Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка – Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Содержание

Дифференциальные уравнения 3 | Решение задач по математике и другим п

Контрольная работа № 4

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Сначала определим вид дифференциального уравнения. Данное уравнение не является уравнением с разделенными переменными, так как коэффициенты при и зависят каждый от двух переменных. Но, разделив обе части уравнения на произведение (считая, что ), приведем его к виду

Это уравнение с разделенными переменными.

Находим общее решение

Или

.

Умножив обе части на (-1), включим знак “-“ в постоянную С. Решение примет вид

.

Таким образом, нами получено общее решение заданного уравнения.

3. Однородные уравнения первого порядка

[2, гл. ХIII, § 5, упр. 39-46].

Пример 2. Найти общее решение уравнения

. (1)

Решение. Определим вид этого уравнения. Это – однородное уравнение, поскольку его правая часть есть .

Поделив почленно правую часть на , получим

Делаем подстановку или . Тогда и уравнение примет вид

. (2)

Разделяем переменные

И интегрируем

Или после потенцирования

.

Нами получено общее решение уравнения (2).

Чтобы найти общее решение уравнения (1), вернемся к старой переменной Y. Подставим , тогда будем иметь

или .

4. Линейные уравнения первого порядка

[2, гл. ХIII, § 7, упр. 57-65].

Пример 3. Найти общее решение уравнения первого порядка

Решение. Определим вид этого уравнения. Уравнение вида Называется линейным. Полагаем ; и подставляем это в данное уравнение

Группируем члены

И полагаем

(3)

Остается

. (4)

Находим сначала V из (3)

Заметим, что V не содержит никаких произвольных постоянных.

Подставляем V в (4) и получаем

Окончательно получаем искомое общее решение

.

5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия.

[2, гл. ХIII, § 16, 17, упр. 118-124].

6.Линейные однородные уравнения второго порядка

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Ищем решение уравнения в виде тогда и, подставляя в исходное уравнение получим Так как то на него можно сократить и мы получим

Находим его корни

Корни характеристического уравнения вещественные, различные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Или

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 9)

Решаем его

Корни характеристического уравнения вещественные равные. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Или

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 9)

Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Или

7. Линейные, неоднородные уравнения второго порядка

Пример 7. Найти общее решение уравнения

Решение. Находим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение Его корни

Общее решение однородного уравнения

Теперь следует найти частное решение неоднородного уравнения. Правая часть значит ищем в форме , т. к. не является корнем характеристического уравнения.

Требуется найти неизвестные коэффициенты А и В. Для определения А и В дифференцируем дважды

И подставляем это в данное неоднородное уравнение:

Так как то сократив , получим тождественное равенство двух полиномов

Значения А и В найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях

При Х :

При Х0:

Подставляем найденные А и В в

Общее решение неоднородного уравнения

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение. Соответствующее однородное уравнение

Решаем его

Правая часть данного неоднородного уравнения

Следовательно, частное решение разыскиваем в виде

,

Т. к. не является решением характеристического уравнения.

Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях тождества

При

При

Из этой системы находим А и В

Общее решение

Пример 9. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, необходимо получить сначала общее решение данного неоднородного уравнения. Находим его (см. пример 8)

Подставляем в уравнение

Искомое частное решение будем находить из общего. Общее решение неоднородного уравнения

Подставляем начальные условия. При имеем

Найденные постоянные подставляем в общее решение неоднородного уравнения

•  искомое частное решение.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y'=(z*x)'=z'*x+z*x'=z'*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.

3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y' (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x0)=y0, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?


Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр "t" в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае "t" сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную "y" через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x2, как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа "C" принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С - постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.

Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

yukhym.com

Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка

Определение и формулы однородных ДУ первого порядка

Уравнение вида (1) заменой

   

(или ) сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции :

   

   

или

   

Общий интеграл уравнения:

   

Интеграл, стоящий в правой части, табличный, тогда:

   

Необходимо рассмотреть еще особый случай . Если это уравнение имеет корни, то они являются и решением уравнения . Но это уравнение не совпадает с исходным дифференциальным уравнением, поэтому надо убедиться, что решения уравнения удовлетворяют исходному уравнению (1).

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков

1.

–характеристическое уравнение

Общее решение:

или

2.

–характеристическое уравнение.

Общее решение: или.

3.

Общее решение:

4.

–характеристическое уравнение.

Положим

Общее решение уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части. Линейное неоднородное уравнение имеет вид

а соответствующее ему линейное однородное уравнение –

которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)

Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13).

Теорема 2. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пусть y – общее решение уравнения (13)

какое-либо частное решение уравнения (13),

общее решение соответствующего однородного уравнения (14)

Тогда

Таким образом, основная задача при решении неоднородного линейного д.у. II состоит в нахождении какого-либо частного решения.

Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения имеет специальный вид. К таким функциямотносятся следующие функции: экспонентамногочленыn-й степени относительно переменной х тригонометрические функцииа также их произведения.

Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод иначе называется методом подбора частного решения уравне-ния (13) по виду правой части.

Пусть правая часть уравнения

имеет вид т. е. представляет собой произведение экспоненты на многочлен, гдемногочленn-й относительно х. Тогда возможны следующие случаи.

  1. Число не является корнем характеристического уравнения (16)

В этом случае частное решение нужно искать в виде

где многочлен той же степени, что и данный многочлен, но с неопределенными коэффициентами.

  1. Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения (т. е.совпадает с одним корнем характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужноискать в виде .

  2. Число есть двукратный корень характеристического уравнения (т. е.совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужноискать в виде Неизвестные (неопределенные) коэффициенты многочленанаходим из условия, что функцияявляется решением уравнения (13), т. е. удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформления решения.

1. Найти общее решение уравнения

1) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

2) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

3) Запишем формулу, по которой следует искать частное решение данного уравнения. Для этого сравним правую часть уравнения

с общим видом правой части:

–многочлен второй степени с коэффициентами 24; 16; –15.

В данном случае показательная функция , т. е.Так какне совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде

многочлен второй степени , неизвестные (неопределенные) коэффициенты А,В,С этого многочлена нужно найти, подставив выражения в данное уравнение.

4) Запишем столбиком:

Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует умножить , чтобы получить левую часть уравненияВ левой части получим многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами, который должен быть равен данному многочлену второй степени в правой части. Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:

.

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами

А, В, С. Решив ее, найдем .

Частное решение:

5). Общее решение данного уравнения:

или

2. Найти общее решение уравнения

1)

2)

3) Сравним правую часть данного дифференциального уравнения с Отметим, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения; многочлен – число 3 – нулевой степени, т. е.. Поэтому частное решениеследует искать в виде

4) Запишем

Подставив выражения с указанными коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим

или

откуда Частное решение:

5) Искомое общее решение данного уравнения:

3.

3) Сравним правую часть данного уравнения с

Отмечаем, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочленх степени Поэтому частное решение следует искать в виде

4) Так как требуется найти удобнее записатьв виде

Запишем столбиком:

Подставим выражения с указанными коэффициентами в данное уравнение. Получим равенство

Разделим уравнение на и упростим:

Частное решение:

  1. Общее решение дифференциального уравнения:

Пусть правая часть уравнения (13)

имеет вид

где – постоянные числа. Тогда вид частного решенияопределяется следующим образом.

а) Если число не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решениеимеет вид

где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.

б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то

Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или толькоследует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержитилине следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.

Пример № 1. Решить уравнение

1)

2)

3) Сравним правую часть уравнения с. ЗдесьТак как числане являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде

4) Найдем и запишем столбиком

Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим

или

Приравниваем коэффициенты при в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:

Частное решение:

  1. Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пример № 2. Решить уравнение

1)

2)

3) Cравним правую часть уравнения с

Здесь Числане являются корнями характеристического уравнения. Частное решение следует искать в виде

4) Запишем

Подставив в уравнение, получим

или

.

Частное решение:

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пусть правая часть неоднородного линейного д.у.II представляет собой сумму функций вида или

Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммычастных решений двух уравнений:

и

3. Решить уравнение

Здесь

1)

2)

3) При

.

4) При

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

или

studfiles.net

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

,
где p и q – функции переменной x.

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)   .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)  
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:


Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на   . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение

Решение

Разделим обе части исходного уравнения на x:
(i)   .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1).
Умножим (i) на x 3:
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3:
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Примеры решения линейных дифференциальных уравнений й

Рассмотрим примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде: y’+y/x=3x.  Здесь p(x)=1/x, q(x)=3x.

1) Введем замену y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Отсюда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения для y и y’ в условие: u’v+v’u+uv/x=3x.

2) Сгруппируем слагаемые, содержащие v:  [u’+u/x]v+v’u=3x.     (I)    Теперь потребуем равенства нулю выражения в скобках: u’+u/x=0. Получили новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно  u и x. Подставляем u’=du/dx и разделяем переменные: du/dx= — u/x. Умножаем обе части уравнения на dx  и делим на u≠0. Пришли к уравнению с разделенными переменными: du/u= — dx/x. Интегрируем его:

   

Поскольку при нахождении u С берем равным нулю, то получаем, что ln│u│=-ln│x│,  используем свойство логарифма: ln│u│= ln│1/x│отсюда u=1/x.

3) В уравнение (I) подставляем [u’+u/x]=0 и u=1/x. Имеем: v’/x=3x. Умножаем  обе части полученного уравнения на x≠0: v’=3x². Можно представить v’=dv/dx  и разделить переменные: dv/dx=3x², отсюда, умножив обе части на dx, получаем dv=3x²dx, интегрируем:

   

здесь С уже не игнорируем, и приходим к v=x³+C.          (А можно было просто проинтегрировать обе части равенства: v’=3x²

   

и сразу получить ответ v=x³+C).

4) Так как y=uv, подставив найденные выражения для u и v, получаем: y=(x³+C)/x. Если преобразовать ответ, получим: y=x²+C/x.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Линейное уравнение в стандартном виде. p(x)=1, q(x)=cosx.

1) y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

u’v+v’u+uv=cosx. Группируем слагаемые с v: [u’+u]v+v’u=cosx.     (II)

2) Теперь потребуем, чтобы выполнялось условие u’+u=0. Получили уравнение с разделяющимися переменными u и x. Так как u’=du/dx, то du/dx+u=0, откуда du/dx=-u. Умножаем обе части на dx и делим на u≠0: du/u=-dx. Интегрируем уравнение:

   

3) В уравнение (II) подставляем [u’+u]=0 и

   

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

Этот интеграл находится с помощью формулы интегрирования по частям:

   

4) y=uv, подставляем найденные выражения для u и v:

   

Ответ:

   

Рассмотрим еще одно интересное задание.

3) Найти решение уравнения (x+y)y’=1, удовлетворяющее начальному условию y(-1)=0.

Если рассматривать y как функцию от x, то уравнение не получится записать в стандартном виде y’+p(x)y=q(x). А вот если рассматривать x как функцию от y, то с учетом того, что y’=1/x’, получаем: (x+y)·1/x’=1, откуда x’=x+y, теперь переписываем это уравнение в виде x’-x=y.      (III)

Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида x’+p(y)=q(y). Здесь p(y)=-1, q(y)=y. Все рассуждения абсолютно аналогичны. Проведем их.

1) Замена x=uv, где u=u(y), v=v(y). Отсюда x’=u’v+v’u. Подставляем в (III): u’v+v’u-uv=y.

2) Группируем слагаемые с v: [u’-u]v+v’u=y.        (IV)     Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’-u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными. Только не забываем, что вторая переменная здесь y, а не x. С учетом того, что u’=du/dy, разделим переменные: du/dy=u. Умножаем обе части уравнения на dy и делим на u: du/u=dy. Теперь интегрируем:

   

3) В (IV) подставляем [u’-u]=0 и

   

Этот интеграл также находим по формуле интегрирования по частям

   

Здесь

   

Подставляем, по формуле интегрирования по частям получаем:

   

4) Так как x=uv, то, подставив найденные выражения для функций u и v, получаем:

   

5) В общее решение уравнения

   

подставляем начальные условия y(-1)=0  (то есть x=-1, y=0):

   

Отсюда частное решение x=-y-1. Выразив y через x, приходим к окончательному варианту ответа: y=-x-1.

Ответ: y=-x-1.

Задания для самопроверки:

1) y’=x+y

2) xy’-2y=x²

   

Показать решение

1) y’-y=x. Здесь p(x)=-1, q(x)=x.

1) Вводим замену y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.

2) Группируем слагаемые с v: [u’- u]v+v’u=x       (*).

Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’- u=0ю Из этого условия находим u: du/dx=u, du/u=dx. Интегрируем:

   

3) В равенство (*) подставляем [u’- u]=0 и

   

   

Интеграл в правой части уравнения будем искать с помощью формулы интегрирования по частям: u=x, du=x’dx=dx.

   

Отсюда получаем, что

   

   

4) Поскольку y-uv, подставлям:

   

Ответ:

   

2) Делим обе части уравнения на x: y’-(2/x)y=x. Здесь p(x)=-2/x, q(x)=x.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: xu’v+xv’u-2uv=x².

2)  Группируем слагаемые с v: [xu’-2u]v+xv’u=x²      (**). Теперь требуем выполнения условия xu’-2u=0. Отсюда x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Интегрируем:

   

3) В равенство (**) подставляем [xu’-2u]=0, u=x²: xv’x²=x², отсюда xv’=1, а значит, v’=1/x. Отсюда v= ln|x|+C.

4) Так как y=uv, то подставляем и получаем: y=x²(ln|x|+C).

Ответ: y=x²(ln|x|+C).

   

1)  Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

   

2) Группируем слагаемые с v:

   

Требуем равенства нулю выражения в скобках: u’+2u/x=0. Отсюда du/dx=-2u/x, du/u= (-2/x)dx. Интегрируем:

   

3) В условие (***) подставляем [u’+2u/x]=0  и u=1/x². Имеем:

   

Чтобы найти интеграл в правой части, введем замену -x²=t, тогда dt=(-x²)’dx=-2xdx. Отсюда

   

   

4) Так как y=uv, подставив, получаем:

   

Ответ:

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

   

решаются двукратным интегрированием.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Здесь коэффициенты – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде

   

Подставим эту функцию в уравнение (1):

   

   

Поскольку , то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство

   

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом этого уравнения.

Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.

Утверждение 1. Если числа – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

   

Утверждение 2. Если – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:

   

Утверждение 3. Если – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:

   

Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Коэффициенты – некоторые действительные числа, – непрерывная на отрезке функция, называемая правой частью неоднородного дифференциального уравнения (4).

Общее решение этого уравнения имеет вид

   

где – произвольные постоянные, – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (4).

Частное решение можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида

   

или

   

Здесь – заданные многочлены степени n, – известный многочлен степени m, – некоторые действительные числа.

Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде

   

– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

или

   

– многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

соответственно.

Принцип суперпозиции. Если функция – решение линейного дифференциального уравнения

   

то тогда функция

   

есть решением уравнения

   

или

   

ru.solverbook.com