Решить уравнение бернулли – 3. Особое решение уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли. Методы нахождения общего решения. Особое решение

Содержание

Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Дифференциальное уравнение Бернулли – это уравнение вида:
, где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.

Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1)   ,
где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.
Разделим его на y n. При y ≠ 0 или n < 0 имеем:
(2)   .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это – линейное, относительно z, дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0, следует рассмотреть случай y = 0. При n > 0, y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.

Решение методом Бернулли

Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v,
где u и v – функции от x. Дифференцируем по x:
y′ = u′ v + u v′.
Подставляем в исходное уравнение

(1):
;
(3)   .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)   .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v(x). Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v – уже известная функция от x. Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv.

Пример решения дифференциального уравнения Бернулли

Решить уравнение

Решение

На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.

Итак, считаем что x является функцией от y. Подставим     и умножим на   :
;
;
(П.1)   .
Это – уравнение Бернулли с n = 2. Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения

(1), только обозначением переменных (xвместо y). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v,
где u и v – функции от y. Дифференцируем по y:
.
Подставим в (П.1):
;
(П.2)   .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y), удовлетворяющую уравнению:
(П.3)   .
Разделяем переменные:
;
;
.
Положим C = 0, поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3).
;
.
Подставим в (П.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0 имеем:
;
(П.4)   ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку   :
;
.
Интегрируем по частям:
.
Подставляем в (П.4):
.
Возвращаемся к переменной x:
;
;
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Дифференциальное уравнение Бернулли | Математика

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

   

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

   

в линейное уравнение

   

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли  с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения —  как и при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: [u’x+u]v+v’ux=-xu²v²   (I)          (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

   

   

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем [u’x+u]=0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на  v²≠0:

   

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

   

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: [2u’+2u]+2v’u=xu²v² (II).  Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

   

3) Подставляем во (II) [2u’+2u]=0 и

   

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

   

Интегрируем:

   

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

   

   

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

   

А так как

   

Сделаем С=-С:

   

   

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

   

Это — уравнение Бернулли,

   

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

[x²(x-1)u’-x(x-2)u]v+x²(x-1)v’u=u²v²      (III).    Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках:  x²(x-1)u’-x(x-2)u=0,  отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

   

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

   

При x=1:  1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0:  0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

   

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем [x²(x-1)u’-x(x-2)u]=0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

   

v’=dv/dx, подставляем:

   

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

   

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

   

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

   

Ответ:

   

Примеры для самопроверки:

   

   

Показать решение

1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:

   

1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:

   

2) Группируем слагаемые с v:

   

Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

3) В уравнение (*) подставляем [xu’ + 2u]=0 и u=1/x²:

   

Интегрируем обе части получившегося уравнения:

   

   

Обозначим С=3С1, получаем

   

4) Так как y=uv, то

   

Ответ:

   

2) Поделим обе части данного уравнения на x: y’+y/x=(lnx/x)·y². Это — уравнение Бернулли. Здесь p(x)=1/x, q(x)=lnx/x, n=2.
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в условие: x(u’v+v’u)+uv=u²v²lnx.

2) xu’v+xv’u+uv=u²v²lnx. Группируем слагаемые с v: [xu’+u]v+xv’u=u²v²lnx  (**).   Теперь требуем равенства нулю выражения, стоящего в скобках: xu’+u=0. Из этого уравнения ищем u: xdu/dx=-u,  du/u=-dx/x. Теперь интегрируем:

   

3) Подставляем в (**) [xu’+u]=0 и u=1/x (сначала упростим): xv’u=u²v²lnx, отсюда xv’=uv²lnx,  xv’=(1/x)v²lnx,

   

   

Интеграл в левой части — табличный. Интеграл, стоящий в правой части равенства, находим по формуле интегрирования по частям. u=lnx, du=(lnx)’dx=(1/x)dx, dv=(1/x²)dx,

   

Теперь подставляем u,v и du в формулу интегрирования по частям:

   

   

Итак,

   

умножаем обе части на (-1):

   

   

4) Так как y=uv, то

   

Ответ:

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

  1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
  2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

,

.

Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение

,

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

.

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

.

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

,

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

,

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:

.

Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению

или

.

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z' = u'v + uv':

,

.

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его и y' = u'v + uv' в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

или

Разделим переменные:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

:

.

Введём обозначения:

Продолжаем:

Таким образом, получаем функцию u:

.

и решение данного дифференциального уравнения:

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую - нелинейные:

.

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y' = u'v + uv':

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

.

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Решаем:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

.

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

.

И напоследок - пример с альтернативным обозначением производных - через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом - переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³, получим

.

Введём новую функцию . Тогда

.

Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:

.

Найдём его общий интеграл:

,

.

Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем

или

.

Приравниваем нулю выражение в скобках:

Для определения функции u получаем уравнение

.

Разделяем переменные:

Интегрируем по частям:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения

или

.

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Изложен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли – введением двух функций. Рассмотрен пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

Существует три способа решения этого уравнения:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.

Метод введения двух функций (Бернулли)

Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v - функции от x. Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(1)  
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)  
Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.

Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).

Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем

Окончательно находим:

.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли

Решить уравнение

Решение

Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v - функции от x. Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(3)  
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)   .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv:

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:

Или

Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).

Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.

Ответ

Общее решение уравнения:

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Метод Бернулли решения дифференциальных уравнений

Формула

Для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида:  существует замечательный метод Бернулли решения дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, чтобы сделать замену в дифференциальном уравнении на: . После того, как замена будет выполнена ДУ сведется к системе уравнений с разделяющимися переменными, о решении которых было рассказано в статье решение ДУ с разделяющимися переменными. Советуем ознакомиться с ней. Так как умение решать уравнения данного типа необходимо для успешного решения большинства видов дифференциальных уравнений, в том числе и методом Бернулли, о котором пойдёт речь ниже.

Примеры решений

Пример 1
Решить методом Бернулли дифференциальное уравнение:
Решение

Пожалуй решение начнем с замены подстановкой  Получаем  Далее необходимо вынести за скобку общий множитель u во втором и третьем слагаемом левой части дифференциального уравнения. Имеем

Теперь каким-то образом нужно найти неизвестные функции и . Чтобы их найти придётся составить систему уравнений

Заметьте, что значение первого уравнения мы взяли равным нулю, чтобы из него получить , а затем зная из второго получить . Приступаем решать её:

1)

Зная теперь чему равно v возьмём и подставим его во второе уравнение системы. Далее найдём

2)

Итак, подведем итог:

Так как , то ответ

Ответ
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли
Решение

Как обычно не задумываясь ни на секунду выполняем замену

Подставляем её в исходное дифференциальное уравнение

Не забываем вынести u за скобки, чтобы не нарушить алгоритм решения

Теперь необходимо найти функции u и v из полученного уравнения путём составления системы

Запускаем вычислительную машину для решения двух уравнений

1) Найдем v из v'-v=0

2) Подставим найденное во второе уравнение и наконец-таки найдём .

Итак мы получили и . Теперь достаточно записать ответ, что

Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для реальной и идеальной жидкости

Ниже задача с решением уравнения Бернулли. Примеры уравнения Бернулли по формулам.

Уравнение Бернулли позволяет выполнить расчет водоснабжения и отопления: Подобрать диаметры и насосы. В этой статье будет расписан энергетический и геометрический смысл уравнения Бернулли.

График Бернулли и уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

График Бернулли и уравнение Бернулли для реальной жидкости:

где,

Смысл уравнения Бернулли

Смысл уравнения Бернули в том, чтобы показать, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) сохраняется общая энергия между разными точками. То есть на участке трубопровода необходимо выделить две точки, и эти две точки равны друг другу по значению полной энергии. Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии.

Назначение уравнения Бернули

Понять, как распределяется давление в системе трубопроводов. А также с помощью уравнения находить неизвестные параметры внутри системы. Например, найти давление в каждой течке пространства системы заполненной жидкостью.

Подробнее на видео: (для запуска видео кликните по окошку) На видео намного больше информации

Следующий урок

Решая задачу с уравнением Бернулли, Вы фактически занимаетесь гидравлическим расчетом. О том, как делать гидравлический расчет - написано тут: Конструктор водяного отопления

Задача. Пример решения уравнения Бернулли

По решению задачи необходимо найти давление в точке 2 при известных параметрах: давление и расход.

Как понять уравнение Бернулли?

Для расчета уравнения Бернулли необходимо выбрать две точки в пространстве

Например,

Точка 1 – это место где известно давление

Точка 2 – это место где нужно узнать давление

Поймите, что каждый кусок формулы измеряется давлением: м.в.ст. (метр водяного столба)

То есть для того, чтобы быстро считать гидравлику систем водоснабжения и отопления, необходимо меньше всего выражаться в Барах, Паскалях и тому подобное.

Проще выражать давление в единице измерения: м.в.ст. (метр водяного столба)

Вы этим самым упростите себе жизнь… просто другая единица это еще один процесс, который отнимает время.

Решение задачи

Сборка формулы уравнения Бернулли

Как избавится от минуса?

Как избавится от множителя (-1)?

Необходимо множитель (-1) помножить на каждый слагаемый член. Знак каждого слагаемого члена меняется на противоположный. То есть (+ на -) (- на +). Далее перестановка слагаемых.

Ответ:

Что такое идеальная жидкость?

Идеальная жидкость - это жидкость, не обладающая внутренним трением. То есть такая жидкость не создает гидравлическое сопротивление.

Реальная жидкость - это жидкость, которая обладает вязкостью. То есть внутренним сопротивлением.

Формула Бернулли для реальной жидкости

Коэффициент Кориолиса – это поправка кинетической энергии на реальную жидкость.

Потому что реальная жидкость движется не равномерно

У реальной жидкости серединная струйка воды движется быстрее остальных. При ламинарном режиме градиент: Чем ближе к стенке, тем медленнее движется поток воды.

Формула коэффициента Кориолиса

Что такое коэффициент Кориолиса?

Коэффициент Кориолиса характеризует отношение действительной кинетической энергии потока жидкости в данном сечении к той кинетической энергии потока, которую он имел бы, если бы все частицы двигались с одинаковой скоростью, равной средней скорости потока.

Чему равен коэффициент Кориолиса?

Нд.п. – Это динамические потери. Это потери вызванные движением воды.

Подробнее о формулах: Конструктор водяного отопления

Имеются дополнительные задачи с уравнением Бернули на реальную жидкость:

Задача1

Задача2

Задача3

Дополнительные задачи тут: Расчет водоснабжения и отопления своими руками

Посмотрите видеоурок по составлению уравнения Бернулли:

Посмотреть другие уроки: Расчет водоснабжения и отопления своими руками

Как сделать гидравлический расчет погружного насоса?

Посмотрите видео:

Подробнее о программе


 
Если Вы желаете получать уведомления
о новых полезных статьях из раздела:
Сантехника, водоснабжение, отопление,
то оставте Ваше Имя и Email.
 

    Серия видеоуроков по частному дому
            Часть 1. Где бурить скважину?
            Часть 2. Обустройство скважины на воду
            Часть 3. Прокладка трубопровода от скважины до дома
            Часть 4. Автоматическое водоснабжение
    Водоснабжение
            Водоснабжение частного дома. Принцип работы. Схема подключения
            Самовсасывающие поверхностные насосы. Принцип работы. Схема подключения
            Расчет самовсасывающего насоса
            Расчет диаметров от центрального водоснабжения
            Насосная станция водоснабжения
            Как выбрать насос для скважины?
            Настройка реле давления
            Реле давления электрическая схема
            Принцип работы гидроаккумулятора
            Уклон канализации на 1 метр СНИП
    Схемы отопления
            Гидравлический расчет двухтрубной системы отопления
            Гидравлический расчет двухтрубной попутной системы отопления Петля Тихельмана
            Гидравлический расчет однотрубной системы отопления
            Гидравлический расчет лучевой разводки системы отопления
            Схема с тепловым насосом и твердотопливным котлом – логика работы
            Трехходовой клапан от valtec + термоголовка с выносным датчиком
            Почему плохо греет радиатор отопления в многоквартирном доме
            Как подключить бойлер к котлу? Варианты и схемы подключения
            Рециркуляция ГВС. Принцип работы и расчет
            Вы не правильно делаете расчет гидрострелки и коллекторов
            Ручной гидравлический расчет отопления
            Расчет теплого водяного пола и смесительных узлов
            Трехходовой клапан с сервоприводом для ГВС
            Расчеты ГВС, БКН. Находим объем, мощность змейки, время прогрева и т.п.
    Конструктор водоснабжения и отопления
            Уравнение Бернулли
            Расчет водоснабжения многоквартирных домов
    Автоматика
            Как работают сервоприводы и трехходовые клапаны
            Трехходовой клапан для перенаправления движения теплоносителя
    Отопление
            Расчет тепловой мощности радиаторов отопления
            Секция радиатора
            Зарастание и отложения в трубах ухудшают работу системы водоснабжения и отопления
            Новые насосы работают по-другому…
    Регуляторы тепла
            Комнатный термостат - принцип работы
    Смесительный узел
            Что такое смесительный узел?
            Виды смесительных узлов для отопления
    Характеристики и параметры систем
            Местные гидравлические сопротивления. Что такое КМС?
            Пропускная способность Kvs. Что это такое?
            Кипение воды под давлением – что будет?
            Что такое гистерезис в температурах и давлениях?
            Что такое инфильтрация?
            Что такое DN, Ду и PN ? Эти параметры нужно знать сантехникам и инженерам обязательно!
            Гидравлические смыслы, понятия и расчет цепей систем отопления
            Коэффициент затекания в однотрубной системе отопления
    Видео
            Отопление
                    Автоматическое управление температурой
                    Простая подпитка системы отопления
                    Теплотехника. Ограждающие конструкции.
            Теплый водяной пол
                    Насосно смесительный узел Combimix
                    Почему нужно выбрать напольное отопление?
                    Водяной теплый пол VALTEC. Видеосеминар
                    Труба для теплого пола - что выбрать?
                    Теплый водяной пол – теория, достоинства и недостатки
                    Укладка теплого водяного пола - теория и правила
                    Теплые полы в деревянном доме. Сухой теплый пол.
                    Пирог теплого водяного пола – теория и расчет
            Новость сантехникам и инженерам
            Сантехники Вы все еще занимаетесь халтурой?
    Нормативные документы
            Нормативные требования при проектировании котельных
            Сокращенные обозначения
    Термины и определения
            Цоколь, подвал, этаж
            Котельные
    Документальное водоснабжение
            Источники водоснабжения
            Физические свойства природной воды
            Химический состав природной воды
            Бактериальное загрязнение воды
            Требования, предъявляемые к качеству воды
    Сборник вопросов
            Можно ли разместить газовую котельную в подвале жилого дома?
            Можно ли пристроить котельную к жилому дому?
            Можно ли разместить газовую котельную на крыше жилого дома?
            Как подразделяются котельные по месту их размещения?
    Личные опыты гидравлики и теплотехники
            Вступление и знакомство. Часть 1
            Гидравлическое сопротивление термостатического клапана
            Гидравлическое сопротивление колбы - фильтра
    Видеокурс
            Скачать курс Инженерно-Технические расчеты бесплатно!
    Программы для расчетов
            Technotronic8 - Программа по гидравлическим и тепловым расчетам
            Auto-Snab 3D - Гидравлический расчет в трехмерном пространстве
    Полезные материалы
    Полезная литература
            Гидростатика и гидродинамика
    Задачи по гидравлическому расчету
            Потеря напора по прямому участку трубы
            Как потери напора влияют на расход?
    Разное
            Водоснабжение частного дома своими руками
            Автономное водоснабжение
            Схема автономного водоснабжения
            Схема автоматического водоснабжения
            Схема водоснабжения частного дома
    Политика конфиденциальности

infosantehnik.ru

Решить уравнение Бернулли онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

\[y' +a_0(x)y=b(x)y^n\] - данное уравнение дифференциального вида называется уравнением Бернулли.

При условии, что \[n=0\] получается линейное уравнение, если \[n=1\] - с разделяющимися переменными, то предположим, что \[n \ne 0\] и \[n \ne 1.\] Произведем деление левой и правой части уравнения на \[y^n.\]

Так же читайте нашу статью "Решить биквадратное уравнение онлайн решателем"

Получим уравнение следующего вида:

\[\frac{y'}{y^n}+\frac{ a_0(x)}{y^{n-1}}=b(x)\]

Далее произведем следующую подстановку -

\[\frac {1}{y^{n-1}}=z\]

После выполнения данных действий наше выражение будет иметь следующий вид:

\[\frac {z' }{1-n} + a_0(x)z=b(x)\]

Все эти действия помогли нам привести уравнение к линейному виду, которое решить довольно легко:

\[z' + (1-n)a_2(x)z = (1-n)b(x).\]

Пример решения уравнения Бернулли - \[y' + 2xy = 2xy_2\]

Это уравнение Бернулли при \[n=3.\] Разделим 2 части уравнения на \[y_3\] и получим:

\[\frac {y'}{y^3}+\frac{2x}{y^2}=2x\]

Выполним замену \[z=\frac{1}{y^2}: z' = -2\frac{y'}{y^3}\]

Преобразуем полученное уравнение в следующий вид:

\[-z' + 4xz = 4x.\]

Решим полученное уравнение методом вариации произвольной постоянной:

\[z(x)=1+C_1e^{2x^2}\frac{1}{y^2}=1+ C_1e^{2x^2}\]

Чтобы лучше закрепить материал, решайте уравнения в интернете. Если вы хотите проверить свой ответ, то можете бесплатно решить дифференцированное уравнение онлайн с решением на нашем сайте.

Как решать уравнения Бернулли по дифференциальным уравнениям онлайн?

Решить характеристическое уравнение онлайн или уравнение Бернулли вы можете на сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru