Производная суммы – Производная суммы, разности, произведения и частного функций — Мегаобучалка

Производная суммы | Математика

Производная суммы и разности функций берется по правилу (u±v)’=u’±v’. Если слагаемые — табличные функции, найти производную суммы несложно, гораздо легче, чем производную произведения или производную частного. Начнем с рассмотрения именно таких примеров, а более сложные задания разберем позже.

Таблицу производных можно посмотреть здесь.

Найти производные суммы и разности функций:

1) y=10x³+12x-4cosx+8.

y’=(10x³+12x-4cosx+8)’=

Поскольку производная суммы и разности равна сумме и разности производных, при нахождении производной суммы ищем отдельно производную каждого слагаемого:

=(10x³)’+(12x)’-(4cosx)’+8’=

Так как число выносится за знак производной, то в тех слагаемых, где перед функцией стоит числовой множитель, этот числовой множитель выносим за знак производной, то есть просто переписываем. Если слагаемое состоит только из числа, то его производная равна нулю: С’=0:

=10·(x³)’+12·x’+4·(c0sx)’+8’=

Теперь производную каждого слагаемого находим по таблице производных:

=10·3x² +12·1+4·(-sinx)+0=30x² +12-4sinx.

Если среди слагаемых встречаются степени, для их дифференцирования используется соответствующее правило для нахождения производной степени.

   

   

   

   

   

Так подробно примеры расписывают только в самом начале нахождения производной суммы и разности. В дальнейшем при нахождении производной суммы мы не будем каждое слагаемое заключать в скобки и ставить над ними штрих. Этот этап пропускается. Просто переписываем числовые множители, стоящие перед каждым слагаемым, а производную каждого слагаемого находим с помощью таблицы производных. Так как производная числа равна нулю, обычно при нахождении производных этот нуль тоже не пишут.

   

   

   

   

Прежде чем искать производную корня, его необходимо записать в виде степени (подробнее — здесь):

   

Теперь ищем производную суммы:

   

   

   

Мы рассмотрели самые простые примеры на производную суммы и разности. В свою очередь, производная каждого слагаемого может находиться как производная произведения, частного или производная сложной функции. Поэтому более сложные примеры мы рассмотрим позже, после того, как разберемся с другими правилами дифференцирования  функций.

Упражнения для самопроверки: найти производные суммы и разности функций:

   

Показать решение

 

 

www.matematika.uznateshe.ru

Производная алгебраической суммы функций.

Теорема 1.

Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

(u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x).

(u(x)-v(x)'=u'(x)-v'(x).

Замечание. Можно доказать справедливость теоремы 1 для суммы любого конечного числа дифференцируемых функций, т.е.

Задача: Найти производную функции f(x)=x2+x-7.

Вычислить f (-1), f (0), f (3)

Решение

Производная произведения функций

Теорема 2.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой.

.

Эта формула называется формулой Лейбница.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. .

Следствие 2. Производная функции f(x)=xn, где равна произведению показателя n на степень .

Задача. Найти производную функции f(x)=x3(x-1)

Решение:

Производная частного двух функций

Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций можно найти по формуле:

, где

Задача: Найти производную функции

Решение:

Упражнения

Найти производные функции:

1.

2.

3.

4.

5.


Похожие статьи:

poznayka.org

Производная - сумма - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Производная - сумма

Cтраница 1

Производная суммы равна z, так как все остальные члены суммы от п - не зависят.  [1]

Производная суммы равна сумме производных.  [2]

Производная суммы нескольких многочленов равна сумме их производных.  [3]

Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов.  [4]

Производная суммы функций равна сумме производных от этих функций.  [5]

Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов.  [6]

Производная суммы векторов равна сумме производных слагаемых.  [7]

Производная суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых.  [8]

Правило производная суммы равна сумме производных устанавливается элементарно.  [9]

Чему равна производная суммы, производная произведения, производная частного двух функций.  [10]

Поэтому высказывание производная суммы равна сумме производных без предположения о существовании производной у каждого из слагаемых вообще говоря, неверно.  [11]

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.  [12]

Таким образом, производная суммы функций равна сумме производных.  [13]

Таким образом, производная суммы функций равна сумме их производных.  [14]

Доказать, что производная суммы любого фиксированного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

Производная суммы, разности, произведения и частного функций — Мегаобучалка

Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

 

Теорема.

Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции , , (при условии, что ) и при этом

;

;

, .

 

Следствия

1. , где .

2. Если , то .

3. , где .

 

Производная сложной функции

Пусть и , тогда − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

 

Теорема.

Если функции имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в точке

х имеет производную , которая находится по формуле:

или = .

 

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.

Так, если , , , , то

.

 

Производная обратной функции

Если и − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то

или ,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

 

Записывают:

или .

 

Пример

Найти производную функции .

, , тогда , . Имеем .

.

Итак, .

 

Таблица производных

Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.

 

 

Примеры отыскания производных сложных функций

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.



 

1. , k − число.

;

.

 

2. .

;

.

 

3. .

;

.

 

4. .

;

.

 

5. .

;

.

 

6. .

;

;

.

 

7. .

.

 

8. .

;

.

 

9. .

.

 

10. .

;

.

 

Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.

 

 

Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента ( )

 

 

 

Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Так как , то

.

 

Примеры

Найти производные функций:

1.

.

 

2.

.

 

Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив через х и у.

 

Пример

Найти производную функции: .

;

;

;

.

 

megaobuchalka.ru

3.5. Производная суммы, произведения и частного функций

ции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях.

Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее произ-

водной на величину

x = dx.

 

Пример 3.2.

Найти приращение

и дифференциал функции

y = 3x2 + x в точке

x =1 , еслиx = 0,1.

Вычислить абсолютную и от-

носительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее дифференциалом.

Найдём приращение и дифференциал функции

y = 3(x+ x)2 +(x+ x) −3x2 − x= 6x x+3( x)2 + x= (6x+1) x+( x)2.

Тогда dy = (6x +1) x . Вычислимy иdy в точкеx =1 , еслиx = 0,1 y = 7 0,1+3 0,01 = 0,73;dy = 7 0,1 = 0,7.

Абсолютная погрешность y −dy = 0,73 −0,7 = 0,03, а относительная погрешность

y= 00,,0373 ≈0,04.

Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению.

Теорема 3.3. Если функцииu = u(x) иv = v(x)

в точке x , то в этой точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u+v)

= u

+v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(uv)

= u v+v u;

u

 

 

 

 

 

 

 

=

 

u v −v u

,v =v(x) ≠0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференцируемы

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов

d (u+ v)= du+ dv;

(3.14)

d (uv) = udv+vdu;

(3.15)

d

 

u

 

=

udv −vdu

.

(3.16)

 

 

 

v

 

v2

Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую.

Обозначим y = uv. Придадимx приращениеx, и пусть

u,Δv,Δy будут приращения функцийu,v, y в точке

x , соответствую-

щие приращению

 

x, аргумента. Тогда

 

 

 

 

y = (u+ u)(v+ v) −uv= v u+u v+ u v.

Учитывая, что u

и v - значения функций в точке

x не зависят от при-

ращения аргумента

x, в силу определения (3.1) и свойств предельного

перехода (см. формулы (2.14),(2.15) находим

 

 

 

 

y′ =lim

y

= v lim

u

+u lim

v + lim

u

lim

v.

x→0

x

x→0

x

x→0

x

x→0

x

x→0

 

Функция v = v(x)

в рассматриваемой точке

x по условию теоремы диф-

ференцируема, а значит, и непрерывна ( теорема 3.2), следовательно

lim

v = 0 (определение непрерывности 2.17) и предыдущее равенство

x→0

 

 

 

 

y′ = vu′+uv′+u′ 0. Подставив сюда

дает выражение для производной:

y = uv , придем к формуле (3.12).

 

 

y = C ( здесь

 

Производная и дифференциал постоянной функции

С -

постоянное число при всех x X )

равны нулю.

 

 

x X C

= 0;

 

(3.17)

 

 

dC = C dx= 0.

Действительно, в любых точках множества X такая функция имеет одно

и то же значение, в силу чего для нее

y ≡ 0 при любых

x иx таких

что

x, x + x X. Отсюда,

 

в силу определения производной и диффе-

ренциала, следуют формулы (3.17).

 

 

 

 

Формула (3.11) обобщается на случай любого конечного числа сла-

гаемых функций.

 

 

 

 

 

 

 

При u = C , где

C −const , формулы (3.12) и (3.15),

в силу (3.17),

 

 

d(Cv) = Cdv. То есть, постоянный множи-

дают равенства: (Cv)

= Cv ,

 

тель можно выносить за знаки производной и дифференциала.

Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу

(3.12), находим

(uvw)′ = ((uv)w)′ = (uv)′w+(uv)w′+(u′v+uv′)w+uvw′ = = u′vw +uv′w +uvw′.

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций.

3.6. Производные от тригонометрических функций

Найдем производные от тригонометрических функций, а именно

1.

= cosx

2.

= −sinx

(sin x)

(cos x)

 

 

(tgx)′ =

1

 

 

(ctgx)′

 

1

3.

 

 

4.

= −

 

 

cos2 x

 

sin2 x

Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точкеx , со-

ответствующее приращение

x

аргумента, будет

 

y = sin(x+

x)−sinx = 2sin

x cos(x +

x).

Учитывая, что sin 2x

2x при

 

 

2

 

2

 

x → 0

и используя определение произ-

водной, находим

 

 

2sin 2x cos(x +

2x)

 

y′ =lim

y = lim

=

 

 

 

 

x→0

x

x→0

 

 

x

 

 

= lim

2 2x cos(x +

2x)

= limcos(x +

x )= cosx.

 

 

x→0

x

 

 

x→0

 

2

 

Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13).

3.7. Дифференцирование логарифмических функций

Имеют место формулы

 

1

 

 

 

1

 

1.

=

loga e

=

.

 

 

(loga x)

x

2.(lnx)

x

 

 

 

 

 

 

 

Докажем первую из них. Приращение функции y = loga x в точкеx , со-

ответствующее приращению x

аргумента, будет

 

y = loga (x + x)−loga x = loga

 

x + x

= loga (1+

x)= loga eln(1+

x);

 

x

 

 

 

x

x

(мы воспользовались здесь тождеством loga A = loga eln A ).

Так как ln(1+ xx) xx

при

x → 0

, то по определению производной

получаем:

y = loga e lim

 

1

 

 

x)=

y′ =lim

 

ln(1+

 

 

 

x→0

x

 

x→0

 

x

x

= loga e lim

1

x

=

1

loga e.

 

x

x

 

 

 

x→0

 

 

x

 

3.8. Дифференцирование сложной функции.

Производные от степенной и показательной функций

Пусть сложная функция y аргументаx задана формуламиy = f (u),

u =ϕ(x) (см. пункт 1.4.3)

Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции

y = f (u),u =ϕ(x) дифференцируемы

в соответствующих

друг другу

точках u иx , то сложная функция

f [ϕ(x)] тоже дифференцируема в

точке

x , причем

y′x =y′u u′x.

 

 

y′ =f ′(u)u′или

(3.18)

Доказательство. Независимой переменнойx придадим прираще-

ние

x, тогда функцияu =ϕ(x) получит приращениеu ,

что вызовет

приращение y функцииy = f (u) . Так как функцияy = f (u) по условию теоремы дифференцируема в рассматриваемой точкеu , то ее приращение в этой точке можно представить в виде (см.определение 3.4)

 

 

u, гдеα(

u) → o приu →0.

 

y = f(u) u+α( u)

 

Отсюда:

 

y

 

 

u

u

 

 

 

 

 

 

 

x

=

f (u)

x +α(u)

x .

 

Функция u =ϕ(x)

дифференцируема, а значит и непрерывна в точ-

ке x , соответствующей рассмотренной выше точкеu

(теорема 3.2).

Следовательно,

в

силу

непрерывности

lim u = 0,

а поэтому

 

 

 

 

 

 

x→0

 

lim α(u)= 0.

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая это,

при

переходе в

последнем

равенстве к

пределу при

x → 0 , придем к (3.18).

Умножив равенство (3.18) почленно на dx , получим выражение для дифференциала сложной функции

70

dy = f′(u)du.

Замечание. Дифференциал функцииy = f (u) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргументu был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемоесвойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что еслиu - независимая переменная, тоdu = u есть ее произвольное приращение, если жеu - промежуточный аргумент (то есть функция), тоdu - дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращениемu.

С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференци-

рования степенной и показательной функции:

 

 

 

 

α

α−1

;

2). (a

x

= a

x

ln a;

3). (e

x

x

.

1). (x

) =αx

 

 

)

 

 

)

= e

Действительно,

предполагая

x > 0 ,

прологарифмируем обе части

формулы y = xα ; ln y =α ln x. Здесьy

- это функция от x , в силу чего

левая часть последнего равенства является сложной функцией отx . Продифференцировав обе части последнего равенства поx (левую - как сложную функцию), получим

1y y′ =a 1x ,

откуда

y′ =ayx =axxa =axa−1.

Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при

этом xα имеет смысл. Ранее был получен результат для случаяα = n. Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае приa = e вытекает последняя формула.

Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции

логарифмическим дифференцированием.

Покажем его применение для дифференцирования функций вида y = u(x)v(x)

Пример 3.3. Найдем производную функцииy = xsin x .ln y = ln xsin x = sin xln x

ln y '= y '/y = (sinx)'lnx +sinx(lnx)'= cosxlnx + sinx x .

Следовательно,

y′ = xsin x(cosx lnx + sinx x)

Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.

Действительно, если зависимость между x иy задана в формеF(x, y) = 0 и это уравнение разрешимо относительноy , то производнуюy′ можно найти из уравнения

 

 

 

 

d

(F (x, y(x))= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.4.

 

 

dx

 

 

y = f (x) , заданной не-

Найти производную функции

явно уравнением

arctg( y) − y+ x= 0 .

y функцией отx :

Дифференцируем равенство по x , считая

 

y′

 

1+y

 

 

− y′+1= 0, откуда

y′ =

 

 

 

1+y2

 

y2

 

3.9. Дифференцирование обратной функции.

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Пусть даны две взаимно обратные функции y = f (x) иx =ϕ(y)

(см.п. 1.4.8).

Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции

y = f(x),

x =ϕ( y)

возрастают (убывают) и в точке x функцияf (x)

дифференцируема,

причем

f ′(x) ≠ 0, то в соответствующей точке

y

функция ϕ( y) тоже дифференцируема (поy ), причем

 

 

 

 

 

 

ϕ

=

 

 

 

1

 

.

 

(3.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y)

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

y.

 

 

Доказательство.

В точке

y

 

 

зададим приращение

Так как

функция

x =ϕ( y)

возрастает

 

(убывает)

(см.п.

1.4.7),

то

x =ϕ(y + y)−ϕ(y)≠ 0и

x =

 

 

1

.

В условиях теоремы

функция

 

 

 

y

 

 

y

x =ϕ( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x →0

 

y → 0

 

непрерывна (теорема 3.2), в силу чего

при

и

studfiles.net

Производная алгебраической суммы, произведения и частного

Теорема

Если функции U = U(x) и V = V(x) дифференцируемы в некоторой точ

ке х0, то алгебраическая сумма, произведение и частное этих функций (при V(x) ± 0) также дифференцируемы в точке и имеют место следующие формулы:

(U ± V)¢ = ±,

(UV)¢ = U¢V + UV¢,

при V¹0.

Доказательство

1. Для вывода формул воспользуемся определением производной функции и равенством: f(x + ∆x) = f(x) + ∆y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих предел в точке.

2. Сначала докажем первую формулу: производную алгебраической суммы:

(U ±V)=

= /сгруппируем первое слагаемое с третьим, второе с четвертым/ =

/разобьём на две дроби/=

= /в числителе каждой дроби стоит приращение соответствующей функции, и по условию теоремы каждая из них имеет производную в точке х0, следовательно, существует конечный предел/=

= [35].

ч.т.д.

3. Докажем формулу № 2: производную произведения:

/заменим 1-й и 2-й сомножители первого слагаемого равенством / = /перемножим выражения в скобках/

/разделим каждое слагаемое числителя на / /так как множители V(x) и U(x) не зависят от , поэтому их можно вынести за знак предела/ /так как U(x) – дифференцируема по условию теоремы в точке х0, то она непрерывна в точке х0, следовательно, / = UV(x)+U(x)V′+0 = UV+ UV′.

ч. т. д.

4. Докажем третью формулу: производную частного:

/приведем к общему знаменателю дроби в числителе/ = /заменим U(x + ∆x) =

U(x) + ∆U и т.д./

/разделим числитель и знаменатель на ∆х/ = /предел частного равен частному пределов/ =

, V ≠ 0 [35].

ч.т.д.

Производные основных элементарных функций

1. f(x) = c, с′ = 0;

2. f(x) = xn, (xn)′= nxn-1;

3. f(x) = sinx, (sinx)′= cosx;

4. f(x) = cosx, (cosx)′ = – sinx;

5. f(x) = tgx, (tgx)′ = ;

6. f(x) = ctgx, (ctgx)′ = ;

7. f(x) = ax, (ax)′ = axlna;

8. f(x) = ex, (ex)′ = ex.

9. Производная логарифмической функции: f(x) = logax, a > 0, a ≠ 1, x > 0.

.

Доказательство

1. Для любого х .

2. Придадим аргументу х приращение ∆х, получим новое значение аргумента

х + ∆х.

3. Функция получит приращение ∆f(x) = ∆y = f(x+∆x) – f(x) = loga(x+∆x) –

– logax = .

4. Найдём предел отношения [35].

ч.т.д.

Следствие: Если f(x) =lnx, то (lnx)′ .

10. (lnx)′ ; 11. (arcsinx)′x = ;

12. (arccosx)′x = ; 13. (arctgx)′x = ;

14. (arcctgx)′x = [35].

Модуль

Тема №6

Дифференцируемость функции, производная и дифференциал. Правила дифференцирования

Лекция №2

1. Производная обратной функции.

2. Геометрический смысл производной обратной функции.

3. Производная сложной функции.

4. Дифференцирование логарифмических функций.

5. Логарифмическое дифференцирование.

6. Дифференцирование степенно – показательных выражений.

7. Производные высших порядков.

 

 

Производная обратной функции

Теорема

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. И пусть функция является для нее обратной. Тогда если функция имеет в точке производную, не равную нулю, , то и обратная функция также имеет в точке производную , причем она определяется по формуле:

.

Доказательство

1. Дадим аргументу обратной функции некоторое приращение в точке .

2. Тогда обратная функция получит приращение , причем в силу возрастания или убывания (т.е. в силу монотонности прямой и обратной функций) .

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

4. Перейдем к пределу при в последнем равенстве

.

5. Так как обратная функция непрерывна в точке , то при (на основании определения №5 непрерывности функции в точке).

Поэтому , причем, по условию теоремы.

6. Так как предел правой части равенства существует и равен , то, следовательно, существует предел и левой части равенства. А он по определению производной функции в точке равен .

7. Таким образом, или [4].

ч.т.д.

Геометрический смысл производной обратной функции

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл.

1. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х0 график функции у = f(x) или график обратной функции x = φ(y).

2. Пусть точка М имеет координаты М(х0, f(х0)) или М(φ(х0), у0).

Рис.3.

3. Известно, что производная функции у = f(х) в точке х0(х0) равна танген -

су угла φ0 наклона касательной, проходящей через точку М графика функции, к оси Ох: (х0) = tg φ0.

4. Производная же обратной функции φ'(у0) будет равна тангенсу угла β0 наклона касательной, проходящей через точку М графика функции х = φ(у), к оси Оу: φ'(у0) = tg β0. Покажем это.

5. Так как углы φ0 и β0 в сумме составляют 90º, т.е. они являются дополнительными углами φ0 + β0 = , следовательно, можно записать:

,следовательно,

[4].

Производная сложной функции

Теорема

Если функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х0= φ(t0), то сложная функция f(φ(t)) = Ф(t) имеет производную в точке t0, причем справедлива следующая формула: Ф′(t0) = f′(x0)∙φ′(t0) или Ф′t = f′xφ′t или у′t = у′xx′t.

Доказательство

1. Так как функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то приращение этой функции в точке х0 может быть записано так: , где бесконечно малая функция при .

2. Поделим данное равенство на ∆t, получим .

3. Последнее равенство справедливо при любых достаточно малых ∆х.

4. Возьмем ∆х, равным приращению функции х = φ(t), которое соответствует приращению ∆t аргумента t в точке t0.

5. Перейдём к пределу в равенстве пункта 2 при ∆t → 0.

6. Так как по условию теоремы функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, то она непрерывна в точке t0. А следовательно, если ∆t стремится к нулю, то и ∆х стремится к нулю, т.е. на основании определения №5 непрерывности функции в точке.

7. Тогда при ∆t → 0 ∆х → 0 и, следовательно, α(∆х) 0, так как .

8. Поэтому правая часть равенства пункта 2 примет вид:

= .

9. Если существует предел правой части равенства, то существует предел левой части того же равенства. А он по определению производной функции равен производной функции Ф(t) = f(φ(t)) в точке t0. Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции в точке и установлена формула: Ф′(t0) = =f′(x0)∙φ′(t0) или у′(t0) = f′(x0)∙ φ′(t0) или у′t = у′xx′t.

ч.т.д.

Замечание

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования останется прежним [35].

ч.т.д.

Пример.Найти производную функции.

[35].




infopedia.su

ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ — Мегаобучалка

 

Для нахождения производных суммы, произведения и частного двух функций используются правила дифференцирования. Рассмотрим и решим примеры.

1. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИL (производная алгебраической суммы):

Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных.

2. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ:

Если функции дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке.

3. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ:

Если функции дифференцируемы в точке х0,то частное также дифференцируемо в этой точке, если v¹0

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ (примеры с решениями):

 

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ:

АЛГОРИТМ ПРИМЕР: на отрезке [-3;4]
1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки функции (приравняем производную к нулю, и решим полученное уравнения; корни уравнения – критические точки). 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах данного отрезка. 4. Сравнить полученные значения: наибольшее из найденных является наибольшим значением функции на данном отрезке; аналогично – наименьшее является наименьшим на данном отрезке.

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .



Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из 6-ти интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение.

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. У графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота .
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции:

Решение:

1. Находим производную функции

2. Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение

критические точки функции х=1 и х=3.

3. Критические точки функции разбивают область определения на три интервала:

+ - +

1 3 х

определим знаки производной функции в каждом из полученных интервалов:

т.е. точка х=1 – точка максимума; х=3 – точка минимума.

4. Вычислим значения функции в критических точках:

5. Составим таблицу:

ИНТЕГРАЛ

Пример 1.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Пример 2.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 3.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 4.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 5.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

megaobuchalka.ru