Производная времени по пути – Ответы@Mail.Ru: объясните доходчиво,пожалуйста,почему скорость – это производная от расстояния? спасибо

Содержание

Блог Олега Кривошеина: Физический смысл производной.



Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана с физическим смыслом производной. Напомним его.  

Если положение точки при её движении задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S  есть мгновенная скорость движения в момент времени t, v(t) = S'(t).

Скорость – есть производная от пути по времени.

Уместно заметить, что ускорение – это скорость изменения скорости тела, значит а(t) = v'(t)= S''(t).

Ускорение – есть производная от скорости по времени, или вторая производная от пути по времени.

Кстати, по аналогии вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Решим несколько задач уровня В8 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Пример 1. Решим задание В8 (№ 119975). 

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 – 48t + 17  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9c.

Решение.

1. Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17 :

 x'(t) = 12t - 48  

2. Найдем значение производной в точке t = 9:

 x'(9) = 12×9 - 48

 x'(9) = 60.

Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В8 (№ 122875). 

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -

t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение.

1. Найдем производную функции x(t) = - t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22:

 x'(t) = -4t3 + 18t2+ 4t + 9

2. Найдем значение производной в точке t = 3:

 x'(3) = -4×33 + 18×32+ 4×3 + 9

 x'(3) = 75.

Ответ: 75 м/с.

Пример 3. Решим задание В8 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 – 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17

 x'(t) = 2t - 13

По условию, скорость точки равна 3 м/с.

Получаем уравнение:

 x'(t) = 2t – 13= 3, 2t = 16

Отсюда  t = 8 с.

Ответ: 8

Пример 4. Аналогичное задание.  Задание В8 (№123871)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 6

t2- 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с?

Решение.

Найдем производную функции x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4:

 x'(t) = 3t2- 12t - 8

По условию, скорость точки равна 88 м/с.

Получаем уравнение:

 x'(t) = 3t2- 12t – 8 =88

Решим его:

3t2- 12t – 8 =88

3t2- 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3,

t2

- 4t – 32 =0

t1 = 8,

t2 = - 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 8

Потренируйтесь сами.

Задание B8 (№ 121761)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 7t - 3 , где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10c.

Ответ: 27 м/с.

Задание B8 (№ 121763)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 2t - 14  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Ответ: 14 м/с.

Задание B8 (№ 121765)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 6

t + 16, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Ответ: 18 м/с.

Задание B8 (№ 121769)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25t2 + 6t + 25, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10с.

Ответ: 11 м/с.

Задание B8 (№ 121771)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 4t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Ответ: 16 м/с.

Задание B8 (№ 122877)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t4 +

t3 + 6t2- 5t - 30 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.

Ответ: 47 м/с.

Задание B8 (№ 122879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t4 +9t2+ 4t - 7 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.

Ответ: 8 м/с.

Задание B8 (№ 123879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 3t2- 7t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Ответ: 3 м/с.

krivoleg.blogspot.com

1. Физический смысл первой производной

Урок № 9

Т е м а. ФИЗИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

ПОНЯТИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем.

Производная y функции – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём и временем при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производнуюи подставить в неё соответствующее значение, то есть

П р и м е р 1. Точка движется прямолинейно по закону (s выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости с, получим

П р и м е р 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение. а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле Тогда

Подставляя t = 6 с, получим .

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю . Поэтому. Отсюда

П р и м е р 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону Найти кинетическую энергию телачерез 3 с после начала движения.

Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

Вычислим скорость тела в момент времени .

Определим кинетическую энергию тела в момент времени

2. Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается Производнуюn-го порядка обозначают или

Примеры.

1) 2)

.

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение.

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент.

Решение. Найдём скорость точки в любой момент времени t.

Вычислим скорость в момент времени .

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

и , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени

Решение. Сила, действующая на тело, находится по формуле

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

.

Тогда .

Найдём ускорение: =

Тогда .

studfiles.net

Задача 7: физический смысл производной

Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=x\left( t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

\[v={S}'={x}'\left( t \right)\]

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

\[a={v}'={{S}'}'={{x}'}'\left( t \right)\]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

\[x\left( t \right)=-\frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t\]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

\[v={S}'={x}'\left( 2 \right)\]

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

\[{x}'\left( t \right)=-\frac{1}{5}\cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]

\[{x}'\left( t \right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

\[{x}'\left( 2 \right)=-{{2}^{4}}+4\cdot {{2}^{3}}-3\cdot {{2}^{2}}+5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

\[x\left( t \right)=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11\]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

\[{x}'\left( t \right)=\frac{1}{3}\cdot 3{{t}^{2}}-4\cdot 2t+19\]

\[{x}'\left( t \right)={{t}^{2}}-8t+19\]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

\[{{t}^{2}}-8t+19=3\]

\[{{t}^{2}}-8t+16=0\]

\[{{\left( t-4 \right)}^{2}}=0\]

\[t-4=0\]

\[t=4\]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

  1. Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 7 из ЕГЭ по математике!
  2. Задача 7: касательная и квадратичная функция с параметром
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
  4. Локальная теорема Муавра — Лапласа
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы

www.berdov.com

Механический смысл производной

Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём задан закон движения функцией времени В течение интервала времени от до материальная точка перемещается на расстояние , а её средняя скорость равна

   

При значение средней скорости стремится к определенной величине, которая называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени , то есть

   

А по определению производной, величина, стоящая в правой части, равна , то есть

   

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Итак, механический смысл производной: скорость – это производная координаты по времени:

   

ПРИМЕР 1
Задание Чему равна скорость тела, двигающегося по закону в момент времени .
Решение Находим первую производную от пути:

   

В заданный момент времени имеем:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Движение материальной точки задано уравнением . Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю.
Решение Найдем скорость движения точки, для этого продифференцируем функцию :

   

По условию в некоторый момент времени скорость равна нулю, то есть

   

Решаем полученное уравнение:

   

Ответ В момент времени скорость движения материальной точки равна нулю.

ru.solverbook.com

Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:

$v = v(t)$

В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$. Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$. Ему соответствует значение скорости

$v_1 = v(t + \Delta t)$

Приращению времени $\Delta $t соответствует приращение скорости

Средним ускорением $\Delta $t является отношение

Ускорением $\omega $ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta $t стремящемся к 0.

Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.

Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:

Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пример 1

Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону

\[s=\frac{2t^{3} }{5} \]

где время t выражается в сек, а путь s -- в см.

Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.

Решение.

По формуле:

\[\omega =v'_{t} =s''\]

Найдем искомое ускорение

\[s'=\left(\frac{2t^{3} }{5} \right){{'} } =\frac{6t^{2} }{5} \] \[\omega =s''=\left(\frac{6t^{2} }{5} \right){{'} } =\frac{12t}{5} \]

Пример 2

Материальная точка осуществляет движение по закону

\[s=3t^{2} +2t^{3} \]

где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.

Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.

Решение.

Найдем вторую производную:

\[s'=\left(3t^{2} +2t^{3} \right){{'} } =6t+6t^{2} \] \[s''=\left(6t+6t^{2} \right){{'} } =6+12t\]

По формуле:

\[\omega =s''\] \[\omega =6+12t\]

Выразим t

\[t=\frac{\omega -6}{12} \]

Заменим ускорение значением 10 секунд:

\[t=\frac{10-6}{12} =\frac{1}{3} сек\]

Пример 3

Скорость движения тела выражается формулой

\[v=0,8t^{3} -1,2\]

Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.

Решение.

Поскольку ускорением является производная от скорости:

\[\omega =v''=\left(0,8t^{3} -1,2\right){{'} } {{'} } =4,8t\]

Через 12 секунд ускорение составит:

\[\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^{2} \]

Пример 4

Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:

\[x=3t^{3} +2t^{2} \]

Решение.

Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.

\[x'=\left(3t^{3} +2t^{2} \right){{'} } =9t^{2} +4t\] \[\omega =x''=\left(9t^{2} +4t\right){{'} } =18t+4\]

Во время равное 2 секунды, ускорение составит:

\[\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^{2} \]

Пример 5

В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:

\[x=\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\]

Решение.

Найдем первую производную от закона движения:

\[x'=\left(\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\right){{'} } =\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\]

Найдем вторую производную

\[x''=\left(\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\right){{'} } =9t-4\]

Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:

\[\omega =x''=9t-4\]

Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t

\[9t-4=0\] \[t=\frac{4}{9} сек\]

spravochnick.ru

Физические приложения производной

1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией , то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t:

(11)

2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости по времени t:

(12)

 

3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоёмкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:

4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы m по длине l:

5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т.е. производной от магнитного потока по времени

6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени равна производной заряда по времени :

 

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x = 2.

Решение.Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (9). Сначала найдём ординату точки касания . Для этого значение подставим в уравнение функции:

Для нахождения углового коэффициента найдём производную , используя формулу дифференцирования дроби:

Найдём значение производной при :

Подставляем найденные значения в формулу (9), получаем уравнение касательной:

, т.е.

Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (10):

Получим, что уравнение нормали , проведенной к заданной кривой в заданной точке имеет вид

Пример 2. Определить, в какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°.

Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдём производную функции:

.

По условию Значит, .

Отсюда

, , .

Получили два значения абсциссы точки касания:

, ,

т.е. существует две точки касания, в которых касательная образует угол с осью .

Найдём соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения в формулу функции:

Приходим к ответу: в точках и касательная к заданной кривой образует с осью угол

Пример 3. Найти острый угол между параболами и в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.

Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения - это угол между касательными к этим кривым, проведёнными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле:

(13)

где и -угловые коэффициенты заданных парабол.

Найдём точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:

Отсюда Условие задачи удовлетворяет точка Найдём коэффициент

Аналогично найдём :

Воспользуемся формулой и получим:

,

откуда

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Решение. Согласно формуле (11) скорость есть производная пути, а, согласно формуле (12), ускорение есть производная от скорости.

Последовательно вычислим производные:

Найдём момент времени, когда ускорение равно нулю:

Вычислим скорость движения тела в момент времени

 

 


Похожие статьи:

poznayka.org

Механическое значение второй производной. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Похожие главы из других работ:

График и его элементы. Классификация видов графиков

1.2 Значение графического метода в анализе и обобщении данных

Значение графического метода в анализе и обобщении данных велико. Графическое изображение прежде всего позволяет осуществить контроль достоверности статистических показателей...

Использование дидактических игр для развития познавательной деятельности 6-классников

1.2. Дидактическая игра и ее значение в развитии мотивационной сферы познания деятельности

Сущность дидактической игры заключается в том, что ученики решают умственные задачи, предложенные им в занимательной игровой форме, сами находят решения, преодолевая при этом определенные трудности. Ученик воспринимает умственную задачу...

Канонический вид произвольных линейных преобразований

b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение;

...

Методы отсечения

4. Второй алгоритм Гомори

Второй алгоритм Р. Гомори предназначается для решения задач, в которых требование целочисленности наложено на некоторые переменные (в частности и на все). Мы его рассмотрим применительно к задачам частично целочисленного типа, понимая...

Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными -- ах2 + bxy + су2 + dx + ey +f= 0, где а, b, с, d, e,f-- данные числа, причем среди коэффициентов a, b и с по меньшей мере один отличен от нуля. Пусть все эти шесть коэффициентов -- числа целые...

Планы второго порядка, реализация В3-плана

1.1 Значение и анализ выходной величины.

Исследование зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов. В рассматриваемом частном случае реализации В3 - плана участвуют три основных фактора...

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

3. Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя...

Применение производной в науке и техникe

1.2 Определение производной

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции: 1...

Проверка гипотезы о независимости логарифмической доходности за различные интервалы времени при большом, среднем и малом объеме торгов

2.3 Р-значение критерия

В своей работе я буду использовать такое понятие как Р-значение, поэтому стоит дать определение этому понятию...

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Нахождение экстремума при помощи второй производной

1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки. Доказательство от противного...

Различные методы решения планиметрических задач

1.5 «Второй признак равенства треугольников»

1.Д.П.: Продлим AC на AM1=OC и BD на DN=OB. 2. Рассмотрим ?OMN, NOM=90°, тогда по теореме Пифагора в ?MON MN=10. 3. Постоим: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC и ?DFN=?BOK (по II признаку) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Ответ: MN=5...

Статистика измерений

3.Определение доверительного интервала, в котором лежит значение вероятной величины

Определение доверительного интервала означает оценку для центра распределения. В качестве первичных оценок группирования значений случайных величин могут быть использованы различные предельные неравенства. Неравенство Чебышева...

Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

1.2 Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию...

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Предмет теории вероятностей и ее значение для решения экономических, технических задач. Вероятность и ее определение

На протяжении длительного времени человечество изучало и использовало для своей деятельности лишь так называемые детерминистические закономерности. Однако...

Урок зачет как одна из форм контроля учебных достижений семиклассников по алгебре

1.1. Значение, организация и содержание проведения контроля

Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений школьников. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы...

math.bobrodobro.ru