной слева и справа к числу 4 значения функции неограниченно приближаются к числу 9, т. е. что

Для этого возьмем произвольное положительное число и убедимся в том, что разность между функцией и числом 9 по абсолютной величине может быть сделана меньше для значений близких к :

Это неравенство равносильно неравенствам

или

Итак, разность между функцией и числом 9 становится (по абсолютной величине) меньше для всех лежащих между числами Поэтому функция имеет предел

Пример 2. Рассмотрим функцию определенную на сегменте [0; 4] следующим образом:

График этой функции приведен на рис. 109. Очевидно, что наглядно видно из графика. Здесь предел справа и предел слева не равны друг другу. Поэтому функция не имеет предела (двустороннего) при

Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. В самом деле, допустим противное, т. е. что функция у например, при имеет два предела . Рассмотрим две полосы, одна из которых ограничена прямыми а другая — прямыми е. При этом возьмем столь малым, чтобы обе полосы не имели общих точек. Тогда при достаточно больших график функции не может находиться одновременно в каждой из этих полос. Таким образом, всякая функция либо совсем не имеет предела, либо имеет только один предел.

Односторонние пределы

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.



stydopedya.ru