Решение пределов без правила лопиталя онлайн с подробным решением – Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления 🚩 вычислить предел не пользуясь правилом лопиталя 🚩 Математика

Вычислить пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя

Пример.
Вычислить пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ;
2) ;
3) .
 
Решение.
1)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть бесконечность), то получим неопределенность :

   

Избавимся от полученной неопределенности вынесением за скобки переменной в старшей степени для числителя и для знаменателя:

   

   

 
2)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть 2), то получим неопределенность :

   

Избавимся от неопределенности умножением числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение к знаменателю дроби:

   

   

   

 
3)
Для решения этого предела выполним замену .
Подставим в начальное выражение:

   

Воспользуемся формулой первого замечательного предела и получим:

   

   

 

ru.solverbook.com

Найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя

Как найти предел не пользуясь правилом Лопиталя постараюсь объяснить на примерах.

Пример 1.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:

   

Решение.

   

При непосредственной подстановке значения 3 вместо переменной х получили неопределенность типа . Чтобы избавиться от такого вида неопределенности нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение:

   

   

   

   

   

Ответ. .

Пример 2.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:

   

Решение.
При непосредственной подстановке вместо переменной х его значения получаем неопределенность :

   

Чтобы от нее избавиться поделим числитель и знаменатель на переменную в наибольшей степени:

   

Теперь подставим вместо х его значение и получим:

   

Ответ. .

ru.solverbook.com

Правило Лопиталя: метод, формула, примеры решения

Для решения пределов существуют различные методы решений и формулы. Но самым быстрым и легким способом, а также универсальным является метод Лопиталя. Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным простым способом вычисления пределов достаточно хорошо уметь находить производные различных функций. Начнём с теории.

Сформулируем правило Лопиталя. Если:

  • Существуют 
  • Существует 

тогда существует 

Метод

  1. Подставляем точку в предел
  2. Если получается , тогда находим производную числителя и знаменателя
  3. Подставляем точку в получившийся предел и вычисляем его. Если получается неопределенность, то повторяем пункты 2 и 3

Формула

Для того, чтобы вычислить пределы по Лопиталю достаточно воспользоваться простой формулой:

Примеры решения

Приведем практические примеры решения пределов методом Лопиталя.

Пример 1
Решить предел по правилу Лопиталя:
Решение

Видим, что получилась неопределенность , если подставить вместо иксов точку , а это первый сигнал о том, что необходимо применить формулу для вычисления предела. Используем её:

Снова попробуем вычислить предел подставив в последний предел, получаем:

Ответ
Пример 2
Вычислить пределы правилом Лопиталя:
Решение

Решение проводим стандартно, подставляя икс.

Ответ
Пример 3
Воспользовавшись формулой Лопиталя решить предел: 
Решение
Ответ
Пример 4
Вычислить предел используя правило Лопиталя:
Решение
Ответ

Подведем итог: Правило Лопиталя - это способ и метод благодаря которому можно раскрывать неопределенности вида и при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на

бесконечность или ноль на ноль является применение правила Лопиталя: предел отношения двух

бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,

если такие существуют

Раскрытие неопределенностей сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если , а при , то применяем преобразование

В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования

Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика"на

применение правила Лопиталя.

-----------------------------------

Пример 1. Найти пределы.

1) (5. 626)

2) (6. 629)

3) (6. 634)

4) (4. 639)

5) (4. 645)

6) (4. 668)

Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль . Для избавления от

нее применим правило Лопиталя

2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность . По правилу Лопиталя находим

3) Учитывая неопределенность применяем предыдущее правило

4) Раскрываем неопределенность вида

Числитель и знаменатель преобразуем к сумме синусов на основе правила

В результате получим

Подставим найденные значения

Опять получили неопределенность вида и повторно применяем правило Лопиталя

Здесь учтено, что косинус функция стремится к единице при .

5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность .

Найдем производные

6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы

Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.

Пользуйтесь им на практике и Вам не будет трудно находить подобные границы в обучении.

-----------------------------------

Посмотреть материалы:

yukhym.com