Производная ускорение – Ускорение как 2-ая производная по времени радиуса-вектора и углового перемещения. Нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения. Связь линейных и угловых характеристик.

Содержание

Ускорение | Virtual Laboratory Wiki

Файл:Accel.svg

Ускоре́ние (обычно обозначается $ \vec a $, в теоретической механике $ \vec w $), производная скорости по времени — векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Например, вблизи Земли падающее на Землю тело, в случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, увеличивает свою скорость примерно на 9,8 м/с каждую секунду, то есть, его ускорение равно 9,8 м/с².

Раздел механики, изучающий движение в трёхмерном евклидовом пространстве, его запись, а также запись скоростей и ускорений в различных системах отсчёта, называется кинематикой.

Единицей ускорения служит метр в секунду за секунду (m/s2, м/с2), существует также внесистемная единица Гал (Gal), применяемая в гравиметрии и равная 1 см/с2.

Производная ускорения по времени т.е. величина, характеризующая быстроту изменения ускорения по времени называется рывок.

    Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём дифференцирования вектора скорости частицы по времени:

    $ \vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2} $.

    Если вектор $ \vec a $ не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении справедливы формулы:

    $ \vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a $
    $ \vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\over 2}\vec a $.

    Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю во всё время движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), так что говорят, что движение прямолинейно и равномерно.

    Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела — плоскопараллельным (поступательным). (Обратное не верно.)

    Ускорение точки при движении по кривой Править

    Файл:Acceleration 1.png

    Вектор ускорения $ \vec a $ можно разложить по сопутствующему базису $ \left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\} $:

    $ \vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b} $,

    где

    • $ v $ — величина скорости,
    • $ {\vec \tau} $ — единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт),
    • $ {\vec n} $ — орт нормали к траектории,
    • $ {\vec b} $ — орт бинормали к траектории,
    • $ R $ — радиус кривизны траектории.

    Известно, что $ {a}_b{\vec b} $ всегда равно нулю.

    Векторы $ {a}_\tau{\vec \tau} $ и $ {a}_n{\vec n} $ называются касательным (тангенциальным), нормальным и бинормальным ускорениями соответственно.

    Ускорения в твёрдом теле Править

    Связь ускорений двух точек можно получить, продифференцировав формулу Эйлера для скоростей по времени:

    $ \vec{w}_B = \vec{w}_A - \omega^2 \vec{AB} + \varepsilon\times\vec{AB} $,

    где $ \vec{\omega} $ — вектор угловой скорости тела, а $ \vec{\varepsilon} $ — вектор углового ускорения тела.

    Второе слагаемое называется центростремительным ускорением.

    Ускорение при сложном движении Править

    Абсолютное ускорение равно сумме относительно, переносного и кориолисова:

    $ \vec w^a=\vec {w}^r + \vec {w}^e + 2\left[\vec \omega \times \vec {v}^r \right] $.

    Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. В этих системах отсчета равномерное прямолинейное движение имеет место всякий раз, когда материальная точка (но не тело!) не подвергается никаким внешним воздействиям в процессе своего движения. На основе этого закона возникает ключевое для механики понятие силы как такого внешнего воздействия на тело, которое выводит его из состояния покоя или влияет на скорость его движения. Таким образом постулируется, что причиной возникновения ненулевого ускорения в инерциальной системе отсчета всегда является некоторое внешнее силовое воздействие.

    Второй закон Ньютона утверждает, что приложенная (к точке) сила и порождаемое ей ускорение точки всегда пропорциональны, причём коэффициент пропорциональности всегда один и тот же независимо от вида силового воздействия (он называется массой материальной точки):

    $ \vec F = m\vec a $.

    Единицы измерения ускорения Править


    Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ускорение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


    ru.vlab.wikia.com

    Производная - скорость - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

    Производная - скорость

    Cтраница 1

    Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки.  [1]

    Так как ускорение - это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных.  [2]

    Ди / Дг / - средняя производная скорости по направлению, нормальному к направлению потока), влияет на величину измеренной скорости и на ее направление.  [3]

    Это означает, что в общем случае производная скорости разрыва по длине дуги ударной адиабаты в точке Жуге равна нулю.  [4]

    Относительно радиальной компоненты многие исследователи [1, 82, 148, 181] утверждают, что производная скорости wr на.  [6]

    Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости ( ускорение) есть вторая производная координаты по времени.  [7]

    Теперь предположим, что в резонансной точке, где фазовая скорость колебаний uo / k AVr0 / ( xc) / 2A; совпадает со скоростью течения VQ ( XS) вторая производная скорости имеет малое, но отличное от нуля значение. Как следует из (10.13) - (10.15), колебания будут нарастать, если величины АУ ( хс) и VQ ( XS) имеют разные знаки. Поскольку скачок первой производной соответствует предельной локализации второй, то условие неустойчивости совпадает с необходимым условием неустойчивости Рэлея. Инкремент неустойчивости может быть получен как с помощью (10.15), так и с использованием уравнения Рэлея. В последнем случае вклад резонансной точки следует учесть по методу последовательных приближений.  [8]

    Описанное распространение метода Польгаузена на случай отсасывания имеет тот же недостаток, что и метод Польгаузена в первоначальном виде: в расчетные уравнения ( 4 - 20) и ( 4 - 21) входит явно вторая производная скорости внешнего потока по продольной координате.  [9]

    Уравнение ( 8 - 6) позволяет найти поле направлений на фазовом цилиндре. Действительно, производная скорости по углу геометрически интерпретируется как тангенс угла наклона касательной к фазовой кривой в данной точке. Линии, соединяющие точки фазового цилиндра с одним и тем же тангенсом угла наклона касательной, называют изоклинами. Нулевая изоклина соединяет точки, которые являются для фазовых кривых точками максимума, минимума или перегиба.  [10]

    Однако значения 0.015 и 0.005 нельзя, конечно, считать достаточно точными, так как для вычисления этих величин приходится находить производную скорости по данным в конечном числе точек. Причем в области отрыва

    производная скорости сильно меняется, а разброс в экспериментальных точках особенно велик.  [11]

    При постоянных давлении и температуре скорость пропорциональна [ 1 а ( А-1) ] г / 3, если определяющая стадия принадлежит внешней границе раздела. Поскольку по предположению Д - 1 0, производная скорости по а положительна и кривая превращения представляет собой зависимость с ускорением во времени.  [12]

    При постановке теоретической задачи необходимо сформулировать соответствующие физической реальности краевые условия для скоростей и их производных, входящих в уравнения движения жидкости. Это соответствует тому, что производная скорости по нормали к поверхности раздела фаз претерпевает излом, если коэффициенты вязкости жидкостей различны.  [13]

    Для определения распределения скорости отсасывания уравнение ( 9 - 6) решено методом изоклин. Польгаузена на случай отсасывания имеет тот же недостаток, что и метод К. Польгаузена в первоначальном виде: в расчетные уравнения ( 9 - 5) и ( 9 - 6) входит явно вторая

    производная скорости внешнего потока по продольной координате. Как отмечалось ранее, наличие и затрудняет расчет, поскольку при задании и ( х), например, в виде графика определение и i ( x) связано с немалыми трудностями и ошибками.  [14]

    Страницы:      1

    www.ngpedia.ru

    Производная физическая величина – ускорение (замедление)

    37. Производная физическая величина – ускорение (замедление)

       При ускорении скорость объекта увеличивается, а при замедлении – уменьшается.

       В физике часто замедление рассматривают как ускорение, но с отрицательным знаком.

     

       Пример. Сбросим с высоты камень. Через секунду его скорость падения увеличится на 9,8 мп/с. Через две секунды его скорость увеличится ещё на 9,8 мп/с и составит уже 19,6 мп/с. Через три секунды скорость падения камня увеличится на те же 9,8 мп/с и достигнет значения 29,4 мп/с. И так далее. В этом примере ежесекундное увеличение скорости составляет 9,8

    мп/с; эта величина и есть ускорение.

       Если нарастание скорости постоянное (как в данном случае), то такое движение называется равноускоренным.

       Ускорение обозначается малой латинской буквой a.

       Выразим скорость v при равноускоренном движении через ускорение a и продолжительность движения t:

     

     

       Если разгон начинался не с нуля, а с какой-то скорости v0, то эта зависимость примет вид:

     

     

       Из полученных формул определим зависимость ускорения a от конечной скорости v и от продолжительности движения t:

    при разгоне с нуля:   при разгоне со скорости v0:  

       Единицей измерения ускорения является ускор; обозначение единицы – уск.

       За один ускор принято такое ускорение, при котором за одну секунду скорость увеличивается на один метр.

       Ускорение свободно падающего камня составляет a = 9,8 уск.

       Определим размерность ускорения в основных единицах:

     

     

       Если бросить камень вверх с начальной скоростью v0, то его замедление составит ту же самую величину 9,8 уск. Через продолжительность t скорость подъёма камня будет равна

     

     

       Взаимные зависимости ускорения:

       Зная ускорение равноускоренного движения, можно определить путь. Если движение начиналось с нуля (v0 = 0), то средняя скорость движения vср окажется в два раза меньше текущей скорости: vср = v / 2. С учётом этого путь определится как

    russkaja-fizika.ru

    Физический смысл производной

        Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются  они  в одно действие. Итак:

    Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

    Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

    Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

    Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

    Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

    Рассмотрим задачи:

    Материальная точка движется прямолинейно по закону  

    x (t) = t2 – 7t – 20

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

    Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

    Найдем закон изменения скорости:  v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

    При t = 5 имеем:

    Ответ: 3

    Решить самостоятельно:

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

    Посмотреть решение

    Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = 0,5t3 – 3t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

    Посмотреть решение

    Материальная точка движется прямолинейно по закону

    x (t) = –t4 + 6t3 + 5t + 23

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах,

    t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

    Посмотреть решение

    Материальная точка движется прямолинейно по закону

    x (t) = (1/6) t2 + 5t + 28

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

    Найдем закон изменения скорости:

    Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с,  необходимо решить уравнение:

    Ответ: 3

    Решите самостоятельно:

    Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = t2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

    Посмотреть решение

    Материальная точка движется прямолинейно по закону

    x (t) = (1/3) t3 – 3t2 – 5t + 3 

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

    Посмотреть решение

    Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

    Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

    С уважением, Александр Крутицких.

    P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

    matematikalegko.ru

    Производная. Геометрический и механический смысл производной

    Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной

    1. Производная. Рассмотрим некоторую функцию  в двух точках   и . Здесь через х обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  называется приращением функции. Производной функции  в точке  называется предел, к которому стремится отношение приращение функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (формула 1).

     Если этот предел существует, то функция  называется дифференцируемой в точке . Производная функции  обозначается (формула 2).

     

    1. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции . Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней   - угол наклона секущей AB.

    Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения  равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

    Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

    1. Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).

    1. Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: . Её средняя скорость () находится по формуле: . При  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью  материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5. Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что

     Скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

    ya-znau.ru

    Ускорение как 2-ая производная по времени радиуса-вектора и углового перемещения. Нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения. Связь линейных и угловых характеристик

    В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

    а) Поступательное движение.

    Рассмотрим плоское движение,т.е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем (рис.1.6).

    Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

    (1.4.1).

    Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

    . (1.4.2)

    Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

    В системе СИ ускорение измеряется в м/с2.

     

    Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (рис.1.6) по направлению скорости отложим вектор AD, по модулю равный . Очевидно, что вектор CD, равный , определяет изменение скорости по модулюза время . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости за время по направлению.

    Тангенциальная составляющая ускорения (тангенциальное или касательное ускорение) равная первой производной по времени от модуля скорости, определяет быстроту изменения скорости по модулю.

    . (1.4.3)

     

    Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому можно считать дугой окружности некоторого радиуса R, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует , но так как , то

    .

    В пределе при получим .

    Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между стремится к прямому. Следовательно, при векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны.



    Вторая составляющая ускорения, равная

    , (1.4.4)

    называется нормальной составляющей ускорения (нормальным ускорением)и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

    Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.1.7):

    . (1.4.5)

     

    Или в скалярном виде: . (1.4.6)

     

     

    Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

     

    б) Вращательное движение.

    Угловым ускорениемназывается векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

    .

    Единицы измерения углового ускорения – рад/с2.

    При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.1.8), при замедленном – направлен противоположно ему (рис.1.9).

     

    Тангенциальная составляющая ускорения , и, следовательно, . (1.4.7)

    Нормальная составляющая ускорения

    . (1.4.8)

    Таким образом, связь между линейными (длина пути S, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

    , , , .

     

     

    megaobuchalka.ru

    Ускорение как 2-ая производная по времени радиуса-вектора и углового перемещения. Нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения. Связь линейных и угловых характеристик.

    ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

    В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

    а) Поступательное движение.

    Рассмотрим плоское движение,т.е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем (рис.1.6).

    Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

    (1.4.1).

    Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

    . (1.4.2)

    Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

    В системе СИ ускорение измеряется в м/с2.

     

    Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (рис.1.6) по направлению скорости отложим вектор AD, по модулю равный . Очевидно, что вектор CD, равный , определяет изменение скорости по модулюза время . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости за время по направлению.

    Тангенциальная составляющая ускорения (тангенциальное или касательное ускорение) равная первой производной по времени от модуля скорости, определяет быстроту изменения скорости по модулю.

    . (1.4.3)

     

    Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому можно считать дугой окружности некоторого радиуса R, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует , но так как , то

    .

    В пределе при получим .

    Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между стремится к прямому. Следовательно, при векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны.

    Вторая составляющая ускорения, равная

    , (1.4.4)

    называется нормальной составляющей ускорения (нормальным ускорением)и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

    Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.1.7):

    . (1.4.5)

     

    Или в скалярном виде: . (1.4.6)

     

     

    Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

     

    б) Вращательное движение.

    Угловым ускорениемназывается векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

    .

    Единицы измерения углового ускорения – рад/с2.

    При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.1.8), при замедленном – направлен противоположно ему (рис.1.9).

     

    Тангенциальная составляющая ускорения , и, следовательно, . (1.4.7)

    Нормальная составляющая ускорения

    . (1.4.8)

    Таким образом, связь между линейными (длина пути S, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

    , , , .

     

     

    mykonspekts.ru