Реферат по информатике система счисления – Реферат по информатике и информационно-коммуникационным технологиям Тема:«Системы счисления» Введение

Содержание

Реферат - Система счисления - Информатика, программирование

Содержание

Что такоесистема счисления?

Какпорождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему людипользуются десятичной системой, а компьютеры —двоичной?

Почему вкомпьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системысчисления?

Перевод чиселиз одной системы счисления в другую

Сложение вразличных системах счисления

Вычитание вразличных системах счисления

Умножение вразличных системах счисления

Деление вразличных системах счисления


Что такое система счисления?Система счисления— это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные инепозиционные системы счисления.

В непозиционныхсистемах счислениявес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит отее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII(тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системахсчисления вес каждойцифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательностицифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа757,7 означает сокращенную запись выражения:

/>

Любая позиционная системасчисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционнойсистемы счисления —количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системесчисления.

За основание системыможно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно,возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная,четверичная и т.д.

 Как порождаются целые числа в позиционных системахсчисления?

В каждой системесчисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену еёследующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значитзаменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижениестаршей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0.В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целогочисла, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правуюцифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужнопродвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило,запишем первые десять целых чисел

·         в двоичнойсистеме:  0,  1,  10,  11, 100,  101,  110,  111, 1000,  1001;

·         в троичнойсистеме:     0, 1,  2,  10,  11,  12, 20,  21,  22,  100;

·         в пятеричнойсистеме:   0,  1,  2, 3,  4,  10,  11,  12, 13,  14;

·         в восьмеричнойсистеме: 0,  1,  2,  3, 4,  5,  6,  7,  10,  11.

Кроме десятичной широкоиспользуются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

Двоичная система Четверичная система Восьмеричная система Десятичная система Шестнадцатиричная система 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 11 3 3 3 3 100 10 4 4 4 101 11 5 5 5 110 12 6 6 6 111 13 7 7 7 1000 20 10 8 8 1001 21 11 9 9 1010 22 12 10 A 1011 23 13 11 B 1100 30 14 12 C 1101 31 15 13 D 1110 32 16 14 E 1111 33 17 15 F 10000 40 20 16 10  Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры —двоичной?

Люди предпочитаютдесятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам,а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде людипользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое времяпользовались пятеричной системой счисления. />

А компьютеры используютдвоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другимисистемами:

·         для ее реализациинужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток —нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — какв десятичной;

·         представлениеинформации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

·         возможно применениеаппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразованийинформации;

·         двоичнаяарифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичнойсистемы — быстрыйрост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричнаясистемы счисления?

Двоичная система, удобнаядля компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычнойзаписи.

Перевод чисел издесятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобыпрофессионально использовать компьютер, следует научиться понимать словомашины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системахчитаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три(восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем вдвоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертаястепени числа 2).

 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Количество pразличных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системысчисления и называется основанием системы счисления – "p".Любое число N в позиционной системе счисления с основанием pможет быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ...  (1.1)

здесь N –число, aj – коэффициенты (цифры числа), p– основание системы счисления (p>1). Принятопредставлять числа в виде последовательности цифр:

= anan-1 ... a1a . a-1a-2 ...

Перевод чисел вдесятичную системуосуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см.формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значениесуммы.

/>

/>

/>

 

Перевод целыхдесятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делениемдесятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до техпор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системезаписывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичнойсистемы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

/>

 

Ответ: 7510 = 1 001 0112 =  1138  =  4B16.

Перевод правильныхдробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичнойдроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание тойсистемы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части.Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная спервого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичнойсистемы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

/>

 

Для переводанеправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целуючасть и отдельно дробную. Перевести 23.12510/>2 с.с.

1. Переведем целую часть: 2. Переведем дробную часть: 3. Таким образом: 

/>

/>

2310 = 101112;

0.12510 = 0.0012.

Результат: 

23.12510 = 10111.0012.

Системы счисленияназываются кратными, если выполняется соотношение: S = RN,где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа изсистемы счисления Rв кратную ей систему счисления Sпоступают следующим образом: двигаясь от точки влево ивправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайниелевую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системысчисления

S.

Таблица

Перевести 1101111001.11012/>«8» с.с.

Перевести 11111111011.1001112/>«16» с.c.

/>

/>

 

Для перевода числа изсистемы счисления Sв кратную ей систему счисления Rдостаточно заменить каждую цифру этого числасоответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512)и младших (15,124000) разрядах.

Перевести 305.48/>«2» с.с.

Перевести 7B2.E16/>«2» с.с.

/>

/>

Если требуется выполнитьперевод из системы счисления Sв R, при условии что они не являются кратными,тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R= KN.

Перевести 175.248/>«16»с.с.

/>

Результат: 175.248 = 7D.516.

Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следуетвыполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную системусчисления.

 

Для всего этогопримеры

Перевод восьмеричных ишестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменитьэквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

/>

Чтобы перевести числоиз двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо отзапятой на  триады  (для восьмеричной) или  тетрады  (дляшестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующейвосьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:

/>

/> Сложение в различных системах счисления

Таблицы сложения легкосоставить, используя Правило Счета.

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Вычитание в различных системах счисления

/>

Умножение в различных системах счисления

Выполняя умножениемногозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можноиспользовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этомрезультаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать изсоответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

/>

/>

/>

Деление в различных системахсчисления

Деление в любойпозиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и делениеуглом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особеннопросто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

/>

www.ronl.ru

Реферат - Позиционные системы счисления

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7. 102 + 5. 101 + 7. 100 + 7. 10—1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления

— количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 +… + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 +… + a-m q-m,


где ai — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:

 

 

ПРИМЕРЫ ПЕРЕВОДА

 

1) 8à 2 и 16 à 2

 

каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

2) 2à 8 и 2 à 16

Числонужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

3) 10à 2 10 à 8 10à 16 и другие

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
4) перевод правильной десятичной дpоби в любую другую позиционную систему счисления

0,36à 2 0,36 à 8 0,36à 16

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

5) 2à 10 8 à 10 16à10

 

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1… a0, a-1 a-2… a-m)q сводится к вычислению значения многочлена

x10 = an qn + an-1 qn-1 +… + a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q-2 +… + a-m q-m

 

www.ronl.ru

Реферат по информатике и информационно-коммуникационным технологиям Тема:«Системы счисления» Введение



МБОУ Ангеловская СОШ

Реферат

по информатике и информационно-коммуникационным технологиям Тема:«Системы счисления»

Введение

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах.

История систем счисления

Система счисления – это определённый способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над ними.

Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Древние системы счисления:

  • Единичная система

  • Древнегреческая нумерация

  • Славянская нумерация

  • Римская нумерация



Позиционные и непозиционные системы счисления



Запись числа в позиционной системе счисления

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

Хs=An · Sn-1 + An-1 · Sn-2 + An-2 · Sn-3 +...+ A2 · S1 + A1 · S0

где S - основание системы счисления, А – цифры числа, записанного в данной системе счисления, n - количество разрядов числа.

Так, например число 629310запишется в форме многочлена следующим образом:

629310=6·103 + 2·102 + 9·101 + 3·100

Примеры позиционных систем счисления:



История двоичной системы счисления

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.).

Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл.

В 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления (бинарная система счисления, binary) — позиционная система счисления с основанием 2.

Неудобством этой системы счисления является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.

Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления



Двоичное кодирование в компьютере

В конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обраба- тываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.

В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую



Заключение

  • Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел.

  • Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.





Перевод двоичного числа в десятичное

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х10= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20

Перевод восьмеричного числа в десятичное

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х10= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80

Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х10= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160

Перевод десятичного числа в двоичную систему

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления: 2210=101102



Перевод десятичного числа в восьмеричную систему

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления: 57110=10738



Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 746710=1D2B16



Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:

Пример: Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления:

001 001 0112=1138

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр).

Двоично-шестнадцатеричная таблица:

Пример: Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

0010 1110 00112=2E316

Перевод восьмеричного числа в двоичное

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления:

5318=101 011 0012

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления:

ЕЕ816=1110111010002

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления:

FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528

Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16

Единичная система

В древние времена, когда появилась потребность в записи чисел, количество предметов, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности.

Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.).

В такой системе применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

Древнегреческая нумерация



Славянская нумерация

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»). Для обозначения тысяч перед числом (слева внизу) ставился особый знак .

Римская нумерация

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.

Обозначение чисел в ионийской системе нумерации



Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации


rpp.nashaucheba.ru

Реферат - СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭВМ

От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию используемой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний, каждое из которых ставится в соответствие определенной цифре. Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, для которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток — низкое быстродействие.

Создание электронных функциональных элементов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:

· электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто;

· ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;

· электронная вакуумная лампа (для первых ЭВМ) включена или выключена;

· магнитный сердечник намагничен в некотором направлении или в противоположном ему;

· транзисторный ключ находится в проводящем или запертом состоянии;

· участок поверхности магнитного носителя информации намагничен или размагничен;

· участок поверхности лазерного диска отражает или не отражает и т.д.

Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое — цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные преимущества. Она обеспечивает максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Широкое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных слов. Пользоваться такими словами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) как на этапах составления несложных программ для микроЭВМ, их отладки, ручного ввода-вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системе счисления. В результате длина исходного слова сокращается в 3 или 4 раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к привычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному «языку» машины.

В ЭВМ используется только двоичнаясистема счисления. Вся логика основана на принципе сигнал есть — 1, сигнала нет — 0. Все остальное это представление чисел.
Способы быстрого преревода:
из двоичной в шестнодцатиричную:
Разбиваешь двоичное число на отрезки по четыре бита и
0000 — 0h
0001 — 1h
0010 — 2h
0011 — 3h
0100 — 4h
0101 — 5h
0110 — 6h
0111 — 7h
1000 — 8h
1001 — 9h
1010 — Ah
1011 — Bh
1100 — Ch
1101 — Dh
1110 — Eh
1111 — Fh
таким образом твое число в 16-ричной
1001 0101 0110 0111 — 9567h
Ну а для восьмиричной сообразишь сам.

 

 

 

10 — я 2 — я 8 — я 16 — я 10 — я 2 — я 8 — я 16 — я
A
B
C
D
E
F

 

 

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

 

3. Системы счисления, используемые в ЭВМ. Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.

 

www.ronl.ru

Доклад - Позиционные системы счисления

РАБОТАПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА «Позиционныесистемы счисления»

 

 

 

 

 

Ученицы

11 класса «А»

Калашниковой Анны

 

 

 

 

 

 

 

МОСКВА 2004 год

План

1)  Арифметические основы построения ЭВМ

2)  Непозиционные и позиционные системы счисления

3)  Непозиционные системы счисления

4)  Позиционные системы счисления

5)   Системысчисления

6)  Десятичная система счисления

7)  Двоичная система счисления

8)  Восьмеричная система счисления

9)  Шестнадцатиричная система счисления

10) Переводиз одной системы счисления в другую

11) Переводцелых чисел

12) Переводправильных дробей

13) Правилаперевода из системы счисления в систему счисления

14) Представлениечисел в различных системах счисления

15) Вопросыи задачи. Ответы и решения.

16) Средствапроцессора Word, используемые в данной работе.

17) Списоклитературы.

Арифметические основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные системы счисления

Системой счисления называетсясовокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощьюцифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используетсянекоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1 ,а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числаставится в соответствие определенный количественный эквивалент.Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры,входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры вряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различныхцелых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающиесоответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985.Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в нихдостаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкаязапись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМприменяют только позиционные системы счисления, в которых количественныйэквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и отее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вескаждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр,изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием.Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков илисимволов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основаниеможно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д.Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где онапоявилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифрастоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играютчисло 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числапоказывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — числосотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичнойсистеме счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякоечисло в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различныхцелых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита даннойсистемы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 +5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых ссоответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 *100+ a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры — 0 и1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая праваяцифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любоенатуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. Вдвоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию:тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодированиепривлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точкизрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например,электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — каки в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разрядеозначает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное,как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611(восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкойцифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа ввосьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменитькаждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системесчисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается вшестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифрвзяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1,записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 вследующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F,указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод изшестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому,как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел изодной системы счисления с основанием S в другую соснованием S1 надо это число последовательно делить наоснование S1 новой системы счисления до тех пор, покане получится частное меньше S1. Число в новой системезапишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частоедает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют висходной системе счисления. Например:

37710=1011110012

/>

Перевод правильных дробей

Для перевода правильнойдроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательноумножать на основание той системы, в которую она переводится, перемножаютсятолько дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частейполучающихся произведений, начиная с первого. Например:

 0,6875                                               0,67510=0,100112

*          2

 1,3750

*           2

 0,7500

*           2

 1,5000

*           2

 1,0000

При переводе неправильныхдесятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнитьотдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в системусчисления

1)  Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основаниестарой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системысчисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавленияпоследней самой младшей цифры исходного числа

2)  Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимоделить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор покапоследнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результатскладывается из остатков деления, начиная с последнего.

3)  Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходноечисло перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением),полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу(деление).

4)  Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойкинеобходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа вдвоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-хразрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числанеобходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления Системы счислений Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатиричная 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 А 11 1011 13 В 12 1100 14 С 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F /> /> /> /> /> /> />

Вопросыи задачи. Ответы и решения

1)  Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойствасистемы счисления.

2)  Какие символы используются для записи чисел в двоичной системесчисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

3)  Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные(восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

4)  Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010,1011, 11101, 0111, 0101.

5)  Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные:777, 375, 111, 1015.

6)  Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их вдесятичные: 15, A6, 1F5, 63.

7)  2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012;1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

8)  Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а)46410; б) 380,187510; в) 115,9410

·    10000012=1× 26+0× 25+0×24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1×20= 64+1=6510.

·    1000011111,01012=1×29 + 1×24+ 1×23 + 1×22 + 1×21 +1×20+ 1×2-2 + 1×2-4 = 512 +16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510.

·    1216,048=1×83+2×82+1×81+6×80+4×8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510.

·    29A,516= 2×162+9×161+10×160+5×16-1= 512+144+10+0,3125 = 656,312510.

·    а) 46410 »1110100002; б) 380,187510 »101111100,00112; в) 115,9410» 1110011,11110(2)

Средства процессора Word,используемые в данной работе.

·    Главным средством процессора Word,использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текстрасположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные частитекста – «по левому краю» или «по правому краю».

·    В данной работе было применено форматирование абзацев, изменениешрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

·    Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ болееудобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

·    В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самомпростом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.

·    В эту работу были вставлены некоторые символы.

Список литературы

·    Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах иответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994

·    Введение в информатику.Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999

·    Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.

www.ronl.ru

Реферат Двоичная система счисления

скачать

Реферат на тему:

План:

    Введение
  • 1 История
  • 2 Запись двоичных чисел
  • 3 Сложение и умножение двоичных чисел
  • 4 Преобразование чисел
    • 4.1 Преобразование двоичных чисел в десятичные
    • 4.2 Преобразование методом Горнера
    • 4.3 Преобразование десятичных чисел в двоичные
    • 4.4 Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные
    • 4.5 Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные
  • 5 Применения
    • 5.1 В цифровых устройствах
    • 5.2 В английской системе мер
  • 6 Примеры чисел-степеней двойки
  • Примечания

Введение

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).


1. История

  • Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм, аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен. Порядок гексаграмм в книге Перемен, расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке. Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке.
  • Индийский математик Пингала (200 год до н. э.) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления.[1][2]
  • Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[3], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования[4]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных[5]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись[6].
  • Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией.
  • В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.[7] (См. Шифр Бэкона)
  • Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[8]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.[9]
  • В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике, которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики. Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
  • В 1937 году Клод Шеннон предствил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
  • В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дармутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

2. Запись двоичных чисел

Двоичная система счисления является частным случаем сдвоенных двоичных показательных позиционных систем счисления с обоими основаниями (a и b) равными 2. Целые числа записываются в виде:

где:

  • — представляемое число,
  • — запись числа, строка цифр и знаков,
  •  — число цифр (знаков) в числе x2,2,
  •  — порядковый номер цифры,
  • — цифры числа x2,2 из множества a={0,1}, весовые коэффициенты, в двоичной системе счисления основание внутриразрядной системы счисления равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание межразрядной системы счисления.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты an берутся из кольца R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

Основание показательной функции — b определяет только диапазон представляемых числами x2,b величин.
Число записываемых кодов от основания показательной функции - b не зависит.
Число записываемых кодов зависит от основания внутриразрядной системы счисления - a, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

где a=2 — 2-х элементное множество a={0,1} из которого берутся цифры ak, n — число элементов (цифр) в числе x2,b.

Дробные числа записываются в виде:

где:

  •  — число цифр дробной части числа,
  •  — весовые коэффициенты из множества , основание внутриразрядной системы счисления равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание межразрядной системы счисления.

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном виде, а система счисления при этом может быть не двоичной, с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.


3. Сложение и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

1
+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1

Таблица умножения

Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

× 1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

4. Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

4.1. Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

.

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +1

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.


4.2. Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.


4.3. Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9  с остатком 1
9  /2 = 4  c остатком 1
4  /2 = 2  без остатка 0
2  /2 = 1  без остатка 0
1  /2 = 0  с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справо налево. Т.е. нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

4.4. Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

4.5. Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
  • Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

.116 • 2 = 0.232
.232 • 2 = 0.464
.464 • 2 = 0.928
.928 • 2 = 1.856
.856 • 2 = 1.712
.712 • 2 = 1.424
.424 • 2 = 0.848
.848 • 2 = 1.696
.696 • 2 = 1.392
.392 • 2 = 0.784
и т. д.
Получим: 206,11610=11001110,00011101102


5. Применения

5.1. В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.
  • Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).


5.2. В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 715/16″, 311/32″ и т. д.

6. Примеры чисел-степеней двойки

Степень Значение
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384
15 32768
16 65536
17 131072
18 262144
19 524288
20 1048576
21 2097152
22 4194304
23 8388608
24 16777216
25 33554432
26 67108864
27 134217728
28 268435456
29 536870912
30 1073741824
31 2147483648
32 4294967296
33 8589934592
34 17179869184
35 34359738368
36 68719476736
37 137438953472
38 274877906944
39 549755813888
40 1099511627776
41 2199023255552
42 4398046511104
43 8796093022208
44 17592186044416
45 35184372088832
46 70368744177664
47 140737488355328
48 281474976710656
49 562949953421312
50 1125899906842624

Примечания

  1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, Florida: CRC Press, p. 37, ISBN 0-8493-7189-9 
  2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
  4. Experts 'decipher' Inca strings - news.bbc.co.uk/2/hi/americas/4143968.stm.
  5. Estudios sobre los quipus - books.google.com/books?id=TmbajGgliYYC&printsec=frontcover. — P. 49.
  6. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis - www.jstor.org/stable/2490534». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.
  7. Bacon, Francis, The Advancement of Learning - home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html, vol. 6, London, pp. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html - home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html> 
  8. http://www.leibniz-translations.com/binary.htm - www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
  9. Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, pp. 245–8, ISBN 0-85274-470-6 

wreferat.baza-referat.ru