Производные функции от функции – Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Содержание

Производная функции: основные понятия и определения

Пусть задана функция . Рассмотрим два значения (исходное) и (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта икс»):

   

Замечание. Символ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть .

Значение рассматриваемой функции в точке равно . Зададим аргументу приращение . Получим значение функции в новой точке .

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина

   

Определение производной

Функция имеет производную на интервале , если производная существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА (О непрерывности функции в точке.) Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

ТЕОРЕМА (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная функции | Математика | FANDOM powered by Wikia

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется

дифференци́рованием.

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

    1. Пусть в некоторой окрестности точки $ x_0 \in \mathbb{R} $ определена функция $ f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. $ Производной функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется предел, если он существует,
    $ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. $
    • Производная функции в точке $ x_0 $ обозначается символами
    $ f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0). $

    Дифференцируемость Править

    Производная $ f'(x_0) $ функции $ f $ в точке $ x_0 $, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $ f $ является дифференцируемой в точке $ x_0 $ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

    $ \bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr). $

    Для дифференцируемой в $ x_0 $ функции $ f $ в окрестности $ U(x_0) $ справедливо представление

    $ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) $
    • Назовём $ \Delta x = x - x_0 $ приращением аргумента функции, а $ \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) $ приращением значения функции в точке $ x_0. $ Тогда
      $ f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $
    • Пусть функция $ f:(a,b) \to \mathbb{R} $ имеет конечную производную в каждой точке $ x_0 \in (a,b). $ Тогда определена произво́дная фу́нкция
      $ f':(a,b) \to \mathbb{R}. $
    • Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
    • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $ f $ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $ f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr). $

    Геометрический и физический смысл производной Править

    Тангенс угла наклона касательной прямой Править

    Если функция $ f:U(x_0) \to \mathbb{R} $ имеет конечную производную в точке$ x_0, $ то в окрестности $ U(x_0) $ её можно приблизить линейной функцией

    $ f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). $

    Функция $ f_l $ называется касательной к $ f $ в точке $ x_0. $ Число $ f'(x_0) $ является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

    Скорость изменения функции Править

    Пусть $ s=s(t) $ — закон прямолинейного движения. Тогда $ v(t_0)=s'(t_0) $ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $ t_0. $ Вторая производная $ a(t_0) = s''(t_0) $ выражает мгновенное ускорение в момент времени $ t_0. $

    Вообще производная функции $ y=f(x) $ в точке $ x_0 $ выражает скорость изменения функции в точке $ x_0 $, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $ y=f(x). $

    Производные высших порядков Править

    Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

    $ f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0). $

    Если функция $ f $ дифференцируема в $ x_0 $, то производная первого порядка определяется соотношением

    $ f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0). $

    Пусть теперь производная $ n $-го порядка $ f^{(n)} $ определена в некоторой окрестности точки $ x_0 $ и дифференцируема. Тогда

    $ f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0). $

    Производные высших порядков обозначаются символами:

    $ f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}. $

    Когда $ n $ мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

    $ f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\; f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x), $ etc.
    • Пусть $ f(x) = x^2. $ Тогда
    $ f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0. $
    • Пусть $ f(x) = |x|. $ Тогда если $ x_0 \neq 0, $ то
    $ f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0, $

    где $ \operatorname{sgn} $ обозначает функцию знака. Если $ x_0 = 0, $ то $ f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, $ а следовательно $ f'(x_0) $ не существует.

    Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.

    ru.math.wikia.com

    Формулы производных функций y (x)


    Производные линейной функции.

     

    Производные степенной функции.

     

     

    Производные показательной функции.

     

    Производные логарифмической функции.

     

    Производные тригонометрической функции.

     

    Производные обратной тригонометрической функции.

    Подробности
    Автор: Administrator

    www-formula.ru

    Правила нахождения производных, формулы и примеры

    Рассмотрим функции и которые являются дифференцируемыми в точке (то есть имеют производную в этой точке). Тогда для нахождения производных используют следующие правила.

    1. Производная произведения константы на некоторую функцию равна произведению этой константы на производную от заданной функции, то есть константа выносится за знак производной:

       

    2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой их них:

       

    Замечание. Это свойство справедливо и для большего, чем два, числа функций.

    Замечание. Первые два правила можно объединить в одно свойство линейности:

       

    3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй:

       

    4. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата исходного знаменателя, то есть

       

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Производная e в степени x и показательной функции

    Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
    (1)   ( e x )′ = e x.

    Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
    (2)   .

    Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

    Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
    .
    Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

    Вывод формулы производной экспоненты

    Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
    y = e x.
    Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
    (3)   .

    Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
    А) Свойство экспоненты:

    (4)   ;
    Б) Свойство логарифма:
    (5)   ;
    В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
    (6)   .
    Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
    Г) Значение второго замечательного предела:
    (7)   .

    Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
    ;
    .

    Сделаем подстановку   . Тогда   ; .
    В силу непрерывности экспоненты,
    .
    Поэтому при , . В результате получаем:
    .

    Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
    .

    Применим свойство логарифма (5):
    . Тогда
    .

    Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
    .
    Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
    .

    Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

    Вывод формулы производной показательной функции

    Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
    (8)  
    Определена для всех .

    Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
    ;
    .
    Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
    .

    Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
    .
    Применяем формулу производной сложной функции:
    .
    Здесь .

    Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
    .

    Другие способы вывода производной экспоненты

    Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
    (9)   .
    Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

    Перепишем формулу (9) в следующем виде:
    ,
    где .
    Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
    (10)   ,
    где .

    Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
    (11)   .
    Применим формулу производной обратной функции:
    (12)   .
    Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):
    .
    И, наконец, выразим y через x по формуле (11):

    .
    Формула доказана.


    Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
    .
    Дифференцируем это уравнение по переменной x:
    (13)   .
    Производная от икса равна единице:
    .
    Применим формулу производной сложной функции:
    .
    Здесь . Подставим в (13):
    .
    Отсюда
    .

    Пример

    Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
    y = e 2x,   y = e 3x   и   y = e nx.

    Решение

    Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции   y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.

    Итак, имеем исходную функцию
    .
    Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
    1)   Функции , зависящей от переменной : ;
    2)   Функции , зависящей от переменной : .
    Тогда исходная функция составлена из функций и :

    .

    Найдем производную от функции по переменной x:
    .
    Найдем производную от функции по переменной :
    .
    Применяем формулу производной сложной функции.
    .
    Здесь мы подставили .

    Итак, мы нашли:
    .
    Подставляем n = 2 и n = 3.

    Ответ

    ;   ;   .

    См. также
    Все примеры вычисления производных с решениями > > >

    Производные высших порядков от e в степени x

    Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
    (14)   .
    Мы нашли ее производную первого порядка:
    (1)   .

    Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
    ;
    .

    Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
    .

    Производные высших порядков показательной функции

    Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
    .
    Мы нашли ее производную первого порядка:
    (15)   .

    Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
    ;
    .

    Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:

    .

    Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

    1cov-edu.ru

    Производная степенной функции, формула и примеры

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ Производная от степенной функции равна произведению показателя степени на икс в степени на единицу меньше.

       

    Приведенная формула справедлива для любого показателя степени , будь то натуральное число ; отрицательное число или дробное число, к примеру и т.п.

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1
    Задание Найти производную функции

       

    Решение Искомая производная

       

    Производная от суммы или разности функция равна сумме или разности их производных, то есть

       

    Производную от найдем как производную от степенной функции:

       

    Для нахождения производной одночлена вначале константу вынесем за знак производной:

       

    Далее дробь представим как степень с отрицательным показателем по свойству :

       

    Далее производную находим как от степенной функции:

       

    Для нахождения производной запишем корень в виде степени с дробным показателем:

       

    Далее производную находим как от степенной функции:

       

    Записываем дробную степень в виде корня:

       

    Производная от двойки, как от константы, равна нулю:

       

    Итак, окончательно имеем:

       

    Ответ
    ПРИМЕР 2
    Задание Найти производную функции
    Решение Искомая производная

       

    Данную производную находим как производную от степенной функции, но так как основание степени является сложной функцией (отличается от просто ), то нужно еще умножить на производную от основания:

       

    Найдем отдельно оставшуюся производную. Производная о суммы равна сумме производных:

       

    Из первого слагаемого вынесем константу за знак производной, а производная от второго, как от константы, равна нулю:

       

    Производная от равна единице:

       

    Таким образом, производная заданной функции

       

    Ответ
    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com