Решение системных уравнений методом гаусса онлайн – Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с сохранением дробей
- Комментариев к записи Решение системных уравнений методом гаусса онлайн – Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с сохранением дробей нет
- Советы абитуриенту
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения
Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.
Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:
Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.
Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.
В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).
Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.
Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).
Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:
Количество решений
Коэффициенты решения
Сохранить share extension
1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Откуда обратным ходом находим единственное решение:
Система совместна и определена.
2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
В результате приходим к системе:
Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
поэтому их можно отбросить.
Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения
Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.
3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.
4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.
5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система имеет вид:
Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
которые можно отбросить.
Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
skokaskoka.ru
Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений онлайн (СЛУ онлайн) методом подстановки.Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки онлайн выберите количество неизвестных величин: 2345
Заполните систему линейных уравнений
Для изменения в уравнении знаков с “+” на “-” вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.
Решить системуВоспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
Решение системы линейных уравнений онлайн
Метод подстановки
Решение системы линейных уравнений методом подстановки осуществляется следующим образом: сперва в одном из уравнений произвольная переменная выражается через остальные. Затем данное выражение подставляется во все остальные уравнения системы. Тем самым система из n уравнений превращается в систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными. Затем аналогичные действия повторяются до тех пор, пока мы не приходим к конечному выражению для одной из переменных системы. Получив её значения, мы через неё выражаем пошагово все остальные неизвестные.
Данный метод решения СЛАУ называется методом подстановки (мы вместо некоторой переменной подставляем её выражение через другие переменные). Метод классический и простой в понимании, но на практике для больших систем уравнений очень громоздкий и сложный в вычислениях. Поэтому на практике при решении систем уравнений с большим количеством уравнений применяют более удобные методы, наподобие метода Гаусса, в котором преобразования уже выполняются в матрице, без лишних записей.
matematikam.ru
Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)
Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)
Видеоурок: Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)
Пример из видеоурока в рукописном виде:
Пример 2.
Запишем систему в виде:
1 | -2 | 2 | -1 | -1 | 2 | 4 |
0 | -1 | 1 | 3 | -1 | 2 | -2 |
-2 | 4 | -4 | -2 | -2 | 1 | 1 |
-1 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 | -2 |
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника: НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ, где РЭ – разрешающий элемент (1), А и В – элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
1 | -2 | 2 | -1 | -1 | 2 | 4 |
0 | 1 | 3 | -1 | 2 | -2 | |
0 | 0 | 0 | -4 | -4 | 5 | 9 |
0 | -1 | 2 | -2 | 0 | 3 | 2 |
Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
1 | 0 | 0 | -7 | 1 | -2 | 8 |
0 | 1 | -1 | -3 | 1 | -2 | 2 |
0 | 0 | 0 | -4 | -4 | 5 | 9 |
0 | 0 | 1 | -5 | 1 | 1 | 4 |
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
1 | 0 | 0 | -7 | 1 | -2 | 8 |
0 | 1 | 0 | -8 | 2 | -1 | 6 |
0 | 0 | 1 | -5 | 1 | 1 | 4 |
0 | 0 | 0 | -4 | -4 | 5 | 9 |
Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
1 | 0 | 0 | 0 | 8 | -10.75 | -7.75 |
0 | 1 | 0 | 0 | 10 | -11 | -12 |
0 | 0 | 1 | 0 | 6 | -5.25 | -7.25 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | -1.25 | -2.25 |
Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = -7.75 – 8×5 – 10.75×6
x2 = -12 – 10×5 – 11×6
x3 = -7.25 – 6×5 – 5.25×6
x4 = -2.25 – x5 – 1.25×6
Необходимо переменные x5,x6 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x5,x6 к 0
x1 = -7.75
x2 = -12
x3 = -7.25
x4 = -2.25
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.
www.matem96.ru
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Система линейных уравнений вида:
может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.
Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:
Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.
Знаков после запятой: 2
Количество решений
Вектор решения системы уравнений
Детали вычислений
Сохранить share extension
Метод Гаусса
Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).
Приведение матрицы к ступенчатому виду
На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:
Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.
Выражение базисных переменных
Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.
skokaskoka.ru
